考研數(shù)學(xué)二分類模擬題46

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題46解答題1.

設(shè)函數(shù)f(x)在x=1的某鄰域內(nèi)有定義，且滿足|f(x)-2ex|≤(x-1)2，研究函數(shù)f(x)在x=1處的可導(dǎo)性.正確答案：[解]把x=1代入不等式中，得（江南博哥）f(1)=2e.

當(dāng)x≠1時，不等式兩邊同除以|x-1|，得

2.

設(shè)f(x)在x=0的鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，求曲線y=f(x)在點(0，f(0))處的曲率.正確答案：[解]

則y=f(x)在點(0，f(0))處的曲率為

3.

設(shè)正確答案：[解]當(dāng)|x|＜1時，

當(dāng)x＞1時，y'=1；當(dāng)x＜-1時，y'=-1；

由得y在x=-1處不連續(xù)，故y'(-1)不存在；

因為y'-(1)≠y'+(1)，所以y在x=1處不可導(dǎo)，

故

4.

設(shè)且f"(0)存在，求a，b，c.正確答案：[解]因為f(x)在x=0處連續(xù)，所以c=0，即

由f(x)在x=0處可導(dǎo)，得b=1，即

于是

由f"(0)存在，得，即

設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，證明：5.

存在使得f(η)=η；正確答案：[證明]令φ(x)=f(x)-x，φ(x)在[0，1]上連續(xù)，由零點定理，存在使得φ(η)=0，即f(η)=η．

6.

對任意的k∈(-∞，+∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f'(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1.正確答案：[證明]設(shè)F(x)=e-kxφ(x)，顯然F(x)在[0，η]上連續(xù)，在(0，η)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=F(η)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(0，η)，使得F'(ξ)=0，整理得f'(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1.

7.

設(shè)f(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)二階可導(dǎo)，且，又f(2)=證明：存在ξ∈(0，2)，使得f'(ξ)+f"(ξ)=0.正確答案：[證明]由，得f(1)=-1，

由積分中值定理得，其中

由羅爾定理，存在x0∈(c，2)(1，2)，使得f'(x0)=0.

令φ(x)=exf'(x)，則φ(1)=φ(x0)=0，

由羅爾定理，存在ξ∈(1，x0)(0，2)，使得φ'(ξ)=0，

而φ'(x)=ex[f'(x)+f"(x)]且ex≠0，所以f'(ξ)+f"(ξ)=0.

8.

設(shè)f(x)在[0，1]上可導(dǎo)，f(0)=0，證明：f(x)≡0，x∈[0，1].正確答案：[證明]因為f(x)在[0，1]上可導(dǎo)，所以f(x)在[0，1]上連續(xù)，從而|f(x)|在[0，1]上連續(xù)，故|f(x)|在[0，1]上取到最大值M，即存在x0∈[0，1]，使得|f(x0)|=M．

當(dāng)x0=0時，則M=0，所以f(x)≡0，x∈[0，1]；

當(dāng)x0≠0時，

其中ξ∈(0，x0)，故M=0，于是f(x)≡0，x∈[0，1]．

9.

設(shè)f(x)∈C[a，b]，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)=f(b)=1.證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得

2e2ξ-η=(ea+eb)[f'(η)+f(η)].正確答案：[證明]令φ(x)=exf(x)，由微分中值定理，存在η∈(a，b)，使得

再由f(a)=f(b)=1，得

從而

令φ(x)=e2x，由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得

即2e2ξ=(ea+eb)eη[f'(η)+f(η)]，或2e2ξ-η=(ea+eb)[f'(η)+f(η)].

10.

設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，f(0)=f(1)=0且證明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)≥8.正確答案：[證明]因為f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，所以f(x)在[0，1]上連續(xù)且f(0)=f(1)=0，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值定理知，f(x)在[0，1]取到最小值且最小值在(0，1)內(nèi)達(dá)到，即存在c∈(0，1)，使得f(c)=-1，再由費馬定理知f'(c)=0，

根據(jù)泰勒公式

整理得

所以存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)≥8.在使用泰勒中值定理時，若已知條件中給出某點的一階導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)在該點展開；若結(jié)論中是關(guān)于某點的一階導(dǎo)數(shù)，則在該點展開；若既未給出某點的一階導(dǎo)數(shù)的條件，結(jié)論中又不涉及某點的一階導(dǎo)數(shù)，往往函數(shù)在區(qū)間的中點處展開．

11.

