考研數(shù)學(xué)二分類模擬題183

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題183一、選擇題(下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求)1.

已知A是3階矩陣，r(A)=1，則λ=0______A.必是A的二重特征值B.至少是A的二重特征值C.（江南博哥）至多是A的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都可能正確答案：B[解析]A是3階矩陣，r(A)=1，r(0E-A)=1．(0E-A)X=0有兩個(gè)線性無關(guān)特征向量，故λ=0至少是二重特征值，也可能是三重，例如：，r(A)=1，λ=0是三重特征值．

2.

A是n×n矩陣，則A相似于對角矩陣的充分必要條件是______A.A有n個(gè)不同的特征值B.A有n個(gè)不同的特征向量C.A的每個(gè)ri重特征值λi，均有r(λiE-A)=n-riD.A是實(shí)對稱矩陣正確答案：C[解析]A相似于對角矩陣A有n個(gè)線性無關(guān)特征向量對每個(gè)ri重特征值λi，有r(λiE-A)=n-ri，即對應(yīng)ri重特征值λi有ri個(gè)線性無關(guān)特征向量(共n個(gè)線性無關(guān)特征向量)．

A，D是充分條件，但非必要，B是必要條件，但不充分，n個(gè)不同的特征向量，并不一定線性無關(guān)．

3.

下列矩陣中能相似于對角矩陣的矩陣是______

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]四個(gè)選項(xiàng)的矩陣，特征值均為1，1，2，能相似于對角矩陣的矩陣，要求對應(yīng)二重特征值λ1=λ2=1，有二個(gè)線性無關(guān)特征向量．對C而言，因

可有兩個(gè)線性無關(guān)特征向量，故C可相似于對角矩陣，而r(E-A)=r(E-B)=r(E-D)=2，都只有一個(gè)線性無關(guān)特征向量，故均不能相似于對角矩陣．

4.

已知，α1是矩陣A屬于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩陣A屬于特征值λ=6的線性無關(guān)的特征向量，那么矩陣P不能是______A.[α1，-α2，α3]B.[α1，α2+α3，α2-2α3]C.[α1，α3，α2]D.[α1+α2，α1-α2，α3]正確答案：D[解析]若，P=[α1，α2，α3]，則有，即

即[Aα1，Aα2，Aα3]=[a1α1，a2α2，a3α3]．

可見αi是矩陣A屬于特征值αi(i=1，2，3)的特征向量，又因矩陣P可逆，因此，α1，α2，α3線性無關(guān)．

若α是屬于特征值λ的特征向量，則-α仍是屬于特征值λ的特征向量，故A正確．

若α，β是屬于特征值λ的特征向量，則k1α+k2β仍是屬于特征值λ的特征向量．本題中，α2，α3是屬于λ=6的線性無關(guān)的特征向量，故α2+α3，α2-2α3仍是λ=6的特征向量，并且α2+α3，α2-2α3線性無關(guān)，故B正確．

關(guān)于C項(xiàng)，因?yàn)棣?，α3均是λ=6的特征向量，所以α2，α3誰在前誰在后均正確，即C項(xiàng)正確．

由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1-α2不再是矩陣A的特征向量，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．

5.

下列矩陣中與合同的矩陣是______

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]因，故選B．

6.

設(shè)A，B均是n階實(shí)對稱矩陣，則A，B合同的充分必要條件是______A.A，B有相同的特征值B.A，B有相同的秩C.A，B有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)D.A，B均是可逆矩陣正確答案：C[解析]A項(xiàng)是充分條件，A，B實(shí)對稱，且λi相同，則A，B合同，但反之不成立．B項(xiàng)是必要條件但不充分，A，B合同，有可逆矩陣C，，反之不成立．D既不充分，又不必要．C項(xiàng)是兩矩陣合同的充要條件．

7.

實(shí)二次型f(x1，x2，…，xn)的秩為r，符號差為s，且f的矩陣和-f的矩陣合同，則必有______A.r是偶數(shù)，s=1B.r是奇數(shù)，s=1C.r是偶數(shù)，s=0D.r是奇數(shù)，s=0正確答案：C[解析]設(shè)f的正慣性指數(shù)為p，負(fù)慣性指數(shù)為q，-f的正慣性指數(shù)為p1，負(fù)慣性指數(shù)為q1，則有p=q1，q=p1，又f的矩陣與-f的矩陣合同，故有p=p1，q=q1，從而有

r=p+q=p+p1=2p，s=p-q=p-p1=0，

故選C．

8.

