1.5.1正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)再認(rèn)識(shí)課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

第一章三角函數(shù)5.1正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)再認(rèn)識(shí)北師大版

數(shù)學(xué)

必修第二冊(cè)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.會(huì)用五點(diǎn)法畫(huà)正弦函數(shù)的圖象.2.能夠根據(jù)正弦函數(shù)的圖象求滿足條件的角的范圍.3.能結(jié)合正弦函數(shù)的圖象理解正弦函數(shù)的性質(zhì).4.會(huì)求正弦函數(shù)的定義域、值域、最值.5.會(huì)求正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,能根據(jù)單調(diào)性比較大小.6.會(huì)判斷有關(guān)函數(shù)的奇偶性.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)一

正弦函數(shù)的圖象1.正弦函數(shù)圖象的作法(1)幾何法:借助單位圓獲得對(duì)應(yīng)的正弦函數(shù)值.(2)五點(diǎn)法:根據(jù)正弦曲線的基本性質(zhì),描出

,

,

,,

這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),然后用光滑曲線將它們順次連接起來(lái)就得到正弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖.

(0,0)(π,0)(2π,0)2.正弦函數(shù)的圖象正弦函數(shù)y=sinx,x∈R的圖象稱作正弦曲線,如圖所示.名師點(diǎn)睛“五點(diǎn)法”中的“五點(diǎn)”是指函數(shù)圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)以及圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).“五點(diǎn)法”只是畫(huà)出y=sin

x在區(qū)間[0,2π]上的圖象,若x∈R,可將正弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的圖象通過(guò)左右平移,每次平移2π個(gè)單位長(zhǎng)度,得到y(tǒng)=sin

x,x∈R的圖象.這是作正弦函數(shù)以及下一節(jié)余弦函數(shù)圖象最常用的方法.過(guò)關(guān)自診[人教A版教材例題]畫(huà)出函數(shù)y=1+sinx,x∈[0,2π]的圖象.解

按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表

描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來(lái),如圖所示.知識(shí)點(diǎn)二

正弦函數(shù)y=sin

x的性質(zhì)

函數(shù)y=sinx定義域R

可寫作(-∞,+∞)值域

奇偶性

函數(shù)

單調(diào)性在區(qū)間

上都單調(diào)遞增;

在區(qū)間

上都單調(diào)遞減

周期性最小正周期是

[-1,1]奇

2π最值當(dāng)

時(shí),y取最大值1;

當(dāng)

時(shí),y取最小值-1

對(duì)稱軸x=+kπ,k∈Z對(duì)稱中心(kπ,0),k∈Z

對(duì)稱中心是一個(gè)點(diǎn),不是橫坐標(biāo)名師點(diǎn)睛1.并不是每一個(gè)函數(shù)都是周期函數(shù),若函數(shù)具有周期性,則其周期也不一定唯一.2.正弦曲線是中心對(duì)稱圖形,其對(duì)稱中心坐標(biāo)為(kπ,0),k∈Z,即正弦曲線與x軸的所有交點(diǎn);正弦曲線也是軸對(duì)稱圖形,其對(duì)稱軸是直線x=kπ+,k∈Z,對(duì)稱軸垂直于x軸,且與正弦曲線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是正弦函數(shù)的最大(小)值.3.判斷與正弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)奇偶性時(shí),必須先檢查定義域是不是關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱區(qū)間,如果是,再驗(yàn)證f(-x)是否等于-f(x)或f(x),進(jìn)而判斷函數(shù)的奇偶性;如果不是,則該函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)y=|sinx|,x∈R與y=sin|x|,x∈R均是周期函數(shù),且周期為π.(

)(2)對(duì)于函數(shù)y=msinx+n(m≠0),當(dāng)且僅當(dāng)sinx=1時(shí),取最大值ymax=m+n;當(dāng)且僅當(dāng)sinx=-1時(shí),取最小值ymin=-m+n.(

)(3)在銳角范圍內(nèi),角越大,其正弦函數(shù)值越大.(

)(4)對(duì)于正弦函數(shù),相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離大小恰好為該函數(shù)的一個(gè)周期.(

