北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第二章各節(jié)練習(xí)題含答案

北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第二章各節(jié)練習(xí)題含答案

2.1認(rèn)識(shí)一元二次方程同步練習(xí)題

1?下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是()

A?x2+-=0B-(x-l)2=(x+3)(x-2)+l

C-x=x2D?ax2+bx+c=0

2.方程(m—l)x2+mx+l=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為()

A.任何實(shí)數(shù)B.m#0

C.nWlD.mW—1

3.方程2(x+2)+8=3x(x—l)的一般形式為,二次項(xiàng)系數(shù)是

,一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是.

4.把下列關(guān)于x的一元二次方程化為一般形式，并寫(xiě)出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次

項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

(l)3x2=5x-3；

(2)(x+2)(x—2)+3x=4.

5.沒(méi)一個(gè)奇數(shù)為x,與相鄰奇數(shù)的積為323,所列方程正確的是()

A.x(x+2)=323B.x(x—2)=323

C.x(x+l)=323D.x(x-2)=323或x(x+2)=323

6.11)一塊長(zhǎng)方形菜地的面積是150/2,如果它的長(zhǎng)減少5勿，那么菜地就變成

正方形，若設(shè)原菜地的長(zhǎng)為x%，則可列方程為

⑵已知如圖所示的圖形的面積為24,根據(jù)圖中的條件，可列方程為

7.根據(jù)下列問(wèn)題，列出關(guān)于x的方程，并將其化為一般形式.

(1)正方體的表面積為36,求正方體的邊長(zhǎng)x；

(2)在新春佳節(jié)到來(lái)之際，九(6)班所有的同學(xué)準(zhǔn)備送賀卡相互祝賀，所有同學(xué)

送完后共送了1980張，求九⑹班的同學(xué)人數(shù)x.

8.已知長(zhǎng)方形寬為xcm,長(zhǎng)為2xcm,面積為24cm2,則x最大不超過(guò)（）

A.1B.2C.3D.4

9.根據(jù)下列表格中的對(duì)應(yīng)值，判斷方程ax2+bx+c=0（aW0,a,b,c為常數(shù)）

的一個(gè)解x的范圍是（）

X3.233.243.253.26

ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09

A.3<x<3,23B.3.23<x<3,24C.3.24<x<3,25D.3.25<x<3.26

10.已知m是關(guān)于x的方程x2-2x-3=0的一個(gè)根，則2m2-4m=____.

11.已知關(guān)于x的一元二次方程（k—iN+x+k?—1=0有一個(gè)根無(wú)0,則k的

值為.

12.方程（m—l）xm2+i+2nix—3=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為（）

A.n=±lB.m=-1C.m=lD.mHl

13若方程（k—1）x2+怖x=1是關(guān)于X的一元二次方程，則k的取值范圍是（）

A?kWlB.k20C?k20且kWlD.k為任意實(shí)數(shù)

14.根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x?+px+q=0,歹U表如下：

X00.511.11.21.3

x2+px+q-15-8.75-2-0.590.842.29

則方程x2+px+q=0的一個(gè)正數(shù)解滿(mǎn)足（）

A.解的整數(shù)部分是0,十分位是5

B.解的整數(shù)部分是0,十分位是8

C.解的整數(shù)部分是1,十分位是1

D.解的整數(shù)部分是1,十分位是2

15?若關(guān)于x的方程x2+（m+l）x+；=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)恰是它本身，則m

的值是（）

16.已知關(guān)于x的方程（一―4）x?+（m—2）x+4m=0,當(dāng)m時(shí)，它

是一元二次方程，當(dāng)m時(shí)，它是一元一次方程.

17.已知關(guān)于x的一元二次方程m（x-l）2=-3x2+x的二次項(xiàng)系數(shù)與一次項(xiàng)系

數(shù)互為相反數(shù)，則ni的值為多少？

18.有這樣的題目：把方程52-x=2化為一元二次方程的一般形式，并寫(xiě)出它

的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).現(xiàn)在把上面的題目改編成下面的兩個(gè)小

題，請(qǐng)回答問(wèn)題：

⑴下面式子中是方程;x2—x=2化為一元二次方程的一般形式的是

________.(只填寫(xiě)序號(hào))

?|x2-34567891011x-2=0，(2)-1x2+x+2=0，③X2-2X=4，?-x2+2x+4=0，@V3x2

—2小x—44=0.

(2)方程42—x=2化為一元二次方程的一般形式后，它的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系

數(shù)和常數(shù)項(xiàng)之間具有什么關(guān)系？

2.1答案:

1.C

2.C

3.3x2—5x—12=03—5—12

4.(1)一般形式是3X2—5X+3=O,二次項(xiàng)系數(shù)是3,一次項(xiàng)系數(shù)是一5,常數(shù)

項(xiàng)是3.

(2)一般形式是X2+3X—8=0,二次項(xiàng)系數(shù)是1,一次項(xiàng)系數(shù)是3,常數(shù)項(xiàng)

是一8.

5.D

6.(1)x(x-5)=150.(2)(X+1)2-1=24.

7.(1)6x2=36,一般形式為6x2—36=0.

(2)x(x-l)=1980,一般形式為x2-x-l980=0.

8.D

9.C

10.6

11.-1

12.B

13.C

14.C

15.C

16.工±2=—2

17.整理方程，W(m+3)x2—(2m+l)x+m=0,由題意，得m+3—(2m+l)=0,

解得m=2.

