24.1圓的有關(guān)性質(zhì)復(fù)習(xí)小結(jié)課件人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第二十四章圓24.1圓的有關(guān)性質(zhì)復(fù)習(xí)小結(jié)本節(jié)內(nèi)容考綱要求認(rèn)識(shí)圓的軸對(duì)稱性和中心對(duì)稱性，認(rèn)識(shí)圓心角、弧、弦之間相等關(guān)系，理解圓周角和圓心角關(guān)系等。近5年試題規(guī)律：主要以選擇、填空題形式考查弧、弦、圓心角圓周角之間的關(guān)系，難度不大。特別地，雖然考綱已經(jīng)不要求垂徑定理，但近幾年總有考查?？季V要求【考點(diǎn)分析】1.相關(guān)角相等或互補(bǔ)：①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；②圓周角與圓心角的關(guān)系定理及其推論；③同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；④平行兩弦所夾的弧相等（需證明）；OABCD2.垂直關(guān)系：①垂徑定理；②直徑所對(duì)的圓周角是直角；③直角的圓周角所對(duì)的弦是直徑；④切線的性質(zhì)與判定；⑤垂直兩弦（圓內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直）；OACDBP【考點(diǎn)分析】3.結(jié)合一些特殊圖形的性質(zhì)與判定進(jìn)行說理與計(jì)算：①平行四邊形；②等腰三角形（含等邊、等腰直角）；③相似三角形；④三角函數(shù)等.4.四點(diǎn)共圓：①圓定義；②三角形（外心）；③對(duì)角互補(bǔ)(都是直角)的四邊形.5.考察的思想方法：

（1）構(gòu)造思想：如：①構(gòu)建矩形轉(zhuǎn)化線段；②構(gòu)建“射影定理”等基本圖形研究線段

（已知任意兩條線段可求其它所有線段長）；（2）方程思想：設(shè)出未知數(shù)表示關(guān)鍵線段，通過線段之間的關(guān)系，特別是發(fā)現(xiàn)其中的相等關(guān)系建立方程，解決問題；（3）建模思想：借助基本圖形的結(jié)論發(fā)現(xiàn)問題中的線段關(guān)系，把問題分解為若干基本圖形的問題，通過基本圖形的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結(jié)論，進(jìn)而找出隱藏的線段之間的數(shù)量關(guān)系.知識(shí)框架知識(shí)運(yùn)用為什么車輪是圓的把車輪做成圓形，車輪上各點(diǎn)到車輪中心（圓心）的距離都等于車輪的半徑，當(dāng)車輪在平面上滾動(dòng)時(shí)，車輪中心與地面的距離保持不變，因此，當(dāng)車輛在平坦的路上行駛時(shí)，坐車的人會(huì)感覺到非常平穩(wěn)，這就是車輪都做成圓形的數(shù)學(xué)原理．細(xì)節(jié)辨識(shí)O細(xì)節(jié)辨識(shí)ABCDO細(xì)節(jié)辨識(shí)ABCDO細(xì)節(jié)辨識(shí)ABCDOABCDO細(xì)節(jié)辨識(shí)O

