2025千題百煉-高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題（一）：第26煉 求未知角的三角函數(shù)值含答案

2025千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題（一）：第26煉求未知角的三角函數(shù)值含答案第26煉求未知角的三角函數(shù)值在三角函數(shù)的解答題中，經(jīng)常要解決求未知角的三角函數(shù)值，此類問題的解決方法大體上有兩個(gè)，一是從角本身出發(fā)，利用三角函數(shù)關(guān)系列出方程求解，二是向已知角（即三角函數(shù)值已知）靠攏，利用已知角將所求角表示出來，再利用三角函數(shù)運(yùn)算公式展開并整體代換求解，本周著力介紹第二種方法的使用和技巧一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、與三角函數(shù)計(jì)算相關(guān)的公式：（1）兩角和差的正余弦，正切公式：①②③④⑤⑥（2）倍半角公式：①②③（3）輔助角公式：，其中2、解決此類問題的方法步驟：（1）考慮用已知角表示未知角，如需要可利用常用角進(jìn)行搭配（2）等號(hào)兩邊同取所求三角函數(shù)，并用三角函數(shù)和差公式展開（3）利用已知角所在象限和三角函數(shù)值求出此角的其他函數(shù)值（4）將結(jié)果整體代入到運(yùn)算式即可3、確定所涉及角的范圍：當(dāng)已知角的一個(gè)三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值時(shí)，角的范圍將決定其他三角函數(shù)值的正負(fù)，所以要先判斷角的范圍，再進(jìn)行三角函數(shù)值的求解。確定角的范圍有以下幾個(gè)層次：（1）通過不等式的性質(zhì)解出該角的范圍（例如：，則）（2）通過該角的三角函數(shù)值的符號(hào)，確定其所在象限。（3）利用特殊角將該角圈在一個(gè)區(qū)間內(nèi)（區(qū)間長(zhǎng)度通常為）（4）通過題目中隱含條件判斷角的范圍。例如：，可判斷出在第一象限二、典型例題：例1：已知，，求：（1）（2）解：（1）已知的角為，而所求角,故可以考慮而而，故在第一象限（2）與（1）類似。考慮，則小煉有話說：（1）本題先利用已知角表示未知角，然后用已知角整體代換求解（2）注意在求已知角其他的三角函數(shù)值時(shí)，要確定已知角的范圍，進(jìn)而確定其他三角函數(shù)值的符號(hào)（3）本題第1問也可利用方程的思想，即來求解，但方程過于復(fù)雜，難于計(jì)算，要進(jìn)行比較，體會(huì)題目所給方法的方便之處例2：已知，且.（1）求；（2）求.解：（1）（2）例3：已知，，求的值．解：小煉有話說：本題注意如何確定兩個(gè)角的范圍：利用已知條件和不等式性質(zhì)求解例4：設(shè)，求解：例5：已知，則（）A.B.C.D.思路：所求角與相關(guān)，但題目中有，所以考慮利用消去，即，化簡(jiǎn)后可得：即答案：D例6：已知，且均為銳角，求解：①若為銳角，則根據(jù)在單調(diào)遞增，可知，與條件矛盾，代入①可得：例7：已知，，，則_______思路一：考慮用已知角表示未知角，，從而，展開后即可利用已知角的三角函數(shù)進(jìn)行整體代入，由和可知，但，所以不能判定的符號(hào)，所以由可得：，分別代入表達(dá)式可計(jì)算出或，由可知解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，答案：思路二：本題以，為突破口，發(fā)現(xiàn)其三角函數(shù)值含有一定關(guān)系，計(jì)算出，從而，所以得到與的關(guān)系。結(jié)合可知，即，所以解：或，若即，與矛盾，故舍去若即，則：答案：小煉有話說：（1）在思路一中，雖然在計(jì)算的正弦時(shí)，沒有辦法簡(jiǎn)單地根據(jù)角的范圍進(jìn)行取舍，但是在最后的結(jié)果中會(huì)發(fā)現(xiàn)有一個(gè)解是不符合題意的。在解題過程中，要時(shí)刻關(guān)注角的范圍，使之成為一道防線趕走不符合條件的解（2）思路二是從三角函數(shù)值的特點(diǎn)作為突破口，進(jìn)而尋求已知條件中的角之間的關(guān)系，這也是對(duì)題目條件的一種妙用例8：已知，則的值是______________解：例9：已知，求思路：若要求出的值，則需要它的一個(gè)三角函數(shù)。所給條件均為正切值，所以也考慮計(jì)算，其中可由求出。再代入式子中可得：，下面考慮的范圍。如果按照原始條件：可得，則或，但本題可通過進(jìn)一步縮小的范圍。由可知，由可知，所以，從而解：且且由可知例10：已知在中，，則角的大小為（）A.B.C.或D.思路：在中，可知，，所以若要求角，結(jié)合條件可知選擇，將的兩個(gè)方程平方后相加可得：，即，所以或，以為突破口，若，則，那么，且。與條件不符。