18.(1)①②④⑤

(2)若設(shè)它的二次項(xiàng)系數(shù)為a(a^O),則一次項(xiàng)系數(shù)為一2a,常數(shù)項(xiàng)為一4a.(即滿(mǎn)

足二次系數(shù)：一次項(xiàng)系數(shù)：常數(shù)項(xiàng)=1：-2：-4即可)

2.2用配方法求解一元二次方程

同步課堂練習(xí)

1.用配方法解方程3X2-6X+1=0,則方程可變形為()

112

A.(X—3)J=-B.3(x—1)2=-C.(3x—1)2=1D.(x—1)2=~

2.小明同學(xué)解方程6x2—x—1=0的簡(jiǎn)要步驟如下：

伸一,n兩邊同時(shí)除以6211八移項(xiàng)211配方

解：bx—x-1=0,---w_IE--x—Tx—T=0,給一正x—TX=T,小一小

第一步66第一步66第二步

,I兩邊開(kāi)方_1=,巨移項(xiàng)_1V10_1V10,

一［十］第四步x_g__\i8'第五步XL§十6，X2-9-6.上

步驟，發(fā)生第一次錯(cuò)誤是在()

A.第一步B.第二步C.第三步D.第四步

3.用配方法解下列方程時(shí)，配方有錯(cuò)誤的是()

A.x2-2x-99=0化為(X—1)2=100

B.2x?—7x—4=0化為(x—「)2=9

41b

C.X2+8X+9=0化為(X+4)2=25

210

D.x32—4x—2=0化為(x—1)2=不

oy

4.用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0),此方程可變形為()

(b]222-2

tb~4ac1,b)4acb

A.-2R

「十瓦4aI2aJ-4a2

'b：2b2—4ac、rb：24ac—b2

C.一一D.

廠遍4a/一高-4a2

5.一個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)是2x2,它經(jīng)過(guò)配方整理得(x+J)2=i,那么它的

乙

一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別是()

3133

A.x,-7B.2x,—rC.2x,—TD.X,—~

4222

6.若代數(shù)式16x?+kxy+4y2是完全平方式，則k的值為()

A.8B.16C.-16D.±16

7.若代數(shù)式2x2—6x+b可化為2(x—a)2—1,則a+b=.

8.把方程2x?+4x—1=0配方后得(x+m)2=k,則m=,k=.

9.若代數(shù)式2x?—5x與一2x+3的值互為相反數(shù)，則x的值為.

17

10.三角形兩邊的長(zhǎng)是2和5,第三邊的長(zhǎng)是方程62—m：+2=0的根，則該三

55

角形的周長(zhǎng)為.

11.已知a為實(shí)數(shù)，則代數(shù)式42a之一數(shù)a+27的最小值為.

12.已知實(shí)數(shù)m,n滿(mǎn)足m—r?=l,則代數(shù)式而+2南+的一1的最小值等于

13.讀詩(shī)詞解題(通過(guò)列方程式)，算出周瑜去世時(shí)的年齡：

大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物；

而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)；

十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符；

哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜？

14.用配方法把代數(shù)式3X—2X2—2化為a(x+m)2+n的形式，并說(shuō)明不論x取

何值時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值總是負(fù)數(shù)，并求出當(dāng)x取何值時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值最

大.

15.一個(gè)正方形蔬菜園需修整并用籬笆圍住.修整蔬菜園的費(fèi)用是15元/平方

米，而購(gòu)買(mǎi)籬笆材料的費(fèi)用是30元/米,這兩項(xiàng)支出一共為3600元.求此正

方形蔬菜園的邊長(zhǎng).

2.2答案：

1——6DCCACD

?5

3

&1-

12

1

-或3

9.2

10.12

11.3

12.4

13.設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為x,則個(gè)位數(shù)字為(x+3),這個(gè)兩位數(shù)為10x

+(x+3),依題意得10X+(X+3)=(X+3)2,解得小=2,x?=3,.,?這個(gè)兩位數(shù)

是25或36,又???周瑜已過(guò)而立之年，，周瑜去世時(shí)36歲.

37337

14.3x—2x?—2=—2（x—一三，V—2（x—r）2^0,/.-2（x—T）2—,/.

4o44o

Q

不論x取何值時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值總是負(fù)數(shù).當(dāng)x=］時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值最大,

7

最大值為一己

15.設(shè)此正方形蔬菜園的邊長(zhǎng)為x米，由題意可得15x2+30X4x=3600,解得

x.=12,X2=-2O（舍）.故此正方形蔬菜園的邊長(zhǎng)為12米.

2.3用公式法求解一元二次方程

基礎(chǔ)題

知識(shí)點(diǎn)1用求根公式求解一元二次方程

1.利用求根公式求方程5x?+!=6x的根時(shí)，a、b、c的值分別是（）

乙

11

5￥656-

B.’2

D.

1

C556

,--2-

2.用公式法解方程3x?+4=12x,下列代入公式正確的是（）

12±A/122-3X4

A.x

2

-12±A/122X3X4

B，X=2X3

c12±J122+3X4

C,x=2

一（一12）±7（一12）2—4X3X4

D，'=2X3

3.解方程：

（1）X2+1=3X；

（2）3X2+2X+1=0.