D

CABABCDE圓心角相等弦相等弧相等弦心距相等垂直：特殊的位置關(guān)系平分：特殊的數(shù)量關(guān)系且平分弦所對(duì)的兩條弧O盤點(diǎn)知識(shí)二、垂徑定理例1．如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．ABOE遇弦連半徑、作弦心距構(gòu)造直角三角形盤點(diǎn)知識(shí)二、垂徑定理遇弦連半徑、作弦心距構(gòu)造直角三角形基本模型：（多題一解）OABDE2已知：AB=8，半徑為5，求ED.已知：CE=8，半徑為5，求AB.已知：DE=2，AB=8.求半徑.已知：OE=3，直徑為10，求AB.BAODEABCDEOBAEOC盤點(diǎn)知識(shí)二、垂徑定理遇弦連半徑、作弦心距構(gòu)造直角三角形基本模型：（多題一解）ABCDO３４還是求弦長E３盤點(diǎn)知識(shí)二、垂徑定理遇弦連半徑、作弦心距構(gòu)造直角三角形基本模型：（多題一解）AOCBED３１０5OAB（６，０）盤點(diǎn)知識(shí)二、垂徑定理遇弦連半徑、作弦心距構(gòu)造直角三角形基本模型：（多題一解）C盤點(diǎn)知識(shí)二、垂徑定理遇弦連半徑、作弦心距構(gòu)造直角三角形復(fù)合模型：（多題一解）ABOENABOENCDFCDABOENF水面為1.6的情況有幾種？盤點(diǎn)知識(shí)三、旋轉(zhuǎn)不變已知某角則想同弧(或等弧)所對(duì)的圓心角、圓周角.OBAECDABO４０°C盤點(diǎn)知識(shí)三、旋轉(zhuǎn)不變已知某角則想同弧(或等弧)所對(duì)的圓心角、圓周角.ABOC120°盤點(diǎn)知識(shí)三、旋轉(zhuǎn)不變已知某角則想同弧(或等弧)所對(duì)的圓心角、圓周角.ABOCED圓心O為AD中點(diǎn)，C為AE中點(diǎn)，OC為三角形ADE中位線，所以O(shè)C即為半徑又等于DE一半，所以DE=AD=2r=2，又因OC=OA=AC=1,所以三角形ACO為等邊三角形，所以角A等于60度，所以三角形ADE為等邊三角形,所以DE=2盤點(diǎn)知識(shí)四、圓周角同弧或等弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)圓心角的一半．基礎(chǔ)型：（多題一解）變式１.如圖，求∠C．ACB１００°１５０°OBCA40°盤點(diǎn)知識(shí)四、圓周角1.如果∠A=44°,則∠BOC=____.2.如果∠BOC=44°,則∠A=____.3.如果∠A=35°,則∠BDC=____.4.看圖想定理：把對(duì)應(yīng)的定理拖到相應(yīng)的圖下面垂徑定理同弧所對(duì)的圓周角相等同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半同弧所對(duì)的圓心角相等直徑所對(duì)的角是直角盤點(diǎn)知識(shí)四、圓周角已知某角則想同弧所對(duì)的圓心角、圓周角.基礎(chǔ)型：（多題一解）ACBOP60°60°60°60°盤點(diǎn)知識(shí)四、圓周角ABCDO例8.如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，求BC，AD，BD的長．已知某角則想同弧所對(duì)的圓心角、圓周角.10612解題技巧小結(jié)整理歸納１.遇弦則作弦心距、連半徑，構(gòu)造直角三角形．２.遇直徑連直角，構(gòu)造直角三角形．３.遇圓周角則找同弧或等弧所對(duì)的圓周角（圓心角）．６.勤畫圖，多從圖形性質(zhì)分析．５.遇中點(diǎn)則想到垂徑定理、垂直平分線、三角形中位線、中線．４.由于半徑都相等，圓的問題很多要結(jié)合等腰三角形．圓中常見的輔助線證明：(1)連接AC，OA，OD，OB，OC，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠AOD=2∠ACD，∠BOC=2∠BAC，∴∠AOD=∠BOC，∴AD=BC，∴AD=BC，BD=AC，∴∠BCD=∠ADC.(2)略.【基本圖形及相關(guān)結(jié)論證明】例1如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，（1）若AB∥CD，求證：∠C=∠D，AD=BC；（2）若AD=BC，求證：AB∥CD.E方法2：圓心角與圓周角的關(guān)系方法3：垂徑定理方法1：由∠A＋∠D=180°，∠A＋∠C=180°，得∠C=∠D，……【基本圖形及相關(guān)結(jié)論證明】例2如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，且AC⊥BD，垂足為P.（1）求證：∠PAD－∠PAB=∠PCD－∠PCB；（2）若AB=1，CD=3，求☉O的半徑.E(1)證明：∵AC⊥BD，∴∠APD=∠BPC=90°，∴∠PAD＋∠PDA=∠PAB＋∠PBA=90°，∵AB=AB，AD=AD，∴∠PDA=∠PCB，∠PBA=∠PCD，∴∠PAD＋∠PCD=∠PAB＋∠PCD，∴∠PAD－∠PAB=∠PCD－∠PCB.(2)解：作直徑CE，并連接AE,DE，則∠CAE=∠CDE=90°，即AC⊥AE.∵AC⊥BD，∴AE∥BD.易證AB=ED=1，∴由勾股定理，得∴☉O的半徑為【基本圖形及相關(guān)結(jié)論證明】變式：在“例2”的條件下，分別取弦AD，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，求證：四邊形OEPF為平行四邊形.H證明：延長EP交BC于點(diǎn)H，∵AC⊥BD，AE=DE，∴，∠PBC＋∠PCB=90°,∴∠EPD=∠EDP.∵∠BPH=∠EPD，∠EDP=∠BCP，∴∠PBC＋∠BPH=90°，∴EH⊥BC.∵BF=CF，∴OF⊥BC，∴EP∥OF，同理，PF∥OE，∴四邊形OEPF是平行四邊形.若AD=4，則OF=

