自動(dòng)控制原理 典型環(huán)節(jié)的頻率特性

自動(dòng)控制原理

/比例環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)純微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的典型化分解5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性用頻域分析法研究控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)，是根據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性進(jìn)行的，而控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性通常是由若干典型環(huán)節(jié)的頻率特性組成的。本節(jié)介紹七種常用的典型環(huán)節(jié)的頻率特性。一、比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的頻率特性為顯然，它與頻率無(wú)關(guān)。相應(yīng)的幅頻特性和相頻特性和對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性圖5-6比例環(huán)節(jié)的Nyquist圖圖5-7比例環(huán)節(jié)的Bode圖所以，比例環(huán)節(jié)是一個(gè)理想的放大器二、積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的頻率特性為其幅頻特性和相頻特性和對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為圖5-8積分環(huán)節(jié)的Nyquist圖圖5-9積分環(huán)節(jié)的Bode圖對(duì)數(shù)幅頻特性為一條斜率為－20dB/dec的直線，此線通過(guò)L(ω)=0，ω=1的點(diǎn)。幅頻特性與角頻率ω成反比，相頻特性恒為－90°。三、微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的頻率特性為其幅頻特性和相頻特性和對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為圖5-10微分環(huán)節(jié)的Nyquist圖圖5-11微分環(huán)節(jié)的Bode圖其對(duì)數(shù)幅頻特性為一條斜率為20dB/dec的直線，它與0dB線交于ω=1點(diǎn)。微分環(huán)節(jié)的幅頻特性等于角頻率ω，而相頻特性恒為90°。四、慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的頻率特性寫(xiě)成實(shí)部和虛部形式，即幅頻特性和相頻特性慣性環(huán)節(jié)的Nyquist圖是圓心在(0.5,0)，半徑為0.5的半圓。

圖5-12慣性環(huán)節(jié)的Nyquist圖對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為低頻段：(1)高頻段：(2)慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線為圖5-13。其中的兩條紅線分別為漸近線（1）和（2）。ω＝1/T是兩條漸近線的交點(diǎn)，稱為交接頻率(cornerfrequency)，或叫轉(zhuǎn)折頻率、轉(zhuǎn)角頻率。(這是一個(gè)很重要的概念)。圖5-13慣性環(huán)節(jié)的Bode圖低通濾波特性！RC電路具有此性質(zhì)習(xí)題5-2(1)圖5-14MATLAB繪制的慣性環(huán)節(jié)的Bode圖五、一階微分環(huán)節(jié)頻率特性幅頻特性和相頻特性、對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖（如圖5-16所示）與慣性環(huán)節(jié)的Bode圖（如圖5-13所示）關(guān)于橫軸對(duì)稱。圖5-15一階微分環(huán)節(jié)的Nyquist圖圖5-16一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖高頻放大！抑制噪聲能力的下降！RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù):特點(diǎn)：環(huán)節(jié)中有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，并可進(jìn)行能量交換，其輸出可能出現(xiàn)振蕩與標(biāo)準(zhǔn)形式比較，可得：所以：顯然，其傳遞函數(shù)為：欠阻尼（衰減的震蕩）臨界阻尼（無(wú)震蕩）過(guò)阻尼（無(wú)震蕩）無(wú)阻尼（不衰減的震蕩）不同ζ下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線圖0123456789101112

ntc(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0

=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0時(shí)域特性！六、二階振蕩環(huán)節(jié)(要重視?。?頻率特性

幅頻特性和相頻特性對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性其中，注意：圖5-17二階振蕩環(huán)節(jié)的Nyquist圖頻率特性的端點(diǎn)取值當(dāng)時(shí)（位于虛軸上）低頻段：高頻段：二階振蕩環(huán)節(jié)Bode圖可用上述低頻段和高頻段的兩條直線組成的折線近似表示（如圖5-18所示）。二階振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性可作如下簡(jiǎn)化(不考慮阻尼比，即，令)：圖5-18二階振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖低頻段和高頻段的兩條直線相交處的交接頻率為ω=1/T，正好是振蕩環(huán)節(jié)的無(wú)阻尼自然振蕩頻率。在交接頻率附近，對(duì)數(shù)幅頻特性與漸近線存在一定的誤差，其值取決于阻尼比ζ的值，阻尼比越小，則誤差越大.LC越大（即，時(shí)間常數(shù)越大），RLC電路的低通濾波特性越好！欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)性能指標(biāo)計(jì)算公式LC越?。矗瑫r(shí)間常數(shù)越?。?，RLC電路的時(shí)域特性越好！七、延遲環(huán)節(jié)頻率特性幅頻特性和相頻特性對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性Nyquist圖是一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，半徑為1的圓。