)2.[人教B版教材例題]已知sinx=t-3,x∈R,求t的取值范圍.××√×解

因?yàn)?1≤sin

x≤1,所以-1≤t-3≤1,由此解得2≤t≤4.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)圖象【例1】

利用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)y=-2+sinx,x∈[0,2π]的圖象.解

列表:描點(diǎn),并用光滑的曲線連接起來(lái),得函數(shù)y=-2+sin

x,x∈[0,2π]的圖象如圖所示.規(guī)律方法

用五點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)y=Asin

x+b(A≠0),x∈[0,2π]的圖象的步驟(1)列表:(3)連線:用光滑的曲線將描出的五個(gè)點(diǎn)順次連接起來(lái).變式訓(xùn)練1作出函數(shù)y=-2sinx(0≤x≤2π)的圖象.解

列表:描點(diǎn),并用光滑的曲線連接起來(lái),如圖.探究點(diǎn)二根據(jù)正弦函數(shù)的圖象求角的范圍解

作出y=sin

x在區(qū)間[0,2π]上的圖象,如圖所示.規(guī)律方法

利用正弦函數(shù)的圖象求解滿足sin

x≥a(≤a)的x的取值范圍的步驟(1)作出正弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的圖象;(2)作直線y=a與函數(shù)圖象相交;(3)在區(qū)間[0,2π]上確定x的取值范圍;(4)根據(jù)正弦函數(shù)周期性確定最終范圍.變式訓(xùn)練2求滿足下列條件的角的集合.探究點(diǎn)三利用正弦函數(shù)圖象判斷方程根的個(gè)數(shù)【例3】

判斷方程sinx=lgx根的個(gè)數(shù).解

畫(huà)出函數(shù)y=sin

x和y=lg

x的圖象,如圖所示.由圖象可知兩圖象有3個(gè)交點(diǎn),因此,原方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根.規(guī)律方法

與正弦函數(shù)相關(guān)方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題探究(1)關(guān)于方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題,往往運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法,將函數(shù)根的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題.(2)正弦曲線上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是1,最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是-1,在作圖時(shí)要注意這種有界性.(3)在利用圖象研究方程根的個(gè)數(shù)時(shí),作圖要精確,特別注意圖象所經(jīng)過(guò)的某些關(guān)鍵點(diǎn)是否包含.變式訓(xùn)練3判斷方程sinx=-,x∈[0,2π]根的個(gè)數(shù).解

畫(huà)出直線y=-和y=sin

x在區(qū)間[0,2π]上的圖象,如圖所示.由圖象可知兩圖象有2個(gè)交點(diǎn),因此原方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根.探究點(diǎn)四正弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用角度1.求正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例4】

(1)函數(shù)y=-3sinx+1的單調(diào)遞減區(qū)間為

.

(2)若x∈[0,π],則函數(shù)y=-3sinx+1的單調(diào)遞減區(qū)間為

.

規(guī)律方法

1.結(jié)合y=sin

x的圖象,熟記正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間.2.對(duì)形如y=asin

x+b(a≠0)的形式的函數(shù),當(dāng)a>0時(shí),其單調(diào)性與y=sin

x的單調(diào)性相同;當(dāng)a<0時(shí),其單調(diào)性與y=sin

x的單調(diào)性相反.變式訓(xùn)練4函數(shù)y=sinx+1的單調(diào)遞減區(qū)間為

.

角度2.利用正弦函數(shù)單調(diào)性比較大小【例5】

比較下列三角函數(shù)值的大小:(2)sin196°與cos156°.(2)sin

196°=sin(180°+16°)=-sin

16°,cos

156°=cos(180°-24°)=-cos

24°=-sin

66°,∵0°<16°<66°<90°,且y=sin

x在0°≤x≤90°時(shí)單調(diào)遞增,∴sin

16°<sin

66°,∴-sin

16°>-sin

66°,即sin

196°>cos

156°.規(guī)律方法

1.比較sin

α與sin

β的大小,可利用誘導(dǎo)公式把sin

α與sin

β轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的正弦值,再借助于正弦函數(shù)的單調(diào)性來(lái)進(jìn)行比較.2.比較sin

