2.6.2雙曲線的幾何性質(zhì)課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性

第二章平面解析幾何雙曲線的幾何性質(zhì)人教B版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(對(duì)稱性、頂點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)等);2.理解雙曲線離心率的定義、取值范圍和漸近線方程;3.雙曲線幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程

=1(a>0,b>0)

=1(a>0,b>0)圖形性質(zhì)范圍

y∈R

x∈R對(duì)稱性對(duì)稱軸:x軸、y軸;對(duì)稱中心:坐標(biāo)原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)軸實(shí)軸:線段

,長(zhǎng):

;

虛軸:線段

,長(zhǎng):

;

半實(shí)軸長(zhǎng):

,半虛軸長(zhǎng):

漸近線y=±

xy=±x離心率e=,e∈(1,+∞),其中c=a,b,c間的關(guān)系c2=

(c>a>0,c>b>0)

x≤-a或x≥ay≤-a或y≥aA1A2

2aB1B22baba2+b2名師點(diǎn)睛1.雙曲線與橢圓的六個(gè)不同點(diǎn):曲線名稱雙曲線橢圓曲線形狀兩支曲線封閉的曲線頂點(diǎn)兩個(gè)頂點(diǎn)四個(gè)頂點(diǎn)軸實(shí)、虛軸長(zhǎng)、短軸漸近線有漸近線無漸近線離心率e>10<e<1a,b,c關(guān)系a2+b2=c2a2-b2=c22.等軸雙曲線是實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線,它的漸近線方程是y=±x,離心過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(3)等軸雙曲線的漸近線互相垂直.(

)√×√2.雙曲線

=1的漸近線方程為(

)A.3x±4y=0 B.4x±3y=0C.

x±2y=0 D.9x±16y=0A3.[北師大版教材例題]求雙曲線x2-4y2=1的焦點(diǎn)、中心、頂點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng).5.一條直線與雙曲線的一條漸近線平行時(shí),它與雙曲線有幾個(gè)公共點(diǎn)?解

雙曲線的離心率e=反映了雙曲線開口的大小,e越大,雙曲線的開口就越大.4.雙曲線的離心率對(duì)開口大小有怎樣的影響?解

1個(gè).重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一雙曲線的幾何性質(zhì)角度1.由雙曲線方程研究其幾何性質(zhì)【例1】

求雙曲線9y2-4x2=-36的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率、漸近線方程.規(guī)律方法

由雙曲線的方程求幾何性質(zhì)的一般步驟

變式訓(xùn)練1[北師大版教材習(xí)題]求下列雙曲線的實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、虛軸端點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程:(1)6x2-10y2+60=0;(2)20x2-25y2=500.角度2.由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】

根據(jù)以下條件,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.規(guī)律方法

1.根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組),但要注意焦點(diǎn)的位置,從而正確選擇方程的形式.2.當(dāng)已知條件中告訴離心率e,通常用e2=1+進(jìn)行轉(zhuǎn)化.變式訓(xùn)練2[人教A版教材習(xí)題]求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)焦點(diǎn)在x軸上,實(shí)軸長(zhǎng)是10,虛軸長(zhǎng)是8;(2)焦點(diǎn)在y軸上,焦距是10,虛軸長(zhǎng)是8;(3)離心率e=,經(jīng)過點(diǎn)M(-5,3).探究點(diǎn)二雙曲線的漸近線角度1.共漸近線的雙曲線的設(shè)法【例3】

[北師大版教材習(xí)題]求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)漸近線方程為y=±2x,實(shí)軸長(zhǎng)為2且焦點(diǎn)在x軸上;規(guī)律方法

1.根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求它的漸近線方程的方法中,最簡(jiǎn)單且實(shí)用的是把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中等號(hào)右邊的“1”改成“0”,就得到了此雙曲線的漸近線方程.變式訓(xùn)練3(1)[北師大版教材習(xí)題改編]雙曲線4x2-9y2=k的漸近線方程為

.