如果用線性坐標(biāo)，則遲后環(huán)節(jié)的相頻特性為一條直線。

延遲環(huán)節(jié)的Nyquist圖和Bode圖分別如圖5-19和圖5-20所示。圖5-19延遲環(huán)節(jié)的Nyquist圖圖5-20延遲環(huán)節(jié)的Bode圖5.3控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性曲線的繪制控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的典型環(huán)節(jié)分解開(kāi)環(huán)幅相特性曲線的繪制（Nyquist圖）開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線的繪制（Bode圖）最小相位系統(tǒng)（minimumphasesystem）二、開(kāi)環(huán)幅相特性曲線的繪制（Nyquist圖）繪制Nyquist圖有時(shí)并不需要繪制得十分準(zhǔn)確只需要繪出Nyquist圖的大致形狀和幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的準(zhǔn)確位置（如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)）就可以了。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)典型環(huán)節(jié)分解和典型環(huán)節(jié)幅相曲線的特點(diǎn)是繪制概略開(kāi)環(huán)幅相曲線的基礎(chǔ)。3.Nyquist圖繪制方法寫(xiě)出A(ω)和

(ω)的表達(dá)式；分別求出ω=0和ω=+∞

時(shí)的G(jω)；求Nyquist圖與實(shí)軸的交點(diǎn)；如果有必要，可求Nyquist圖與虛軸的交點(diǎn)，交點(diǎn)可利用G(jω)的實(shí)部Re[G(jω)]=0的關(guān)系式求出，也可利用∠G(jω)=n·90°(其中n為正整數(shù))求出；必要時(shí)畫(huà)出Nyquist圖中間幾點(diǎn)；勾畫(huà)出大致曲線。例5-1已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，繪制開(kāi)環(huán)Nyquist圖。Nyquist圖與實(shí)軸相交習(xí)題5-3(3)例5-2已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，繪制開(kāi)環(huán)Nyquist圖。習(xí)題5-7(1)例5-3

設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制其Nyquist圖。習(xí)題5-3例5-3的乃氏圖MATLAB繪制例5-3的Nyquist圖習(xí)題5-5,5-7(5)1.Bode圖繪制的概述和例題分析

可見(jiàn)，開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性等于各環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性之和；系統(tǒng)開(kāi)環(huán)相頻等于各環(huán)節(jié)相頻之和。將各環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性用其漸近線代替，以及對(duì)數(shù)運(yùn)算的優(yōu)點(diǎn)（乘除運(yùn)算對(duì)數(shù)化后變?yōu)榧訙p），可以很容易繪制出開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性。三、開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線的繪制（Bode圖）例5-5

繪制開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的零型系統(tǒng)的Bode圖。解系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性分別例5-5的Bode圖實(shí)際上，在熟悉了對(duì)數(shù)幅頻特性的性質(zhì)后，不必先一一畫(huà)出各環(huán)節(jié)的特性，然后相加，而可以采用更簡(jiǎn)便的方法。由上例可見(jiàn)，零型系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻段為20lgK的水平線，隨著ω的增加，每遇到一個(gè)交接（轉(zhuǎn)折）頻率，對(duì)數(shù)幅頻特性就改變一次斜率。習(xí)題5-4(2)例5-6

設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的Bode圖（T<1）。解系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為例5-6的Bode圖不難看出，此系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻段斜率為－20dB/dec，它（或者其延長(zhǎng)線）在ω=1處與L1(ω)=20lgK的水平線相交。在交接頻率ω=1/T處，幅頻特性斜率由－20dB/dec變?yōu)椋?0dB/dec。習(xí)題5-10(b)習(xí)題5-4(1)2.系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性有如下特點(diǎn)低頻段的斜率為－20νdB/dec，ν為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)中所包含的串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目。低頻段直線（若存在小于1的交接頻率時(shí)則為其延長(zhǎng)線）在ω