α與cos

β的大小,常把cos

β轉(zhuǎn)化為sin(±β)后,再依據(jù)單調(diào)性來(lái)進(jìn)行比較.3.當(dāng)不能將兩角轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上時(shí),還可以借助于圖象或值的符號(hào)來(lái)進(jìn)行比較.變式訓(xùn)練5比較sin194°與cos110°的大小.解

∵sin

194°=sin(180°+14°)=-sin

14°,cos

110°=cos(180°-70°)=-cos

70°=-sin(90°-70°)=-sin

20°,由于0°<14°<20°<90°,而y=sin

x在0°≤x≤90°時(shí)單調(diào)遞增,∴sin

14°<sin

20°,∴-sin

14°>-sin

20°,即sin

194°>cos

110°.探究點(diǎn)五正弦函數(shù)的周期性、奇偶性A.周期為2π的奇函數(shù)B.周期為2π的偶函數(shù)C.周期為π的奇函數(shù)D.周期為π的偶函數(shù)A規(guī)律方法

求正弦函數(shù)周期和判斷奇偶性的方法(1)求正弦函數(shù)周期的方法①定義法:利用周期函數(shù)的定義求解.②圖象法:通過(guò)觀察函數(shù)圖象求其周期.(2)判斷函數(shù)的奇偶性,先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再看f(-x)與f(x)的關(guān)系.變式訓(xùn)練6若函數(shù)y=2sinx+a-1是R上的奇函數(shù),則a的值為(

)A.-1 B.1 C.0 D.2B解析

依題意f(0)=0,即a-1=0,故a=1.經(jīng)檢驗(yàn)a=1符合題意.故a的值為1.探究點(diǎn)六正弦函數(shù)的值域、最值【例7】

(1)求函數(shù)y=3-2sinx的最大值和最小值,并分別寫出使這個(gè)函數(shù)取得最大值和最小值時(shí)x的集合.(2)求函數(shù)y=-2sin2x+5sinx-2的值域.因?yàn)?1≤sin

x≤1,所以ymin=-2×(-1)2+5×(-1)-2=-9,ymax=-2×12+5×1-2=1.故函數(shù)y=-2sin2x+5sin

x-2的值域是[-9,1].規(guī)律方法

求正弦函數(shù)值域或最值的常用方法(1)一般函數(shù)的值域求法有觀察法、配方法、判別式法等,而正弦函數(shù)是函數(shù)的特殊形式,其一般方法也適用,但要結(jié)合正弦函數(shù)本身的性質(zhì).(2)求形如y=a+bsin

x(b≠0)的函數(shù)的最值或值域,一般利用正弦函數(shù)的有界性(-1≤sin

x≤1)求解,當(dāng)b>0時(shí),ymax=a+b;當(dāng)b<0時(shí),ymax=a-b.(3)求形如y=Asin2x+Bsin

x+C(A≠0)的函數(shù)的最值或值域,應(yīng)利用換元法,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)求解.變式訓(xùn)練7(1)函數(shù)y=sin2x-3sinx+2的最小值為(

)A.2 B.0 C.-

D.6B本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)“五點(diǎn)法”作圖;(2)正弦函數(shù)的基本性質(zhì);(3)正弦函數(shù)圖象的應(yīng)用.2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、換元法.3.常見(jiàn)誤區(qū):單調(diào)區(qū)間漏寫k∈Z;求值域時(shí)忽視sin

x本身的范圍.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)12345678A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.函數(shù)y=1-sinx,x∈[0,2π]的大致圖象是(

)B12345678123456782.函數(shù)y=2+sinx,x∈(0,4π]的圖象與直線y=2的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(

)A.1 B.2 C.3 D.4D解析

在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=2+sin

x,x∈(0,4π],直線y=2的圖象(如圖所示),可得兩圖象的交點(diǎn)共有4個(gè),故選D.12345678123456783.函數(shù)y=-sin2x+sinx+1的最大值為(

)A.2 B.

C.1

D.0B123456784.(多選)下列函數(shù)是奇函數(shù),且在區(qū)間[-