統(tǒng)計(jì)與概率-高考數(shù)學(xué)解答題專項(xiàng)練習(xí)

統(tǒng)計(jì)與概率一、梳理必備知識（2）解獨(dú)立性檢驗(yàn)問題的關(guān)注點(diǎn)=1\*GB3①兩個明確：（=1\*romani）明確兩類主體；（=2\*romanii）明確研究的兩個問題；=2\*GB2⑵兩個準(zhǔn)確：（=1\*romani）準(zhǔn)確畫出列聯(lián)表；（=2\*romanii）準(zhǔn)確理解二、解答題綜合訓(xùn)練1.某市某書店為了了解銷售單價(jià)(單位:元)在[8,20]內(nèi)的圖書的銷售情況,從2022年已經(jīng)銷售的圖書中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取100本,將獲得的所有樣本數(shù)據(jù)按照[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20]分成6組,制成如圖J5-1所示的頻率分布直方圖,已知樣本中銷售單價(jià)在[14,16)內(nèi)的圖書本數(shù)是銷售單價(jià)在[18,20]內(nèi)的圖書本數(shù)的2倍.(1)求x,y的值;(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這100本圖書銷售單價(jià)的平均數(shù)、中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);(3)根據(jù)頻率分布直方圖從銷售單價(jià)低于12元的圖書中任取2本,求這2本圖書中,至少有1本的銷售單價(jià)低于10元的概率.圖J5-11.解:(1)樣本中圖書的銷售單價(jià)在[14,16)內(nèi)的圖書本數(shù)是x·2×100=200x,樣本中圖書的銷售單價(jià)在[18,20]內(nèi)的圖書本數(shù)是y·2×100=200y.由題意得200x=2×200y,即x=2y①. 2分根據(jù)頻率分布直方圖可知(0.025+0.05+y+0.1×2+x)×2=1②.由①②解得x=0.15,y=0.075. 4分(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這100本圖書銷售單價(jià)的平均數(shù)為9×0.025×2+11×0.05×2+13×0.1×2+15×0.15×2+17×0.1×2+19×0.075×2=14.9, 6分因?yàn)?0.025+0.05+0.1+0.15)×2=0.65>0.5,所以中位數(shù)在[14,16)內(nèi).設(shè)中位數(shù)為x,則(0.025+0.05+0.1)×2+0.15(x-14)=0.5,解得x=15,故中位數(shù)為15. 8分(3)銷售單價(jià)低于12元的圖書共有(0.025+0.05)×2×100=15(本), 10分其中銷售單價(jià)低于10元的圖書有0.025×2×100=5(本),從銷售單價(jià)低于12元的圖書中任取2本,這2本圖書的銷售單價(jià)都不低于10元的取法有C102因此,所求事件的概率為1-C102C1522.某校高三1000名學(xué)生的一模考試數(shù)學(xué)成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是，，，，，.

(1)求圖中的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這1000名學(xué)生的一模考試數(shù)學(xué)成績的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；(3)從一模數(shù)學(xué)成績位于，的學(xué)生中采用分層抽樣抽取8人，再從這8人中隨機(jī)抽取2人，該2人中一模數(shù)學(xué)成績在區(qū)間的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，，所以.（2）該1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的平均分約為.（3）由（1）知，，所以一模數(shù)學(xué)成績在區(qū)間與的人數(shù)之比為，所以抽取的8人中有6人的數(shù)學(xué)成績在區(qū)間內(nèi)，所以的所有可能取值為0，1，2，，，，所以的分布列為012.3.《黃帝內(nèi)經(jīng)》中十二時(shí)辰養(yǎng)生法認(rèn)為:子時(shí)的睡眠對一天至關(guān)重要(子時(shí)是指23點(diǎn)到次日凌晨1點(diǎn)).相關(guān)數(shù)據(jù)表明,入睡時(shí)間越晚,深度睡眠時(shí)間越少,睡眠指數(shù)也就越低,根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù),對早睡群體和晚睡群體睡眠指數(shù)的統(tǒng)計(jì)如下表:組別睡眠指數(shù)早睡人群占比晚睡人群占比1[0,51)0.1%9.2%2[51,66)11.1%47.4%3[66,76)34.6%31.6%4[76,90)48.6%11.8%5[90,100]5.6%0.0%注:早睡人群為23:00前入睡的人群,晚睡人群為凌晨1:00后入睡的人群.(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),估計(jì)早睡人群睡眠指數(shù)的25%分位數(shù)與晚睡人群睡眠指數(shù)的25%分位數(shù)分別在第幾組?(2)據(jù)統(tǒng)計(jì),睡眠指數(shù)在區(qū)間[76,90)內(nèi)的人群中,早睡人群約占80%,從睡眠指數(shù)在區(qū)間[76,90)內(nèi)的人群中隨機(jī)抽取3人,以X表示這3人中屬于早睡人群的人數(shù),求X的分布列與均值E(X).解:(1)因?yàn)?.1%+11.1%=11.2%<25%,0.1%+11.1%+34.6%=45.8%>25%,所以早睡人群睡眠指數(shù)的25%分位數(shù)在第3組. 3分因?yàn)?.2%<25%,9.2%+47.4%=56.6%>25%,所以晚睡人群睡眠指數(shù)的25%分位數(shù)在第2組. 5分(2)由題得睡眠指數(shù)在[76,90)內(nèi)的人群中抽到早睡人群的概率約為45,抽到晚睡人群的概率約為15.X的可能取值為0,1,2,3, 7分則P(X=0)=C30×450×P(X=1)=C31×451×P(X=2)=C32×452×P(X=3)=C33×453×15所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123P1124864所以E(X)=0×1125+1×12125+2×48125+3×644.某職稱晉級評定機(jī)構(gòu)對參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，規(guī)定成績?yōu)?0分及以上者晉級成功，否則晉級失?。?/p>

