3.3二項式定理與楊輝三角（第2課時二項式系數(shù)的性質(zhì)與楊輝三角）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性

第三章排列、組合與二項式定理3.1.3二項式定理與楊輝三角第二課時二項式系數(shù)的性質(zhì)與楊輝三角人教B版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊課程標準1.掌握二項式系數(shù)的有關(guān)性質(zhì),并應(yīng)用性質(zhì)解決簡單問題.2.會應(yīng)用楊輝三角求二項式次數(shù)不大時各項的二項式系數(shù).基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點

楊輝三角與二項式系數(shù)的性質(zhì)因為(a+b)0=1,所以可以把n=0對應(yīng)的二項式系數(shù)看成1.把n=0,1,2,3,4,5,6對應(yīng)的二項式系數(shù)逐個寫出,并排成如下數(shù)表形式:上面的二項式系數(shù)表稱為“楊輝三角”或“賈憲三角”,在歐洲稱為“帕斯卡三角”.楊輝三角至少具有下面的性質(zhì):(1)每一行都是對稱的,且兩端的數(shù)都是1.(2)從第三行起,不在兩端的任意一個數(shù),都等于上一行中與這個數(shù)相鄰的兩數(shù)之和.事實上,設(shè)表中任一不為1的數(shù)為,那么它上一行中與這個數(shù)(3)對于給定的n來說,其二項式系數(shù)滿足中間大、兩邊小的特點.利用二項式系數(shù)的對稱性可知,二項式系數(shù)

是先逐漸變大,再逐漸變小的,當(dāng)n是偶數(shù)時,中間一項的二項式系數(shù)最大,當(dāng)n是奇數(shù)時,中間兩項的二項式系數(shù)相等且最大.由二項式定理,對?x∈R都成立,該方法通常稱為“賦值法”(4)二項展開式的二項式系數(shù)的和等于2n.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的打√,錯誤的打×)(1)二項展開式中系數(shù)最大項是中間一項(共奇數(shù)項)或中間兩項(共偶數(shù)項).(

)(2)二項展開式項的系數(shù)是先增后減的.(

)(3)楊輝三角中每行兩端的數(shù)都是1.(

)×二項展開式中項的系數(shù)與二項式系數(shù)是不同的,二項式系數(shù)最大項是中間一項(共奇數(shù)項)或中間兩項(共偶數(shù)項),但是項的系數(shù)的最大值與項其他數(shù)字因數(shù)的大小有關(guān).×二項式系數(shù)是隨n的增加先增后減的,項的系數(shù)與a,b的系數(shù)有關(guān).√根據(jù)楊輝三角的特點可知.2.

的展開式中第8項是常數(shù),則展開式中系數(shù)最大的項是(

)A.第8項

B.第9項C.第8項和第9項

D.第11項和第12項D3.(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,則a8=

.

180

4.(2x-1)6展開式中各項系數(shù)的和為

;各項的二項式系數(shù)和為

.

1

64解析

令展開式左、右兩邊x=1,得各項系數(shù)和為1;各二項式系數(shù)之和為26=64.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一“楊輝三角”的應(yīng)用【例1】

(1)如圖是著名的楊輝三角,則圖中所有各數(shù)的和是(

)A.225 B.256

C.127 D.128C(2)楊輝是我國南宋的一位杰出的數(shù)學(xué)家.在他著的《詳解九章算術(shù)》一書中,畫了一張表示二項式展開后的二項式系數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)陣,如圖所示.現(xiàn)在稱為“楊輝三角”,它是楊輝的一大重要研究成果.在這個數(shù)陣中從上往下數(shù)第100行,從左往右數(shù)第3列的那個數(shù)是(

)A.5050 B.4851 C.4950 D.5000B規(guī)律方法

解決與楊輝三角有關(guān)的問題的一般思路(1)觀察:對題目進行多角度觀察,找出每一行的數(shù)與數(shù)之間,行與行之間的數(shù)的規(guī)律.(2)表達:將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數(shù)學(xué)式子表達.(3)結(jié)論:由數(shù)學(xué)表達式得出結(jié)論.變式訓(xùn)練1如圖,在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角中,第

行中從左到右第14與第15個數(shù)的比為2∶3.

