2021屆新高考高考考前數(shù)學沖刺卷試題一解析版

2021屆（新高考）高考考前數(shù)學沖刺卷試題（一）一、單選題1．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)絕對值不等式的解法，結(jié)合集合交集的定義進行求解即可.【詳解】因為，所以，，故選：B.2．在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點關(guān)于實軸對稱，，則（）A．-5 B．5 C．1-4i D．-1+4i【答案】B【分析】根據(jù)對稱得，再由復數(shù)的乘法計算即可.【詳解】復數(shù)對應的點關(guān)于實軸對稱，，所以，所以.故選：B.3．設是兩個不同平面，直線，直線，則下列結(jié)論正確的是（）A．是的充分條件 B．是的必要條件C．是的必要條件 D．是的必要條件【答案】A【分析】根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐一判斷可得選項．【詳解】解：∵，，∴，故是充分條件，故A正確，由，得或異面，故不是必要條件，故B錯誤，由推不出，也可能與平行，故不是的必要條件，故C錯誤，由推不出，也可能平行，不是的必要條件，故D錯誤，故選：A．4．等差數(shù)列的前n項和為，已知，，當時，則n=（）A．13 B．12 C．24 D．25【答案】D【分析】先由，轉(zhuǎn)化為，再應用等差數(shù)列的性質(zhì)，將等差數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為中間項求解即可.【詳解】，．，則，．故選：D.【點睛】等差數(shù)列常用結(jié)論：若等差數(shù)列的項數(shù)為偶數(shù)，則；若等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)，則.5．如圖所示，邊長為2的正△ABC，以BC的中點O為圓心，BC為直徑在點A的另一側(cè)作半圓弧，點P在圓弧上運動，則?的取值范圍為（）A．[2，3] B．[4，3] C．[2，4] D．[2，5]【答案】D【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義，等于乘以在向量上的投影，因為不變，故求的取值范圍等價于求向量在向量上的投影的長度取值范圍即可.【詳解】解：由題可知，當點P在點C處時，最小，此時過圓心O作OPAB交圓弧于點P，連接AP，此時最大，過O作OG⊥AB于G，PF⊥AB的延長線于F，則=|AB||AF|=|AB|(|AG|+|GF|)=，所以的取值范圍為[2，5].故選：D.【點睛】方法點睛：利用數(shù)量積幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為投影長度的變化，從而求得取值范圍.6．設是雙曲線的一個焦點，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，與兩條漸近線分別交于兩點．若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．5【答案】C【分析】首先設出一條過點垂直于漸近線的垂線方程，并分別與兩條漸近線方程聯(lián)立，利用，轉(zhuǎn)化為坐標間的關(guān)系，得到關(guān)于的方程，求離心率.【詳解】不妨設，過作雙曲線一條漸近線的垂線方程為，與聯(lián)立可得；與聯(lián)立可得，∵，∴，整理得，，即，∵，∴．故選：C．【點睛】方法點睛：本題考查雙曲線基本性質(zhì)，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題型，一般求雙曲線離心率的方法是1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.構(gòu)造法：根據(jù)條件，可構(gòu)造出的齊次方程，通過等式兩邊同時除以，進而得到關(guān)于的方程.7．如圖，直角三角形的三個頂點分別在等邊三角形的邊、、上，且，則長度的最大值為（）A． B．6 C． D．【答案】C【分析】設，用正弦定理把用表示，然后求得，結(jié)合兩?和與差的正弦公式可求得最大值．【詳解】設，則，，，中，由正弦定理，得，，同理，＝，其中，，且為銳角，所以當時，．故選：C．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查用正弦定理解三角形．解題關(guān)鍵是引入角，把表示為的函數(shù)，從而把用的三角函數(shù)表示，再利用三角函數(shù)知識求得最值．8．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，則關(guān)于的不等式（其中）的解集為（）A． B．或C． D．或【答案】A【分析】先判斷函數(shù)單調(diào)遞減，再利用已知條件和函數(shù)的單調(diào)性得，解不等式即得解.【詳解】任取，由已知得，即，所以函數(shù)單調(diào)遞減．由可得，即，所以，即，即，又因為，所以，此時原不等式解集為．故選：A【點睛】方法點睛：解抽象函數(shù)不等式一般先要判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性化抽象函數(shù)不等式為具體的函數(shù)不等式解答.