2x±3y=0(2)[人教A版教材習(xí)題改編]對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是F1(-6,0),求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.角度2.雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離【例4】

[北師大版教材習(xí)題]求雙曲線

=1的焦點(diǎn)到其漸近線的距離.解

由已知可得雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F(5,0),一條漸近線方程為3x-4y=0,焦點(diǎn)到漸近線的距離為

=3.C探究點(diǎn)三雙曲線的離心率問題AA解析

因?yàn)椤鰽BF2為等邊三角形,所以|AB|=|BF2|=|AF2|.因?yàn)锳為雙曲線右支上一點(diǎn),所以|F1A|-|F2A|=|F1A|-|AB|=|F1B|=2a.因?yàn)锽為雙曲線左支上一點(diǎn),所以|BF2|-|BF1|=2a,所以|BF2|=4a.由∠ABF2=60°,得∠F1BF2=120°,在△F1BF2中,由余弦定理得4c2=4a2+16a2-2·2a·4acos

120°,得c2=7a2,則e2=7.規(guī)律方法

求雙曲線的離心率(1)求雙曲線的離心率的值或取值范圍的方法②列出含有a,b,c的齊次方程或不等式,借助于b2=c2-a2消去b,然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程或不等式求解.(2)求解時(shí),若用到特殊幾何圖形,則可運(yùn)用幾何性質(zhì)使問題簡(jiǎn)化.變式訓(xùn)練5(1)漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是(

)CD成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1234567891011121314151617A1234567891011121314151617A1234567891011121314151617C1234567891011121314151617AB12345678910111213141516175.[探究點(diǎn)一(角度1)](多選題)已知雙曲線C:

=1(a>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為2,P為C上一點(diǎn),則(

)A.雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2B.雙曲線C的一條漸近線方程為y=xC.|PF1|-|PF2|=2D.雙曲線C的焦距為4ABD1234567891011121314151617412345678910111213141516177.[探究點(diǎn)一(角度1)]已知F1,F2為雙曲線C:

=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),且|PQ|=|F1F2|,則四邊形PF1QF2的面積為

.

8解析

由雙曲線的對(duì)稱性以及|PQ|=|F1F2|可知,四邊形PF1QF2為矩形,所以解得|PF1||PF2|=8,所以四邊形PF1QF2的面積為|PF1||PF2|=8.12345678910111213141516178.[探究點(diǎn)一(角度2)]求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)兩頂點(diǎn)間的距離是6,兩焦點(diǎn)所連線段被兩頂點(diǎn)和中心四等分;(2)漸近線方程為2x±3y=0,且兩頂點(diǎn)間的距離是6.解

(1)由兩頂點(diǎn)間的距離是6,得2a=6,即a=3.由兩焦點(diǎn)所連線段被兩頂點(diǎn)和中心四等分可得2c=4a=12,即c=6,于是有b2=c2-a2=62-32=27.由于焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸不確定,故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為123456789101112131415161712345678910111213141516179.[探究點(diǎn)二(角度1)]過雙曲線C:

=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線,交C于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a,求C的離心率.1234567891011121314151617B級(jí)關(guān)鍵能力提升練10.如圖,中心均為原點(diǎn)O的雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn),M,N是雙曲線的兩頂點(diǎn),若M,O,N將橢圓的長(zhǎng)軸四等分,則雙曲線與橢圓的離心率的比值是(

)B1234567891011121314151617D1234567891011121314151617BD1234567891011121314151617C解析

若以MN為直徑的圓經(jīng)過右焦點(diǎn)F2,1234567891011121314151617由|MF2|-|MF1|=2a,|NF1|-|NF2|=2a,兩式相加可得|NF1|-|MF1|=|MN|=4a,123456789101112131415161714.(多選題)定義:以雙曲線的實(shí)軸為虛軸,虛軸為實(shí)軸的雙曲線與原雙曲線互為共軛雙曲線.以下關(guān)于共軛雙曲線的結(jié)論正確的是(

)B.互為共軛的雙曲線漸近線不相同C.互為共軛的雙曲線的離心率為e1,e2,則e1e2≥2D.互為共軛的雙曲線的4個(gè)焦點(diǎn)在同一圓上CD123456789101112131415161715.已知雙曲線

=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,以F1F2為直徑的圓交y軸正半軸于點(diǎn)P,線段PF1交雙曲線的漸近線于點(diǎn)A,若點(diǎn)A恰好為線段PF1的中點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則∠AOF1的大小為

,雙曲線的離心率為

.

123456789101112131415161716.求適合下列條件