設(shè)如，則f(x1，x2，x3)的規(guī)范形是______

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]

方法一

=(x1-2x2+2x3)2，

得f的規(guī)范形為

方法二f對應(yīng)的矩陣為

知λ1=9，λ2=λ3=0．

f的標(biāo)準(zhǔn)形為，規(guī)范形為，故應(yīng)選D．

9.

設(shè)A=E-2XXT，其中X=[x1，x2，…，xn]T，且XTX=1，則A不是______A.對稱矩陣B.可逆矩陣C.正交矩陣D.正定矩陣正確答案：D[解析]AT=(E-2XXT)T=E-2XXT=A，A是對稱矩陣；

A2=(E-2XXT)2=E-4XXT+4XXTXXT=E，A是可逆矩陣；

A可逆，A對稱，且A2=AAT=E，A是正交矩陣；

AX=(E-2XXT)X=-X，X≠0，λ=-1是A的特征值，故A不是正定矩陣．

10.

設(shè)4階行列式的第2列元素依次為2，a22，a32，3，第2列元素的余子式依次為1，-1，1，-1，第4列元素的代數(shù)余子式依次為3，1，4，2，且行列式的值為1，則a22，a32的取值為______

A．a(chǎn)22=-4，a32=-2

B．a(chǎn)22=4，a32=-2

C．

D．正確答案：A[解析]由行列式展開定理及推論，得

即

解得a22=-4，a32=-2．

11.

設(shè)m×n階矩陣A的n個(gè)列向量線性無關(guān)，則______A.r(ATA)=nB.r(ATA)＜nC.r(ATA)＞nD.r(ATA)＞m正確答案：A[解析]由于r(A)=n，且r(ATA)=r(A)，故選A．

12.

設(shè)是可逆矩陣，B是3階矩陣，滿足則|B|=______A.1B.-2C.3D.-6正確答案：C[解析]因?yàn)?/p>

上式兩端左邊乘A-1，且取行列式得

故應(yīng)選C．

13.

設(shè)A是3階非零矩陣，滿足A2=A，且A≠E，則必有______A.r(A)=1B.r(A-E)=2C.[r(A)-1][r(A-E)-2]=0D.[r(A)-1][r(A-E)-1]=0正確答案：D[解析]A是3階非零矩陣，則A≠O，r(A)≥1．又A≠E，A-E≠O，r(A-E)≥1．

因A2=A，即A(A-E)=O，得r(A)+r(A-E)≤3，且

1≤r(A)≤2，1≤r(A-E)≤2．

故矩陣A和A-E的秩r(A)和r(A-E)或者都是1，或者一個(gè)是1，另一個(gè)是2(不會(huì)是3，也不會(huì)是0，也不可能兩個(gè)都是2．故兩個(gè)中至少有一個(gè)的秩為1)．

故A，B，C均是錯(cuò)誤的，應(yīng)選D．

14.

已知向量組α1，α2，…，αs線性相關(guān)，其中αi=[ni1，ai2，…，ain]T，i=1，2，…，s，則下列向量組可能線性無關(guān)的是______A.βi=[ai2，ai1，ai3，…，ain]T，i=1，2，…，sB.γi=[ai1，ai1-ai2，ai3，…，ain]T，i=1，2，…，sC.ξi=[ai1，ai2，…，ai，n-1]T，i=1，2，…，sD.ηi=[ai1，ai2，…，ain，ai，n+1]T，i=1，2，…，s正確答案：D[解析]n維向量αi后面增加了分量(即維數(shù))成n+1維向量ηi，討論線性相關(guān)性時(shí)，相當(dāng)于以αi為列向量的齊次線性方程組增加了一個(gè)方程，有可能使方程組

η1x1+η2x2+…+ηsxs=0

變得只有零解，即η1，η2，…，ηs可能線性無關(guān)．故應(yīng)選D．

A，B項(xiàng)相當(dāng)于作初等變換，不改變向量組的秩，不改變向量組的線性相關(guān)性C項(xiàng)中向量減少分量，仍保持線性相關(guān)．

15.

設(shè)A=[α1，α2，…，αn]經(jīng)過若干次初等行變換得B=[β1，β2，…，βn]，b=[b1，b2，…，bn]T≠0則

①Ax=0和Bx=0同解；

②Ax=b和Bx=b同解；

③A，B中對應(yīng)的任何部分行向量組有相同的線性相關(guān)性；

④A，B中對應(yīng)的任何部分列向量組有相同的線性相關(guān)性．

其中正確的是______A.①，③B.②，④C.①，④D.②，③正確答案：C[解析]A經(jīng)過初等行變換后得B，方程組Ax=0和Bx=0中只是方程改變倍數(shù)、兩方程互換，或某方程的k倍加到另一方程上，它們不改變方程組的解，故①成立．A，B中任何部分列向量組組成的方程組也是同解方程組，故列向量組有相同的線性相關(guān)性，故④成立，而②中由于b沒有參與行變換，故②不成立，③行變換后，A，B中對應(yīng)的部分行向量會(huì)改變線性相關(guān)性．

如

故③也不成立．

16.

