力學(xué)研討課 喲喲球

淺析溜溜球的力學(xué)(lìxué)原理2015級(jí)基地(jīdì)班李雪妮201511140139共十五頁(yè)溜溜球：不僅僅是一項(xiàng)游戲，也是世界上花式最多最難、最具觀賞性的手上技巧運(yùn)動(dòng)之一。有人說(shuō)悠悠是益智玩具，但在我眼中悠悠球決不是益智玩具所能比的。悠悠（YOYO），一個(gè)大家并不陌生的字眼，但往往被理解為幼稚的小孩玩具，事實(shí)上，悠悠球被稱為(chēnɡwéi)“世界上第二大古老的玩具”。（最古老的玩具是洋娃娃）。但經(jīng)過(guò)許多年的不斷創(chuàng)新與發(fā)展，悠悠球正在成為一項(xiàng)風(fēng)靡全球的手上技巧運(yùn)動(dòng)。因?yàn)槊總€(gè)球手的風(fēng)格和自創(chuàng)花式都不盡相同，所以悠悠球的技術(shù)花式種類非常繁多，可以說(shuō)是一個(gè)技術(shù)的海洋。目前主流的五個(gè)花式組別，每個(gè)組別的花式種類都數(shù)以千計(jì)，而且每年仍然會(huì)有非常多的新花式被研究出來(lái)。

共十五頁(yè)表面看來(lái)，YO-YO球只是個(gè)極為簡(jiǎn)單的玩具：無(wú)非就是一段繩子連著一個(gè)線軸。但一到行家手里，它就變得異常奇妙。熟練的YO-YO球玩家能讓YO-YO球向各個(gè)方向飛出，懸停在半空中，然后迅速收回掌內(nèi)。這些東西就仿佛有了生命！這看起來(lái)像在變戲法，其實(shí)只是利用了物理原理。無(wú)論是傳統(tǒng)溜溜球，還是近年出現(xiàn)(chūxiàn)的精密自動(dòng)YO-YO球，都清晰展現(xiàn)出基本的科學(xué)原理。共十五頁(yè)1.YOYO球的構(gòu)造與運(yùn)動(dòng)過(guò)程(guòchéng)中的能量轉(zhuǎn)化：

構(gòu)造：一對(duì)薄片圓盤,直徑一般為54-75mm,厚為10mm,塑料或金屬制成;中間為一段圓柱狀空芯薄壁中軸,直徑一般為2mm,長(zhǎng)約為20mm。圓盤通過(guò)螺帽和螺絲固定在中軸兩側(cè),然后在軸上套上細(xì)長(zhǎng)繩,并在細(xì)繩的另一端打上一個(gè)圓環(huán)。

能量轉(zhuǎn)化：

YOYO球在玩家手中的勢(shì)能分為兩部分：YO-YO球被持在空中，因此具有落向地面的勢(shì)能。繩子環(huán)繞著YO-YO球，因此放線時(shí)有旋轉(zhuǎn)的勢(shì)能。玩家投放YO-YO球時(shí)，上述兩種形式的勢(shì)能都轉(zhuǎn)化成動(dòng)能。YO-YO球的線軸垂直落向地面，形成一定的線速度，同時(shí)繩子展開(kāi)、線軸旋轉(zhuǎn)，具有角速度。

當(dāng)YO-YO球到達(dá)繩子底端時(shí)，不再繼續(xù)下降。但由于它還有很多角動(dòng)量，因此會(huì)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)。共十五頁(yè)2.旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)讓YO-YO球獲得陀螺穩(wěn)定性：物體旋轉(zhuǎn)時(shí)外力會(huì)隨物體本身一起移動(dòng)(yídòng)，因此物體能抵抗對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的改變。例如，如果在轉(zhuǎn)輪頂端的某點(diǎn)推一下，當(dāng)這個(gè)點(diǎn)移到轉(zhuǎn)輪前端時(shí)，施加的力依然存在。受力點(diǎn)繼續(xù)移動(dòng)(yídòng)，并最終對(duì)轉(zhuǎn)輪的底端施力，從而與最初施加在頂端的力自行抵消。因此，只要YO-YO球的旋轉(zhuǎn)速度夠快，就能使其轉(zhuǎn)軸與繩子保持垂直。3.建立理想模型進(jìn)行研究：中軸為一空芯薄壁圓柱(yuánzhù),半徑為r,質(zhì)量為m1,中軸兩側(cè)為一對(duì)薄片圓盤,半徑為R,每個(gè)圓盤的質(zhì)量為m2。設(shè)溜溜球的整體質(zhì)量為m,則有m=m1+2m2---(1)

共十五頁(yè)假設(shè)理想的實(shí)驗(yàn)條件：①假設(shè)溜溜球下落的初速度為Vco=0,轉(zhuǎn)動(dòng)初始角速度ω0=0;②假設(shè)細(xì)繩是完全彈性(不考慮球體轉(zhuǎn)向時(shí)平動(dòng)動(dòng)能的損失);③暫不考慮空氣的阻尼(zǔní)和細(xì)繩的摩擦阻力;④忽略細(xì)繩的質(zhì)量。

求出溜溜球?qū)νㄟ^(guò)其質(zhì)心C的轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I為：I=m1r2+2（m2R2/2）=m1r2+m2R2---(2)

共十五頁(yè)

YO-YO球的運(yùn)動(dòng)可看成整個(gè)球體隨質(zhì)心C在垂直方向上的平動(dòng)和繞通過(guò)質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸Z的轉(zhuǎn)動(dòng)的迭加

：假設(shè)YO-YO球在“上爬下走”過(guò)程中,細(xì)繩的張力為T,重力加速度為g,質(zhì)心加速度為ac,轉(zhuǎn)體所受合外力矩為Mc,角加速度為β.

