2.3從速度的倍數(shù)到向量的數(shù)乘課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

第二章平面向量及其應(yīng)用3從速度的倍數(shù)到向量的數(shù)乘高中同步學(xué)案優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI北師大版

數(shù)學(xué)

必修第二冊(cè)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解向量數(shù)乘運(yùn)算的定義及幾何意義.2.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律,能夠用已知向量表示未知向量.3.掌握共線(平行)向量基本定理,會(huì)判斷或證明兩個(gè)向量共線.4.了解直線的向量表示,會(huì)證明三點(diǎn)共線.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)一

向量的數(shù)乘運(yùn)算1.向量的數(shù)乘的概念實(shí)數(shù)λ與向量a的乘積是一個(gè)向量,記作λa,滿足以下條件:(1)當(dāng)λ>0時(shí),向量λa與向量a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),向量λa與向量a的方向相反;當(dāng)λ=0時(shí),λa=0.

能使λa=0的情況還有λ∈R,a=0(2)|λa|=|λ||a|.這種運(yùn)算稱為向量的數(shù)乘.2.向量的數(shù)乘的幾何意義如圖,由實(shí)數(shù)與向量數(shù)乘λa的定義可以看出,它的幾何意義是:當(dāng)λ>0時(shí),表示向量a的有向線段在原方向伸長或縮短為原來的|λ|倍;當(dāng)λ<0時(shí),表示向量a的有向線段在反方向伸長或縮短為原來的|λ|倍.3.單位向量由向量的數(shù)乘定義容易推出,在非零向量a方向上的單位向量是.名師點(diǎn)睛1.實(shí)數(shù)與向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算,其結(jié)果是一個(gè)向量,不是實(shí)數(shù);但實(shí)數(shù)與向量不能進(jìn)行加、減法運(yùn)算,如λ+a,λ-a是錯(cuò)誤的.2.對(duì)于任意非零向量a,向量

是與向量a方向相同的單位向量.向量-是與向量a方向相反的單位向量.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)已知實(shí)數(shù)λ與向量a,則λ+a與λ-a的和是向量.(

)(2)對(duì)于非零向量a,向量-3a與向量a方向相反.(

)(3)對(duì)于非零向量a,向量-6a的模是向量3a的模的2倍.(

)2.已知向量a=-2e,b=e(e為單位向量),則向量a與向量b(

)A.不共線

B.方向相反C.方向相同

D.|a|>|b|×√√故向量a與向量b共線反向.故選B.B知識(shí)點(diǎn)二

數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律1.數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律設(shè)λ,μ為實(shí)數(shù),a,b為向量,那么根據(jù)向量的數(shù)乘定義,可以得到以下運(yùn)算律:(1)(λ+μ)a=λa+μa;(2)λ(μa)=(λμ)a;(3)λ(a+b)=λa+λb.2.向量的線性運(yùn)算向量的加法、減法和數(shù)乘的綜合運(yùn)算,通常稱為向量的線性運(yùn)算(或線性組合).若一個(gè)向量c由向量a,b的線性運(yùn)算得到,如c=2a+3b,則稱向量c可以用向量a,b線性表示.名師點(diǎn)睛1.(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.2.對(duì)于任意向量a,b以及任意實(shí)數(shù)λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)向量的數(shù)乘運(yùn)算不是線性運(yùn)算.(

)(2)若x是未知向量,且3x-2(x-a)=0,則x=-2a.(

)(3)若λb=λa,則定有b=a.(

)(4)若λa-μa=0,則λ=μ.(

)×√××2.將[2(2a+8b)-4(4a-2b)]化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)式為(

)

A.2a-b B.2b-aC.a-b D.b-aB3.(多選)已知實(shí)數(shù)m,n和向量a,b,下列結(jié)論中正確的是(

)A.m(a-b)=ma-mbB.(m-n)a=ma-naC.若ma=mb,則a=bD.若ma=na(a≠0),則m=nABD解析

對(duì)于A選項(xiàng),m(a-b)=ma-mb,A對(duì);對(duì)于B選項(xiàng),(m-n)a=ma-na,B對(duì);對(duì)于C選項(xiàng),若ma=mb,則m(a-b)=0,所以,m=0或a=b,C錯(cuò);對(duì)于D選項(xiàng),若ma=na(a≠0),則(m-n)a=0,所以,m-n=0,即m=n,D對(duì).故選ABD.知識(shí)點(diǎn)三

