7.5.1三角形內(nèi)角和定理課件北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

7.5.1三角形內(nèi)角和定理1.會(huì)用平行線的性質(zhì)與平角的定義證明三角形內(nèi)角和等于180°．2.會(huì)運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算.重點(diǎn)難點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)通過(guò)撕紙實(shí)驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)，三角形的內(nèi)角和等于180°，與三角形的形狀、大小無(wú)關(guān).你還記得這個(gè)結(jié)論是怎么探索的嗎？(1)如圖，如果我們只把∠A

移到∠1的位置，你能說(shuō)明這個(gè)結(jié)論嗎？如果不移動(dòng)∠A，那么你還有什么辦法可以達(dá)到同樣的效果？新課引入(2)根據(jù)前面給出的基本事實(shí)和定理，你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)說(shuō)這個(gè)結(jié)論的證明思路嗎？你能用比較簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言寫(xiě)出這一探究過(guò)程嗎？與同伴交流.證明：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.已知：如圖，△ABC，求證：∠A+∠B+∠C=180°.分析：延長(zhǎng)BC

到D，過(guò)點(diǎn)

C

作射線CE∥BA，這樣就相當(dāng)于把∠A

移到了∠1的位置，把∠B

移到了∠2的位置.∠1∠2CD、CE

稱為輔助線，通常畫(huà)成虛線.新知學(xué)習(xí)證明：作BC

的延長(zhǎng)線CD，過(guò)點(diǎn)C

作射線CE∥BA.∵CE∥BA，∴∠B=∠ECD(兩直線平行，同位角相等)，

∠A=∠ACE

(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°

(平角等于180°)，∴∠A+∠B+∠ACB=180°

(等量代換).∠1∠2三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°.歸納總結(jié)你還能用其他方法證明三角形內(nèi)角和定理嗎？在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)，小明的想法是把三個(gè)角“湊”到A

處，他過(guò)點(diǎn)A

作直線PQ∥BC，如圖，他的想法可行嗎？如果可行，你能寫(xiě)出證明過(guò)程嗎？與同伴進(jìn)行交流.議一議已知：如圖，△ABC，求證：∠A+∠B+∠C=180°.證明：過(guò)點(diǎn)A

作PQ∥BC，∵PQ∥BC(已作)，∴∠PAB=∠B，∠QAC=∠C

(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°(平角等于180°)，∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代換).1.作輔助線為了證明的需要，在原來(lái)的圖形上添畫(huà)的線叫做輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫(huà)成虛線.2.思路總結(jié)為了證明三個(gè)角的和為180°，轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角或同旁內(nèi)角互補(bǔ)等，這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.歸納例1 如圖，在△ABC

中，∠B=38°，∠C=62°，AD

是△ABC

的角平分線，求∠ADB

的度數(shù).解：在△ABC

中，∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形內(nèi)角和定理).∵∠B=38°，∠C=62°(已知)，∴∠BAC=180°-38°-62°=80°(等式的性質(zhì)).∵AD

平分∠BAC(已知)，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40°(角平分線的定義).ABDC

在△ADB

中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形內(nèi)角和定理).∵∠B=38°(已知)，∠BAD=40°(已證)，∴∠ADB=180°-38°-40°=102°(等式的性質(zhì)).ABDC例2 如圖，△ABC

中，D

在BC

的延長(zhǎng)線上，過(guò)D

作DE⊥AB

于E，交AC

于F.已知∠A

=30°，∠FCD

=80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA

=90°．∵在△AEF

中，∠FEA

=90°，∠A

=30°，∴∠AFE

=180°

-∠FEA

-∠A

=60°.又∵∠CFD

=∠AFE，∴∠CFD

=60°.∴在△CDF

中，∠CFD=60°，∠FCD=80°，∠D=180°-∠CFD-∠FCD=40°.直角三角形的兩個(gè)銳角的和是多少度？證明你的結(jié)論。ACB解：直角三角形的兩個(gè)銳角的和是90度；證明如下：如圖，在Rt△ABC