由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得：mac=mg-T---(3)對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得：Mc=Jβ=Tr---(4)因?yàn)閅O-YO球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中僅有轉(zhuǎn)動(dòng),所以其質(zhì)心加速度ac與中軸和細(xì)繩切點(diǎn)處的切向加速度at相等(xiāngděng),即ac=at.又由于at=rB,故有ac=rβ---(5)聯(lián)立(4)(5)消去β,得Mc=Iac/r^2=T即acI/r2=T---(6)把(6)代入(3),整理(zhěnglǐ)得ac=g/（1+（I/mr2））---(7)把(7)代入(5),得β=g/（r+（I/mr））---(8)共十五頁(yè)設(shè)H為YO-YO球單程運(yùn)動(dòng)的高度

根據(jù)S=(1/2)at2可計(jì)算出YO-YO球單程運(yùn)動(dòng)所需要的時(shí)間t為：t=√（2H/ac）=√（2H/g）·√（1+（I/mr2））---

(9)根據(jù)v2-v02=2as可計(jì)算出質(zhì)心C下落(xiàluò)的速度vc為：vc=√2acH=√（2gh/（1+（I/mr2）））---

(10)式中h為YO-YO球下落的高度。因?yàn)閅O-YO球作純滾動(dòng)，所以vc=vt=rω,式中vt為中軸與細(xì)繩切點(diǎn)處的切向速度,ω為溜溜球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。故有：ω=vc/r=√（2gh/（r2+（I/m）））---(11)YO-YO球下落過(guò)程中作平面運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能為：T=(1/2)mvc2=(1/2)Jω2---(12)把(10)(11)代入(12)得：T=(mgh/（1+（I/mr2）））+（Igh/（r2+（I/m）））=mgh---(13)共十五頁(yè)同理，計(jì)算YO-YO球上爬過(guò)程中的Vc、ω、mvc2/2、Iω2/2、W動(dòng)、W勢(shì),也可由此得到(13)式。(7)(8)(9)(10)(11)說(shuō)明,YO-YO球的垂直加速度ac,速度Vc,運(yùn)動(dòng)時(shí)間t和轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度β,角速度ω僅僅取決于它的質(zhì)量m,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I和中心軸半徑r?？梢?jiàn),換用不同材料(改變m),不同中軸(改變r(jià))和不同形狀(改變I)就可制作出不同類型的YO-YO球。從(7)式可知,對(duì)于某一確定(quèdìng)的YO-YO球來(lái)說(shuō),m,r,I都是確定不變的,即ac=g/（1+（I/mr2））的大小是確定不變的。因此,YO-YO球的平動(dòng)是勻變速垂直運(yùn)動(dòng)。同理,由(8)式可知,YO-YO球的轉(zhuǎn)動(dòng)是勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。(13)式說(shuō)明,YO-YO球在“上爬下走”運(yùn)動(dòng)過(guò)程中總機(jī)械能是守恒的。共十五頁(yè)4.實(shí)際情況：當(dāng)YO-YO球自由釋放后,立即開(kāi)始(kāishǐ)逆纏繞方向豎直下落,下落的速度越來(lái)越快,轉(zhuǎn)動(dòng)的速度也越來(lái)越快。當(dāng)細(xì)繩全部展開(kāi)后,下落速度和轉(zhuǎn)動(dòng)速度達(dá)到最大值,這時(shí)原來(lái)的重力勢(shì)能完全轉(zhuǎn)化。由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的作用,球體繼續(xù)旋轉(zhuǎn),但此時(shí)細(xì)繩已經(jīng)全部展開(kāi),YO-YO球已不可能再往下走,只能按照原來(lái)的旋轉(zhuǎn)方向垂直上爬,這一過(guò)程叫做為“轉(zhuǎn)向”

。在轉(zhuǎn)向過(guò)程中,轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能沒(méi)有損失,但由于細(xì)繩不是完全彈性體,所以平動(dòng)動(dòng)能有損失。因此,總機(jī)械能減少了,YO-YO球不能爬上下落前的高度。在轉(zhuǎn)向中,有一部分轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)換成了平動(dòng)動(dòng)能,以補(bǔ)充一部分損失的平動(dòng)動(dòng)能,使球體獲得適當(dāng)?shù)纳吓来怪彼俣?。共十五?yè)上爬,是把轉(zhuǎn)向時(shí)的平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能逐漸轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能的過(guò)程,隨著高度的增加(zēngjiā),上爬的垂直速度和轉(zhuǎn)動(dòng)速度均越來(lái)越小。當(dāng)兩個(gè)速度為零時(shí)球體不再上爬。如果要使YO-YO球爬上下落時(shí)的高度,就必須在轉(zhuǎn)向過(guò)程中,使YO-YO球損失的平動(dòng)動(dòng)能得到足夠的補(bǔ)充，以獲取要爬上下落時(shí)的高度所需要的垂直初速度。這就是我們玩YO-YO球時(shí),在細(xì)繩全部展開(kāi)后就必須迅速上提溜溜球的原因。

在此必須指出,以上分析并沒(méi)有考慮空氣的阻尼和細(xì)繩的摩擦阻力,二者對(duì)YO-YO球的影響是不可忽略的。它們的作用也相應(yīng)的消耗了一部分機(jī)械能。

共十五頁(yè)參考文獻(xiàn)：１.哈工大理論力學(xué)教研室編《理論力學(xué)１》高等教育出版社;２.同濟(jì)大學(xué)(tónɡjìdàxué)論文何