1.4.1第1課時(shí)用空間向量研究直線平面的平行關(guān)系課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)第一章空間向量與立體幾何1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系第1課時(shí)用空間向量研究直線、平面的平行關(guān)系自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、空間中點(diǎn)、直線的向量表示2.若點(diǎn)A(-1,0,1),B(1,4,7)在直線l上,則直線l的一個(gè)方向向量為(

)A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1)答案:A二、空間中平面的向量表示(2)平面的法向量:如圖,直線l⊥α,取直線l的方向向量a,我們稱向量a為平面α的法向量.給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a,那么過(guò)點(diǎn)A,且以向量a為法向量的平面完全確定,可以表示為集合{P|a·=0}.2.已知平面α內(nèi)一點(diǎn)A(2,-1,2),α的一個(gè)法向量為n=(3,1,2),則下列點(diǎn)在平面α內(nèi)的是(

)答案:B三、空間中直線、平面的平行1.空間中直線、平面的平行

2.(1)已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y),a與b分別是直線l1,l2的方向向量,若l1∥l2,則(

)(2)已知直線l的方向向量為v=(1,-1,2),平面α的法向量為n=(2,4,1),且l?α,則l與α的位置關(guān)系是

.

解析:(1)∵l1∥l2,∴a∥b.∴存在λ∈R,使得a=λb,則有2=3λ,4=λx,5=λy,(2)∵v·n=2-4+2=0,∴v⊥n.又l?α,∴l(xiāng)∥α.答案:(1)D

(2)l∥α合作探究釋疑解惑探究一求平面的法向量【例1】

已知四邊形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.求:(1)平面ABCD的一個(gè)法向量;(2)平面SAB的一個(gè)法向量;(3)平面SCD的一個(gè)法向量.分析:先建系,求平面法向量的兩種思路:一是找平面的垂線;二是待定系數(shù)法設(shè)出法向量,利用法向量與平面內(nèi)的兩條不共線的向量垂直,計(jì)算出平面的一個(gè)法向量.解:由題意知AD,AB,AS兩兩垂直.以A為原點(diǎn),AD,AB,AS所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,(2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,且AB∩SA=A,∴AD⊥平面SAB,反思感悟

1.若一個(gè)幾何體中存在線面垂直關(guān)系,則平面的垂線的方向向量即為平面的法向量.2.一般情況下,使用待定系數(shù)法求平面的法向量,步驟如下(1)設(shè)出平面的法向量為n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(4)解方程組,取其中的一個(gè)解,即得法向量.3.在利用上述步驟求解平面的法向量時(shí),方程組

有無(wú)數(shù)多個(gè)解,只需給x,y,z中的一個(gè)變量賦予一個(gè)值,即可確定平面的一個(gè)法向量;賦的值不同,所求平面的法向量就不同,但它們是共線向量.【變式訓(xùn)練1】

在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱A1D1,A1B1的中點(diǎn),在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中,求:(1)平面BDD1B1的一個(gè)法向量;(2)平面BDEF的一個(gè)法向量.解:已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,則D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2).(1)連接AC(圖略),因?yàn)锳C⊥平面BDD1B1,取x=2,則y=-2,z=-1.所以,n=(2,-2,-1)為平面BDEF的一個(gè)法向量.探究二利用空間向量證明線線平行【例2】

如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為DD1和BB1的中點(diǎn).求證:四邊形AEC1F是平行四邊形.分析:轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量平行.又F?AE,F?EC1,∴AE∥FC1,EC1∥AF.∴四邊形AEC1F是平行四邊形.反思感悟

1.兩直線平行?兩直線的方向向量共線;2.兩直線的方向向量共線?兩直線平行或重合,所以由兩直線的方向向量共線證明兩直線平行時(shí),必須指出兩直線不重合.【變式訓(xùn)練2】

在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是面對(duì)角線B1D1,A1B上的點(diǎn),且D1E=2EB1,BF=2FA1.求證:EF∥AC1.

證明:以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)DA=a,DC=b,DD1=c,探究三利用空間向量證明線面、面面平行【例3】

已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,E,F分別是BB1,DD1的中點(diǎn),求證:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.分析:(1)設(shè)向量n1為平面ADE的法向量,要讓FC1∥平面ADE,需證明

⊥n1.(2)設(shè)向量n2為平面B1C1F的法向量,要讓平面ADE∥平面B1C1F,需證明n1∥n2.證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),(2)設(shè)n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的法向量,取y2=-1,則z2=2.所以,n2=(0,-1,2)是平面B1C1F的一個(gè)法向量.因?yàn)閚1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.反思感悟

1.利用空間向量證明線面平行一般有三種方法方法一:證明直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量共面,即可用平面內(nèi)的一組基底表示.方法二:證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線,轉(zhuǎn)化為線線平行,利用線面平行判定定理得證.方法三:先求直線的方向向量,然后求平面的法向量,再證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.2.利用空間向量證明面面平行,求出兩平面的