第五章 第3講 等比數(shù)列

第五章數(shù)列第3講等比數(shù)列

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)1.理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.2.探索并掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.3.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題.4.體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.等比數(shù)列的基本運(yùn)算2023新高考卷ⅡT8；2023全國(guó)卷乙T15；2023全國(guó)

卷甲T5；2023天津T6；2022全國(guó)卷乙T8；2020全國(guó)卷ⅠT17；2020新高考卷ⅠT18；2020新高考卷ⅡT18；2019全國(guó)卷ⅠT14；2019全國(guó)卷ⅢT5本講的命題熱點(diǎn)為等比數(shù)列的基本運(yùn)算、等比數(shù)列的判定與證明、等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，整體比等差數(shù)列的運(yùn)算量大.在客觀題與主觀題中都有可能出現(xiàn)，難度中等.預(yù)計(jì)2025年高考命題穩(wěn)定，重點(diǎn)掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式及其變形應(yīng)用，同時(shí)也要關(guān)注等比數(shù)列與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用.課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)1.理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.2.探索并掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.3.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題.4.體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.等比數(shù)列的判定與證明2020全國(guó)卷ⅡT6本講的命題熱點(diǎn)為等比數(shù)列的基本運(yùn)算、等比數(shù)列的判定與證明、等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，整體比等差數(shù)列的運(yùn)算量大.在客觀題與主觀題中都有可能出現(xiàn)，難度中等.預(yù)計(jì)2025年高考命題穩(wěn)定，重點(diǎn)掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式及其變形應(yīng)用，同時(shí)也要關(guān)注等比數(shù)列與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用.等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用2023新高考卷

ⅡT8；2023全國(guó)卷乙T15，2021全國(guó)卷

甲T7

1.等比數(shù)列的概念(1)等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，

那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母

q

(

q

≠0)表示.注意

(1)等比數(shù)列中的任何一項(xiàng)都不為0，且公比

q

≠0.(2)若一個(gè)數(shù)列是常數(shù)列，

則此數(shù)列一定是等差數(shù)列，但不一定是等比數(shù)列，如：0，0，0，….(2)等比中項(xiàng)的概念如果在

a

與

b

中間插入一個(gè)數(shù)

G

，使

a

，

G

，

b

成等比數(shù)列，那么

G

叫做

a

與

b

的等

比中項(xiàng)，此時(shí)

G

2＝

ab

.注意

只有當(dāng)兩個(gè)數(shù)同號(hào)且不為0時(shí)，才有等比中項(xiàng)，且等比中項(xiàng)有兩個(gè).(3)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其變形通項(xiàng)公式：①

，其中

a

1是首項(xiàng)，

q

是公比.通項(xiàng)公式的變形：

an

＝

am

·

qn

－

m

.

an

＝

a

1·

qn

－1

規(guī)律總結(jié)等比數(shù)列的單調(diào)性

當(dāng)

q

＝1時(shí)，{

an

}是常數(shù)列；當(dāng)

q

＜0時(shí)，{

an

}是擺動(dòng)數(shù)列.2.等比數(shù)列的前

n

項(xiàng)和設(shè)等比數(shù)列{

an

}的公比為

q

，前

n

項(xiàng)和為

Sn

.

當(dāng)

q

＝1時(shí)，因?yàn)?/p>

a

1≠0，所以

Sn

＝

na

1.由此可知，數(shù)列{

Sn

}的圖象是函數(shù)

y

＝

a

1

x

的圖象上一系列孤立的點(diǎn).注意

在運(yùn)用等比數(shù)列的前

n

項(xiàng)和公式時(shí)，要注意對(duì)

q

＝1與

q

≠1進(jìn)行討論.－

aqn

＋

a

3.等比數(shù)列的性質(zhì)(1)等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)設(shè)數(shù)列{

an

}，{

bn

}是等比數(shù)列.a.若

m

＋

n

＝

k

＋

l

，則⑤

，其中

m

，

n

，

k

，

l

∈N*，反之，不一定

成立，如當(dāng)數(shù)列{

an

}是非零常數(shù)列時(shí)，此結(jié)論不成立.b.相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即

ak

，

ak

＋

m

，

ak

＋2

m

，…(

k

，

m

∈N*)