知識(shí)點(diǎn)2利用根的判別式判定一元二次方程的根的情況

4.已知關(guān)于x的一元二次方程3x?+4x—5=0,下列說(shuō)法正確的是（）

A,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

B,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C,沒(méi)有實(shí)數(shù)根

D.無(wú)法確定

5.若關(guān)于x的方程x2+2x+a=0不存在實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（）

A.a<lB.a>l

C.a<lD.a^l

6.若關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m=

知識(shí)點(diǎn)3方案設(shè)計(jì)的實(shí)際問(wèn)題

7.綠苑小區(qū)在規(guī)劃設(shè)計(jì)時(shí)，準(zhǔn)備在兩幢樓房之間，設(shè)置一塊面積為900平方米

的矩形綠地，并且長(zhǎng)比寬多10米.設(shè)綠地的寬為x米，根據(jù)題意，可列方程為

()

A.x(x-10)=900B.x(x+10)=900

C.10(x+10)=900D.2[x+(x+10)]=900

8.如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一塊長(zhǎng)30m、寬20nl的長(zhǎng)方形土地ABCD上修建三條同

樣寬的通道，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種花草，要

使每一塊花草的面積都為78m2,那么通道寬應(yīng)設(shè)計(jì)成多少米？設(shè)通道寬為xm,

則由題意列得方程為()

A.(30-x)(20-x)=78

B.(30—2x)(20—2x)=78

C.(30-2x)(20-x)=6X78

D.(30—2x)(20-2x)=6X78

9.如圖，小明家有一塊長(zhǎng)l.50m,寬1m的矩形地毯，為了使地毯美觀，小明

請(qǐng)來(lái)工匠在地毯的四周鑲上寬度相同的花色地毯，鑲完后地毯的面積是原地毯

面積的2倍，則花色地毯的寬為_(kāi)___________m.

中檔題

10.一元二次方程X?+2MX—6=0的根是()

A.x1=X2=

B.Xi=0,x2=—2y[2

C.Xi=yj2,X2=-3y

D.Xi=—X2=3/

11.方程(m—2)x?—小工iiix+"=O有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是()

A.m>|

5

B.且mW2

乙

C.ni23

D.mW3且mW2

12.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算使a*b=(a+l)2—ab,則方程(x+2)*5

=0的解為.

13.用公式法解方程：

(l)(x-l)(l+2x)=2；

(2)x2—d^x+1=—3^2x.

14.(泰州中考)已知：關(guān)于x的方程x2+2mx+m2-i=o.

⑴不解方程，判別方程的根的情況；

⑵若方程有一個(gè)根為3,求m的值.

15.(新疆中考)如圖，要利用一面墻(墻長(zhǎng)為25米)建羊圈，用100米的圍欄圍

成總面積為400平方米的三個(gè)大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長(zhǎng)AB,BC各為

多少米？

綜合題

16.(淄博中考)關(guān)于x的一元二次方程(a-6)X2-38X+9=0有實(shí)根.

(1)求a的最大整數(shù)值;

(2)當(dāng)a取最大整數(shù)值時(shí),

①求出該方程的根;

32x—7

②求2x-Km的值.

2.3參考答案

1.C2,D

3.(1)將原方程化為一般形式，得X2—3x+1=0,Va=1,b=—3,c=l,?1

223+

b-4ac=(-3)-4XlXl=5>0.?，.X=一?±鄧.：.x[=^,x2=

3

7/.(2)Va=3,b=2,c=l,??.b2-4ac=4-4><3Xl=-8<0..,?原方程沒(méi)

有實(shí)數(shù)根.

9—1+V5

4.B5.B6-7.B8.C9.0.2510.C11.B12.x.=-x2=

一1

2

13.⑴方程化為一般式，得2x2-x-3=0,x=

_(一])土，(一1)4X2X(—3)3小+工口-u

Q,Xi=-1,X2=j.(2)方程化為一■般式，

ZAVZ9Z

得(+2隹x+l=。，xL2修，*-2,“=]_乖,

乙八*JL

-1.

14.(1)??飛2-4ac=(2m)2—4XlX(m2—1)=4>0,?,?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根.(2)將x=3代入原方程，得9+6m+n?-i=o,解得1nl=-2,m2=-4.

15.設(shè)AB的長(zhǎng)度為x米，則BC的長(zhǎng)度為(100—4x)米.根據(jù)題意，得(100—4x)x

=400,解得Xi=20,X2=5.貝lj100_4x=20或100—4x=80.?.?80>25,.\x2=5

舍去.???AB=20,BC=20.答：羊圈的邊長(zhǎng)AB,BC分別是20米，20米.

16.(I)*.?關(guān)于x的一元二次方程(a—6)x*—8x+9=0有實(shí)根，...a—6W0,△

70

=(一8/一4X(a—6)X920.解得aWi且aW6.??.a的最大整數(shù)值為7.(2)①當(dāng)

a=7時(shí),原一元二次方程變?yōu)閤2-8x+9=0,，A=(-8)2-4X1X9=28.，x

=8；艮flx=4土干.??.xi=4+巾，X2=4一巾.②〈x是一元二次

八八

232x—7232x—72

方程<—8x+9=0的根，:.x?—8x=-9./.2xX2-8X+11=2X--9+11=2X

77729

—16x+-=2(x2—8x)+~=2X(—9)+-=——

2.4用因式分解法求解一元二次方程

一.選擇題(共10小題)

1.如果一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為方程x2-5x+4=0的兩根，則這個(gè)等腰三

角形的周長(zhǎng)為()

A.6B.9C.6或9D.以上都不正確

2.已知3是關(guān)于x的方程x2-(m+1)x+2m=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這個(gè)方程的