(1)求圖中的值；(2)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為能否晉級成功與性別有關(guān)；晉級情況性別晉級成功晉級失敗總計(jì)男16女50總計(jì)(3)將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取4人進(jìn)行約談，記這4人中晉級失敗的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【詳解】（1）由頻率分布直方圖中各小長方形的面積總和為1，可知，解得．（2）由頻率分布直方圖，知晉級成功的頻率為，所以晉級成功的人數(shù)為，填表如下：晉級情況性別晉級成功晉級失敗總計(jì)男163450女94150總計(jì)2575100所以，所以有的把握認(rèn)為能否晉級成功與性別有關(guān)．（3）由（2）知晉級失敗的頻率為，將頻率視為概率，則從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取1人進(jìn)行約談，此人晉級失敗的概率為，易知，則，，，，．所以的分布列為01234則．5.食品安全問題越來越受到人們的重視．某超市在購進(jìn)某種水果之前，要求食品安檢部門對每箱水果進(jìn)行三輪各項(xiàng)指標(biāo)的綜合檢測，只有三輪檢測都合格，這種水果才能在該超市銷售．已知每箱這種水果第一輪檢測不合格的概率為，第二輪檢測不合格的概率為，第三輪檢測不合格的概率為，每輪檢測只有合格與不合格兩種情況，且各輪檢測互不影響．(1)求每箱這種水果能在該超市銷售的概率；(2)若這種水果能在該超市銷售，則每箱可獲利300元，若不能在該超市銷售，則每箱虧損100元，現(xiàn)有4箱這種水果，求這4箱水果總收益的分布列和數(shù)學(xué)期望．【詳解】（1）設(shè)每箱這種水果能在該超市銷售為事件，則，即每箱這種水果能在該超市銷售的概率為.（2）的所有可能取值為1200，800，400，0，．因?yàn)椋?，，，，所以的分布列?2008004000所以．6.飛行棋是一種競技游戲，玩家用棋子在圖紙上按線路行棋，通過擲骰子決定行棋步數(shù)．為增加游戲樂趣，往往在線路格子中設(shè)置一些“前進(jìn)”“后退”等獎懲環(huán)節(jié)，當(dāng)骰子點(diǎn)數(shù)大于或等于到達(dá)終點(diǎn)的格數(shù)時(shí)，玩家順利通關(guān)．已知甲、乙兩名玩家的棋子已經(jīng)接近終點(diǎn)，其位置如圖所示：

(1)求甲還需拋擲2次骰子才順利通關(guān)的概率；(2)若甲、乙兩名玩家每人最多再投擲3次，且第3次無論是否通關(guān)，該玩家游戲結(jié)束．設(shè)甲、乙兩玩家再投擲骰子的次數(shù)為，分別求出的分布列和數(shù)學(xué)期望．【詳解】（1）甲第1次拋擲未到達(dá)終點(diǎn)，其點(diǎn)數(shù)應(yīng)小于4若第1次擲出的點(diǎn)數(shù)為1，根據(jù)游戲規(guī)則，棋子前進(jìn)1步后可再前進(jìn)1步，到達(dá)距離終點(diǎn)差2步的格子，第2次擲出的點(diǎn)數(shù)大于1，即可順利通關(guān)，其概率為若第1次擲出的點(diǎn)數(shù)為2，棋子到達(dá)距離終點(diǎn)差2步的格子，第2次擲出的點(diǎn)數(shù)大于1，即可順利通關(guān)，其概率為若第1次擲出的點(diǎn)數(shù)為3，根據(jù)游戲規(guī)則，棋子到達(dá)距離終點(diǎn)差1步的格子后需后退3步，又回到了原位，第2次擲出的點(diǎn)數(shù)大于3，可順利通關(guān)，其概率為故甲拋擲2次骰子順利通關(guān)的概率為（2）依題意得，，，，123123，7.近年來,乒乓球運(yùn)動已成為國內(nèi)民眾喜愛的運(yùn)動之一,今有甲、乙兩選手爭奪乒乓球比賽冠軍,比賽采用三局兩勝制,即某選手率先獲得兩局勝利時(shí)比賽結(jié)束,根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn),甲、乙在一局比賽中獲勝的概率分別為23,13,(1)求甲獲得乒乓球比賽冠軍的概率.(2)比賽開始前,工作人員買來兩盒新球,分別為“裝有2個白球與1個黃球”的白盒與“裝有1個白球與2個黃球”的黃盒,每局比賽前裁判員從盒中隨機(jī)取出一個球用于比賽,且局中不換球,該局比賽后,直接丟棄,裁判按照如下規(guī)則取球:每局取球的盒子顏色與上一局比賽用球的顏色一致,且第一局從白盒中取球.記甲、乙決出冠軍后,兩盒內(nèi)白球剩余的總數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.7.解:記事件Ai=“甲在第i(i=1,2,3)局比賽中獲勝”,事件Ai=“甲在第i(i=1,2,3)局比賽中未獲勝”,則P(Ai)=23,P(Ai)=1-P(Ai)=13(i=1,2,3記事件A=“甲獲得冠軍”,則P(A)=P(A1A2)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=232+13×232+1(2)設(shè)甲、乙決出冠軍共進(jìn)行了Y局比賽,易知Y=2或Y=3,則P(Y=2)=P(A1A2)+P(A1A2)=232+132=59,故P(Y=3)=1-P(記Wi=“第i局從白盒中抽取白色的球”,Mi=“第i局從黃盒中抽取黃色的球”,則X的可能取值為1,2,3, 8分P(X=1)=P(Y=2)P(W1W2)+P(Y=3)[P(W1W2W3)+P(W1W2M3)+P(W1M2W3)]=59×P(X=2)=P(Y=2)[P(W1W2)+P(W1M2)]+P(Y=3)[P(W1W2M3)+P(W1M2M3)]=59×P(X=3)=P(Y=2)P(W1M2)+P(Y=3)P(W1M2M3)=59×13×23+4綜上可得,X的分布列如下:X123P353214故E(X)=1×3581+2×3281+3×1481=478.某特種商品生產(chǎn)企業(yè)的甲、乙兩個廠區(qū)共生產(chǎn)產(chǎn)品4a件,其中共有不合格產(chǎn)品a件,圖J6-2為全部產(chǎn)品中甲、乙兩廠區(qū)生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)的分布圖(圖①),以及不合格產(chǎn)品中甲、乙兩廠區(qū)生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)的分布圖(圖②).(1)求甲、乙廠區(qū)各自生產(chǎn)產(chǎn)品的不合格率.不合格率(2)用不合格率估計(jì)抽到不合格產(chǎn)品的概率.