仍是等比數(shù)列，公比為⑥

?.

d.若

an

＞0，則數(shù)列{lgan

}是等差數(shù)列.aman

＝

akal

qm

(2)等比數(shù)列的前

n

項(xiàng)和的性質(zhì)設(shè)

Sn

是等比數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和.a.

Sm

＋

n

＝

Sn

＋

qnSm

＝

Sm

＋

qmSn

.b.當(dāng)

q

≠－1(或

q

＝－1且

k

為奇數(shù))時(shí)，

Sk

，

S

2

k

－

Sk

，

S

3

k

－

S

2

k

，…是⑦

?

數(shù)列.注意

當(dāng)

q

＝－1且

k

為偶數(shù)時(shí)，

Sk

，

S

2

k

－

Sk

，

S

3

k

－

S

2

k

，…不是等比數(shù)列.等比

1.下列說法正確的是(

B

)A.滿足an＋1＝qan(q≠0，n∈N*)的數(shù)列{an}為等比數(shù)列B.a，b，c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列是b2＝ac的充分不必要條件C.若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，則S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列D.若等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則其公比q＞1B12342.[多選]已知數(shù)列{

an

}是等比數(shù)列，公比為

q

，前

n

項(xiàng)和為

Sn

，則下列說法錯(cuò)誤的

是(

BC

)B.{log2an}為等差數(shù)列C.{an＋an＋1}為等比數(shù)列

BC12343.[易錯(cuò)題]設(shè)等比數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和為

Sn

，若

a

1＝2，

S

3＝6，則

S

4＝

?

?.

8或－10

12344.[教材改編]有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，第一個(gè)數(shù)與

第四個(gè)數(shù)的和為21，中間兩個(gè)數(shù)的和為18，則這四個(gè)數(shù)依次為

?

?.

3，6，12，18或

1234

命題點(diǎn)1

等比數(shù)列的基本運(yùn)算例1

(1)

[2023全國(guó)卷甲]設(shè)等比數(shù)列{

an

}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前

n

項(xiàng)和為

Sn

，若

a

1＝

1，

S

5＝5

S

3－4，則

S

4＝(

C

)C.15D.40

C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3解法二設(shè)等比數(shù)列{

an

}的公比為

q

，由已知得1＋

q

＋

q

2＋

q

3＋

q

4＝5(1＋

q

＋

q

2)

－4，整理得

q

(1＋

q

)(

q

2－4)＝0，由于此數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以

q

＝2，所以

S

4

＝1＋

q

＋

q

2＋

q

3＝1＋2＋4＋8＝15.故選C.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3(2)[2023天津高考]已知{

an

}為等比數(shù)列，

Sn

為數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和，

an

＋1＝2

Sn

＋

2，則

a

4的值為(

C

)A.3B.18C.54D.152

C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3方法技巧1.等比數(shù)列基本運(yùn)算中常用的數(shù)學(xué)思想方程思想等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過

列方程(組)求解.分類討論思想等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類討論(分q＝1和q≠1兩種情

況討論).例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3訓(xùn)練1

(1)[2022全國(guó)卷乙]已知等比數(shù)列{

an

}的前3項(xiàng)和為168，

a

2－

a

5＝42，則

a

6＝

(

D

)A.14B.12C.6D.3

D例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3(2)[全國(guó)卷Ⅰ]設(shè){

an

}是等比數(shù)列，且

a

1＋

a

2＋

a

3＝1，

a

2＋

a

3＋

a

4＝2，則

a

6＋

a

7＋

a

8＝(

D

)A.12B.24C.30D.32

D例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3命題點(diǎn)2

等比數(shù)列的判定與證明

(1)求

b

1，

b

2，

b

3；

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3(2)判斷數(shù)列{

bn

}是否為等比數(shù)列，并說明理由；

(3)求{

an

}的通項(xiàng)公式.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3方法技巧判定與證明等比數(shù)列的常用方法定義法等比中項(xiàng)法通項(xiàng)公式法若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均為非零常數(shù))，則{an}是