共線(平行)向量基本定理

此條件不可缺少給定一個(gè)非零向量b,則對(duì)于任意向量a,a∥b的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使a=λb.名師點(diǎn)睛1.向量共線的條件:當(dāng)向量b=0時(shí),b與任意向量a共線.當(dāng)b≠0時(shí),對(duì)于任意向量a,如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使a=λb,那么由向量數(shù)乘的定義知,a與b共線.反之,已知向量a與b共線,b≠0,且向量a的長度是向量b的長度的λ倍,即|a|=λ|b|,則當(dāng)a與b同方向時(shí),a=λb;當(dāng)a與b反方向時(shí),有a=-λb.2.已知A,B,C三點(diǎn)共線,O是平面內(nèi)任意一點(diǎn),則有

,其中λ+μ=1.3.如果非零向量a與b不共線,且λa=μb,那么λ=μ=0.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)|λa|=λ|a|.(

)(2)若a=λb,則a與b共線.(

)(3)若向量a與b共線,則存在唯一的實(shí)數(shù)λ,使a=λb.(

)(4)若a=e1-e2,b=-2e1+2e2,則向量a與b是共線向量.(

)×√×√2.[人教A版教材例題改編]已知任意兩個(gè)非零向量a,b,試作

.求證:A,B,C三點(diǎn)共線.3.共線(平行)向量基本定理中為什么規(guī)定b≠0?提示

當(dāng)b=0時(shí),顯然b與a共線.(1)若a≠0,則不存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb;(2)若a=0,則對(duì)任意實(shí)數(shù)λ,都有a=λb.知識(shí)點(diǎn)四

直線的向量表示

名師點(diǎn)睛

過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)直線的方向向量不唯一.(

)√√×重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一數(shù)乘向量的定義及幾何意義【例1】

(1)設(shè)a是非零向量,λ是非零實(shí)數(shù),則下列結(jié)論正確的是(

)

A.a與-λa的方向相反

B.|-λa|≥|a|C.a與λ2a的方向相同

D.|-λa|=|λ|aC(2)點(diǎn)C是線段AB靠近點(diǎn)A的一個(gè)三等分點(diǎn),則下列不正確的是(

)B規(guī)律方法

對(duì)向量數(shù)乘運(yùn)算的三點(diǎn)說明(1)λa中的實(shí)數(shù)λ叫作向量a的系數(shù).(2)向量數(shù)乘的幾何意義是把a(bǔ)沿著a的方向或a的反方向擴(kuò)大或縮小.(3)當(dāng)λ=0或a=0時(shí),λa=0.注意是0,而不是0.探究點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算【例2】

(1)計(jì)算下列各式:①3(a-2b+c)-(2c+b-a);(2)設(shè)x,y是未知向量.①解方程5(x+a)+3(x-b)=0;規(guī)律方法

1.向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的代數(shù)運(yùn)算,實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在實(shí)數(shù)與向量的乘積中同樣適用,但是在這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量,實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù).2.向量也可以通過列方程來解,把所求向量當(dāng)作未知數(shù),利用解代數(shù)方程的方法求解,同時(shí)在運(yùn)算過程中要多注意觀察,恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律,簡(jiǎn)化運(yùn)算.變式訓(xùn)練2已知2a-b=m,a+3b=n,則a,b用m,n可以表示為a=

,b=

.