(i)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法在兩廠區(qū)生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取容量為4的樣本,記X為樣本中不合格品的件數(shù),求X的分布列.(ii)用簡單隨機(jī)抽樣方法在兩廠區(qū)生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取容量為4的樣本,記Y為樣本中不合格品的件數(shù),比較E(X),E(Y)的大小,并說說你對這一大小關(guān)系實(shí)際含義的理解.圖J6-28.解:(1)由圖①知甲廠區(qū)生產(chǎn)了3a件產(chǎn)品,乙廠區(qū)生產(chǎn)了a件產(chǎn)品,由圖②知甲、乙兩廠各生產(chǎn)不合格產(chǎn)品a2件. 2則甲廠區(qū)生產(chǎn)產(chǎn)品的不合格率P1=a23a=16,乙廠區(qū)生產(chǎn)產(chǎn)品的不合格率P2=a2(2)(i)由題可知,樣本中3件產(chǎn)品來自甲廠區(qū),1件產(chǎn)品來自乙廠區(qū),X的可能取值為0,1,2,3,4,P(X=0)=563×12=125432,P(X=1)=C31×16×562×1P(X=2)=C32×162×56×12+C31×16×562×12=524,P(X=3)=1P(X=4)=163×12=1則X的分布列為X01234P12525511 8分(ii)全部產(chǎn)品的不合格率P=a4a=14,則∴E(Y)=4×14=1. 9由(i)知E(X)=0×125432+1×2554+2×524+3×127+4×1432∴E(X)=E(Y), 11分說明抽樣方法不同,但都是等可能抽樣且樣本容量相同時(shí),樣本中不合格品件數(shù)的期望也相同. 12分9.為實(shí)現(xiàn)鄉(xiāng)村的全面振興,某地區(qū)依托鄉(xiāng)村特色優(yōu)勢資源,鼓勵當(dāng)?shù)剞r(nóng)民種植中藥材,批發(fā)銷售.根據(jù)前期分析多年數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn),某品種中藥材在該地區(qū)各年的平均每畝種植成本為5000元,此品種中藥材在該地區(qū)各年的平均每畝產(chǎn)量與此品種中藥材的國內(nèi)市場批發(fā)價(jià)格(如圖J6-2)均具有隨機(jī)性,且互不影響,其具體情況如下表:各年的平均每畝產(chǎn)量400千克500千克頻率0.250.75(注:各年的平均每畝純收入=各年的平均每畝產(chǎn)量×批發(fā)價(jià)格-各年的平均每畝種植成本)(1)以頻率估計(jì)概率,試估計(jì)該地區(qū)某農(nóng)民今年種植此品種中藥材獲得最高純收入的概率.(2)設(shè)該地區(qū)某農(nóng)民今年種植此品種中藥材的平均每畝純收入為X元,以頻率估計(jì)概率,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(3)已知該地區(qū)某農(nóng)民有一塊土地共10畝,該塊土地現(xiàn)種植其他農(nóng)作物,年純收入最高可達(dá)到45000元,根據(jù)以上數(shù)據(jù),該農(nóng)民下一年是否應(yīng)該選擇在這塊土地上種植此品種中藥材?說明理由.圖J6-29.解:(1)要使此品種中藥材獲得最高純收入,則每畝產(chǎn)量和批發(fā)價(jià)格均要最高,所以其概率為0.75×0.6=0.45. 3分(2)由題意得,每畝產(chǎn)量為400千克,批發(fā)價(jià)格為20元/千克,則X=400×20-5000=3000;每畝產(chǎn)量為400千克,批發(fā)價(jià)格為25元/千克,則X=400×25-5000=5000;每畝產(chǎn)量為500千克,批發(fā)價(jià)格為20元/千克,則X=500×20-5000=5000;每畝產(chǎn)量為500千克,批發(fā)價(jià)格為25元/千克,則X=500×25-5000=7500. 5分所以X的可能取值為3000,5000,7500,且P(X=3000)=0.25×0.4=0.1,P(X=5000)=0.25×0.6+0.75×0.4=0.45,P(X=7500)=0.75×0.6=0.45,則X的分布列為X300050007500P0.10.450.45 8分所以E(X)=3000×0.1+5000×0.45+7500×0.45=5925. 10分(3)由(2)知,種植此品種中藥材每畝年純收入的期望為5925元,而種植其他農(nóng)作物每畝年純收入最高為4500元,所以應(yīng)該選擇種植此品種中藥材. 12分10.某工廠車間有6臺相同型號的機(jī)器，各臺機(jī)器相互獨(dú)立工作，工作時(shí)發(fā)生故障的概率都是，且一臺機(jī)器的故障由一個維修工處理．已知此廠共有甲、乙、丙3名維修工，現(xiàn)有兩種配備方案，方案一：由甲、乙、丙三人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)2臺機(jī)器；方案二：由甲乙兩人共同維護(hù)6臺機(jī)器，丙負(fù)責(zé)其他工作.(1)對于方案一，設(shè)X為甲維護(hù)的機(jī)器某一時(shí)刻發(fā)生故障的臺數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）；(2)在兩種方案下，分別計(jì)算某一時(shí)刻機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能得到及時(shí)維修的概率，并以此為依據(jù)來判斷，哪種方案能使工廠的生產(chǎn)效率更高？【詳解】（1）解：由題意，車間有6臺相同型號的機(jī)器，各臺機(jī)器相互獨(dú)立工作，工作時(shí)發(fā)生故障的概率都是，可得方案一中，隨機(jī)變量，則，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：X012P所以期望為．（2）解：對于方案一：“機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修”等價(jià)于“甲、乙、丙三人中，至少有一人負(fù)責(zé)的2臺機(jī)器同時(shí)發(fā)生故障”，設(shè)機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率為，則其概率為．對于方案二：設(shè)機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率為，則，可得，即方案二能讓故障機(jī)器更大概率得到及時(shí)維修，使得工廠的生產(chǎn)效率更高．11.