等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式法若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為非零常數(shù)，q≠0且q≠1)，則{an}

是等比數(shù)列例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3訓(xùn)練2

[2023江蘇省七市模擬]已知數(shù)列{

an

}滿足

a

1＝1，

a

2＝5，

an

＋2＝5

an

＋1－6

an

.(1)證明：{

an

＋1－2

an

}是等比數(shù)列.[解析]

解法一

(1)∵

an

＋2＝5

an

＋1－6

an

，∴

an

＋2－2

an

＋1＝5

an

＋1－6

an

－2

an

＋1＝3

an

＋1－6

an

＝3(

an

＋1－2

an

)，∵

a

1＝1，

a

2＝5，∴

a

2－2

a

1＝3≠0，∴數(shù)列{

an

＋1－2

an

}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3(2)證明：存在兩個(gè)等比數(shù)列{

bn

}，{

cn

}，使得

an

＝

bn

＋

cn

成立.[解析]

解法一

(2)∵

an

＋2＝5

an

＋1－6

an

，∴

an

＋2－3

an

＋1＝5

an

＋1－6

an

－3

an

＋1

＝2

an

＋1－6

an

＝2(

an

＋1－3

an

).∵

a

1＝1，

a

2＝5，∴

a

2－3

a

1＝2≠0，∴數(shù)列{

an

＋1－3

an

}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴

an

＋1－3

an

＝2

n

①，由第(1)問得

an

＋1－2

an

＝3

n

②，由②－①得，

an

＝3

n

－2

n

.故存在通項(xiàng)為

bn

＝3

n

，

cn

＝－2

n

的兩個(gè)等比數(shù)列，使得

an

＝

bn

＋

cn

成立.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3解法二

(2)由(1)知

an

＋1－2

an

＝3

n

①，由

an

＋2－3

an

＋1＝2(

an

＋1－3

an

)可得

an

＋1－3

an

＝2

n

②，由①－②得，

an

＝3

n

－2

n

，故存在通項(xiàng)為

bn

＝3

n

，

cn

＝－2

n

的兩個(gè)等比數(shù)列，使得

an

＝

bn

＋

cn

成立.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3命題點(diǎn)3

等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用例3

(1)[2023新高考卷Ⅱ]記

Sn

為等比數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和，若

S

4＝－5，

S

6＝21

S

2，

則

S

8＝(

C

)A.120B.85C.－85D.－120

C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3(2)[2023全國(guó)卷乙]已知{

an

}為等比數(shù)列，

a

2

a

4

a

5＝

a

3

a

6，

a

9

a

10＝－8，則

a

7

＝

?.

－2

解法二設(shè)數(shù)列{

an

}的公比為

q

.因?yàn)?/p>

a

4

a

5＝

a

3

a

6≠0，所以

a

2＝1.又

a

9

a

10＝

a

2

q

7·

a

2

q

8＝

q

15＝－8，于是

q

5＝－2，所以

a

7＝

a

2

q

5＝－2.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3訓(xùn)練3

(1)[2021全國(guó)卷甲]記

Sn

為等比數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和.若

S

2＝4，

S

4＝6，則

S

6＝

(

A

)A.7B.8C.9D.10

A例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3[解析]

解法一由題意知

a

1

a

5＝

a

2

a

4＝144

①，

a

2＋

a

4＝

(2)若公比大于1的等比數(shù)列{

an

}滿足

a

1

a

5＝144，

a

2＋

a

4＝30，則公比

q

＝

.2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

1.[命題點(diǎn)1/2023武漢調(diào)研]設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和為