二、多選題9．某大型超市因為開車前往購物的人員較多，因此超市在制定停車收費方案時，需要考慮顧客停車時間的長短.現(xiàn)隨機采集了200個停車時間的數(shù)據(jù)(單位：)，其頻率分布直方圖如圖.超市決定對停車時間在40分鐘及以內(nèi)的顧客免收停車費(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值代替)，則下列說法正確的是（）A．免收停車費的顧客約占總數(shù)的20%B．免收停車費的顧客約占總數(shù)的25%C．顧客的平均停車時間約為58D．停車時間達到或超過60的顧客約占總數(shù)的50%【答案】BCD【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，根據(jù)頻率，頻數(shù)，以及平均數(shù)公式，分別判斷選項.【詳解】由題意可知，免收停車費的顧客約占總數(shù)的(0.0025+0.01)×20=0.25，故免收停車費的顧客約占總數(shù)的25%，故選項A錯誤，選項B正確；由頻率分布直方圖可知，a=0.05﹣0.015﹣0.01×2﹣0.0025=0.0125，則顧客的平均停車時間約為(10×0.0025+30×0.01+50×0.0125+70×0.015+90×0.01)×20=58min，故選項C正確；停車時間達到或超過60min的顧客約占總數(shù)的(0.015+0.01)×20=0.5，故停車時間達到或超過60min的顧客約占總數(shù)的50%，故選項D正確.故選：BCD.10．將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度，再將所得函數(shù)圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的，得到函數(shù)g(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象．已知函數(shù)g(x)的部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說法正確的是（）A．f(x)的最小正周期為π，最大值為2 B．f(x)的圖象關(guān)于點中心對稱C．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱 D．f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】ACD【分析】利用圖象求出、、，可得，再根據(jù)圖象變換可得，根據(jù)正弦函數(shù)的對稱中心、對稱軸、周期、最值、單調(diào)性可知ACD；B不正確.【詳解】由圖可知，A＝2，T＝4×＝，所以ω＝＝3．又由g＝2可得，，得φ＝－＋2kπ(k∈Z)，且|φ|<，所以φ＝－．所以g(x)＝2sin，所以f(x)＝2sin．所以f(x)的最小正周期為π，最大值為2，選項A正確．對于選項B，令2x＋＝k′π(k′∈Z)，得x＝－(k′∈Z)，所以函數(shù)f(x)圖象的對稱中心為(k′∈Z)，由，得k′＝，不符合k′∈Z，B錯誤．對于選項C，令2x＋＋kπ(k∈Z)，得x＝(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線x＝(k∈Z)，當k＝0時，x＝，故C正確．當x∈時，2x＋，所以f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以選項D正確．故選：ACD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：熟練掌握五點法求函數(shù)解析式、圖象變換規(guī)律以及正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.11．如圖，正方體的棱長為1，分別為的中點.則（）A．直線與直線垂直B．直線與平面平行C．平面截正方體所得的截面面積為D．點C與點G到平面的距離相等【答案】BC【分析】對于A：由,而直線與直線不垂直即可判斷；對于B：取的中點N，連結(jié)GN,A1N,可以證明面，面，利用面面平行的判定定理證明面面即可得到直線與平面平行.對于C：連結(jié),先判斷出平面截正方體所得的截面為面，是一個為等腰梯形，求出各邊長，求出高，即可計算出面積；對于D：假設C與G到平面AEF的距離相等,得到矛盾，則假設不成立,即可判斷.【詳解】對于A：在正方體中，,因為直線與直線不垂直，所以直線與直線不垂直.故A錯誤；對于B：取的中點N，連結(jié)GN,A1N,因為，N分別為,的中點,所以由三角形中位線定理得：所以因為面，EF面，所以面.同理可證：面.又面，面，，所以面面,所以直線與平面平行.故B正確；對于C：連結(jié),由上面證明過程可知,所以平面截正方體所得的截面為面.因為，,所以為等腰梯形，如圖示：過E、F分別作EP、FQ垂直AD1于P、Q，則,所以,所以等腰梯形的面積為.故C正確.對于D：假設C與G到平面AEF的距離相等,即平面AEF將CG平分,則平面AEF必過CG的中點,連接CG交EF于H,而H不是CG中點,則假設不成立,故D錯誤.故選：BC【點睛】（1）立體幾何中幾何關(guān)系的證明，用判定定理；（2）作多面體的截面方法（交線法）：關(guān)鍵在于確定截點，有了位于多面體同一表面上的兩個截點即可連結(jié)成截線，從而求得截面；12．已知函數(shù)，則（）．