某單位統(tǒng)計(jì)職工一天行走步數(shù)(單位:百步)得到如圖J5-2所示的頻率分布直方圖,由頻率分布直方圖估計(jì)該單位職工一天行走步數(shù)的中位數(shù)為125,其中同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表.(1)計(jì)算圖中a,b的值,并估計(jì)該單位職工一天行走步數(shù)的平均數(shù)μ.(2)為鼓勵職工積極參與健康步行,該單位制定了甲、乙兩套激勵方案:記職工個人一天行走步數(shù)為ω,令ε=ω-μμ×100.若ε∈(0,10],則該職工獲得一次抽獎機(jī)會;若ε∈(10,20],則該職工獲得兩次抽獎機(jī)會;若ε∈(20,30],則該職工獲得三次抽獎機(jī)會;若ε∈(30,40],則該職工獲得四次抽獎機(jī)會;若ε超過50,則該職工獲得五次抽獎機(jī)會.設(shè)職工獲得的抽獎次數(shù)為n.方案甲:從裝有1個紅球和2個白球的口袋中有放回地抽取n個小球,抽得的紅球個數(shù)即表示該職工中獎次數(shù);方案乙:從裝有6個紅球和4個白球的口袋中無放回地抽取n個小球,抽得的紅球個數(shù)即表示該職工中獎次數(shù).若某職工某日行走15700步,試計(jì)算他參與甲、乙兩種抽獎方案中獎次數(shù)的分布列.若是你圖J5-211.解:(1)由題意得(解得a=0.∴μ=(60×0.002+80×0.006+100×0.008+120×0.012+140×0.01+160×0.008+180×0.002+200×0.002)×20=125.6. 4分(2)該職工的日行走步數(shù)ω=157百步,則ε=157-125.6125.6∴該職工獲得三次抽獎機(jī)會.在方案甲下,X~B3,13,P(X=0)=C30×233=827,P(X=1)=C31×232×13=49,P(X=2)=C32×132×2X0123P8421故E(X)=3×13=1. 8在方案乙下,設(shè)該職工的中獎次數(shù)為Y,則Y的可能取值為0,1,2,3,P(Y=0)=C43C103=130,P(Y=1)=C42C61C103=310,P(Y=2)=C4Y0123P1311故E(Y)=0×130+1×310+2×12+3×16=因?yàn)?<95,所以更喜歡方案乙. 1212.某市某高中學(xué)校組織航天科普知識競賽,分小組進(jìn)行知識問題競答.甲、乙兩個小組分別從6個問題中隨機(jī)抽取3個問題進(jìn)行回答,答對題目多者為勝.已知這6個問題中,甲組能正確回答其中4個問題,而乙組能正確回答每個問題的概率均為23.甲、乙兩個小組的選題以及對每個問題的回答都是相互獨(dú)立、互不影響的(1)求甲小組至少答對2個問題的概率;(2)若從甲、乙兩個小組中選拔一組代表學(xué)校參加全市決賽,請分析說明選擇哪個小組更好?12.解:(1)設(shè)甲小組抽取的3個問題中能正確回答的個數(shù)為X,甲小組至少答對2個問題可分為答對2個問題或者答對3個問題,則P(X=2)=C42C21P(X=3)=C43C20故所求概率P(X≥2)=35+15=45(2)設(shè)甲小組抽取的3個問題中能正確回答的個數(shù)為X,則X的可能取值為1,2,3, 4分P(X=1)=C41C結(jié)合(1)可知E(X)=1×15+2×35+3×15=2D(X)=(1-2)2×15+(2-2)2×35+(3-2)2×15 6分設(shè)乙小組抽取的3個問題中能正確回答的個數(shù)為Y,則Y~B3,23所以E(Y)=3×23=2,D(Y)=3×23×1- 9分由E(X)=E(Y),D(X)<D(Y)可得,選擇甲小組參加決賽更好. 12分13.高一某學(xué)生參加學(xué)校的數(shù)學(xué)競賽選拔考試,該次考試共有12道選擇題.得分規(guī)定:做對一道題得1分,做錯一道題得-1分,不做得0分,9分及格.已知該學(xué)生前8道題的答案均正確,而剩下的4道題每道題做對的概率均為34(1)若該學(xué)生12道題全都做,求得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)該學(xué)生做多少道題時(shí)及格的概率最大?13.解:(1)根據(jù)題意得,X的可能取值為4,6,8,10,12. 1分P(X=4)=C40×(34)0×(14)P(X=6)=C41×(34)1×(14)P(X=8)=C42×(34)2×(14)P(X=10)=C43×(34)3×(14)P(X=12)=C44×(34)4×(14)0=所以X的分布列為X4681012P13272781E(X)=4×1256+6×364+8×27128+10×2764+12×81256(2)再做1道題及格的概率P1=34再做2道題及格的概率P2=(34)2=9再做3道題及格的概率P3=(34)3+C32×(34)2×14再做4道題及格的概率P4=(34)4+C43×(34)3× 11分因?yàn)镻3>P1>P4>P2,所以該學(xué)生做11道題時(shí)及格的概率最大. 12分14某學(xué)校為了提高學(xué)生的運(yùn)動興趣，增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，該校每年都要進(jìn)行各年級之間的球類大賽，其中乒乓球大賽在每年“五一”之后舉行，乒乓球大賽的比賽規(guī)則如下：高中三個年級之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，每個年級各派5名同學(xué)按順序比賽（賽前已確定好每場的對陣同學(xué)），比賽時(shí)一個年級領(lǐng)先另一個年級兩場就算勝利（即每兩個年級的比賽不一定打滿5場），若兩個年級之間打成則第5場比賽定勝負(fù)．已知高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高二相應(yīng)對手的可能性均為，高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對手的可能性均為，高二每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對手的可能性均為，且隊(duì)員、年級之間的勝負(fù)相互獨(dú)立．(1)求高二年級與高一年級比賽時(shí)，高二年級與高一年級在前兩場打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高一年級的概率．(2)若獲勝年級積3分，被打敗年級積0分，求高三年級獲得積分的分布列和期望．【詳解】（1）設(shè)高二年級與高一年級在前兩場打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高高一年級的事件為，則（2）根據(jù)題意得高三年級獲得積分的的取值可為0，3，6的分布列為03615.為了豐富孩子們的校園生活，某校團(tuán)委牽頭，發(fā)起體育運(yùn)動和文化項(xiàng)目比賽，經(jīng)過角逐，甲、乙兩人進(jìn)入最后的決賽．