Sn

，若2

S

3＝3

a

2＋8

a

1，

S

8＝2

S

7＋2，則

a

2＝(

A

)A.4B.3C.2D.1

A1234

12342.[命題點(diǎn)1/新高考卷Ⅱ]已知公比大于1的等比數(shù)列{

an

}滿足

a

2＋

a

4＝20，

a

3＝8.(1)求{

an

}的通項(xiàng)公式；

1234(2)求

a

1

a

2－

a

2

a

3＋…＋(－1)

n

－1

anan

＋1.

1234

1234

12344.[命題點(diǎn)3/多選/2023鄂東南省級(jí)示范高中聯(lián)考]設(shè)等比數(shù)列{

an

}的公比為

q

，其前

n

項(xiàng)和為

Sn

，前

n

項(xiàng)積為

Tn

，且滿足條件

a

1＞1，

a

2022

a

2023＞1，(

a

2022－1)(

a

2023－

1)＜0，則下列選項(xiàng)正確的是(

ACD

)A.0＜q＜1B.S2022＋1＜S2023C.T2022是數(shù)列{Tn}中的最大項(xiàng)D.T4043＞1ACD1234

1234

1234

1.[2024南昌市模擬]已知公比為

q

的等比數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和

Sn

＝2

a

1－2

qn

，則

a

1

＝(

B

)B.1C.2D.4

B12345678910111213141516172.[2023湖北黃岡模擬]已知數(shù)列{

an

}是正項(xiàng)等比數(shù)列，數(shù)列{

bn

}滿足

bn

＝log2

an

.若

a

2

a

5

a

8＝212，則

b

1＋

b

2＋

b

3＋…＋

b

9＝(

C

)A.24B.32C.36D.40

C12345678910111213141516173.[2024山東濟(jì)南聯(lián)考]記

Sn

為等比數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和，若

S

4＝5

S

2，

S

6＝21，則

S

8＝(

C

)A.－120B.－85C.85D.120

C12345678910111213141516174.[2023濟(jì)南市模擬]在數(shù)列{

an

}中，若

an

＝2

n

＋2

n

－1×3＋2

n

－2×32＋2

n

－3×33＋…

＋22×3

n

－2＋2×3

n

－1＋3

n

，則

a

2023＝(

C

)A.32023－22023B.3×22023－32024C.32024－22024D.2×32023－22024

C12345678910111213141516175.公元前1650年左右的埃及《萊因德紙草書》上載有如下問題：“十人分十斗玉

米，從第二人開始，各人所得依次比前人少八分之一，問每人各得玉米多少斗.”在

上述問題中，第一人分得玉米(

C

)

C12345678910111213141516176.[2024廣東七校聯(lián)考]在等比數(shù)列{

an

}中，公比為

q

.已知

a

1＝1，則0＜

q

＜1是數(shù)列

{

an

}是遞減數(shù)列的(

C

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

C12345678910111213141516177.[2024河南省模擬]已知等比數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和為

Sn

，且公比

q

≠－1，若

S

12＝

S

4＋16

S

8，則公比

q

＝(

B

)A.3B.±2C.2D.±3

B1234567891011121314151617

10

1234567891011121314151617

－2

123456789101112131415161710.[2024福州市一檢]已知等比數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和為

Sn

，且

an

＋1＝

Sn

＋2.(1)求{

an

}的通項(xiàng)公式；

1234567891011121314151617解法二

(1)因?yàn)?/p>

an

＋1＝

Sn

＋2

①，所以當(dāng)

n

≥2時(shí)，

an

＝

Sn

－1＋2

②，

由①式得

a

2＝

a

1＋2，得

a

1＝2，所以

an

＝2

n

.1234567891011121314151617(2)若

bn

＝log2

a

2

n

－1，求數(shù)列{

b