所以解：即或若，則與條件不符故舍去第27煉三角函數(shù)的值域與最值一、基礎(chǔ)知識(shí)1、形如解析式的求解：詳見“函數(shù)解析式的求解”一節(jié)，本節(jié)只列出所需用到的三角公式（1）降冪公式：（2）（3）兩角和差的正余弦公式（4）合角公式：，其中2、常見三角函數(shù)的值域類型：（1）形如的值域：使用換元法，設(shè)，根據(jù)的范圍確定的范圍，然后再利用三角函數(shù)圖像或單位圓求出的三角函數(shù)值，進(jìn)而得到值域例：求的值域解：設(shè)當(dāng)時(shí)，（2）形如的形式，即與的復(fù)合函數(shù)：通常先將解析式化簡(jiǎn)為同角同三角函數(shù)名的形式，然后將此三角函數(shù)視為一個(gè)整體，通過換元解析式轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜さ暮瘮?shù)，再求出值域即可例：求的值域解：設(shè)，即的值域?yàn)椋?）含三角函數(shù)的分式，要根據(jù)分子分母的特點(diǎn)選擇不同的方法，通常采用換元法或數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行處理（詳見例5，例6）二、典型例題例1：已知向量（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍解：（1）單調(diào)遞增區(qū)間為：（2）思路：由（1）可得：，從得到角的范圍，進(jìn)而求出的范圍解：由（1）得：小煉有話說：對(duì)于形如的形式，通?？上扔?jì)算出的范圍，再確定其三角函數(shù)值的范圍例2：已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期和圖像的對(duì)稱軸方程（2）求函數(shù)在區(qū)間的值域解：（1）對(duì)稱軸方程：（2）思路：將視為一個(gè)整體，先根據(jù)的范圍求出的范圍，再判斷其正弦值的范圍解：例3：函數(shù)的最大值為___________思路：解析式中的項(xiàng)種類過多，不利于化簡(jiǎn)與分析，所以考慮盡量轉(zhuǎn)化為同一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)。觀察可得次數(shù)較低，所以不利于轉(zhuǎn)化，而均可以用進(jìn)行表示，確定核心項(xiàng)為，解析式變形為，化簡(jiǎn)后為，當(dāng)時(shí)，答案：2小煉有話說：當(dāng)解析式無法化成的形式時(shí)，要考慮是否是三角函數(shù)與其他函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，進(jìn)而要將某個(gè)三角函數(shù)作為核心變量，并將其余的三角函數(shù)用核心變量進(jìn)行表示，再將核心變量進(jìn)行換元求出值域即可例4：設(shè)函數(shù)，若，則函數(shù)的最小值是______思路：同例4考慮將解析式中的項(xiàng)統(tǒng)一，，進(jìn)而可將作為一個(gè)整體，通過換元來求值域。解：設(shè)，由可得：，從而，所以所以最小值為答案：0例5：函數(shù)的值域?yàn)開__________思路：可將視為研究對(duì)象，令，進(jìn)而只需求的值域即可。解：令，可得答案：小煉有話說：要注意在時(shí)自身帶范圍，即例6：函數(shù)的值域?yàn)開___________思路：可變形為，且可視為與連線的斜率的取值范圍，為單位圓上的一點(diǎn)，所以問題轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點(diǎn)的的范圍。所以，解得：或，所以答案：小煉有話說：（1）對(duì)比例5和例6，盡管都是同一個(gè)角的分式值域，但是例5的三角函數(shù)名相同，所以可視為同一個(gè)量，利用換元求解，而例6的三角函數(shù)名不同，所以不能視為同一個(gè)量。要采取數(shù)形結(jié)合的方式。（2）本題還可利用方程與函數(shù)的關(guān)系求得值域，解法如下：所以的取值范圍（即值域）要能保證存在使得等式成立所以只需，解得：例7：設(shè)函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________思路：本題是已知值域求參數(shù)，所以考慮先帶著計(jì)算角的范圍為，可知，值域中最大值為1，所以說明經(jīng)過，同時(shí)范圍不能超過（否則最小值就要小于），從而可得，解得：答案：例8：已知函數(shù)的最大值為，且，則（）A.B.C.或D.或思路：觀察到的項(xiàng)具備齊二次的特點(diǎn)，所以想到將解析式化為的形式，通過變形可得：，所以最大值為，即①，再利用可得：②，通過①②可解得：，進(jìn)而求出的值為或解：所以可得：另一方面：整理可得：，解得：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的值為或例9：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為__________思路一：考慮將所有項(xiàng)轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于的三角函數(shù)，即，從而想到分式與斜率的關(guān)系，可視為，結(jié)合可得為單位圓半圓上的點(diǎn)，通過數(shù)形結(jié)合可