決賽先進(jìn)行兩天，每天實(shí)行三局兩勝制，即先贏兩局的人獲得該天勝利，此時(shí)該天比賽結(jié)束．若甲、乙兩人中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天甲、乙兩人各贏一天，則第三天只進(jìn)行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽的結(jié)果沒有平局且結(jié)果互相獨(dú)立．(1)記第一天需要進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列及；(2)記一共進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為Y，求．【詳解】（1）解：可能取值為2，3．所以的分布列如下：23∴．（2）前兩天中每一天甲以2：0獲勝的的概率均為；乙以2：0獲勝的的概率均為甲以2：1獲勝的的概率均為乙以2：1獲勝的的概率均為∴即獲勝方前兩天比分為和，或者和再加附加賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為∴∴．16.某運(yùn)動會舉辦前簽約了45家贊助企業(yè),為了解該45家贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時(shí)間之間的關(guān)系,某平臺對45家贊助企業(yè)進(jìn)行跟蹤調(diào)查,發(fā)現(xiàn)每天線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)的企業(yè)有20家,余下的企業(yè)中,每天的銷售額不足30萬元的企業(yè)占35,統(tǒng)計(jì)后得到2×2列聯(lián)表(1)請完成上面的2×2列聯(lián)表,并依據(jù)α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時(shí)間有關(guān).(2)①按銷售額進(jìn)行比例分配的分層隨機(jī)抽樣,在上述贊助企業(yè)中抽取5家企業(yè),求每天的銷售額不少于30萬元和每天的銷售額不足30萬元的企業(yè)數(shù);②在①的條件下,抽取每天的銷售額不足30萬元的企業(yè)時(shí),設(shè)抽到每天線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)的企業(yè)數(shù)是X,求X的分布列及均值.單位:家

每天線上銷售時(shí)間每天的銷售額合計(jì)不少于30萬元不足30萬元不少于8小時(shí)1720不足8小時(shí)合計(jì)45

附:

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

參考公式:χ2=n(ad-bc16.解:(1)由題意可得2×2列聯(lián)表如下.單位:家每天線上銷售時(shí)間每天的銷售額合計(jì)不少于30萬元不足30萬元不少于8小時(shí)17320不足8小時(shí)101525合計(jì)271845 零假設(shè)為H0:贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時(shí)間無關(guān).根據(jù)表中數(shù)據(jù),計(jì)算得到χ2=45×(17×15-3×10)227×18×根據(jù)小概率值α=0.01的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時(shí)間有關(guān).(2)①由題意可知,銷售額不少于30萬元的企業(yè)有27家,銷售額不足30萬元的企業(yè)有18家.按銷售額進(jìn)行比例分配的分層隨機(jī)抽樣,在上述贊助企業(yè)中抽取5家企業(yè),抽樣比為545=19,所以應(yīng)從銷售額不少于30萬元的企業(yè)中抽取27×19=3(家從銷售額不足30萬元的企業(yè)中抽取18×19=2(家) ②由題意可知,每天的銷售額不足30萬元的企業(yè)中,每天線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)的企業(yè)有3家,線上銷售時(shí)間不足8小時(shí)的企業(yè)有15家,則X的可能取值為0,1,2,則P(X=0)=C152C182=3551,P(X=1)=C31C151C182=所以X的分布列為X012P3551所以E(X)=0×3551+1×517+2×151所以X的均值為13. 17.已知有一道有四個選項(xiàng)的單項(xiàng)選擇題和一道有四個選項(xiàng)的多項(xiàng)選擇題,小明知道每道多項(xiàng)選擇題均有兩個或三個正確選項(xiàng),但根據(jù)得分規(guī)則:全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.小明在做多項(xiàng)選擇題時(shí),可能選擇一個選項(xiàng),也可能選擇兩個或三個選項(xiàng),但不會選擇四個選項(xiàng).(1)如果小明不知道單項(xiàng)選擇題的正確答案,那么小明就會隨機(jī)猜測.已知小明知道單項(xiàng)選擇題的正確答案和隨機(jī)猜測的概率都是12,他做完單項(xiàng)選擇題后,在題目答對的情況下,求他知道單項(xiàng)選擇題正確答案的概率(2)假設(shè)小明在做該道多項(xiàng)選擇題時(shí),基于已有的解題經(jīng)驗(yàn),他選擇一個選項(xiàng)的概率為12,選擇兩個選項(xiàng)的概率為13,選擇三個選項(xiàng)的概率為16.已知該道多項(xiàng)選擇題只有兩個正確選項(xiàng),小明完全不知道四個選項(xiàng)的正誤,只好根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)隨機(jī)選擇.記X表示小明做完該道多項(xiàng)選擇題后所得的分?jǐn)?shù)(不與單項(xiàng)選擇題同時(shí)計(jì)分)①P(X=0);②X的分布列及均值.(本小題滿分12分)17.解:(1)記事件A=“題目答對了”,事件B=“知道正確答案”,則P(A|B)=1,P(A|B)=14,P(B)=P(B)=1 2分所以P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=12×1+12×14=58,故所求概率為P(B|A)=P(BA)P((2)由已知可得X的可能取值為0,2,5.設(shè)事件Di=“小明選擇了i個選項(xiàng)”,i=1,2,3,C=“選擇的選項(xiàng)都是正確的”,則P(X=2)=P(D1C)=P(D1)P(C|D1)=12×C21P(X=5)=P(D2C)=P(D2)P(C|D2)=13×C22P(X=0)=1-P(X=2)-P(X=5)=2536. 