34探究點二求展開式的系數(shù)和【例2】

設(shè)(1-2x)2020=a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020(x∈R).(1)求a0+a1+a2+…+a2020的值;(2)求a1+a3+a5+…+a2019的值;(3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2020|的值.解

(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a2

020=(-1)2

020=1.①(2)令x=-1,得a0-a1+a2-…-a2

019+a2

020=32

020.②①-②,得2(a1+a3+…+a2

019)=1-32

020,∴a1+a3+a5+…+a2

019=∴a2k-1<0(k∈N+),a2k>0(k∈N).∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2

019|+|a2

020|=a0-a1+a2-a3+…-a2

019+a2

020=32

020.變式探究

本例中設(shè)(1-2x)2020=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a2020(1+x)2020,x∈R,則a0+a1+a2+…+a2020=

.

1解析

設(shè)1+x=t,則x=t-1,1-2x=3-2t.原式即為(3-2t)2

020=a0+a1t+a2t2+…+a2

020t2

020.令t=1,得a0+a1+a2+…+a2

020=12

020=1.規(guī)律方法

1.解決二項式系數(shù)和問題的思維流程.2.對形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和,常用賦值法,只需令x=1;對(ax+by)n(a,b∈R,n∈N+)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和,只需令x=y=1.3.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1),A.-2 B.-1 C.0 D.2B探究點三求展開式中系數(shù)或二項式系數(shù)的最大項【例3】

已知

展開式中各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大992.(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項;(2)求展開式中系數(shù)最大的項.解

(1)令x=1,則二項展開式中各項系數(shù)的和為f(1)=(1+3)n=4n,又展開式中各項的二項式系數(shù)之和為2n,由題意知,4n-2n

=

992.∴(2n)2-2n-992=0,∴(2n+31)(2n-32)=0,∴2n=-31(舍),或2n=32,∴n=5.由于n=5為奇數(shù),∴展開式中二項式系數(shù)最大的項為中間兩項,它們分別是規(guī)律方法

二項式系數(shù)的最大項的求法求二項式系數(shù)的最大項,根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)對(a+b)n中的n進行討論.(1)當(dāng)n為奇數(shù)時,中間兩項的二項式系數(shù)最大.(2)當(dāng)n為偶數(shù)時,中間一項的二項式系數(shù)最大.(1)求二項式系數(shù)最大的項.(2)系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項?探究點四二項式定理的其他應(yīng)用角度1.利用二項式定理解整除問題及求余數(shù)問題【例4】

(1)用二項式定理證明1110-1能被100整除.(2)求9192被100除所得的余數(shù).規(guī)律方法

利用二項式定理可以解決求余數(shù)和整除的問題,通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和或差的形式,且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系.變式訓(xùn)練4(1)若

能被7整除,則x,n的值可能為(

)A.x=4,n=3 B.x=4,n=4C.x=5,n=4 D.x=6,n=5C(2)0.996的計算結(jié)果精確到0.001的近似值是(

)A.0.940 B.0.941

C.0.942 D.0.943B角度2.利用二項式定理證明不等式【例5】

證明:3n>(n+2)·2n-1(n∈N+,且n>2).證明

因為n∈N+,且n>2,所以3n=(2+1)n展開后至少有四項.因為(2+1)n=2n+·2n-1+…+·2+1≥2n+n·2n-1+2n+1>2n+n·2n-1=(n+2)·2n-1,所以3n>(n+2)·2n-1.規(guī)律方法

將不等式左邊3n變形為(2+1)n,將(2+1)n的二項展開式與不等式的右邊對比,發(fā)現(xiàn)二項展開式與不等式的右邊的聯(lián)系.此外,決定二項式的展開式中項的取舍是證明的關(guān)鍵.成果驗收·課堂達標檢測123456789101112131415161718A級必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點二](多選題)滿足

的偶數(shù)n可以為(

)A.8 B.10 C.12

D.14CD解析

2n-1>1

000,解得n≥11,n∈N+.故選CD.1234567891011121314151617182.[探究點二]二項展開式(2x-1)10中的奇次冪項的系數(shù)之和為(