兩個(gè)實(shí)數(shù)根恰好是等腰aABC的兩條邊的邊長(zhǎng)，則AABC的周長(zhǎng)為()

A.7B.10C.11D.10或11

3.解方程(5x-1)2=3(5x-1)的適當(dāng)方法是()

A.開(kāi)平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法

4.若分式彳-x-6的值為0,則x的值為()

x-3x+2

A.3或-2B.3C.-2D.-3或2

5.已知x為實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足(X2+X+1)2+2(X2+X+1)—3=0,那么x2+x+l的值為()

A.1B.-3C.-3或1D.-1或3

6.三角形兩邊的長(zhǎng)是3和4,第三邊的長(zhǎng)是方程x2-12x75=0的根，則該三角

形的周長(zhǎng)為()

A.14B.12C.12或14D.以上都不對(duì)

2

7.使分式x-5”6的值等于零的x是()

x+1

A.6B.-1或6C.-1D.-6

8.一元二次方程2x(x-3)=5(x-3)的根為()

A.x=$B.x=3C.xi=3,X2=-—D.Xi=3,X2=—

222

9.已知關(guān)于x的方程(x-1)[(k-1)x+(k-3)]=0(k是常數(shù))，則下列說(shuō)

法中正確的是()

A.方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B.方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

C.當(dāng)k取某些值時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根

D.方程一定有實(shí)數(shù)根

10.三角形的兩邊長(zhǎng)是3和4,第三邊長(zhǎng)是方程x2-12x+35=0的根，則三角形

的周長(zhǎng)為()

A.12B.13C.14D.12或14

二,填空題(共5小題)

11.方程3x(x-1)=2(x-1)的解為.

12.若(x2+y2)2-5(x2+y2)-6=0,則x?+y2=.

13.如果(x2+y2)(x2+y2-2)=3,則x?+y2的值是.

14.關(guān)于x的一元二次方程(k-1)xk2+i+6x+8=0的解為.

15.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,若(a2-b2)(a2+b2-1)=12,則a?+b2=.

三,解答題(共5小題)

16.解方程：

@2x2-4x-7=0(配方法)；

@4x2-3x-1=0(公式法)；

③(x+3)(x-1)=5；

(4)(3y-2)2=(2y-3)2.

17.解下列方程：

(1)9(y+4)2-49=0

(2)2x2+3=7x(配方法)：

(3)2x2-7x+5=0(公式法)

(4)x2=6x+16

(5)2x2-7x-18=0

(6)(2x-1)(x+3)=4.

18.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(1)x2-5x-6=0；

(2)(1-x)2-1=-?!-；

100

(3)8x(x+2)=3x+6；

(4)(y+V5)(y_V5)=20.

19.閱讀下面的例題與解答過(guò)程：

例.解方程：x2-|x|-2=0.

解：原方程可化為lx?-|x|-2=0.

設(shè)|x|=y,貝ijy?-y-2=0.

解得yi=2,V2=-1.

當(dāng)y=2時(shí),|x|=2,Ax=±2；

當(dāng)y=-l時(shí),|x|=-L?,?無(wú)實(shí)數(shù)解.

?,?原方程的解是:Xi=2,X2=-2.

在上面的解答過(guò)程中，我們把|x|看成一個(gè)整體，用字母y代替(即換元)，使得

問(wèn)題簡(jiǎn)單化、明朗化，解答過(guò)程更清晰,這是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的一種重要方法

--換元法.請(qǐng)你仿照上述例題的解答過(guò)程，利用換元法解下列方程：

(1)x2-2|x|=0；

(2)x2-2x-4|x-l|+5=0.

20.現(xiàn)定義一種新運(yùn)算：〃※一使得aXb=4ab

(1)求4派7的值；

(2)求xXx+2Xx-2派4=0中x的值；

(3)不論x是什么數(shù)，總有aXx=x,求a的值.

用因式分解法求解一元二次方程

一.選擇題（共10小題）

1.（2017?新區(qū)一模）如果一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為方程x2-5x+4=0的兩

根，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為（）

A.6B.9C.6或9D.以上都不正確

2.（2016?荊門(mén)）已知3是關(guān)于x的方程X?-（m+1）x+2m=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，并

且這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根恰好是等腰4ABC的兩條邊的邊長(zhǎng)，則4ABC的周長(zhǎng)為

（）

A.7B.10C.11D.10或11

3.（2016秋?蘭州期中）解方程（5x-l）2=3（5x-1）的適當(dāng)方法是（）

A.開(kāi)平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法

4.（2016秋?利川市校級(jí)月考）若分式『X」的值為o,則x的值為（）

X2-3X+2

A.3或-2B.3C.-2D.-3或2

5.（2016春?長(zhǎng)興縣月考）已知x為實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足（x2+x+l）2+2（x2+x+l）-3=0,

那么x2+x+l的值為（）

A.1B.-3C.-3或ID.-1或3

6.（2015?安順）三角形兩邊的長(zhǎng)是3和4,第三邊的長(zhǎng)是方程x2-12x+35=0的

根，則該三角形的周長(zhǎng)為（）

A.14B.12C.12或14D.以上都不對(duì)

2

7.（2015?東光縣校級(jí)二模）使分式七』的值等于零的x是（）

x+1

A.6B.-1或6C.-1D.-6

8.（2015春?紹興期末）一元二次方程2x（x-3）=5（x-3）的根為（）

A.x=區(qū)B.x=3C.Xi=3,X2=--D.Xi=3,X2=—

222

9.（2015春?下城區(qū)期末）已知關(guān)于x的方程（x-1）[（k-1）x+（k-3）]=0

（k是常數(shù)），則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B.方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