＝1處的對(duì)數(shù)幅值為201gK。在典型環(huán)節(jié)的交接（轉(zhuǎn)折）頻率處，對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線的斜率要發(fā)生變化，變化的情況取決于典型環(huán)節(jié)的類型如遇到G(s)＝(1+Ts)±1的環(huán)節(jié)，交接頻率處斜率改變±20dB/dec；如遇二階振蕩環(huán)節(jié)，在交接頻率處斜率就要改變－40dB/dec，等等。3.繪制對(duì)數(shù)幅頻特性的步驟歸納如下(1)將開(kāi)環(huán)頻率特性分解為典型環(huán)節(jié)相乘形式（時(shí)間常數(shù)形式）；(2)求出各典型環(huán)節(jié)的交接頻率（各環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)），將其從小到大排列為ω1，ω2

ω3…，并標(biāo)注在ω軸上；(3)繪制低頻漸近線（ω1左邊的部分），這是一條斜率為-20νdB/dec的直線，它或它的延長(zhǎng)線應(yīng)通過(guò)(1，20lgK)點(diǎn)；(對(duì)于微分環(huán)節(jié)ν取負(fù)值)；(4)隨著ω的增加，每遇到一個(gè)典型環(huán)節(jié)的交接頻率，就按上述方法改變一次斜率；(5)必要時(shí)可用漸近線和精確曲線的誤差表，對(duì)交接頻率附近的曲線進(jìn)行修正，以求得更精確曲線。(6)對(duì)數(shù)相頻特性可以由各個(gè)典型環(huán)節(jié)的相頻特性相加而得，也可以利用相頻特性函數(shù)

(ω)直接計(jì)算。例已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，試?yán)L制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)Bode圖。系統(tǒng)開(kāi)環(huán)包括了五個(gè)典型環(huán)節(jié)ω2=2rad/sω4=0.5rad/sω5=10rad/s習(xí)題5-10(c)1.定義最小相位對(duì)象：復(fù)平面右半平面既無(wú)零點(diǎn)也無(wú)極點(diǎn)的傳遞函數(shù)所表示的對(duì)象。否則，稱為非最小相位對(duì)象。注意：最小相位的概念是根據(jù)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布情況定義的，而不限定系統(tǒng)是開(kāi)環(huán)還是閉環(huán)。含有延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，以及不穩(wěn)定的傳遞函數(shù)都不是最小相位對(duì)象。四、最小相位系統(tǒng)（對(duì)象）2.有關(guān)結(jié)論對(duì)幅頻特性相同的系統(tǒng)，最小相位系統(tǒng)的相頻特性函數(shù)的絕對(duì)值是最小的，即輸出正弦信號(hào)相對(duì)于輸入正弦信號(hào)的相移量最小。用全通濾波器乘以任意傳遞函數(shù)，不改變幅值曲線，但改變相角曲線。

對(duì)于最小相位系統(tǒng)，對(duì)數(shù)幅頻特性與相頻特性之間存在著唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。根據(jù)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性，可以唯—地確定相應(yīng)的相頻特性和傳遞函數(shù)，反之亦然。但是，對(duì)于非最小相位系統(tǒng)，就不存在上述的這種關(guān)系。在響應(yīng)開(kāi)始階段，非最小相位系統(tǒng)的啟動(dòng)性能不好，所以該系統(tǒng)的響應(yīng)緩慢。

G1=tf([1-1],[1,1.6,1])；G2=tf([11],[1,1.6,1])；step(G1);step(G2);例5-7設(shè)有一最小相位系統(tǒng)，其頻率特性為另有一非最小相位系統(tǒng)，其頻率特性繪制兩者的Bode圖bode([11],[1001])holdonbode([-11],[1001])最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的Bode圖習(xí)題5-6例5-8

繪制開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為的Bode圖。解系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性分別為可見(jiàn)，此系統(tǒng)的幅頻特性與慣性