設(shè)齊次線性方程組有通解k[1，0，2，-1]T，其中k是任意常數(shù)，A中去掉第i列(i=1，2，3，4)的矩陣記成Ai，則下列方程組中有非零解的方程組是______A.A1y=0B.A2y=0C.A3y=0D.A4y=0正確答案：B[解析]A3×4x=0有通解k[1，0，2，-1]T，將A以列分塊，設(shè)A=[α1，α2，α3，α4]，即有α1+2α3-α4=0，則方程A2y=0有非零解ξ=[1，2，-1]T．

其余選項(xiàng)A，C，D均不成立．

若A1y=0有非零解，設(shè)為[λ1，λ2，λ3]T，則有

λ1α2+λ2α3+λ3α4=0，

即0α1+λ1α2+λ2α3+λ4α4=0，

則由原方程組A3×4x=0，可得另一個(gè)線性無關(guān)解[0，λ1，λ2，λ3]T，這和題設(shè)矛盾．(由題設(shè)知，Ax=0只有一個(gè)線性無關(guān)解)C，D項(xiàng)類似．

17.

設(shè)A是4×5矩陣，ξ1=[1，-1，1，0，0]T，ξ2=[-1，3，-1，2，0]T，ξ3=[2，1，2，3，0]T，ξ4=[1，0，-1，1，-2]T都是齊次線性方程組Ax=0的解，且Ax=0的任一解向量均可由ξ1，ξ2，ξ3，ξ4線性表出，若k1，k2，k3，k4是任意常數(shù)，則Ax=0的通解是______A.k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3+k4ξ4B.k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3C.k2ξ2+k3ξ3D.k1ξ1+k3ξ3+k4ξ4正確答案：D[解析]Ax=0的任一解向量均可由ξ1，ξ2，ξ3，ξ4線性表出，則必可由ξ1，ξ3，ξ3，ξ4的極大線性無關(guān)組表出，且ξ1，ξ2，ξ3，ξ4的極大線性無關(guān)組即是Ax=0的基礎(chǔ)解系，因

故知ξ1，ξ3，ξ4線性無關(guān)，是極大線性無關(guān)組，是Ax=0的基礎(chǔ)解系，D項(xiàng)是Ax=0的通解，故應(yīng)選D．

18.

設(shè)A，P都是n階可逆陣，λ，ξ分別是A的特征值和對應(yīng)的特征向量，則P-1A*P的特征值和對應(yīng)的特征向量分別是______

A．

B．

C．

D．正確答案：A[解析]由題設(shè)條件

Aξ=λξ，(*)

其中A可逆，故λ≠0，(*)式兩端左邊乘A*，得A*Aξ=|A|ξ=λA*ξ，

即

(**)

(**)式兩端左邊乘P-1，得

故知P-1A*P有特征值，對應(yīng)的特征向量為P-1ξ．故應(yīng)選A．

19.

設(shè)A是3階矩陣，Ax=0有通解kξ1+k2ξ2，Aξ3=ξ3，則存在可逆矩陣P，使得，其中P是A.[ξ1，ξ2，ξ1+ξ3]B.[ξ2，ξ3，ξ1]C.[ξ1+ξ2，-ξ2，2ξ3]D.[ξ1+ξ2，ξ2-ξ3，ξ3]正確答案：C[解析]由題意，知ξ1，ξ2是A的對應(yīng)于特征值λ1=0的線性無關(guān)的特征向量，ξ3是A的對應(yīng)于特征值λ2=1的特征向量，且注意下列概念：

①A的同一個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量的非零線性組合，如λ=0對應(yīng)的特征向量是ξ1，ξ2，則k1ξ1+k2ξ2為非零向量時(shí)，仍是A的對應(yīng)于該特征值的特征向量．λ=1對應(yīng)的特征向量是ξ3，則kξ3仍是λ=1對應(yīng)的特征向量，k為任意非零常數(shù)．

②對不同特征值λ1≠λ2，則對應(yīng)的特征向量的線性組合(如ξ1+ξ3，ξ2-ξ3等)不再是A的特征向量．

③P中的特征向量排列次序應(yīng)與對角陣中λ的排列次序一致．

由上述三條知應(yīng)選C，因C項(xiàng)中，ξ1+ξ2，-ξ2仍是對應(yīng)于特征值λ=0的特征向量，2ξ3仍是對應(yīng)于特征值λ=1的特征向量，且與對角矩陣中特征值的排列次序一致，故應(yīng)選C．

A項(xiàng)中ξ1+ξ3不是特征向量，B項(xiàng)中ξ3，ξ1對應(yīng)的特征值的排列次序不一致，D項(xiàng)中ξ2-ξ3不是特征向量，故都是錯(cuò)誤的．

20.