)B解析

設(shè)(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10.令x=1得,1=a0+a1+a2+…+a10,①再令x=-1得,310=a0-a1+a2-a3+…-a9+a10,②由①-②可得a1+a3+a5+a7+a91234567891011121314151617183.[探究點一]將楊輝三角中的奇數(shù)換成1,偶數(shù)換成0,便可以得到如圖的“0—1三角”.在“0—1三角”中,從第1行起,設(shè)第n(n∈N+)次出現(xiàn)全行為1時,1的個數(shù)為an,則a3等于(

)A.26 B.27

C.7 D.8D1234567891011121314151617184.[探究點二](1-ax+by)n展開式中不含x的項的系數(shù)絕對值的和為243,不含y的項的系數(shù)絕對值的和為32,則a,b,n的值可能為(

)A.a=2,b=-1,n=5 B.a=-1,b=2,n=6C.a=-1,b=2,n=5 D.a=-2,b=-1,n=6C解析

令x=0,得(1+by)n系數(shù)絕對值的和為243.令y=0,得(1-ax)n系數(shù)絕對值的和為32.經(jīng)驗證當(dāng)a=-1,b=2,n=5時成立.1234567891011121314151617185.[探究點二]已知(1+2x)n的展開式的二項式系數(shù)之和為16,則n=

;各項系數(shù)之和為

.(用數(shù)字作答)

481解析

展開式中的二項式系數(shù)的和是2n=16,所以n=4,令x=1,則(1+2)4=81,即各項系數(shù)和為81.1234567891011121314151617186.[探究點二]若(2x-1)4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,則-a0+a1-a2+a3-a4=

.

-81解析

令x=-1,得(-3)4=a0-a1+a2-a3+a4,所以-a0+a1-a2+a3-a4=-81.123456789101112131415161718解析

令x=-1得a0+a2+a4-(a1+a3+a5)=243.1234567891011121314151617188.[探究點一]楊輝三角在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》一書記載.在歐洲,這個表叫做帕斯卡三角形,它出現(xiàn)要比楊輝三角遲393年.那么,第15行第13個數(shù)是

.(用數(shù)字作答)

455123456789101112131415161718B級關(guān)鍵能力提升練9.在(x+)n的展開式中,只有第六項的二項式系數(shù)最大,且所有項的系數(shù)和為0,則含x6的項的系數(shù)為(

)A.45 B.-45 C.120

D.-120A123456789101112131415161718D12345678910111213141516171811.若1717+a(a∈Z,0≤a<4)能被3整除,則a=(

)A.0 B.1 C.2 D.3B12345678910111213141516171812.(多選題)設(shè)(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,則下列結(jié)論正確的是(

)A.a2+a5=588B.a1+a2+…+a7=1C.a1+a3+a5+a7=D.|a1|+|a2|+…+|a7|=37-1ACD123456789101112131415161718解析

因為(2x-1)7展開式的第k+1項為Tk+1=·(2x)7-k·(-1)k=·(-1)k·27-k·x7-k,又(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,所以a2=·(-1)5·27-5=-84,a5=·(-1)2·27-2=672,則a2+a5=588,故A正確;令x=1,則(2-1)7=a0+a1+a2+…+a6+a7=1,令x=0,則(0-1)7=a0=-1,令x=-1,則(-2-1)7=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=-37,故a1+a2+…+a7=1-a0=2,故B錯誤;故C正確;|a1|+|a2|+…+|a7|=a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7)+a0=37-1,故D正確.故選ACD.12345678910111213141516171813.(多選題)已知二項式(2x-)n的展開式中共有8項,則下列說法正確的有(

)A.所有項的二項式系數(shù)和為128B.所有項的系數(shù)和為1C.二項式系數(shù)最大的項為第5項D.有理項共3項AB12345678910111213141516171812345678910111213141516171814.(多選題)已知(-ax2)n(a<2)的展開式中第3項的二項式系數(shù)為45,且展開式中各項系數(shù)和為1024,