中，∠C=90°，∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A+∠B=180°-90°=90°∴直角三角形的兩個(gè)銳角的和是90度.證明例3下圖是A，B，C三島的平面圖，C島在A

島的北偏東50°方向，B島在A

島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.從B島看A，C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A，B兩島的視角∠ACB呢？ACBDE北北50°80°40°分析：A，B，C

三島的連線構(gòu)成△ABC，所求的∠ACB

是△ABC

的一個(gè)內(nèi)角.如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB.解：∠CAB=∠BAD-∠CAD =80°-50°=30°.由AD//BE，得∠BAD+∠ABE=180°.所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°，∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°ACBDE北北50°80°40°答:從B

島看A，C兩島的視角∠ABC是60°，從C島看A，B兩島的視角∠ACB是90°.你還有其他解法嗎？ACBDE北北50°80°40°F添加輔助線分析：過(guò)點(diǎn)C

作CF//AD，則CF//BE，可得∠ACF=∠DAC=50°，∠BCF=∠CBE=40°，所以∠ACB=∠ACF+∠BCF=90°.∠CAB=∠DAB-∠DAC=30°，所以∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB=60°.解法二：同學(xué)們，自己動(dòng)手寫(xiě)出證明過(guò)程吧！三角形的內(nèi)角和定理證明內(nèi)容了解添加輔助線的方法三角形內(nèi)角和等于180°應(yīng)用∠1+∠2+∠3=180°方法一方法二

課堂小結(jié)2.直線l1∥l2，把一塊含45°角的直角三角尺如圖放置，∠1＝85°，則∠2＝________．40°1.在△ABC中，若一個(gè)內(nèi)角等于另外兩個(gè)內(nèi)角的差，則（）A．必有一個(gè)內(nèi)角等于30° B．必有一個(gè)內(nèi)角等于45° C．必有一個(gè)內(nèi)角等于60° D．必有一個(gè)內(nèi)角等于90°D

隨堂練習(xí)3.已知：如圖，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，點(diǎn)D，E分別在AB和AC上，且DE//BC.求證：∠ADE=50°.ABCDE證明：∵DE//BC（已知）∴∠AED=∠C=70°（兩直線平行，同位角相等）又∵∠A=60°（已知）∴∠ADE=180°-70°-60°=50°（三角形內(nèi)角和定理）

4.若三角形中三角之比為1:2:3，則三個(gè)角各為多少度？解：因?yàn)槿切蔚娜侵葹?:2:3，所以設(shè)最小的角為x，則剩下兩個(gè)角分別是2x，3x.由三角形內(nèi)角和為180°，得x+2x+3x=180°，6x=180°，x=30°.則其余兩個(gè)角分別為60°，90°.答：三個(gè)角分別是30°，60°，90°.5.已知：如圖，在△ABC

中，∠A=2∠C=2∠B，(1)求∠B

的度數(shù).CBA解：(1)∵∠A=2∠C=2∠B

，且∠A+∠B+∠C=180°，∴4∠B=180°，∴∠B=45°.6.已知：如圖，在△ABC

中，∠A=2∠C=2∠B，(2)若AD

是BC

邊上的高，求∠DAC

的度數(shù).CBAD解：(2)∵AD⊥BC，∴∠CDA=90°.又∵∠B=∠C=45°，∴∠DAC=180°-90°-45°=45°.7.

如圖是一個(gè)缺損的三角形紙片，小鹿測(cè)得∠A＝48°，∠B＝68°，則

這個(gè)三角形缺損的頂角∠C的度數(shù)為(

B

)A.60°B.64°C.74°

第7題圖BD.80°8.

在△ABC中，∠C＝45°，∠A＝2∠B，則△ABC是(

B

)A.

銳角三角形B.

直角三角形C.

鈍角三角形D.