C.當(dāng)k取某些值時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根

D.方程一定有實(shí)數(shù)根

10.（2013秋?惠安縣期中）三角形的兩邊長(zhǎng)是3和4,第三邊長(zhǎng)是方程X2-

12x+35=0的根，則三角形的周長(zhǎng)為（）

A.12B.13C.14D.12或14

二.填空題（共5小題）

11.（2017?德州）方程3x（x-1）=2（x-1）的解為

12.（2016?磴口縣校級(jí)二模）若（x2+y2）2-5（x2+y2）-6=0,!/l!|x2+y2=

13.（2016秋?濱州月考）如果（x2+y2）（x2+y2-2）=3,則x?+y2的值是

14.（2015秋?南江縣期末）關(guān)于x的一元二次方程（k-1）xJ+I+6X+8=0的解

為_(kāi)____

15.（2015春?婺城區(qū)期末）對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,若（a?+b2）（a2+b2-1）=12,則

a2+b2=

三.解答題(共5小題)

16.解方程：

?2x2-4x-7=0(配方法)；

@4x2-3x-1=0(公式法)；

③(x+3)(x-1)=5；

④(3y-2)2=(2y-3)2.

17.解下列方程：

(1)9(y+4)2-49=0

(2)2x2+3=7x(配方法)；

(3)2x2-7x+5=0(公式法)

(4)x2=6x+16

(5)2x2-7x-18=0

(6)(2x-1)(x+3)=4.

18.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(1)x2-5x-6=0；

(2)(1-X)2-

100

(3)8x(x+2)=3x+6；

(4)(y+V5)(y_V5)=20.

19.(2015春?沙坪壩區(qū)期末)閱讀下面的例題與解答過(guò)程:

例.解方程：x2-|x|-2=0.

解：原方程可化為lx?-|x|-2=0.

設(shè)|x|二y,則y2-y-2=0.

解得yi=2,y2=-1.

當(dāng)y=2時(shí),|x|=2,.\x=±2；

當(dāng)y=-l時(shí),|x|=-L.??無(wú)實(shí)數(shù)解.

?,?原方程的解是：

xi=2,x2=-2.

在上面的解答過(guò)程中，我們把|x|看成一個(gè)整體，用字母y代替(即換元)，使得

問(wèn)題簡(jiǎn)單化、明朗化，解答過(guò)程更清晰.這是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的一種重要方法

--換元法.請(qǐng)你仿照上述例題的解答過(guò)程，利用換元法解下列方程：

(1)x2-2|x|=0；

(2)x2-2x-4|x-l|+5=0.

20.(2015秋?平南縣月考)現(xiàn)定義一種新運(yùn)算：〃※〃，使得aXb=4ab

(1)求4派7的值；

(2)xXx+2Xx-2)K4=0+xWfi；

(3)不論x是什么數(shù)，總有aXx=x,求a的值.

用因式分解法求解一元二次方程

參考答案與試題解析

選擇題（共10小題）

1.B.

2.D.

3.D.

4.A.

5.A.

6.B.

7.A.

8.D.

9.D.

10.A.

二.填空題（共5小題）

11.1或2.

3

12.：6.

13.3.

14.xi=4,X2=-1.

15.4.

三.解答題(共5小題)

16.解:0x2-2x=l

2

x2-2X+1=2

2

(x-1)2=a

2

x-1=±^^

2

AXI=1+^2,X2=1-

22

②a=4,b=-3,c=-1,

△=9+16=25

x=3±V25=3±5

88

??Xl=l,X2=一

4

③方程整理得：x2+2x-8=0

(x+4)(x-2)=0

??Xi=-4,X2=2?

④(3y-2+2y-3)(3y-2-2y+3)=0

(5y-5)(y+1)=0

yi=i,y2=-1.

17.解：(1)方程變形得：(y+4)2二空，

9

開(kāi)方得：y+4=土(

解得：yi=--,y?=--；

33

(2)方程整理得：x2-lx=-1,

22

配方得：x?-1x+空^至，即(x-工)2二藥，

21616416

開(kāi)方得：x-I=±l,

44

解得：X1=3,X2=工；

2

(3)這里a=2,b=-7,c=5,

VA=49-40=9,

?Y_7±3

4

解得：xi=2.5,x2=l;

(4)方程整理得：x2-6x-16=0,即(x+2)(x-8)=0,

解得：xi=-2,X2=8;

(5)這里a=2,b=-7,c=-18,

VA=47+144=191,

???xJ±啊

4

(6)方程整理得：2x2+5x-7=0,即(2x+7)(x-1)=0,

解得：Xi=-3.5,X2=l.

18.解：(1)x2-5x-6=0,

(x-6)(x+1)=0,

??Xl=6,X2=11?

(2)(1-x)2-1=-2L,

100

(1-x)2=-?L+l,

100

(1-x)

100

1-x=+—,

10

**.xi=i--=--L,

ioio

X2=1+AL=-21_.

1010

(3)8x(x+2)=3x+6,

8x(x+2)-3(x+2)=0,

(x+2)(8x-3)=0,

??Xi=12,X2=—

8

(4)(y+V5)(y_V5)=20.

y2-5=20,

y2=25,

y=±5,

即yi=5,y2=-5.

