考研數(shù)學(xué)二分類模擬195

考研數(shù)學(xué)二分類模擬195一、選擇題1.

設(shè)函數(shù)則f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)______A.處處可導(dǎo)B.恰有一個不可導(dǎo)點C.恰有兩個不可導(dǎo)點D.至少有三個不可導(dǎo)點正確答案：C[解析]本題可以先求出f(x)的表達式，再討論其不可導(dǎo)點。

即f(x)的表達式為

可見f(x)僅在x=±1兩點處不可導(dǎo)。故選C。

2.

設(shè)f(x)=|(x-1)(x-2)2(x-3)3|，則導(dǎo)數(shù)f'(x)不存在的點的個數(shù)是______A.0B.1C.2D.3正確答案：B[解析]考查帶有絕對值的函數(shù)在x0點處是否可導(dǎo)，可以借助如下結(jié)論：

設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，則

①若f(x0)≠0，且f(x)在x0處可導(dǎo)，則|f(x)|在x0處可導(dǎo)；

②若f(x0)=0，且f'(x0)=0，則|f(x)|在x0處可導(dǎo)；

③若f(x0)=0，且f'(x0)≠0，則|f(x)|在x0處不可導(dǎo)。

設(shè)φ(x)=(x-1)(x-2)2(x-3)3，則f(x)=|φ(x)|。f'(x)不存在的點就是f(x)不可導(dǎo)的點，根據(jù)上述結(jié)論可知，使φ(x)=0的點x1=1，x2=2，x3=3可能為不可導(dǎo)點，故只需驗證φ'(xi)(i=1，2，3)是否為零即可，而

φ'(x)=(x-2)2(x-3)3+2(x-1)(x-2)(x-3)3+3(x-1)(x-2)2(x-3)2，

顯然，φ'(1)≠0，φ'(2)=0，φ'(3)=0，所以只有一個不可導(dǎo)點x=1。故選B。

3.

設(shè)f(x)=3x3+x2|x|，則使f(n)(0)存在的最高階數(shù)n為______A.0B.1C.2D.3正確答案：C[解析]由于3x3任意階可導(dǎo)，本題實質(zhì)上是考查分段函數(shù)x2|x|在x=0處的最高階導(dǎo)數(shù)的存在性。

事實上，由可看出，f(x)在x=0處的二階導(dǎo)數(shù)為零，三階導(dǎo)數(shù)不存在。

故選C。

4.

已知y=f(x)由方程cos(xy)-lny+x=1確定，則=______A.2B.1C.-1D.-2正確答案：A[解析]將x=0代入方程得y=f(0)=1，在方程兩邊對x求導(dǎo)，得

代入x=0，y=1，知y'(0)=f'(0)=1。

故選A。

5.

設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在x=0處可導(dǎo)，且f(0)=0。則φ(x)在x=0處______A.不連續(xù)B.連續(xù)但不可導(dǎo)C.可導(dǎo)但φ'(x)在x=0處不連續(xù)D.可導(dǎo)且φ'(x)在x=0處連續(xù)。正確答案：D[解析]因為

所以φ(x)在x=0處連續(xù)。

x≠0時，則

故φ'(x)在x=0處連續(xù)。故選D。

6.

設(shè)函數(shù)則f(x)在x=0處______A.極限不存在B.極限存在但不連續(xù)C.連續(xù)但不可導(dǎo)D.可導(dǎo)正確答案：C[解析]顯然f(0)=0，對于極限由于當(dāng)x→0時，是無窮小量，為有界變量，故由無窮小量的運算性質(zhì)可知，因此f(x)在x=0處連續(xù)，排除A、B。

又因為不存在，所以f(x)在x=0處不可導(dǎo)。故選C。

7.

則f(x)在x=0處______A.極限不存在B.極限存在，但不連續(xù)C.連續(xù)但不可導(dǎo)D.可導(dǎo)正確答案：C[解析]

由f'+(0)，f'-(0)都存在可得，f(x)在x=0右連續(xù)和左連續(xù)，所以f(x)在x=0連續(xù)；但f'+(0)≠f'-(0)，所以f(x)在x=0處不可導(dǎo)。故選C。

8.

設(shè)函數(shù)f(x)對任意的x均滿足等式f(1+x)=af(x)，且有f'(0)=b，其中a，b為非零常數(shù)，則______A.f(x)在x=1處不可導(dǎo)B.f(x)在x=1處可導(dǎo)，且f'(1)=aC.f(x)在x=1處可導(dǎo)，且f'(1)=bD.f(x)在x=1處可導(dǎo)，且f'(1)=ab正確答案：D[解析]根據(jù)題意，令x=0，則f(1)=af(0)。由導(dǎo)數(shù)的定義可知，

且由f'(0)=b可知，

故故選D。

9.

設(shè)函數(shù)f(x)在x=a的某鄰域內(nèi)有定義，則f(x)在x=a處可導(dǎo)的一個充分條件是______

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]因為

如果此極限存在，則由導(dǎo)數(shù)定義可知，函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，即該極限存在是f(x)在x=a處可導(dǎo)的一個充分條件。故選D。

10.