8①P(X=0)=2536. 9②隨機(jī)變量X的分布列為X025P2511故E(X)=0×2536+2×14+5×118=718.為調(diào)查禽類某種病菌感染情況,某養(yǎng)殖場每周都定期抽樣檢測禽類血液中A指標(biāo)的值,將某周5000只家禽血液樣本中A指標(biāo)的檢測數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,繪制成如圖J8-1所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這5000只家禽血液樣本中A指標(biāo)值的中位數(shù)(結(jié)果保留兩位小數(shù)).(2)通過長期調(diào)查分析可知,該養(yǎng)殖場家禽血液中A指標(biāo)的值X服從正態(tài)分布N(7.4,2.632).(i)若其中一個養(yǎng)殖棚有1000只家禽,估計(jì)其血液中A指標(biāo)的值不超過10.03的家禽數(shù)量(結(jié)果保留整數(shù));(ii)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,把發(fā)生概率小于1%的事件稱為小概率事件,通常認(rèn)為小概率事件的發(fā)生是不正常的,該養(yǎng)殖場除定期抽檢外,每天還會隨機(jī)抽檢20只,若某天發(fā)現(xiàn)抽檢的20只家禽中恰有3只血液中A指標(biāo)的值大于12.66,判斷這一天該養(yǎng)殖場的家禽健康狀況是否正常,并分析說明理由.參考數(shù)據(jù):①0.022753≈0.00001,0.9772517≈0.7;②若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545.圖J8-118.解:(1)由2×(0.02+0.06+0.14)=0.44,2×(0.02+0.06+0.14+0.18)=0.8,可得中位數(shù)在區(qū)間[7,9)內(nèi), 1分設(shè)中位數(shù)為x,則2×(0.02+0.06+0.14)+(x-7)×0.18=0.5,解得x≈7.33. 3分(2)(i)由X~N(7.4,2.632),可得P(7.4-2.63≤X≤7.4+2.63)=P(4.77≤X≤10.03)≈0.6827,則P(X≤10.03)=P(4.77≤X≤10.03)2+故估計(jì)血液中A指標(biāo)的值不超過10.03的家禽有1000×0.84135=841.35≈841(只). 8分(ii)易知P(7.4-2×2.63≤X≤7.4+2×2.63)=P(2.14≤X≤12.66)≈0.9545,則P(X>12.66)≈1-0.95452=0隨機(jī)抽檢20只相當(dāng)于進(jìn)行20次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),設(shè)恰有3只血液中A指標(biāo)的值大于12.66為事件B,則P(B)≈C203×0.022753×(1-0.02275)17≈0.00798<1%,所以這一天該養(yǎng)殖場的家禽健康狀況不正常. 12分19.泉州是歷史文化名城、東亞文化之都，是聯(lián)合國認(rèn)定的“海上絲綢之路”起點(diǎn).著名的“泉州十八景”是游客的爭相打卡點(diǎn)，泉州文旅局調(diào)查打卡十八景游客，發(fā)現(xiàn)90%的人至少打卡兩個景點(diǎn).為提升城市形象，泉州文旅局為大家準(zhǔn)備了4種禮物，分別是世遺泉州金屬書簽、閩南古厝徽章、開元寺祈福香包、小關(guān)公陶瓷擺件.若打卡十八景游客至少打卡兩個景點(diǎn)，則有兩次抽獎機(jī)會；若只打卡一個景點(diǎn)，則有一次抽獎機(jī)會.每次抽獎可隨機(jī)獲得4種禮物中的1種禮物.假設(shè)打卡十八景游客打卡景點(diǎn)情況相互獨(dú)立.(1)從全體打卡十八景游客中隨機(jī)抽取3人，求3人抽獎總次數(shù)不低于4次的概率；(2)任選一位打卡十八景游客，求此游客抽中開元寺祈福香包的概率.19.解：（1）設(shè)3人抽獎總次數(shù)為，則的可能取值為3，4，5，6.由題意知，每位打卡十八景游客至少打卡兩個景點(diǎn)的概率為，只打卡一個景點(diǎn)的概率為，隨機(jī)抽取3人，3人打卡景點(diǎn)情況相互獨(dú)立.表示抽獎總次數(shù)為3次，即3人都只打卡一個景點(diǎn).依題意可得，，所以.（2）記事件“每位打卡十八景游客至少打卡兩個景點(diǎn)”，則“每位打卡十八景游客只打卡一個景點(diǎn)”，事件“一位打卡十八景游客抽中開元寺祈福香包”，則，，，，由全概率公式得，.20.盲盒是指消費(fèi)者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的玩具盒子，具有隨機(jī)屬性.某品牌推出2款盲盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同單品，且必包含隱藏款X；B款盲盒套餐包含2款不同單品，有50%的可能性出現(xiàn)隱藏款X．為避免盲目購買與黃牛囤積，每人每天只能購買1件盲盒套餐，開售第二日，銷售門店對80名購買了套餐的消費(fèi)者進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：A款盲盒套餐B款盲盒套餐年齡低于30歲1830年齡不低于30歲2210(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為A、B款盲盒套餐的選擇與年齡有關(guān)聯(lián)？(2)甲、乙、丙三人每人購買1件B款盲盒套餐，記隨機(jī)變量為其中隱藏款X的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)某消費(fèi)者在開售首日與次日分別購買了A款盲盒套餐與B款盲盒套餐各1件，并將6件單品全部打亂放在一起，從中隨機(jī)抽取1件打開后發(fā)現(xiàn)為隱藏款X，求該隱藏款來自于B款盲盒套餐的概率．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82820解】（1）零假設(shè)為：：A，B款盲盒套餐的選擇與年齡之間無關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為A，B款盲盒套餐的選擇與年齡有關(guān)；（2）的所有可能取值為0，1，2，3，，，所以的分布列為：0123P；（3）設(shè)事件A：隨機(jī)抽取1件打開后發(fā)現(xiàn)為隱藏款X，設(shè)事件：隨機(jī)抽取的1件單品來自于A款盲盒套餐，設(shè)事件：隨機(jī)抽取的1件單品來自于B款盲盒套餐，，故由條件概率公式可得，即該隱藏款來自于B款盲盒套餐的概率為．21.