設(shè)A，B均是n階非零矩陣，已知A2=A，B2=B，且AB=BA=O，則下列3個(gè)說法：

①0未必是A和B的特征值；

②1必是A和B的特征值；

③若α是A的屬于特征值1的特征向量，則α必是B的屬于特征值0的特征向量．

正確說法的個(gè)數(shù)為A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)正確答案：C[解析]A是n階非零矩陣，設(shè)λ是A的特征值，α是對應(yīng)的特征向量，則Aα=λα．因?yàn)锳2=A，于是A2α=Aα，λ2α=λα，(λ2-λ)α=0．由于α≠0，故有λ2-λ=0，所以λ=1或0．

又由于A2=A，即(E-A)A=O，且A≠O，所以齊次線性方程組(E-A)x=0有非零解．從而，|E-A|=0，故知λ=1是A的特征值，又因?yàn)锳B=O，B≠O，所以齊次線性方程組Ax=0有非零解．由此可知，|A|=0，故λ=0也是A的特征值．

同樣可證，矩陣B的特征值必是1和0．

由于1是A的特征值，α是對應(yīng)的特征向量，則有Aα=α．兩端左邊乘矩陣B，得

Bα=B(Aα)=(BA)α．

因?yàn)锽A=O，所以Bα=0=0α．

由此可知，若α是A的屬于特征值1的特征向量，則α必是B的屬于特征值0的特征向量．

21.

設(shè)A是3階實(shí)對稱矩陣，λ1，λ2，λ3是A的3個(gè)特征值，且滿足a≥λ1≥λ2≥λ3≥b，若A-μE是正定矩陣，則參數(shù)μ應(yīng)滿足______A.μ＞bB.μ＞aC.μ＜aD.μ＜b正確答案：D[解析]A有特征值λ1，λ2，λ3，則A-μE有特征值λ1-μ，λ2-μ，λ3-μ且滿足a-μ≥λ1-μ≥λ2-μ≥λ3-μ≥b-μ．A-μE正定，全部特征值應(yīng)大于0，當(dāng)b-μ＞0即b＞μ時(shí)，A-μE正定，故應(yīng)選D．

二、填空題1.

設(shè)n階矩陣，則|A|=______．正確答案：(-1)n-1(n-1)[解析]

2.

正確答案：(x2-y2)(b2-c2)[解析]

3.

，其中a，b，c，d，x，y，z，w是任意常數(shù)，則|A|=______．正確答案：0[解析]

4.

設(shè)a，b，a+b均非零，則行列式正確答案：-2(a3+b3)[解析]將第2，3行加到第1行上去，提出公因子2(a+b)后，再將第1列的-1倍加到第2，3列，得到

5.

設(shè)A=[α1，α2，α3]是3階矩陣，|A|=4，若

B=[α1-3α2+2α3，α2-2α3，2α2+α3]，則|B|=______．正確答案：20[解析]方法一利用行列式自

|B|=|α1-3α2+2α3，α2-2α3，5α3|

=5|α1-3α2+2α3，α2-2α3，α3|

=5|α1-3α2，α2，α3|

=5|α1，α2，α3|

=20．

方法二

故

6.

設(shè)A，B均為n階矩陣，且|A|=2，|B|=-3，則|2A*B-1|=______．正確答案：[解析]

7.

設(shè)A是m階矩陣，B是n階矩陣，且|A|=a，|B|=b，，則|C|=______．正確答案：(-1)mnab[解析]

8.

已知A，B為3階相似矩陣，λ1=1，λ2=2為A的兩個(gè)特征值，行列式|B|=2，則行列式正確答案：[解析]設(shè)λ3為A的另一特征值，則由A～B知，|A|=|B|=2，且λ1λ2λ3=|A|=2，可見λ3=1，從而A，B有相同的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=1．于是有

|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)(λ3+1)=12，

|(2B)*|=|22B*|=43|B*|=43|B|2=256，

故

9.

已知AB-B=A，其中，則A=______．正確答案：[解析]

10.

設(shè)A為奇數(shù)階矩陣，AAT=ATA=E，且|A|＞0，則|A-E|=______．正確答案：0[解析]由題知|A-E|=|A-AAT|=|A(E-AT)|=|A||(E-A)T|=|A||E-A|．

又