2025千題百煉-高中數(shù)學(xué)100個熱點(diǎn)問題（三）：第95煉 統(tǒng)計(jì)初步含答案

2025千題百煉——高中數(shù)學(xué)100個熱點(diǎn)問題（三）：第95煉統(tǒng)計(jì)初步含答案第95煉高中涉及的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識一、基礎(chǔ)知識：（一）隨機(jī)抽樣：1、抽簽法：把總體中的個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取次，就得到容量為的樣本2、系統(tǒng)抽樣：也稱為等間隔抽樣，大致分為以下幾個步驟：（1）先將總體的個個體編號（2）確定分段間隔，設(shè)樣本容量為，若為整數(shù)，則（3）在第一段中用簡單隨機(jī)抽樣確定第一個個體編號，則后面每段所確定的個體編號與前一段確定的個體編號差距為，例如：第2段所確定的個體編號為，第段所確定的個體編號為，直至完成樣本注：（1）若不是整數(shù)，則先用簡單隨機(jī)抽樣剔除若干個個體，使得剩下的個體數(shù)能被整除，再進(jìn)行系統(tǒng)抽樣。例如501名學(xué)生所抽取的樣本容量為10，則先隨機(jī)抽去1個，剩下的個個體參加系統(tǒng)抽樣（2）利用系統(tǒng)抽樣所抽出的個體編號排成等差數(shù)列，其公差為3、分層抽樣：也稱為按比例抽樣，是指在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本。分層抽樣后樣本中各層的比例與總體中各個層次的比例相等，這條結(jié)論會經(jīng)常用到（二）頻率分布直方圖：1、頻數(shù)與頻率（1）頻數(shù)：指一組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)或一組數(shù)據(jù)在某個確定的范圍內(nèi)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)的個數(shù).（2）頻率：是頻數(shù)與數(shù)據(jù)組中所含數(shù)據(jù)的個數(shù)的比，即頻率=頻數(shù)/總數(shù)（3）各試驗(yàn)結(jié)果的頻率之和等于12、頻率分布直方圖：若要統(tǒng)計(jì)每個小組數(shù)據(jù)在樣本容量所占比例大小，則可通過頻率分布表（表格形式）和頻率分布直方圖（圖像形式）直觀的列出（1）極差：一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差（2）組距：將一組數(shù)據(jù)平均分成若干組（通常5-12組），則組內(nèi)數(shù)據(jù)的極差稱為組距，所以有組距=極差/組數(shù)（3）統(tǒng)計(jì)每組的頻數(shù)，計(jì)算出每組的頻率，便可根據(jù)頻率作出頻率分布直方圖（4）在頻率分布直方圖中：橫軸按組距分段，縱軸為“頻率/組距”（5）頻率分布直方圖的特點(diǎn)：①頻率=，即分布圖中每個小矩形的面積②因?yàn)楦髟囼?yàn)結(jié)果的頻率之和等于1，所以可得在頻率分布直方圖中，各個矩形的面積和為1（三）莖葉圖：通?？捎糜诮y(tǒng)計(jì)和比較兩組數(shù)據(jù)，其中莖是指中間的一列數(shù)，通常體現(xiàn)數(shù)據(jù)中除了末位數(shù)前面的其他數(shù)位，葉通常代表每個數(shù)據(jù)的末位數(shù)。并按末位數(shù)之前的數(shù)位進(jìn)行分類排列，相同的數(shù)據(jù)需在莖葉圖中體現(xiàn)多次（四）統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中的數(shù)字特征：1、眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，叫做眾數(shù)2、中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)從小到大排列，位于中間位置的數(shù)稱為中位數(shù)，其中若數(shù)據(jù)的總數(shù)為奇數(shù)個，則為中間的數(shù)；若數(shù)據(jù)的總數(shù)為偶數(shù)個，則為中間兩個數(shù)的平均值。3、平均數(shù)：代表一組數(shù)據(jù)的平均水平，記為，設(shè)一組數(shù)據(jù)為：，則有：4、方差：代表數(shù)據(jù)分布的分散程度，記為，設(shè)一組數(shù)據(jù)為：，其平均數(shù)為，則有：，其中越小，說明數(shù)據(jù)越集中5、標(biāo)準(zhǔn)差：也代表數(shù)據(jù)分布的分散程度，為方差的算術(shù)平方根二、典型例題例1：某校高中部有三個年級，其中高三有學(xué)生人，現(xiàn)采用分層抽樣法抽取一個容量為的樣本，已知在高一年級抽取了人，高二年級抽取了人，則高中部共有學(xué)生_______人．