學(xué)校共有1500名學(xué)生,為調(diào)查該校學(xué)生每周使用手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)間,采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法收集100名學(xué)生每周上網(wǎng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)(單位:h).根據(jù)這100個樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周上網(wǎng)時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖J4-1所示),其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].(1)估計(jì)該校學(xué)生每周使用手機(jī)上網(wǎng)的平均時(shí)間(每組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).(2)估計(jì)該校學(xué)生每周使用手機(jī)上網(wǎng)時(shí)間超過4h的概率.(3)將每周使用手機(jī)上網(wǎng)時(shí)間在(4,12]內(nèi)的定義為“長時(shí)間使用手機(jī)上網(wǎng)”,每周使用手機(jī)上網(wǎng)時(shí)間在[0,4]內(nèi)的定義為“不長時(shí)間使用手機(jī)上網(wǎng)”,在樣本數(shù)據(jù)中,有25名學(xué)生不近視.請補(bǔ)充完整每周使用手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)間與是否近視的2×2列聯(lián)表,依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為該校學(xué)生每周使用手機(jī)上網(wǎng)時(shí)間與是否近視有關(guān)聯(lián)?單位:人

每周使用手機(jī)上網(wǎng)情況是否近視合計(jì)近視不近視長時(shí)間使用手機(jī)不長時(shí)間使用手機(jī)15合計(jì)25

附:χ2=n(adα0.10.050.010.005xα2.7063.8416.6357.879

(本小題滿分10分)圖J4-121.解:(1)根據(jù)頻率分布直方圖得x=1×0.025×2+3×0.100×2+5×0.150×2+7×0.125×2+9×0.075×2+11×0.025×2=5.8,故估計(jì)該校學(xué)生每周使用手機(jī)上網(wǎng)的平均時(shí)間為5.8h. 3分(2)由頻率分布直方圖得1-2×(0.100+0.025)=0.75,故估計(jì)該校學(xué)生每周使用手機(jī)上網(wǎng)時(shí)間超過4h的概率為0.75. 6分(3)根據(jù)題意補(bǔ)充2×2列聯(lián)表如下:單位:人每周使用手機(jī)上網(wǎng)情況是否近視合計(jì)近視不近視長時(shí)間使用手機(jī)651075不長時(shí)間使用手機(jī)101525合計(jì)7525100 7分零假設(shè)為H0:該校學(xué)生每周使用手機(jī)上網(wǎng)時(shí)間與是否近視無關(guān)聯(lián).經(jīng)計(jì)算得到χ2=100×(65×15-10×10)275×25×根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷H0不成立,即認(rèn)為該校學(xué)生每周使用手機(jī)上網(wǎng)時(shí)間與是否近視有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯誤的概率不大于0.05. 10分22.學(xué)生的學(xué)習(xí)除了在課堂上認(rèn)真聽講,還有一個重要環(huán)節(jié)就是課后的“自主學(xué)習(xí)”,包括預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)、歸納整理等.某研究機(jī)構(gòu)抽查了部分高中學(xué)生,對學(xué)生課后的學(xué)習(xí)時(shí)長x(單位:分鐘)和他們的數(shù)學(xué)平均成績y(單位:分)做出了以下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表,請根據(jù)表格回答問題:x60708090100110120130y92109114120119121121122(1)請根據(jù)所給數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖,并且從以下三個函數(shù)模型①y=bx+a;②y=m·xk(m>0,k>0);③y=cx2+dx+e中選擇一個最適合的作為學(xué)習(xí)時(shí)長x和數(shù)學(xué)平均成績y的經(jīng)驗(yàn)回歸模型,不必說明理由;(2)根據(jù)(1)中選擇的經(jīng)驗(yàn)回歸模型,求出y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(3)請根據(jù)此經(jīng)驗(yàn)回歸方程,闡述你對學(xué)習(xí)時(shí)長和數(shù)學(xué)平均成績之間關(guān)系的看法.參考公式22.解:(1)根據(jù)題意作出散點(diǎn)圖如圖所示. 2分由散點(diǎn)圖可知y=m·xk(m>0,k>0)最適合. 3分(2)對y=m·xk(m>0,k>0)兩邊取以e為底的對數(shù),可得lny=klnx+lnm.設(shè)u=lnx,v=lny,則v=ku+n, 5分所以k=∑i=18uivi-8u·v∑i=18ui2-8u2≈171.64-8×4故lny=0.33lnx+3.25,即y=e3.25·x0.33≈25.79x0.33. 10分(3)此經(jīng)驗(yàn)回歸方程為關(guān)于學(xué)習(xí)時(shí)長的增函數(shù),說明隨著學(xué)習(xí)時(shí)長的增加,數(shù)學(xué)平均成績會提高,但是函數(shù)的增速先快后慢,說明原來數(shù)學(xué)平均成績較低的學(xué)生,通過增加學(xué)習(xí)時(shí)長可以有效提高數(shù)學(xué)平均成績,但是當(dāng)數(shù)學(xué)平均成績提高到120分左右時(shí),想要通過增加學(xué)習(xí)時(shí)長來提高數(shù)學(xué)平均成績就比較困難了,需要想別的辦法. 12分23.某市場研究人員為了了解共享單車運(yùn)營公司M的經(jīng)營狀況,對該公司近六個月內(nèi)的市場占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),并繪制了如圖J5-2所示的折線圖.