8.1.3向量數(shù)量積的坐標運算課件高一數(shù)學(xué)人教B版

第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換向量數(shù)量積的坐標運算人教B版

數(shù)學(xué)

必修第三冊課程標準1.掌握向量數(shù)量積的坐標表示,會進行向量數(shù)量積的坐標運算.2.能利用向量數(shù)量積的坐標運算解決有關(guān)長度、角度、垂直等相關(guān)問題.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標檢測基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點向量數(shù)量積的坐標表示1.由向量坐標的定義可知,存在單位正交基底{e1,e2},使得a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2,因此a·b=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2)=x1x2e1·e1+x1y2e1·e2+y1x2e2·e1+y1y2e2·e2=x1x2+y1y2,從而a·b=

.

x1x2+y1y24.a⊥b的充要條件是a·b=0,因此a⊥b?

.x1x2+y1y2=0名師點睛1.公式a·b=|a||b|cos<a,b>與a·b=x1x2+y1y2都是求兩向量的數(shù)量積,沒有本質(zhì)區(qū)別,只是書寫形式上的差異,兩者可以相互推導(dǎo).若題目中給出的是兩向量的模與夾角,則可直接利用公式a·b=|a||b|cos<a,b>求解;若已知兩向量的坐標,則可選用公式a·b=x1x2+y1y2求解.過關(guān)自診

A2.(多選題)已知向量a=(1,3),b=(1,-2),c=(-2,4),則下列結(jié)論正確的是(

)A.b∥c

B.|a+c|=50C.(a+b)⊥bAC

重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一向量數(shù)量積的坐標運算【例1】

已知向量a=(3,-1),b=(1,-2).(1)求(a+b)2;(2)求(a+b)·(a-b).分析利用u·v=x1x2+y1y2(其中u=(x1,y1),v=(x2,y2))等基本公式計算.解

(1)∵a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),∴(a+b)2=|a+b|2=42+(-3)2=25.(2)(方法一)∵a=(3,-1),b=(1,-2),∴a2=32+(-1)2=10,b2=12+(-2)2=5,∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=10-5=5.(方法二)∵a=(3,-1),b=(1,-2),∴a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),a-b=(3,-1)-(1,-2)=(2,1),∴(a+b)·(a-b)=(4,-3)·(2,1)=4×2+(-3)×1=5.變式探究本例中,若存在向量c滿足a·c=-1,b·c=3,試求c.規(guī)律方法

向量數(shù)量積運算的途徑及注意點(1)進行向量數(shù)量積的運算,前提是牢記有關(guān)的運算法則和運算性質(zhì),解題時通常有兩條途徑:一是先將各向量坐標表示,直接進行數(shù)量積運算;二是先利用數(shù)量積的運算律將原式展開,再依據(jù)已知條件計算.(2)對于以圖形為背景的向量數(shù)量積運算的題目,只需把握圖形的特征建立平面直角坐標系,并寫出相應(yīng)點的坐標即可求解.變式訓(xùn)練1[人教A版教材習題]已知a=(2,3),b=(-2,4),c=(-1,-2).求a·b,(a+b)·(a-b),a·(b+c),(a+b)2.解

因為a+b=(0,7),a-b=(4,-1),b+c=(-3,2),所以a·b=-4+12=8,(a+b)·(a-b)=0×4+7×(-1)=-7,a·(b+c)=-3×2+3×2=0,(a+b)2=02+72=49.探究點二利用向量數(shù)量積解決長度和垂直、夾角問題【例2】