一質(zhì)點從時間t=0開始直線運動，移動了單位距離使用了單位時間，且初速度和末速度都為零.證明：在運動過程中存在某個時刻點，其加速度絕對值不小于4.正確答案：[證明]設(shè)運動規(guī)律為S=S(t)，顯然S(0)=0，S'(0)=0，S(1)=1，S'(1)=0.由泰勒公式

兩式相減，得

當(dāng)|S"(ξ1)|≥|S"(ξ2)|時，|S"(ξ1)|≥4；當(dāng)|S"(ξ1)|＜|S"(ξ2)|時，|S"(ξ2)|≥4.

12.

設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且|f"(x)|≤|(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，證明：

正確答案：[證明]由泰勒公式得

兩式相減，得

兩邊取絕對值，再由|f"(x)|≤1，得

設(shè)f(x)在(-1，1)內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f"(x)≠0.證明：13.

對(-1，1)內(nèi)任一點x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得

f(x)=f(0)+xf'[θ(x)x]；正確答案：[證明]對任意x∈(-1，1)，根據(jù)微分中值定理，得

f(x)=f(0)+xf'[θ(x)x]，其中0＜θ(x)＜1.

因為f"(x)∈C(-1，1)且f"(x)≠0，所以f"(x)在(-1，1)內(nèi)保號，不妨設(shè)f"(x)＞0，則f'(x)在(-1，1)內(nèi)單調(diào)增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的．

14.

正確答案：[證明]由泰勒公式，得

而f(x)=f(0)+xf'[θ(x)x]，所以有

令x→0，再由二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性及非零性，得

15.

設(shè)f(x)在[a，b]上二階可導(dǎo)，且f'(a)=f'(b)=0.證明：存在ξ∈(a，b)，使得

正確答案：[證明]由泰勒公式得

兩式相減得

取絕對值得

(1)當(dāng)|f"(ξ1)|≥f"(ξ2)|時，取ξ=ξ1，則有

(2)當(dāng)|f"(ξ1)|＜|f"(ξ2)|時，取ξ=ξ2，則有

16.

f(x)在[-1，1]上三階連續(xù)可導(dǎo)，且f(-1)=0，f(1)=1，f'(0)=0.證明：存在ξ∈(-1，1)，使得f'''(ξ)=3.正確答案：[證明]由泰勒公式得

兩式相減得f'''(ξ1)+f'''(ξ2)=6.

因為f(x)在[-1，1]上三階連續(xù)可導(dǎo)，所以f'''(x)在[ξ1，ξ2]上連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)最值定理，f'''(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f'''(ξ1)+f'''(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．

由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](-1，1)，使得f'''(ξ)=3.

17.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo).證明：存在ξ∈(a，b)，使得

正確答案：[證明]因為f(x)在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，所以有

其中

兩式相加得

因為f"(x)在(a，b)內(nèi)連續(xù)，所以f"(x)在[ξ1，ξ2]上連續(xù)，從而f"(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故

由介值定理，存在使得

故

設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且|f(x)|≤a，|f"(x)|≤b，其中a，b都是非負(fù)常數(shù)，c為(0，1)內(nèi)任意一點.18.

寫出f(x)在x=c處帶拉格朗日型余項的一階泰勒公式；正確答案：[證明]，其中ξ介于c與x之間．

19.

證明：正確答案：[證明]分別令x=0，x=1，得

兩式相減，得，利用已知條件，得

因為c2+(1-c)2≤1，所以

設(shè)f(x)在[-a，a](a＞0)上有四階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，存在.20.

寫出f(x)的帶拉格朗日余項的麥克勞林公式；正確答案：[解]由存在，得f(0)=0，f'(0)=0，f"(0)=0，

則f(x)的帶拉格朗日余項的麥克勞林公式為，其中ξ介于0與x之間．

21.