;若AB=1，則圓心O到CD的距離為

.練習(xí)題1：求證：圓內(nèi)接平行四邊形是矩形.已知：如圖，□ABCD內(nèi)接于☉O.求證：□ABCD是矩形.ABCDO【三年中考試題解析】例3如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，AB是☉O的直徑，點(diǎn)P在CA的延長線上，∠CAD=45°.（Ⅰ）若AB=4，求CD的長；（Ⅱ）若BC=AD，AD=AP，求證：PD是☉O的切線．(1)解：連接OC，OD，則∠COD=2∠CAD=2×45°=90°.∵AB=4，

(2)證明：∴∠AOD=∠BOC.∵∠COD=90°，∴∠AOD=45°.∵OA=OD，∵AD=AP，∴∠ADP=∠P.∵∠ADP＋∠P=∠CAD=45°，∴∠ADP=22.5°，∴∠ODP=∠ODA＋∠ADP=67.5°＋22.5°=90°，∴OD⊥PD.又∵OD是☉O的半徑，∴PD是☉O的切線．【三年中考試題解析】例4如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為直徑，DE⊥AB交AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F．（1）延長DC、FB相交于點(diǎn)P，求證：PB=PC；（2）如圖2，過點(diǎn)B作BG⊥AD于點(diǎn)G，交DE于H．若AB=，DH=1，∠OHD=80°，求∠EDB的度數(shù)．【三年中考試題解析】例4如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為直徑，DE⊥AB交AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F．（1）延長DC、FB相交于點(diǎn)P，求證：PB=PC；（2）如圖2，過點(diǎn)B作BG⊥AD于點(diǎn)G，交DE于H．若AB=，DH=1，∠OHD=80°，求∠EDB的度數(shù)．(1)證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DAB＋∠BCD=180°.∵∠PCB＋∠BCD=180°，∴∠PCB=∠DAB.∵AC為直徑，∴∠ABC=90°，即AB⊥BC，又∵DE⊥AB，∴DF∥BC，∴∠PBC=∠F.∵∠F=∠DAB，∴∠PBC=∠PCB，∴PB=PC.【三年中考試題解析】例4如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為直徑，DE⊥AB交AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F．（1）延長DC、FB相交于點(diǎn)P，求證：PB=PC；（2）如圖2，過點(diǎn)B作BG⊥AD于點(diǎn)G，交DE于H．若AB=，DH=1，∠OHD=80°，求∠EDB的度數(shù)．(2)解：連接OD，∵AC是直徑，∴∠ADC=90°，即CD⊥AD，∵BG⊥AD，∴CD∥BG，同理BC∥DE，∴四邊形BCDH是平行四邊形.∴BC=DH=1.在Rt△ABC中，tan∠BAC=

∴銳角∠BAC=30°.∴AC=2，OD=DH=1.∵∠OHD=80°，∴∠OHE=100°，∠DOH=80°.∴∠AOH=360°－30°－100°－90°，=140°，∴∠AOD=360°－140°－80°=140°，∴∠ABD=70°，∴∠EDB=90°－∠ABD=20°.【三年中考試題解析】例5如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足為E，點(diǎn)F在BD的

延長線上，且DF=

DC，連接AF、CF.（1）求證：∠BAC=2∠DAC；（2）若AF=10，BC=4，求tan∠BAD的值.(1)證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠BAC=180°－2∠ACB.∵BD⊥AC，∴∠DBC=90°－∠ACB，∴∠BAC=2∠DBC.∴∠DAC=∠DBC，∴∠BAC=2∠DAC.【三年中考試題解析】例5如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足為E，點(diǎn)F在BD的

延長線上，且DF=

DC，連接AF、CF.（1）求證：∠BAC=2∠DAC；（2）若AF=10，BC=4，求tan∠BAD的值.H(2)解：作DH⊥AB，垂足為H.∵DF=DC，∴∠BDC=2∠CFD，∵∠BAC=2∠DBC，∠BAC=∠BDC，∴∠CFD=∠DBC，∴CF=CB，又∵BE⊥AC，即AC是BF的垂直平分線，∴AC=AB=AF=10.設(shè)AE=x，則CE=10－x，由勾股定理，得AB2－AE2=BC2－CE2=BE2，解得x=6，即AE=6，CE=4.∴BE=8.易證△AED∽△BEC，由三角形面積可得∴BH=∴tan∠BAD=

練習(xí)題：1.如圖，AB是☉O的直徑，C，D是☉O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)．下列四個(gè)角中，一定與∠ACD互余的角是（）A.∠ADCB.∠ABDC.∠BACD.∠BAD2.如圖，AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切于點(diǎn)B，AC交⊙O于點(diǎn)D，若∠ACB=50°，則∠BOD=()A.40°B.50°C.60°D.80°，3.如圖，PA、PB是⊙O切線，A、B為切點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，且∠ACB=55°，則∠APB等于()A.55°B.70°C.110°D.125°【預(yù)測(cè)試題】1.已知四邊形ABCD內(nèi)