5.1.2導數(shù)的概念及其幾何意義課件高二下學期數(shù)學人教A版選擇性

5.1.2導數(shù)的概念及其幾何意義人教A版（2019）選擇性必修第二冊新知導入前面我們研究了兩類變化率問題：一類是物理學中的問題，涉及平均速度和瞬時速度；另一類是幾何學中的問題，涉及割線斜率和切線斜率.這兩類問題來自不同的學科領域，但在解決問題時，都采用了由“平均變化率”逼近“瞬時變化率”的思想方法；問題的答案也有一樣的表示形式.下面我們用上述思想方法研究更一般的問題.

新知導入平均變化率函數(shù)

y=f(x)，從到的平均變化率：（1）自變量的改變量：（2）函數(shù)值的改變量：（3）平均變化率

因此平均變化率可正、可負，也可為零函數(shù)的平均變化率為0，并不一定說明函數(shù)f(x)沒有變化新知講解合作探究瞬時變化率

新知講解導數(shù)的概念①定義

記作

或

，即

新知講解導數(shù)的概念②幾何意義函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是

曲線y＝f(x)在點

(x0，f(x0))處的切線斜率．

（瞬時速度就是位移函數(shù)

s(t)對時間

t

的導數(shù)）

注意

求曲線切線時，要分清在點P處的切線與過點P的切線的區(qū)別，前者只有一條，而后者包括了前者.相應地，

切線方程為

y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

新知講解導數(shù)的概念③

函數(shù)

f(x)的導函數(shù)

導數(shù)概念的理解(1)導數(shù)是一個局部概念，它只與函數(shù)

y＝f(x)在

處及其附近的函數(shù)值有關，與無關．(2)是一個常數(shù)，即當時，存在一個常數(shù)與

無限接近．合作探究例1設，求解：

合作探究例2將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱.

已知在第

xh時，原油的溫度（單位：）為

.

計算第2h與第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義.解：

根據(jù)導數(shù)的定義，

合作探究所以

同理可得

在第2h與第6h時，原油溫度的瞬時變化率分別為.

說明在第2h附近，原油溫度大約以的速率下降，在第6h附近，原油溫度大約以的速率上升.一般地，反映了原油溫度在時刻附近的變化情況.合作探究例3一輛汽車在公路上沿直線變速行駛，假設

ts時汽車的速度（單位：m/s）為，求汽車在第2s與第6s時的瞬時加速度，并說明它們的意義.分析

瞬時加速度是速度關于時間的瞬時變化率，因此，在第2s與第6s時，汽車的瞬時加速度分別為.解：

根據(jù)導數(shù)的定義，

合作探究所以

同理可得在第2s與第6s時，汽車的瞬時加速度分別.說明在第2s附近，汽車的速度每秒大約增加2m/s；在第6s附近，汽車的速度每秒大約減少6m/s.合作探究思考

觀察函數(shù)y=f(x)的圖象（圖5.1-3），平均變化率

表示什么？

提示：

函數(shù)y=f(x)在處的導數(shù)（即瞬時變化率），就是切線的斜率，即

這也是導數(shù)的幾何意義.合作探究例4圖5.1-6是高臺跳水運動員的重心相對于水面的高度隨時間變化的函數(shù)

根據(jù)圖象，請描述、比較曲線h(t)在

附近的變化情況.解：

我們用曲線

h(t)在處的切線的斜率，刻畫曲線

h(t)在上述三個時刻附近的變化情況.合作探究（1）

當時，曲線

h(t)在

處的切線

平行于

t

軸，.這時，在這時，在附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降.（2）當時，曲線

h(t)在

處的切線

的斜率.這時，在

附近曲線下降，即函數(shù)

h(t)在附近單調(diào)遞減.（3）當時，曲線

h(t)在處的切線

的斜率.這時，在附近曲線下降，即函數(shù)

h(t)在附近也單調(diào)遞減.從圖5.1-6可以看出，直線

的傾斜程度小于直線的傾斜程度，這說明曲線

h(t)在附近比在附近下降得緩慢.合作探究例5圖5.1-7是人體血管中藥物濃度c=f(t)（單位：mg/mL）隨時間t（單位：min）變化的函數(shù)圖象.根據(jù)圖象，估計t=0.2,0.4,0.6,0.8min時，血管中藥物濃度的瞬時變化率（精確度0.1）.解：血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變化率，就是藥物濃度f(t)在此時刻的導數(shù)，從圖象上看，它表示曲線f(t)在此點處的切線的斜率.合作探究如圖5.1-7，畫出曲線上某點處的切線，利用網(wǎng)格估計這條切線的斜率，可以得到此時刻藥物濃度瞬時變化率的近似值.作t=0.8處的切線，并在切線上取兩點，如（0.7，0.91），（1.0，0.48），則該切線的斜率

所以表5.1-3給出了藥物濃度的瞬時變化率的估計值.課堂練習1根據(jù)導數(shù)的定義求下列函數(shù)的導數(shù)．(1)求函數(shù)

在x＝1處的導數(shù)；(2)求函數(shù)

在

處的導數(shù)．解：∴∴

(2)

∴

∴

合作探究求函數(shù)

y＝f(x)在點

處的導數(shù)的三個步驟課堂練習2已知函數(shù)

f(x)在

處導數(shù)的4，則

解：

12注：

（2）在導數(shù)的概念中，增量的形式是多種多樣的，但無論是哪種形式，分子中自變量的增量與分母中的增量必須保持一致．課堂練習3長方形的周長為10，一邊長為x.其面積為S.

（1）寫出

S與

x之間的函數(shù)關系；

（2）當x從1增加到時，面積S改變了多少？此時，面積S關于x的平均變化率是多少？解釋它的實際意義；

（3）當長從x增加到時，面積S改變了多少？此時，面積S關于x的平均變化率是多少？

（4）在x=1處，面積S關于x的瞬時變化率是多少？解釋它的實際意義；

（5）在x處，面積S關于x的瞬時變化率是多少？解釋它的實際意義.課堂練習解：（1）長方形的周長為10，一邊長為x，則另一邊為5-x，

（2）∴

答：面積S改變了:此時，面積S關于x的平均變化率是3-，它的實際意義：在x=1處，長度改變1個單位，面積改變3個單位；3長方形的周長為10，一邊長為x.其面積為S.

（1）寫出

S與

x之間的函數(shù)關系；

（2）當x從1增加到時，面積S改變了多少？此時，面積S關于x的平均變化率是多少？解釋它的實際意義；

課堂練習3長方形的周長為10，一邊長為

x.其面積為S.

（3）當長從

x增加到時，面積S改變了多少？此時，面積S關于

x的平均變化率是多少？

（4）在

x=1處，面積S關于

x的瞬時變化率是多少？解釋它的實際意義；

（5）在

x處，面積S關于

x的瞬時變化率是多少？解釋它的實際意義.解：（3）∴

答：面積S改變了:

此時，面積S關于x的平均變化率是-2x+5.

（4）由（2）知，當時，，即瞬時變化率為3，實際意義是在x=1時，面積的增加速度為3.（5）由（3）知，當時，，即瞬時變化率為-2x+5，實際意義是在x

時，面積的增加速度為-2x+5.課堂練習4一質(zhì)點的運動方程為

（位移單位：m；時間單位：s），試求該質(zhì)點在t=3時的瞬時速度.解：

∴該質(zhì)點在

t=3時的瞬時速度為：

所以該質(zhì)點在

t=3時的瞬時速