探究點(diǎn)三共線向量定理及其應(yīng)用角度1.向量共線的判定【例3】

判斷下列各小題中的向量a,b是否共線(其中e1,e2是兩非零不共線向量).(1)a=5e1,b=-10e1;(3)a=e1+e2,b=3e1-3e2.解

(1)因?yàn)閎=-2a,所以a與b共線.(2)因?yàn)閍=b,所以a與b共線.(3)設(shè)a=λb,則e1+e2=λ(3e1-3e2),所以(1-3λ)e1+(1+3λ)e2=0.因?yàn)閑1與e2是兩個(gè)非零不共線向量,所以1-3λ=0,1+3λ=0.這樣的λ不存在,因此a與b不共線.規(guī)律方法

向量共線的判定一般是用其判定定理,即給定一個(gè)非零向量b,若存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得a=λb,則任意向量a與非零向量b共線.解題過程中,需要把兩向量用共同的已知向量來表示,進(jìn)而互相表示,由此判斷共線.變式訓(xùn)練3已知向量e1,e2是兩個(gè)共線向量,若a=e1-e2,b=2e1+2e2,求證:a∥b.證明

若e1=e2=0,則a=b=0,所以a與b共線,即a∥b;若e1,e2中至少有一個(gè)不為零向量,不妨設(shè)e1≠0,則e2=λe1(λ∈R),且a=(1-λ)e1,b=2(1+λ)e1,所以a∥e1,b∥e1.因?yàn)閑1≠0,所以a∥b.綜上可知,a∥b.角度2.用已知向量表示未知向量

C規(guī)律方法

用已知向量表示未知向量的方法

變式訓(xùn)練4角度3.證明三點(diǎn)共線問題

規(guī)律方法

1.證明三點(diǎn)共線,通常轉(zhuǎn)化為證明由這三點(diǎn)構(gòu)成的兩個(gè)向量共線.兩個(gè)向量共線的充要條件是解決向量共線問題的依據(jù).2.若A,B,C三點(diǎn)共線,則向量

在同一直線上,因此必定存在實(shí)數(shù),使得其中兩個(gè)向量之間存在線性關(guān)系,而共線(平行)向量基本定理是實(shí)現(xiàn)線性關(guān)系的依據(jù).(1)求證:A,B,M三點(diǎn)共線;(2)若點(diǎn)B在線段AM上,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.角度4.求參問題

AC探究點(diǎn)四向量線性運(yùn)算的綜合應(yīng)用角度1.求解三角形的面積比

D則C,O,D三點(diǎn)共線且點(diǎn)A,B到OC的距離相等,又因?yàn)镺C邊為公共邊,所以△AOC與△BOC的面積相等.故選D.C角度2.解決三角形的四心問題

A.外心

B.內(nèi)心 C.重心

D.垂心

BA.外心

B.重心 C.垂心

D.內(nèi)心

B規(guī)律方法

1.三角形的內(nèi)心:三角形內(nèi)切圓的圓心、三角形三條角平分線的交點(diǎn),內(nèi)心到三角形三邊的距離相等.3.三角形的垂心:三角形三條高線的交點(diǎn).本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)向量的數(shù)乘及運(yùn)算律;(2)共線(平行)向量基本定理;(3)三點(diǎn)共線的常用結(jié)論.2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合、分類討論.3.常見誤區(qū):(1)忽視零向量這一個(gè)特殊向量;(2)忽視共線向量基本定理中非零向量b這一必要條件.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)1234567891011121314A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練B1234567891011121314AC123456789101112131412345678910111213143.(多選)已知實(shí)數(shù)m,n和向量a,b,下列說法中正確的是(

)A.m(a-b)=ma-mbB.(m-n)a=ma-naC.若ma=mb,則a=bD.若ma=na(a≠0),則m=nABD解析

根據(jù)向量數(shù)乘的運(yùn)算可知A和B正確;當(dāng)m=0時(shí),ma=mb=0,但a與b不一定相等,故C錯(cuò)誤;由ma=na,得(m-n)a=0,因?yàn)閍≠0,所以m=n,故D正確.故選ABD.12345678910111213144.下列各組向量中,一定能推出a∥b的是(

)①a=-3e,b=2e;A.① B.①②

C.②③ D.①②③B12345678910111213141234567891011121314A12345678910111213141234567891011121314123456789101112131441234567891011121314B級(jí)關(guān)鍵能力提升練D123456789101112131412345678910111213