小波分析課程作業(yè)

小波分析課程作業(yè)小波變換的概念是由法國(guó)從事石油信號(hào)處理的工程師J.Morlet在1974年首先提出的，通過物理的直觀和信號(hào)處理的實(shí)際需要經(jīng)驗(yàn)的建立了反演公式，當(dāng)時(shí)未能得到數(shù)學(xué)家的認(rèn)可。正如1807年法國(guó)的熱學(xué)工程師J.B.J.Fourier提出任一函數(shù)都能展開成三角函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)的創(chuàng)新概念未能得到著名數(shù)學(xué)家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的認(rèn)可一樣。幸運(yùn)的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的發(fā)現(xiàn)、Hardy空間的原子分解和無條件基的深入研究為小波變換的誕生做了理論上的準(zhǔn)備，而且J.O.Stromberg還構(gòu)造了歷史上非常類似于現(xiàn)在的小波基；1986年著名數(shù)學(xué)家Y.Meyer偶然構(gòu)造出一個(gè)真正的小波基，并與S.Mallat合作建立了構(gòu)造小波基的同樣方法及其多尺度分析之后，小波分析才開始蓬勃發(fā)展起來，其中比利時(shí)女?dāng)?shù)學(xué)家I.Daubechies撰寫的《小波十講（TenLecturesonWavelets）》對(duì)小波的普及起了重要的推動(dòng)作用。它與Fourier變換、窗口Fourier變換（Gabor變換）相比，這是一個(gè)時(shí)間和頻率的局域變換，因而能有效的從信號(hào)中提取信息，通過伸縮和平移等運(yùn)算功能對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度細(xì)化分析（MultiscaleAnalysis），解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題，從而小波變化被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，它是調(diào)和分析發(fā)展史上里程碑式的進(jìn)展。

小波分析的應(yīng)用是與小波分析的理論研究緊密地結(jié)合在一起地?，F(xiàn)在，它已經(jīng)在科技信息產(chǎn)業(yè)領(lǐng)域取得了令人矚目的成就。電子信息技術(shù)是六大高新技術(shù)中重要的一個(gè)領(lǐng)域，它的重要方面是圖象和信號(hào)處理?，F(xiàn)今，信號(hào)處理已經(jīng)成為當(dāng)代科學(xué)技術(shù)工作的重要部分，信號(hào)處理的目的就是：準(zhǔn)確的分析、診斷、編碼壓縮和量化、快速傳遞或存儲(chǔ)、精確地重構(gòu)（或恢復(fù)）。從數(shù)學(xué)地角度來看，信號(hào)與圖象處理可以統(tǒng)一看作是信號(hào)處理（圖象可以看作是二維信號(hào)），在小波分析地許多分析的許多應(yīng)用中，都可以歸結(jié)為信號(hào)處理問題?，F(xiàn)在，對(duì)于其性質(zhì)隨實(shí)踐是穩(wěn)定不變的信號(hào)，處理的理想工具仍然是傅立葉分析。但是在實(shí)際應(yīng)用中的絕大多數(shù)信號(hào)是非穩(wěn)定的，而特別適用于非穩(wěn)定信號(hào)的工具就是小波分析。