無(wú)法確定B9.(一題多變)

9.1

改變已知角求角度如圖，點(diǎn)D，E分別在△ABC的邊AB，AC上，連接DE且DE∥BC，已知

∠A＝80°，∠B＝60°，則∠AED的度數(shù)為(

C

)A.20°B.30°C.40°D.60°第9.1題圖C9.2

將平行線改為一般線段求角度如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上.若∠1＋∠2＝128°，

∠C＝74°，則∠B的度數(shù)為(

D

)A.36°B.42°C.48°D.54°第9.2題圖D9.3

添加角平分線求角度如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC

于點(diǎn)E.

若∠A＝50°，∠B＝66°，則∠CDE的度數(shù)為(

C

)第9.3題圖A.16°B.24°C.32°D.40°C10.(教材P180第4題改編)如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分

∠ABC，且∠1＝∠2，則∠ADB的度數(shù)為

?.第10題圖90°11.吊橋在古代是城門(mén)的第一防線.如圖為一城門(mén)外的吊橋及其側(cè)面簡(jiǎn)化示意圖.已知吊橋的繩索AC與繩索AE之間的夾角為168°，ED，AB均與地面垂直，AD，BC均與地面平行.若∠AED＝68°，則∠C的度數(shù)為

?.第11題圖34°12.如圖是說(shuō)明三角形內(nèi)角和為180°的一種方法，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)F，請(qǐng)利用此圖，求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°.第12題圖證明：∵DE∥AC(已知)，∴∠A＝∠BED，∠C＝∠BDE(兩直線平行，同位角相等)，∵DF∥AB(已知)，∴∠EDF＝∠BED(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，∠B＝∠CDF(兩直線平

行，同位角相等)，∴∠A＝∠EDF(等量代換).∵∠EDF＋∠CDF＋∠BDE＝180°(平角的定義)，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°(等量代換).第12題圖13.

如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，已知OC＝OD，∠B＝27°，∠C＝44°，

則∠A的度數(shù)為(

A

)A.61°B.68°C.75°D.81°第13題圖A14.含30°角的直角三角板DEF與△ABC如圖放置，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)B，C分別在△DEF的DE，DF邊上，若∠ABD＋∠ACD＝n°，則∠A的度數(shù)為(

B

)A.90°＋n°B.90°－n°C.45°＋n°D.180°－n°第14題圖B15.李阿姨準(zhǔn)備在文化活動(dòng)室墻外安裝如圖①的遮陽(yáng)篷，便于社區(qū)居民休憩.在圖②的側(cè)面示意圖中，若某時(shí)刻光線AD射入篷內(nèi)，光線AD與篷AB的夾角∠BAD是61°，與地面DE的夾角是45°，則篷AB與墻面BC的夾角∠B為

?.圖①

圖②第15題圖74°16.

如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E是AC邊上一點(diǎn)，連接DE，將△CDE沿DE折疊，使點(diǎn)C落在AC邊上的點(diǎn)F處.若∠ADF＝20°，∠BAC＝75°，則∠B的度數(shù)為

?.第16題圖50°17.

如圖①，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AE是∠BAC的平分線.第17題圖(1)若∠B＝40°，∠C＝60°，則∠DAE的度數(shù)為

?；

【答案】10°第17題圖(2)若∠B＝30°，∠BAC＝90°，則∠DAE的度數(shù)為

?；

15°第17題圖(3)若∠C－∠B＝α，求∠DAE的度數(shù)(∠C＞∠B，用含α的代數(shù)式表示)；第17題圖

(4)如圖②，若∠B＝α，∠ACB＝β(β＞90°)，則∠DAE與α和β之間有怎

樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.第17題圖

∵AD⊥BC(已知)，∴∠D＝90°(垂直的定義)，在△ABD中，∠D＋∠B＋∠BAD＝180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠BAD＝180°－∠D－∠B＝90°－α(等式的性質(zhì))，

第17題圖18.

在三角形中，若存在一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)的n倍，那么稱這個(gè)三角形為n倍角三角形.已知在△ABC中，∠C＝90°，且