19.解：(1)原方程可化為|X|2-2|X|二O,

設(shè)|x|=y,則y2-2y=0.

解得yi=O,y2=2.

當(dāng)y=O時(shí)，|x|=0,Ax=0；

當(dāng)y=2時(shí)，，x=±2；

???原方程的解是：xi=O,X2=-2,X3=2.

(2)原方程可化為|x-1|2-4反-i|+4二O.

設(shè)Ix-11=y,則y2-4y+4=0,解得yi=y2=2.

即lx-11=2,

x=-1或x=3.

???原方程的解是：X1=-1,X2=3.

20.解：(1)4X7=4X4X7=112；

(2)由新運(yùn)算的定義可轉(zhuǎn)化為：4x2+8x-32=0,

解得Xi=2,X2=-4；

(3)??,由新運(yùn)算的定義得4ax=x,

(4a-1)x=0,

???不論x取和值，等式恒成立，

A4a-1=0,

即

2.6應(yīng)用一元二次方程利潤(rùn)問(wèn)題與增降率問(wèn)題同步課時(shí)練習(xí)題

1.某種花卉每盆的盈利與每盆的株數(shù)有一定的關(guān)系，每盆植3株時(shí)，平均每株

盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利減少0.5元，要使每盆的盈利達(dá)到

15元，每盆應(yīng)多植多少株？設(shè)每盆多植x株，則可以列出的方程是()

A.(3+x)(4-0.5x)=15B.(x+3)(4+0.5x)=15

C.(x+4)(3-0.5x)=15D.(x+1)(4-0.5x)=15

2.某商品的售價(jià)為100元，連續(xù)兩次降價(jià)x%后售價(jià)降低了36元，則x為()

A.8B.20C.36D.18

3.某機(jī)械廠七月份生產(chǎn)零件50萬(wàn)個(gè)，第三季度生產(chǎn)零件196萬(wàn)個(gè).設(shè)該廠八、

九月份平均每月的增長(zhǎng)率為x,那么x滿(mǎn)足的方程是()

A.50(1+X2)=196

B.50+50(1+X2)=196

C.50+50(1+x)+50(l+x)2=196

D.50+50(1+x)+50(1+2x)=196

4.股票每天的漲跌幅均不能超過(guò)10%,即當(dāng)漲了原價(jià)的10%后，便不能再漲，

叫做漲停；當(dāng)?shù)嗽瓋r(jià)的10%后，便不能再跌，叫做跌停.已知一只股票某天跌

停，之后兩天時(shí)間又漲回到原價(jià).若這兩天此股票股價(jià)的平均增長(zhǎng)率為x,則x

滿(mǎn)足的方程是()

A.(1+X)2=Y^B.(1+X)2=￥

1110

C.l+2x=~D.1+2x=~

JLUJ

5.制造一種產(chǎn)品，原來(lái)每件成本價(jià)是500元，銷(xiāo)售價(jià)為625元，經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，

該產(chǎn)品銷(xiāo)售價(jià)為第一個(gè)月降低20%,第二個(gè)月比第一個(gè)月提高6%,為使兩月后

的銷(xiāo)售利潤(rùn)與原來(lái)的銷(xiāo)售利潤(rùn)一樣，該產(chǎn)品的成本價(jià)平均每月應(yīng)降低()

A.5%B.10%C.20%D.25%

6.某種文化衫，平均每天銷(xiāo)售40件，每件盈利20元，若每件降價(jià)1元，則每

天可多售出10件.如果每天要盈利1080元，每件應(yīng)降價(jià)_______元.

7.某商店從廠家以每件21元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，該商品可以自行定價(jià)，若

每件商品售價(jià)為a元，則可賣(mài)出(350—10a)件，但物價(jià)局限定每件商品的利潤(rùn)

不能超過(guò)進(jìn)價(jià)的25%,商店計(jì)戈］要賺400元，需要賣(mài)出件商品，每件商

品的售價(jià)為元.

8.某市為了更好地吸引外資，決定改善城市容貌，綠化環(huán)境.計(jì)劃用兩年時(shí)間,

將綠地面積增加44%,則這兩年平均每年綠地面積的增長(zhǎng)率為.

9.李先生將10000元存入銀行，一年到期后取出2000元購(gòu)買(mǎi)電腦，余下8000

元及利息又存入銀行，如果兩次存款的年利率不變，一年到期后本息和是8925

元，則存款的年利率為.

10.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本是3元，售價(jià)是4元，年銷(xiāo)售量為10

萬(wàn)件，為了獲得更好的效益，公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每

X2

年投入廣告費(fèi)為x(萬(wàn)元)時(shí)，產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量將是原銷(xiāo)售量的y倍，且y=一沔

77

+y^x+—,如果把利潤(rùn)看作是銷(xiāo)售額減去成本費(fèi)和廣告費(fèi)，那么當(dāng)年利潤(rùn)為16

萬(wàn)元時(shí)，廣告費(fèi)x為_(kāi)_______萬(wàn)元.

11.小麗為校合唱隊(duì)購(gòu)買(mǎi)某種服裝時(shí)，商店經(jīng)理給出了如下優(yōu)惠條件：如果一

次性購(gòu)買(mǎi)不超過(guò)10件，單價(jià)為80元；如果一次性購(gòu)買(mǎi)多于10件，那么每增加

1件，購(gòu)買(mǎi)的所有服裝的單價(jià)降低2元，但單價(jià)不得低于50元.按此優(yōu)惠條件,

小麗一次性購(gòu)買(mǎi)這種服裝付了1200元，請(qǐng)問(wèn)她購(gòu)買(mǎi)了多少件這種服裝？

12.在一次“春風(fēng)行動(dòng)”捐款活動(dòng)中，某單位第一天收到捐款10000元，第三

天收到捐款12100兀.