(1)[2023四川資陽模擬]已知向量a=(1,2),b=(-2,3),若a⊥(ka+b),則k=(

)B解析

因為向量a=(1,2),b=(-2,3),所以ka+b=k(1,2)+(-2,3)=(k-2,2k+3),因為a⊥(ka+b),所以a·(ka+b)=k-2+2(2k+3)=5k+4=0,解得k=.故選B.(2)[北師大版教材習題]已知a=(3,0),b=(k,5),且a與b的夾角是135°,求k的值.當k=5時,不合題意,舍去.所以k=-5.(3)[人教A版教材例題]若點A(1,2),B(2,3),C(-2,5),則△ABC是什么形狀?證明你的猜想.解如圖,在平面直角坐標系中畫出點A,B,C,我們發(fā)現(xiàn)△ABC是直角三角形.證明如下.規(guī)律方法

利用向量數(shù)量積的坐標表示求向量夾角的步驟(1)求向量的數(shù)量積.(2)求模.利用|a|=計算兩向量的模.(3)求夾角θ的余弦值cos

θ.(4)求角.由向量夾角的范圍及cos

θ求θ的值.【例3】

(1)[2023江西南昌三模]平面向量a=(-2,k),b=(2,4),若a⊥b,則|a-b|=(

)D解析

已知平面向量a=(-2,k),b=(2,4),∵a⊥b,∴-2×2+4k=0,∴k=1,∴a-b=(-4,-3),(2)[北師大版教材例題]已知向量a=(2cosθ,sinθ),求|a|的最大值和最小值.又0≤cos2θ≤1,故|a|的最大值為2,最小值為1.變式訓(xùn)練2已知a=(x,1),b=(4,-2).(1)當a⊥b時,求|2a-b|;(2)若a和b的夾角為鈍角,求x的取值范圍.探究點三利用向量數(shù)量積的坐標運算求解幾何問題【例4】

已知在正方形ABCD中,E,F分別是CD,AD的中點,BE,CF交于點P.求證:BE⊥CF.證明以A為坐標原點,AB,AD所在直線分別為x軸、y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系.設(shè)AB=2,則B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).規(guī)律方法

向量法證明平面幾何中BE⊥CF的方法方便建立平面直角坐標系時,建立坐標系,把向量計算證明問題轉(zhuǎn)化為向量的坐標運算,可以起到事半功倍的效果,本題先求

的坐標,再計算

的值為0,從而得到幾何結(jié)論BE⊥CF.變式訓(xùn)練3

在△ABC中,BC邊上的中線AD的長為2,P是△ABC所在平面上的任意一點,則

的最小值為(

)A.1 B.2 C.-2 D.-1C成果驗收·課堂達標檢測A級必備知識基礎(chǔ)練1234567891011121314151617181920212223241.[探究點一·2023遼寧丹東模擬]已知向量a=(2,1),b=(3,2),則a·(a-b)=(

)A.-5 B.-3 C.3 D.5B解析

∵a=(2,1),b=(3,2),∴a-b=(-1,-1),則a·(a-b)=2×(-1)+1×(-1)=-3.故選B.123456789101112131415161718192021222324A1234567891011121314151617181920212223243.[探究點二]已知向量a=(1,2),b=(-1,1),若(λa+b)⊥b,則λ的值為(

)A.-2 B.-1 C.1 D.2A解析

∵a=(1,2),b=(-1,1),(λa+b)⊥b,∴(λa+b)·b=0,即[λ(1,2)+(-1,1)]·(-1,1)=0,得(λ-1,2λ+1)·(-1,1)=0,整理得1-λ+2λ+1=0,λ=-2.故選A.1234567891011121314151617181920212223244.[探究點三]在等腰直角三角形ABC的斜邊AC上有一點D.已知

A1234567891011121314151617181920212223245.[探究點二]已知向量a=(1,0),b=(x,1),若a·b=2,則x=

;|a+b|=

.

2解析

∵a·b=2,∴x=2.∵a+b=(3,1),∴|a+b|=.1234567891011121314151617181920212223246.[探究點二]已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b與a-2b垂直,則實數(shù)λ的值為

.