證明：存在ξ1，ξ2∈[-a，a]，使得正確答案：[證明]上式兩邊積分得

因為f(4)(x)在[-a，a]上為連續(xù)函數(shù)，所以f(4)(x)在[-a，a]上取到最大值M和最小值m，于是有mx4≤f(4)(ξ)x4≤Mx4，

兩邊在[-a，a]上積分得

從而

于是

根據(jù)介值定理，存在ξ1∈[-a，a]，使得

再由積分中值定理，存在ξ2∈[-a，a]，使得

22.

設(shè)f(x)在x0的鄰域內(nèi)四階可導(dǎo)，且|f(4)(x)|≤M(M＞0).證明：對此鄰域內(nèi)任一異于x0的點x，有

其中x'為x關(guān)于x0的對稱點.正確答案：[證明]由

兩式相加得

于是

再由|f(4)(x)|≤M，得

23.

設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0，f'+(a)f'-(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，b])，g"(x)≠0(a＜x＜b)，證明：存在ξ∈(a，b)，使得正確答案：[證明]設(shè)f'+(a)＞0，f'-(b)＞0，

由f'+(a)＞0，存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)=0；

由f'-(b)＞0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＜f(b)=0，

因為f(x1)f(x2)＜0，所以由零點定理，存在c∈(a，b)，使得f(c)=0.

令，顯然h(x)在[a，b]上連續(xù)，由h(a)=h(c)=h(b)=0，

存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h'(ξ1)=h'(ξ2)=0，

而

令φ(x)=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，

由羅爾定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ'(ξ)=0，

而φ'(x)=f"(x)g(x)-f(x)g"(x)，所以

24.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0，且f'+(a)＞0.證明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)＜0.正確答案：[證明]因為所以存在δ＞0，當(dāng)0＜x-a＜δ時，有，從而f(x)＞f(a)，于是存在c∈(a，b)，使得f(c)＞f(a)=0.

由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，6)，使得

再由微分中值定理及f(x)的二階可導(dǎo)性，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得

25.

設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，f(0)=0，且f"(x)＞0.證明：對任意的a＞0，b＞0，有

f(a+b)＞f(a)+f(b).正確答案：[證明]不妨設(shè)a≤b，由微分中值定理，存在ξ1∈(0，a)，ξ2∈(b，a+b)，使得

兩式相減得f(a+b)-f(a)-f(b)=[f'(ξ2)-f'(ξ1)]a．

因為f"(x)＞0，所以f'(x)單調(diào)增加，而ξ1＜ξ2，所以f'(ξ1)＜f'(ξ2)，

故f(a+b)-f(a)-f(b)=[f'(ξ2)-f'(ξ1)]a＞0，即

f(a+b)＞f(a)+f(b)．

26.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且f"(x)＞0，對任意的x1，x2∈[a，b]及0＜λ＜1，證明：

f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2).正確答案：[證明]令x0=λx1+(1-λ)x2，則x0∈[a，b]，由泰勒公式得

其中ξ介于x0與x之間，

因為f"(x)＞0，所以f(x)≥f(x0)+f'(x0)(x-x0)，

于是

兩式相加，得f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)．

27.

設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，且f"(x)＞0.證明：當(dāng)x≠0時，f(x)＞x.正確答案：[證明]由得f(0)=0，f'(0)=1，

又由f"(x)＞0且x≠0，所以f(x)＞f(0)+f'(0)x=x.

28.

設(shè)f(x)在[0，+∞)內(nèi)可導(dǎo)且f(0)=1，f'(x)＜f(x)(x＞0).證明：f(x)＜ex(x＞0).正確答案：[證明]令φ(x)=e-xf(x)，則φ(x)在[0，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，

又φ(0)=1，φ'(x)=e-x[f'(x)-f(x)]＜0(x＞0)，所以當(dāng)x＞0時，φ(x)＜φ(0)=1，所以

有f(x)＜ex(x＞0)．

29.

設(shè)f(x)在[a，b]上二階可導(dǎo)，且f"(x)＞0，取xi∈[a，b](i=1，2，…，n)及ki＞0(i=1，2，…，n)且滿足k1+k2+…+kn=1.證明：

f(k1x1+k2x2+…+k