(1)如果第二天、第三天收到捐款的增長(zhǎng)率相同，求捐款增長(zhǎng)率：

(2)按照(1)中收到捐款的增長(zhǎng)速度，第四天該單位能收到多少捐款?

13.某地2014年為做好“精準(zhǔn)扶貧”，投入資金1280萬(wàn)元用于異地安置，并

規(guī)劃投入資金逐年增加，2016年在2014年的基礎(chǔ)上增加投入資金1600萬(wàn)元.

(1)從2014年到2016年，該地投入異地安置資金的年平均增長(zhǎng)率為多少？

(2)在2016年異地安置的具體實(shí)施中，該地計(jì)劃投入資金不低于500萬(wàn)元用于

優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定前1000戶(hù)(含第1000戶(hù))每戶(hù)每天獎(jiǎng)勵(lì)8元，1000

戶(hù)以后每戶(hù)每天補(bǔ)助5元，按租房400天計(jì)算，試求今年該地至少有多少戶(hù)享

受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)？

14.畢業(yè)在即，某商店抓住商機(jī)，準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批紀(jì)念品.若商店花440元可以

購(gòu)進(jìn)50本學(xué)生紀(jì)念品和10本教師紀(jì)念品，其中教師紀(jì)念品的成本比學(xué)生紀(jì)念

品的成本多8元.

(1)請(qǐng)問(wèn)這兩種不同紀(jì)念品的成本分別是多少？

(2)如果商店購(gòu)進(jìn)1200個(gè)學(xué)生紀(jì)念品，第一周以每個(gè)10元的價(jià)格售出400個(gè),

第二周若按每個(gè)10元的價(jià)格仍可售出400個(gè)，但商店為了適當(dāng)增加銷(xiāo)量，決定

降價(jià)銷(xiāo)售(根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售出100個(gè)，但售價(jià)不得低于

進(jìn)價(jià))，單價(jià)降低x元銷(xiāo)售一周后，商店對(duì)剩余學(xué)生紀(jì)念品清倉(cāng)處理，以每個(gè)4

元的價(jià)格全部售出，如果這批紀(jì)念品共獲利2500元，問(wèn)第二周每個(gè)紀(jì)念品的

銷(xiāo)售價(jià)格為多少元？

15.某汽車(chē)銷(xiāo)售公司6月份銷(xiāo)售某廠家的汽車(chē)，在一定范圍內(nèi)，每部汽車(chē)的進(jìn)

價(jià)與銷(xiāo)售量有如下關(guān)系：若當(dāng)月僅售出1部汽車(chē)，則該部汽車(chē)的進(jìn)價(jià)為27萬(wàn)元,

每多售出1部，所有售出的汽車(chē)的進(jìn)價(jià)均降低0.1萬(wàn)元/部，月底廠家根據(jù)銷(xiāo)售

量一次性返利給銷(xiāo)售公司，銷(xiāo)售量在10部以?xún)?nèi)(含10部)，每部返利0.5萬(wàn)元;

銷(xiāo)售量在10部以上，每部返利1萬(wàn)元.

(1)若該公司當(dāng)月售出3部汽車(chē)，則每部汽車(chē)的進(jìn)價(jià)為_(kāi)______萬(wàn)元；

(2)如果汽車(chē)的售價(jià)為28萬(wàn)元/部，該公司計(jì)劃當(dāng)月盈利12萬(wàn)元，那么需要售

出多少部汽車(chē)？(盈利=銷(xiāo)售利潤(rùn)+返利)

答案：

1——5ABCBB

6.2或14

7.10025

8.20%

9.5%

10.3

11.???80義10=800元＜1200元，??.小麗買(mǎi)的服裝數(shù)大于10件.設(shè)她購(gòu)買(mǎi)了x

件這種服裝，根據(jù)題意，得x[80—2(x—10)]=l200.解得整=20,x2=30.VI

200-30=4(X50,??.X2=30不合題意，舍去.答：她購(gòu)買(mǎi)了20件這種服裝.

12.(1)設(shè)捐款增長(zhǎng)率為x,則10000?(l+x)2=12100,解得x[=0.1=10%,

X2=—2.1(不合題意，舍去)，，捐款增長(zhǎng)率為10%.

(2)12100X(1+10%)=13310(元)，???第四天該單位能收到13310元的捐款.

13.(1)設(shè)該地投入異地安置資金的年平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意，得1280(1

+x)2=l280+1600,解得士=0.5=50%,x?=—2.5(舍)，答：從2014年到

2016年，該地投入異地安置資金的年平均增長(zhǎng)率為50%.

(2)沒(méi)今年該地有a戶(hù)享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)，根據(jù)題意，得1000X8X400

+(a-1000)X5X400^5000000,解得all900,答：今年該地至少有1900

戶(hù)享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì).

14.(1)設(shè)學(xué)生紀(jì)念品的成本為x元，根據(jù)題意，得50x+10(x+8)=440.解得

x=6.?,?x+8=6+8=14,答：學(xué)生紀(jì)念品的成本為6元，教師紀(jì)念品的成本為

14元.