思路：分層抽樣即按比例抽樣，由高一年級和高二年級的人數(shù)可得高三人數(shù)為人，所以抽樣比為，從而總?cè)藬?shù)為人答案：3700例2：某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)，A．B．C三種產(chǎn)品共3000件，根據(jù)分層抽樣的結(jié)果；企業(yè)統(tǒng)計(jì)員制作了如下的統(tǒng)計(jì)表格：產(chǎn)品類別ABC產(chǎn)品數(shù)量（件）1300樣本容量（件）130由于不小心，表格中A．C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚，統(tǒng)計(jì)員記得A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10，根據(jù)以上信息，可得C的產(chǎn)品數(shù)量是件．思路：由產(chǎn)品可得抽樣比為，所以若A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10，則A產(chǎn)品的數(shù)量比C產(chǎn)品的數(shù)量多，且產(chǎn)品數(shù)量和為，從而可解得產(chǎn)品的數(shù)量為答案：800例3：某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽測了100根棉花纖維的長度（棉花纖維所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的100根中___________根棉花纖維的長度小于15mm．思路：由頻率直方圖的橫縱軸可得：組距為5mm，所以小于15mm的頻率為，所以小于15mm共有根答案：10例4：某班甲、乙兩位同學(xué)升入高中以來的5次數(shù)學(xué)考試成績的莖葉圖如圖，則乙同學(xué)這5次數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)是；已知兩位同學(xué)這5次成績的平均數(shù)都是84，成績比較穩(wěn)定的是（第二個空填“甲”或“乙”）．思路：由莖葉圖可讀出，乙同學(xué)的成績?yōu)?，甲同學(xué)的成績?yōu)椋砸彝瑢W(xué)的成績的中位數(shù)為，相比較而言，甲同學(xué)的成績比較集中，所以比較穩(wěn)定的是甲答案：，甲小煉有話說：在求中位數(shù)時要注意先將數(shù)據(jù)從小到大排列，判斷成績穩(wěn)定，本題甲，乙穩(wěn)定性的判斷定量上要依靠方差，但因?yàn)楸绢}從莖葉圖上看出甲，乙數(shù)據(jù)穩(wěn)定性差距較大，所以定性的判斷。例6：某校從參加高三年級期末考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績分成五段：，，它的頻率分布直方圖如圖所示，則該批學(xué)生中成績不低于90分的人數(shù)是_____．思路：的高度未知，但由于直方圖體現(xiàn)的是全部樣本的情況，所以各部分頻率和為1，可以考慮間接法。從圖中可觀察到的頻率為，所以不低于90分的頻率為，故人數(shù)為（人）答案：例7：從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查,發(fā)現(xiàn)其用電量都在50到350度之間,頻率分布直方圖所示．（1）直方圖中的值為___________；（2）在這些用戶中,用電量落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)為_____________．思路：（1）依題意可得頻率直方圖中的頻率和等于1，由圖可得組距為，所以有，解得（2）圖中的頻率為，所以用戶數(shù)為（戶）答案：（1）（2）戶例7：某校1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)測試成績分布直方圖如圖所示，分?jǐn)?shù)不低于即為優(yōu)秀，如果優(yōu)秀的人數(shù)為175人，則的估計(jì)值是________．思路：可先從頻率直方圖中按分?jǐn)?shù)從高到低統(tǒng)計(jì)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)，組距為，從而可得：的人數(shù)為，同理可得的人數(shù)為人，而優(yōu)秀的人數(shù)為人，所以應(yīng)包含的全體，以及中的一半人數(shù)，所以估計(jì)值為到的中間值，即答案：例8：某地區(qū)為了解中學(xué)生的日平均睡眠時間（單位：）,隨機(jī)選擇了位中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,根據(jù)所得數(shù)據(jù)，畫出樣本的頻率分布直方圖如圖所示,且從左到右的第1個、第4個、第2個、第3個小長方形的面積依次構(gòu)成公差為0.1的等差數(shù)列，又第一小組的頻數(shù)是10，則_______.