(1)月市場占有率y與月份代碼x符合線性回歸模型擬合的關(guān)系,求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并預(yù)測M公司2021年3月份(即x=10)的市場占有率.(2)為進(jìn)一步擴(kuò)大市場,公司擬再采購一批單車.現(xiàn)有采購成本分別為1000元/輛和1200元/輛的A,B兩款車型可供選擇,按規(guī)定每輛單車最多使用4年,但由于多種原因(如騎行頻率等)會導(dǎo)致車輛報(bào)廢年限各不相同.考慮到公司運(yùn)營的經(jīng)濟(jì)效益,該公司決定先對兩款車型的單車各100輛進(jìn)行科學(xué)模擬測試,得到兩款單車使用壽命的頻數(shù)表如下:報(bào)廢年限1年2年3年4年A型車(輛)20353510B型車(輛)10304020經(jīng)測算,平均每輛單車每年可以帶來收入500元.不考慮除采購成本之外的其他成本,假設(shè)每輛單車的使用壽命都是整年,且以每輛單車使用壽命的頻率作為每輛單車使用壽命的概率.如果你是M公司的負(fù)責(zé)人,以每輛單車產(chǎn)生利潤的期望值為決策依據(jù),你會選擇采購哪款車型的單車?參考公式及數(shù)據(jù):經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+a中,b=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-n圖J5-223.解:(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)可得,x=1+2+3+4+5+66=3.5y=11+13+16+15+20+216=16, 2所以b=∑i=16xi則a=y-bx=16-2×3.5=9所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=2x+9. 4分當(dāng)x=10時(shí),可得y=2×10+9=29,所以預(yù)測M公司2021年3月份(即x=10)的市場占有率為29%. 5分(2)由頻率估計(jì)概率,可得每輛A款車型的單車可使用1年、2年、3年和4年的概率分別為0.2,0.35,0.35,0.1,所以每輛A款車型的單車可產(chǎn)生的利潤期望E(X)=(500-1000)×0.2+(1000-1000)×0.35+(1500-1000)×0.35+(2000-1000)×0.1=175; 8分由頻率估計(jì)概率,可得每輛B款車型的單車可使用1年、2年、3年和4年的概率分別為0.1,0.3,0.4,0.2,所以每輛B款車型的單車可產(chǎn)生的利潤期望E(Y)=(500-1200)×0.1+(1000-1200)×0.3+(1500-1200)×0.4+(2000-1200)×0.2=150. 11分因?yàn)镋(X)>E(Y),所以應(yīng)該采購A款車型的單車. 12分24.新能源汽車是中國戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)之一，政府高度重視新能源產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，某企業(yè)為了提高新能源汽車品控水平，需要監(jiān)控某種型號的汽車零件的生產(chǎn)流水線的生產(chǎn)過程，現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的該零件中隨機(jī)抽取100件，測得該零件的質(zhì)量差（這里指質(zhì)量與生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)的差的絕對值）的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表.質(zhì)量差（單位：）5667707886件數(shù)（單位：件）102048193(1)求樣本平均數(shù)的值；根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，得到該零件的質(zhì)量差（這里指質(zhì)量與生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)的差的絕對值）X近似服從正態(tài)分布，其中的近似值為36，用樣本平均數(shù)作為的近似值，求概率）的值；(2)若該企業(yè)有兩條生產(chǎn)該零件的生產(chǎn)線，其中第1條生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率是第2條生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率的兩倍.若第1條生產(chǎn)線出現(xiàn)廢品的概率約為0.015，第2條生產(chǎn)線出現(xiàn)廢品的概率約為0.018，將這兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)出來的零件混放在一起，這兩條生產(chǎn)線是否出現(xiàn)廢品相互獨(dú)立.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的該零件中隨機(jī)抽取一件.（i）求該零件為廢品的概率；（ii）若在抽取中發(fā)現(xiàn)廢品，求該廢品來自第1條生產(chǎn)線的概率.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則：，，【詳解】（1）由得：（2）（i）設(shè)“隨機(jī)抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的該零件為廢品”，“隨機(jī)抽取一件零件為第1條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，“隨機(jī)抽取一件零件為第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，則由題意可知，又，于是.（ii）.25.某籃球賽事采取四人制形式.在一次戰(zhàn)術(shù)訓(xùn)練中，甲、乙、丙、丁四名隊(duì)員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外三人中的任何一人.次傳球后，記事件“乙、丙、丁三人均接過傳出來的球”發(fā)生的概率為.(1)求；(2)當(dāng)時(shí)，記乙、丙、丁三人中接過傳出來的球的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)當(dāng)時(shí)，證明：.【詳解】（1）乙、丙、丁三人每次接到傳球的概率均為，3次傳球后，事件“乙、兩、丁三人均接過傳出來的球”發(fā)生的概率為.（2）由題意知，的可能取值為1，2，3，，，，的分布列如