下列函數(shù)中在x=0處不可導(dǎo)的是______

A．f(x)=|x|sin|x|

B．

C．f(x)=cos|x|

D．正確答案：D[解析]對于選項A，

故f'(0)=0；

對于選項B，

故f'(0)=0；

對于選項C，

故f'(0)=0；

對于選項D，

而

左、右導(dǎo)數(shù)不相等，f'(0)不存在，故選D。

本題計算函數(shù)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)的時候用到了等價無窮小替換，計算極限常用的等價無窮小替換還有

x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ex-1～ln(1+x)。

二、填空題1.

g(x)為奇函數(shù)且在x=0處可導(dǎo)，則f'(0)=______。正確答案：2g'(0)[解析]由g(x)在x=0處可導(dǎo)可知，g(x)在x=0處連續(xù)。又因為g(x)是奇函數(shù)，所以g(0)=0。

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得

2.

設(shè)函數(shù)則f'(x)=______。正確答案：[解析]當(dāng)x≠0時，有

當(dāng)x=0時，有

因此

3.

設(shè)f(x)可導(dǎo)，則正確答案：[解析]先考慮φ(x)的可導(dǎo)性并求導(dǎo)。

φ(x)在x=0處的左導(dǎo)數(shù)為

φ(x)在x=0處的右導(dǎo)數(shù)為

所以φ'(0)=0。

當(dāng)x＞0時，

當(dāng)x＜0時，

因此

4.

設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程y-x=ex(1-y)確定，則正確答案：1[解析]當(dāng)x=0時，y=1。對方程兩邊求導(dǎo)得

y'-1=ex(1-y)(1-y-xy')，

將x=0，y=1代入上式，可得y'(0)=1。

所以

5.

設(shè)y=(1+sinx)x，則dy|x=π=______。正確答案：-πdx[考點]本題屬于基本題型[解析]方法一：運用等價轉(zhuǎn)換y=(1+sinx)x=exln(1+sinx)，于是

因此dy|x=π=y'(π)dx=-πdx。

方法二：等式兩邊同時取對數(shù)，lny=xln(1+sinx)，求導(dǎo)得

于是

故有

dy|x=π=y'(π)dx=-πdx。

冪指函數(shù)的求導(dǎo)(或微分)問題可化為指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)或取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為隱函數(shù)求導(dǎo)。

6.

已知則y'=______。正確答案：[解析]等式兩邊取對數(shù)，則有

等式兩邊分別對x求導(dǎo)，有

整理得

7.

設(shè)函數(shù)y=f[f(x)]，則=______。正確答案：4[解析]由已知

而x＜1時，f'(x)=2，所以f'(-1)=f'(0)=2，代入可得

8.

設(shè)則f'(x)=______。正確答案：(1+3x)e3x[解析]先求出函數(shù)的表達式，即

于是f'(x)=e3x+x·e3x·3=(1+3x)e3x。

9.

已知則y"=______。正確答案：[解析]易知

則有

10.

設(shè)f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n)，則f'(0)=______。正確答案：n![解析]由于

f'(x)=(x+1)(x+2)…(x+n)+x[(x+2)…(x+n)+…+(x+1)(x+2)…(x+n-1)]，

所以f'(0)=n!。

三、解答題1.

設(shè)其中f(x)在x=0處二階可導(dǎo)，且f(0)=f'(0)=1。

(Ⅰ)a，b為何值時，g(x)在x=0處連續(xù)；

(Ⅱ)a，b為何值時，g(x)在x=0處可導(dǎo)。正確答案：解：(Ⅰ)由題意

若要g(x)在x=0處連續(xù)，必須即b=-1。

故b=-1，a為任意實數(shù)時，g(x)在x=0處連續(xù)。

(Ⅱ)若要g(x)在x=0處可導(dǎo)，則必須g(x)在x=0處連續(xù)(b=-1)，且g'-(0)=g'+(0)，所以

所以當(dāng)，b=-1時，g(x)在x=0處可導(dǎo)。

2.

設(shè)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)有定義，且對于任意x與y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又設(shè)f'(0)存在且等于a(a≠0)，試證明對任意的x∈(-∞，+∞)，f'(x)都存在，并求f(x)。正確答案：解：將x=y=0代入f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，得f(0)=0，為證明f'(x)存在，則由導(dǎo)數(shù)定義

所以對任意x∈(-∞，+∞)，f'(x)都存在，且f'(x)=f(x)+aex。

解此一階線性方程，得

又因f(0)=0，得C=0，即f(x)=axex。

3.

已知函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，f(x)＞0，且滿足求f(x)。正確答案：解：設(shè)因為

故

由已知條件得因此

解得得C=1。故[解析]該題的極限形式屬于1∞型，因此也可以通過重要極限來計算。

4.

設(shè)y=f(t)，u=g(x)，其中f，g均二階可導(dǎo)且g'(x)≠0，求與。正確答案：解：由積分上限函數(shù)求導(dǎo)法則可得

再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得

5.

設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上有定義，在區(qū)間[0，2]上，f(x)=x(x2-4)，若對任意的x都滿足f(x)=kf(x+2)，其中k為常數(shù)。

(Ⅰ)寫出f(x)在[-2，2]上的表達式；

(Ⅱ)問k為何值時，f(x)在x=0處可導(dǎo)。正確答案：解：(Ⅰ)當(dāng)-2≤x＜0，即0≤x+2＜2時，有

f(x)=kf(x+2)=k(x+2)[(x+2)2-4]=kx(x+2)(x+4)。

所以，f(x)在[-2，2]上為

(Ⅱ)根據(jù)已知f(0)=0。

令f'-(0)=f'+(0)，得時，f(x)在x=