思路：設(shè)第一個的面積為，則第4個為，第2個為，第3個為，依題意可得四部分的頻率和為，從而可解得，所以，從而答案：例9：某單位有職工200名，現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本，用系統(tǒng)抽樣法，將全體職工隨機(jī)按1－200編號，并按編號順序平均分為40組（1－5號，6－10號，…，196－200號）.若第5組抽出的號碼為22，則第10組抽出的號碼應(yīng)是_________思路：由系統(tǒng)抽樣可知，每組抽出的號碼依次成等差數(shù)列，且公差為組距，所以，則答案：47例10：某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1，2，…，840隨機(jī)編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間的人數(shù)為．思路：由系統(tǒng)抽樣可知：組距為，所以區(qū)間可拆分為，而每個區(qū)間只有一人被抽取，所以共有3人答案：第96煉平面幾何一、基礎(chǔ)知識：1、相似三角形的判定與性質(zhì)（1）相似三角形的判定①三個角：若兩個三角形對應(yīng)角都相等，則這兩個三角形相似注：由三角形內(nèi)角和為可知，三角形只需兩個內(nèi)角對應(yīng)相等即可②兩邊及一夾角：若兩個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，且所夾的角相等，則這兩個三角形相似③三邊：若兩個三角形三邊對應(yīng)成比例，則這兩個三角形相似④（直角三角形）若兩個直角三角形有兩組對應(yīng)邊成比例，則這兩個直角三角形相似（2）相似三角形性質(zhì)：若兩個三角形相似，這它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例即相似比（主要體現(xiàn)出“對應(yīng)”兩字），例如：若，則有：2、平行線分線段成比例：如圖：已知，且直線與平行線交于，則以下線段成比例：（1）（上比下）（2）（上比全）（3）（下比全）3、常見線段比例模型：（1）“A”字形：在中，平行的直線交三角形另兩邊于，即形成一個“A”字，在“A”字形中，可得，進(jìn)而有以下線段成比例：①②③（2）“8”字形：已知，連結(jié)相交于，即形成一個“8”字，在“8”字形中，有：，從而4、圓的幾何性質(zhì)：（1）與角相關(guān)的性質(zhì)①直徑所對的圓周角是直角②弦切角與其夾的弧所對的圓周角相等③同?。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A周角是圓心角的一半④圓內(nèi)接四邊形，其外角等于內(nèi)對角（2）與線段相關(guān)的性質(zhì)：①等弧所對的弦長相等②過圓心作圓上一條弦的垂線，則直線垂直平分該弦③若一條直線與圓相切，則圓心與切點(diǎn)的連線與該直線垂直5、與圓相關(guān)的定理（1）切割線定理：設(shè)是的切線，為割線，則有：（2）相交弦定理：設(shè)是圓內(nèi)的兩條弦，且相交于，則有（3）切線長定理：過圓外一點(diǎn)可作圓的兩條切線，且這兩條切線的長度相等6、射影定理：已知在直角三角形中，，為斜邊上的高（雙垂直特點(diǎn)），則以下等式成立：注：射影定理結(jié)合勾股定理，以及等面積法。在直角三角形中的邊這五條線段中，可做到已知兩條邊的長度，即可求出所有邊的長度7、平面幾何中線段長度的求法：（1）觀察所求線段是否是某個定理的一部分，從而湊齊該定理的其他條件即可求出該線段（2）考慮所求線段是否與其它線段存在比例關(guān)系（3）可將此線段放入三角形中，考慮是否能通過正余弦定理解決（4）若不易找到題目中各線段與所求線段的聯(lián)系，可考慮將所求線段設(shè)為，通過方程進(jìn)行求解。二、典型例題：例1：如圖，已知切于點(diǎn)，割線與弦相交于點(diǎn)，且，若，則的長為___________思路：由是切線，是割線聯(lián)想到切割線定理，所以有：，解得，從而，求可聯(lián)想到相交弦定理：，即，其中，，代入可得：答案：例2：如圖，四邊形內(nèi)接于圓，與圓相切于點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，，，，則．思路：由與圓相切可想到切割線定理：即，因?yàn)槭侵睆剑覟榈闹悬c(diǎn)，所以垂直平分，且和為對稱的直角三角形。所以，，所以。在中，由切線可知，且，所以由射影定理可知，則，進(jìn)而答案：例3：如圖，與圓相切于，為圓的割線，并且不過圓心，已知，，，則圓的半徑等于__________．思路：由與圓相切于可知，可得，從而，在中，可由，，可得：，從而，觀察圓內(nèi)的弦，延長交圓于，從而有，與半徑進(jìn)行聯(lián)系可得：，代入數(shù)值可得答案：例4：如圖，是半圓的直徑延長線上一點(diǎn)，切半圓于點(diǎn)，于，若，則（）A.B.C.D.思路：因?yàn)榍邪雸A于點(diǎn)，所以考慮連結(jié)圓心與切點(diǎn)，可得：，在中具有雙垂直的特點(diǎn)，所以只需已知兩條邊即可求出，由切割線定理可得：，，所以，即，從而，由射影定理可得：答案：B例5：如圖，為外接圓的切線，平分，交圓于，共線．