A． B．若有兩個不相等的實根、，則C． D．若，，均為正數(shù)，則【答案】AD【分析】A：代入直接計算比較大??；B：求的導函數(shù)，分析單調(diào)性，可得當有兩個不相等實根時、的范圍，不妨設，則有，比較的大小關(guān)系，因為，可構(gòu)造，求導求單調(diào)性，計算可得成立，可證；C：用在上單調(diào)遞增，構(gòu)造可證明；D：令，解出，，做差可證明.【詳解】解：對于A：，又，，，所以，則有，A正確；對于B：若有兩個不相等的實根、，則，故B不正確；證明如下：函數(shù)，定義域為，則，當時，；當時，；，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則且時，有，所以若有兩個不相等的實根、，有，不妨設，有，要證，只需證，且，又，所以只需證，令則有當時，，，所以有，即在上單調(diào)遞增，且，所以恒成立，即，即，即.對于C：由B可知，在上單調(diào)遞增，則有，即，則有，故C不正確；對于D：令，，均為正數(shù)，則，解得：，，，由B可知，在上單調(diào)遞增，則有，即，即，所以，故D正確.故選：AD.【點睛】本題考查利用導函數(shù)比較大小以及極值點偏移證明不等式，屬于難題.知識點點睛：（1）給定函數(shù)比較大小的問題，需判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性以及需要比較的數(shù)值構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可比較大?。唬?）極值點偏移法證明不等式，先求函數(shù)的導數(shù)，找到極值點，分析兩根相等時兩根的范圍，根據(jù)范圍以及函數(shù)值相等構(gòu)造新的函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及最值，判斷新函數(shù)小于或大于零恒成立，即可證明不等式.三、填空題13．已知的二項展開式中，所有二項式系數(shù)的和等于64，則該展開式中常數(shù)項的值等于_________．【答案】60【分析】首先根據(jù)條件求出，然后寫出展開式的通項，然后可得答案.【詳解】因為所有二項式系數(shù)的和等于64，所以，所以，所以展開式的通項為，令得，所以該展開式中常數(shù)項的值等于.故答案為：60.14．與直線關(guān)于對稱的直線的方程為__________.【答案】【分析】求出直線與直線的交點，在直線上取點，求出它關(guān)于直線的對稱點，再由兩點式可求出結(jié)果.【詳解】聯(lián)立，解得，所以直線與直線的交點為，在直線上取點，設點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，所以點關(guān)于直線的對稱點為，由兩點式可得與直線關(guān)于對稱的直線的方程為：，即.故答案為：15．已知甲、乙兩人的投籃命中率都為，丙的投籃命中率為，如果他們?nèi)嗣咳送痘@一次，則至少一人命中的概率的最小值為______．【答案】【分析】利用對立事件概率公式可求得，利用導數(shù)可求得的最小值.【詳解】設事件為“三人每人投籃一次，至少一人命中”，則，，設，，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即三人每人投籃一次，則至少一人命中的概率的最小值為.故答案為：.【點睛】思路點睛：利用相互獨立事件求復雜事件概率的求解思路為：（1）將待求復雜事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥簡單事件的和；（2）將彼此互斥簡單事件中的簡單事件，轉(zhuǎn)化為幾個已知（易求）概率的相互獨立事件的積事件；（3）代入概率的積、和公式求解．四、雙空題16．已知拋物線y2=4x的焦點F，過點F作直線l交拋物線于A,B兩點，則=_________.的最大值為________【答案】14【分析】由題意設直線AB的方程以及A、B點的坐標，

由直線與拋物線方程聯(lián)立消去y整理得關(guān)于x的二次方程，

利用拋物線的定義可求的值，利用三元均值不等式求出最大值．【詳解】由題意知，拋物線y2=4x的焦點坐標為（1，0），設設為A（x1，y1），B（x2，y2），AB：x=my+1,聯(lián)立直線與拋物線方程可得，有拋物線的限制可得故（）由（）可得故當且僅當時取等號，故的最大值為4.．即答案為1,4【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的焦點弦的性質(zhì)，考查基本不等式，屬中檔題.五、解答題17．已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的遞增區(qū)間；（2）在中，內(nèi)角滿足，且，，求的周長.【答案】（1）；（2）12.【分析】（1）利用三角恒等變換公式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的增區(qū)間可求出結(jié)果；（2）由求出，由余弦定理求出，由求出，聯(lián)立這兩個方程解出后，可得三角形的周長.【詳解】（1），令，，得，，因為，令，得，由.所以，當時，單調(diào)遞增，即的遞增區(qū)間為.（2）因為，所以，又因為，所以，即，由余弦定理可知，①又因為，所以，②聯(lián)立①②得，所以的周長為12.