解析

由題得λa+b=λ(-3,2)+(-1,0)=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2),則(λa+b)·(a-2b)=3λ+1+4λ=7λ+1=0,∴λ=.1234567891011121314151617181920212223247.[探究點二·2023四川模擬]已知向量a=(x+1,),b=(1,0),a·b=-2,則向量a+b與b的夾角為

.

1234567891011121314151617181920212223248.[探究點一]已知向量a,b同向,b=(1,2),a·b=20.(1)求向量a的坐標;(2)若c=(2,1),求(b·c)a.解

(1)因為向量a,b同向,又b=(1,2),所以設(shè)a=λb=λ(1,2)=(λ,2λ),λ>0.由a·b=20,得1×λ+2×2λ=20,所以λ=4,所以a=(4,8).(2)因為b·c=(1,2)·(2,1)=1×2+2×1=4,所以(b·c)a=4(4,8)=(16,32).1234567891011121314151617181920212223249.[探究點二·2023河南期中]已知向量a=(-1,2),b=(3,-1).(1)求a+2b的坐標與|a-b|;(2)求向量a與a-b的夾角的余弦值.解

(1)a=(-1,2),b=(3,-1),則a+2b=(5,0),a-b=(-4,3),123456789101112131415161718192021222324B級關(guān)鍵能力提升練10.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),則△ABC的形狀是(

)A.直角三角形

B.銳角三角形C.鈍角三角形

D.等邊三角形A123456789101112131415161718192021222324P的坐標是(

)A.(-3,0) B.(2,0)C.(3,0) D.(4,0)C12345678910111213141516171819202122232412.[2023黑龍江龍鳳校級模擬]已知非零向量a,b滿足|a+2b|=|2a+b|=|a|,則a,b的夾角θ的值為(

)A.45°

B.60° C.90°

D.120°B12345678910111213141516171819202122232413.[2023上海奉賢校級期中]已知平面向量a,b,c,對任意實數(shù)x,y都有|a-xb|≥|a-b|,|a-yc|≥|a-c|成立.若|a|=2,則b·(c-a)的最大值是

.

12345678910111213141516171819202122232414.[2023陜西鄠邑期中]已知向量a=(-4,2),b=(2,t),則下列說法正確的是(

)A.當a⊥b時,t=4B.當a∥b時,t=-1C.當a與b的夾角為銳角時,t的取值范圍為(4,+∞)D.當a+2b=0時,t=1ABC12345678910111213141516171819202122232415.(多選題)[2023廣東梅州二模]已知向量a=(2,1),b=(cosθ,sinθ),c=(0,1),則下列說法正確的是(

)A.當且僅當tanθ=時,a∥bB.a在c上的投影的數(shù)量為1C.存在θ,使得b=a-cD.存在θ,使得|a+b|=|a-b|ABD12345678910111213141516171819202122232416.[2023北京西城校級期中]已知點P(cosθ,sinθ),點A(-2,0),O為原點,則

的最小值為

.

212345678910111213141516171819202122232417.[2023河南月考]已知向量a=(-4,2),b=(1,-4).(1)若(a-3b)⊥(λa+b),求λ的值;(2)若c=(3μ-2,-μ),向量a+b與c的夾角為銳角,求μ的取值范圍.解

(1)若(a-3b)⊥(λa+b),則(a-3b)·(λa+b)=0,∴λa2+(1-3λ)a·b-3b2=0,∵a=(-4,2),b=(1,-4),∴a2=20,b2=17,a·b=-4-8=-12,∴20λ-12(1-3λ)-3×17=0,解得λ=.123456789101112131415161718192021222324(2)向量a+b與c的夾角為銳角,則(a+b)·c>0,∵a=(-4,2),b=(1,-4),∴a+b=(-3,-2),123456789101112131415161718192021222324123456789101112131415161718192021222324123456789101112131415161718192021222324C級學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練19.已知向量a=(1,-1),b=(3,2),則sin<a,b>=(

)C解析

∵向量a=(1,-1),b=(3,2),1234567891011121314151617