若，則圓的半徑是．思路：由可知為圓的直徑，由弦切角性質(zhì)可得，且在圓中（對同弧），由平分可得，進(jìn)而，在中，可知：，所以由可得：，在中，，可得，從而答案：例6：如圖，內(nèi)接于⊙，過中點(diǎn)作平行于的直線，交于點(diǎn)，交⊙于、，交⊙在點(diǎn)切線于點(diǎn)，若，則的長為．思路：由為切線可想到切割線定理，所以，，只需求出即可。因?yàn)闉榍芯€，所以弦切角，因?yàn)?，所以，從而，進(jìn)而可證，由相交弦定理可知：，所以，所以，代入可得：答案：例7：如圖，已知和是圓的兩條弦，過點(diǎn)作圓的切線與的延長線相交于，過點(diǎn)作的平行線與圓交于點(diǎn),與相交于點(diǎn),,,,則線段的長為_________思路：由是切線且是割線可想到切割線定理，所以①，分別計(jì)算各線段長度。由,,可使用相交弦定理得：，再由可得：，所以，同時，代入①可得：答案：例8：如圖，已知與相切，為切點(diǎn)，過點(diǎn)的割線交于兩點(diǎn)，弦，相交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，若，，，則.思路：由與相切可想到切割線定理，即，只需求出即可。從題目條件中很難直接求出這兩個量，考慮尋找題目中的相似三角形。由可得：，所以①。由切割線定理可知②。因?yàn)?，所以，進(jìn)而，所以，則，代入，可得，所以，由①可算得，所以，。則答案：例9：如圖，切圓于點(diǎn)，割線經(jīng)過圓心，若，平分交圓于點(diǎn)，連結(jié)交圓于點(diǎn)，則的長等于__________思路：由圖可知若要求得，可想到切割線定理模型，只需求得即可。由割線與切線可想到切割線定理，從而可計(jì)算出，考慮計(jì)算，可將其放入中計(jì)算，已知的邊有，需要求解，在中，通過邊的關(guān)系可判定，進(jìn)而，由角平分線可知，所以。從而可用余弦定理計(jì)算出，即可算出解：切圓于點(diǎn)由可得：在中，平分在中，由余弦定理可得：由切割線定理可得：答案：例10：如圖，是圓的兩條平行弦，∥交于點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，過點(diǎn)的切線交延長線于點(diǎn)，若，則的長為__________思路：由切割線定理可得從而，由兩組平行關(guān)系可得四邊形為平行四邊形，從而，由可得：，若設(shè)為，則，可想到相交弦定理，①，所以只需用表示出即可得到關(guān)于的方程。因?yàn)榕c圓相切，所以，結(jié)合可得：，所以有，即，結(jié)合比例可知：，由相交弦定理可得：，代入①可得：，解得：答案：三、歷年好題精選1、（2015，天津）如圖，在圓中，是弦的三等分點(diǎn)，弦分別經(jīng)過點(diǎn)，若，則線段的長為（）A.B.C.D.2、（2015，廣東）如圖，已知是圓的直徑，，是圓的切線，切點(diǎn)為，過圓心作的平行線，分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，則______3、（2014，重慶）過圓外一點(diǎn)作圓的切線（為切點(diǎn)），再作割線依次交圓于，若，則________4、（2015，新課標(biāo)II）如圖，為等腰三角形內(nèi)一點(diǎn)，與的底邊交于兩點(diǎn)，與底邊上的高交于點(diǎn)，且與分別相切于兩點(diǎn)（1）證明：（2）若等于的半徑，且，求四邊形的面積5、（2014，湖北）如圖，為外一點(diǎn)，過點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，過的中點(diǎn)作割線交于兩點(diǎn)，若，則_______6、（2014，新課標(biāo)全國卷I）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，的延長線與的延長線交于點(diǎn)，且（1）證明：（2）設(shè)不是的直徑，的中點(diǎn)為，且，7、（2014，新課標(biāo)II）如圖，是外一點(diǎn)，是切線，為切點(diǎn)，割線與相交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，證明：（1）（2）8、（2014，天津）如圖所示：是圓的內(nèi)接三角形，的平分線交圓于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)的圓的切線與的延長線交于點(diǎn)，在上述條件下，給出以下四個結(jié)論：①平分；②；③；④，則所有正確結(jié)論的序號是（）A.①②B.③④C.①②③D.①②④9、如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，于，的延長線交的外接圓于點(diǎn)，則的長為__________10、如圖，是圓的直徑，點(diǎn)在圓上，延長到使，過作圓的切線交于.若，，則.習(xí)題答案：1、答案：A解析：由三等分，不妨設(shè)，則由切割線定理可得