事實(shí)上小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，它包括：數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多學(xué)科；信號(hào)分析、圖象處理；量子力學(xué)、理論物理；軍事電子對(duì)抗與武器的智能化；計(jì)算機(jī)分類與識(shí)別；音樂與語言的人工合成；醫(yī)學(xué)成像與診斷；地震勘探數(shù)據(jù)處理；大型機(jī)械的故障診斷等方面；例如，在數(shù)學(xué)方面，它已用于數(shù)值分析、構(gòu)造快速數(shù)值方法、曲線曲面構(gòu)造、微分方程求解、控制論等。在信號(hào)分析方面的濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等。在圖象處理方面的圖象壓縮、分類、識(shí)別與診斷，去污等。在醫(yī)學(xué)成像方面的減少B超、CT、核磁共振成像的時(shí)間，提高分辨率等。設(shè)計(jì)一個(gè)包含若干不連續(xù)點(diǎn)的一維信號(hào)，利用小波變換的模極大提取它的階梯型邊界點(diǎn)。算法算法1是先計(jì)算模極大曲線的Lipschitz指數(shù)，Lipschitz指數(shù)絕對(duì)值小于a則判定為階梯型邊界，a為接近0的常數(shù)。算法2，計(jì)算，小于r且大于1/r則判定為階梯型邊界，r為大于1但很接近1的常數(shù)。代碼實(shí)現(xiàn)我采用Matlab函數(shù)編程實(shí)現(xiàn)。具體程序見Q8_1.m，GetSignal.m，ImageWT.m，MM_WT.m，SkelMap.m。各個(gè)函數(shù)的主要說明如下：1）Q8_1.m：function[result1,result2]=Q8_1()函數(shù)功能：檢測(cè)信號(hào)的階梯型邊界點(diǎn)。首先設(shè)計(jì)信號(hào)，計(jì)算信號(hào)在多個(gè)尺度下的小波變換wt，計(jì)算模極大點(diǎn)并連接模極大曲線，然后根據(jù)判定階梯型邊界的兩種算法檢測(cè)信號(hào)的階梯型邊界點(diǎn)。同時(shí)在函數(shù)中畫出小波變換圖和模極大曲線圖。輸出參數(shù)： result1：算法1的輸出結(jié)果即階梯型邊界點(diǎn)列表。result2：算法2的輸出結(jié)果即階梯型邊界點(diǎn)列表。2）GetSignal.m：functionsig=GetSignal()函數(shù)功能：引用wavelab中的數(shù)據(jù),即AWaveletTourofSignalProcessing(2ndedition)中fig6.6的信號(hào)。 主函數(shù)在調(diào)用此函數(shù)構(gòu)造信號(hào)時(shí)，做了簡(jiǎn)單修改，增加了兩個(gè)階梯型邊界點(diǎn)。輸出參數(shù)：sig：所構(gòu)造的信號(hào) 3）ImageWT.m：functionImageWT(wt,n,s_scale,l_scale)函數(shù)功能：畫出信號(hào)的小波變換結(jié)果 輸入?yún)?shù)： wt：小波變換矩陣n：信號(hào)長(zhǎng)度s_scale：小波變換的尺度下界l_scale：小波變換的尺度上界 4）MM_WT.m：functionmaxmap=MM_WT(wt,par) 函數(shù)功能：計(jì)算模極大點(diǎn)，小波變換值為局部極大標(biāo)記為1，小波變換值為局部極小則標(biāo)記為-1。 輸入?yún)?shù)： wt：小波變換矩陣 par：計(jì)算自適應(yīng)閾值所用參數(shù)，小于最大值的1/par的極大點(diǎn)將被丟棄。 輸出參數(shù)： maxmap：極大點(diǎn)矩陣 5）SkelMap.m：function[skellist,skelptr,skellen]=SkelMap(maxmap) 函數(shù)功能：連接模極大曲線 輸入?yún)?shù)： maxmap：極大點(diǎn)矩陣 輸出參數(shù)： skellist：模極大曲線列表，依次記錄每條曲線，第一行記錄尺度，第二行記錄位置。skelptr：模極大曲線起始點(diǎn)列表，依次記錄每條曲線的起始點(diǎn)在skellist中的位置。skellen：模極大曲線長(zhǎng)度列表，依次記錄每條曲線的長(zhǎng)度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果信號(hào)圖和小波變換圖如圖1所示，共有3個(gè)階梯型邊界點(diǎn)，分別在位置162、200、250。圖1信號(hào)圖和小波變換圖模極大曲線圖如圖2所示，可見位置162、200、250分別有兩條模極大曲線逼近。對(duì)所有曲線求Lipschitz指數(shù)，結(jié)果如表1位置526577161163199201Lipschitz指數(shù)1.26321.04681.26280.00682050.144820.0895370.010061位置250252305315415418420Lipschitz指數(shù)0.0102110.00706110.878770.878160.712430.389490.71159表1模極大曲線的Lipschitz指數(shù)采用算法1，取閾值a=0.1，即可找出階梯型邊界點(diǎn)161，199，201，250，252(其中199、201，250、252表示的是同一邊界點(diǎn))。 采用算法2，我對(duì)P206的算法做了簡(jiǎn)化，以變換值的均值為比值的分母，這一條件比算法二更寬松。取閾值r=1.4時(shí)，可得結(jié)果161