【點睛】關(guān)鍵點點睛：熟練掌握三角恒等變換公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性以及余弦定理是解題關(guān)鍵.18．已知是數(shù)列的前項和，，，．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）由可得，等式兩邊同時加1，即可證明結(jié)論；（2）由（1）利用等比數(shù)列的通項公式可得，即，再利用累加法求出，然后利用分組求法求出【詳解】（1）證明：因為，所以，即．因為，，所以，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．（2）解：由（1）知．因為，所以．所以，故．【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查了數(shù)列遞推關(guān)系，等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其求和公式，考查計算能力，第（2）問解題的關(guān)鍵是由（1）得，再利用累加法求出通項公式，然后利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式可求出，屬于中檔題19．某市在司法知識宣傳周活動中，舉辦了一場司法知識網(wǎng)上答題考試，要求本市所有機關(guān)、企事業(yè)單位工作人員均要參加考試，試題滿分為100分，考試成績大于等于90分的為優(yōu)秀．考試結(jié)束后，組織部門從所有參加考試的人員中隨機抽取了200人的成績作為統(tǒng)計樣本，得到樣本平均數(shù)為82、方差為64．假設該市機關(guān)、企事業(yè)單位工作人員有20萬人，考試成績服從正態(tài)分布．（1）估計該市此次司法考試成績優(yōu)秀者的人數(shù)有多少萬人？（2）該市組織部門為調(diào)動機關(guān)、企事業(yè)單位工作人員學習司法知識的積極性，制定了如下獎勵方案：所有參加考試者，均可參與網(wǎng)上“抽獎贏手機流量”活動，并且成績優(yōu)秀者可有兩次抽獎機會，其余參加者抽獎一次．抽獎者點擊抽獎按鈕，即隨機產(chǎn)生一個兩位數(shù)，若產(chǎn)生的兩位數(shù)的數(shù)字相同，則可獲贈手機流量5G，否則獲贈手機流量1G．假設參加考試的所有人均參加了抽獎活動，試估計此次抽獎活動贈予的手機流量總共有多少G？參考數(shù)據(jù)：若，則【答案】（1）萬人；（2）（萬G）．【分析】（1）根據(jù)題意，得到，由此考試成績優(yōu)秀者得分，即，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性和參考數(shù)據(jù)，即可求解（2）設每位抽獎者獲贈的手機流量為的取值，求得相應的概率，得出隨機變量的分布列，利用公式求得數(shù)學期望，即可得到答案.【詳解】（1）由題意，隨機抽取了200人的成績作為統(tǒng)計樣本，得到樣本平均數(shù)為82、方差為64，即，所以考試成績優(yōu)秀者得分，即．又由，得．所以估計該市此次司法考試成績優(yōu)秀者人數(shù)可達萬人．（2）設每位抽獎者獲贈的手機流量為G，則的值為1，2，5，6，10．可得，，，，．所以隨機變量的分布列為：125610所以（G）．因此，估計此次抽獎活動贈予的手機流量總值為（萬G）．【點睛】求隨機變量的期望與方差的方法及步驟：1、理解隨機變量的意義，寫出可能的全部值；2、求取每個值對應的概率，寫出隨機變量的分布列；3、由期望和方差的計算公式，求得數(shù)學期望；4、若隨機變量的分布列為特殊分布列（如：兩點分布、二項分布、超幾何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.20．如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面，，，為的中點.（1）求證：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】(1)由直角梯形ABCD中已知量求出AC，CD值而證得，再由平面可得，從而得出線面垂直，命題即可得證；(2)建立空間直角坐標系，求出平面ABM和平面ACM的法向量，再利用向量夾角公式求解而得.【詳解】（1）直角梯形中，，，，，∴，，∴，∴，又∵平面，∴，又∵，∴平面，又平面，∴平面平面；（2）∵為的中點，，∴，以射線AB，AD，AP分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，如圖：得，，設平面的法向量為，則，即，令，則x=0，z=2，，由(1)知平面，則平面的法向量，，所以二面角的余弦值為.【點睛】向量法求二面角注意兩點：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進行向量運算，要認真細心，準確計算．21．已知函數(shù)(其中常數(shù)).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個極值點，且，求證：.【答案】（1）當時，在單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．；（2）證明見解析．【分析】（1）求導得，記，，分兩種情況討論①當，②當，的正負，即的正負，進