⑵第二周單價(jià)降低x元后，這周銷(xiāo)售的銷(xiāo)量為(400—100x)個(gè)，由題意得

400X(10-6)+(lO-x-6)(400+100x)+(4-6)[1200-400-(400+100x)1

=2500,整理，得x?—2x+l=0.解得Xi=X2=l.則10—1=9(元).答：第二

周每個(gè)紀(jì)念品的銷(xiāo)售價(jià)格為9元.

15.（1）26.8.

⑵設(shè)需要售出x部汽車(chē)，由題意可知，每部汽車(chē)的銷(xiāo)售利潤(rùn)為28—「27—O.l（x

—1）］=（0.lx+O.9）（萬(wàn)元）.當(dāng)0<x近10,根據(jù)題意得x?（0.lx+0.9）+0.5x

2

=12,整理得X+14X-120=0,解得Xi=-20（不合題意，舍去），x2=6；當(dāng)

x>10時(shí)，根據(jù)題意得x?（0.得+0.9）+x=12,整理得x?+19x—120=0,解得

xi=-24（不合題意，舍去），xz=5,因?yàn)?<10,所以X2=5舍去.綜上可知，

需要售出6部汽車(chē).

第二章一元二次方程

第I卷（選擇題共30分）

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（）

A.，+}=0B.加+以+。=0

C.（x-1）a+2）=lD.3/一2孫一5/=0

2.已知關(guān)于x的方程（4-向癡―34—2—ax—5=0是一元二次方程，則它

的一次項(xiàng)系數(shù)是（）

A.-1B.1C.4D.4或一1

3.用配方法解一元二次方程4—6x—10=0時(shí)，下列變形正確的是（）

A.（X+3）2=1B.（x—3）2=1

C.（X+3）2=19D.U-3）2=19

4.若2x+l與2x—l互為倒數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值為（）

A.土gB.±1C.D.土也

5,已知關(guān)于x的一元二次方程(a—l)V—2x+l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

則3的取值范圍是()

A.水2B.a>2

C.水2且aWlD.a<-2

91

6,若關(guān)于x的方程*+2為-3=0與.=——有一個(gè)解相同，則a的值為

x十3X-a

()

A.1B.1或一3C.11D.—1或3

7.某品牌服裝原價(jià)為173元，連續(xù)兩次降價(jià)麻后售價(jià)為127元，下面所列

方程中正確的是()

A.173(1+2%)2=127B.173(1-22%)=127

C.173(1—通)2=127D.127(1+非)=173

8.已知3是關(guān)于彳的方程V—5+Dx+2/=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這個(gè)方

程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根恰好是等腰三角形被的兩條邊的長(zhǎng)，則△板的周長(zhǎng)為()

A.7B.10C.11D.10或11

2a—1W1,

9.若a滿(mǎn)足不等式組”1—a則關(guān)于才的方程(a—2)/—(2a-1)jr+a

［亍)2,

+：=0的根的情況是()

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根D.以上三種情況都有可能

10.定義：如果一元二次方程a/+，x+c=0(a#0)滿(mǎn)足a+6+c=0,那么

我們稱(chēng)這個(gè)方程為“和諧”方程；如果一元二次方程a/+及+c=O（aWO）滿(mǎn)足

a-b+c=O,那么我們稱(chēng)這個(gè)方程為“美好”方程.若一個(gè)一元二次方程既是

“和諧”方程又是“美好”方程，則下列結(jié)論正確的是（）

A.方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.方程有一根等于0

C.方程兩根之和等于0D.方程兩根之積等于0

請(qǐng)將選擇題答案填入下表：

題號(hào)12345678910總分

答案

第n卷（非選擇題共9。分）

二、填空題（每小題3分，共18分）

11.在估算一元二次方程x?+12x—15=0的根時(shí)，小彬列表如下:

X11.11.21.3

x+12x-0.82.2

-2

150.5949

由此可估算方程X2+12X-15=0的一個(gè)根x的范圍是.

12.若（m'+n?）（1—m2—n2）+6=0,則d+日的值為.

13.某經(jīng)銷(xiāo)商銷(xiāo)售一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品的成本價(jià)為10元/千克，市場(chǎng)調(diào)查

發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷(xiāo)售量y（千克）與銷(xiāo)售價(jià)x（元/千克，且104x418）之間的

函數(shù)關(guān)系如圖1所示，該經(jīng)銷(xiāo)商想要每天獲得150元的銷(xiāo)售利潤(rùn)，銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定

為多少？列出關(guān)于x的方程是.（不需化簡(jiǎn)和解方程）

了（千克）

°\1018x（元/千克）

圖1

14.某種花卉每盆的盈利與每盆的株數(shù)有一定的關(guān)系.每盆植3株時(shí)，平

均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利減少0.5元.要使每盆的盈

利達(dá)到15元，每盆應(yīng)多植多少株？設(shè)每盆多植x株，則可以列出的方程是

15.已知x1,X2為方程X2+4X+2=0的兩實(shí)數(shù)根，則x「+14xz+5=.

16.對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)，有下列說(shuō)法：

①若a+c=O,則方程ax2+bx+c=0必有實(shí)數(shù)根；

②若b2+4ac<0,則方程ax2+bx+c=0一定有實(shí)數(shù)根；

③若a—b+c=O,則方程ax2+bx+c=0一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

④若方程ax?+bx+c=O有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則方程cx2+bx+a=0一定有兩個(gè)

實(shí)數(shù)根.