高中數(shù)學(xué)-基本不等式的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

課標(biāo)分析

1.知識(shí)與能力目標(biāo)：通過(guò)實(shí)例探究過(guò)程，體會(huì)用基本

不等式求最值問(wèn)題。

2、過(guò)程與方法目標(biāo)：通過(guò)實(shí)例探究過(guò)程，體會(huì)用基

本不等式求最值的三個(gè)限制條件：一正、二定、三等。

3、情感與態(tài)度目標(biāo)：通過(guò)問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，誘發(fā)學(xué)

生的求知欲；通過(guò)規(guī)律的推導(dǎo)體會(huì)特殊一一般一特殊

的認(rèn)知規(guī)律，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力；通過(guò)梯次的

變式訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生克服困難的意志；通過(guò)積極參與

探究活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)及數(shù)學(xué)表達(dá)能力。

學(xué)情分析

1、通過(guò)前面幾節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)不等式有了初步的的了解，基本能

建立函數(shù)、方程及不等式之間的關(guān)系。

2、對(duì)基本不等式的前提及等號(hào)成立的限制條件是學(xué)生面臨的主

要問(wèn)題。

3、具備通過(guò)觀察、操作并抽象概括等活動(dòng)求一些函數(shù)的最值。

4、本節(jié)內(nèi)容變換靈活，應(yīng)用廣泛，條件有限制，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化歸

等數(shù)學(xué)思想，對(duì)學(xué)生能靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的要求較高，是教

育學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)用好數(shù)學(xué)的好素材。

3.4.2基本不等式的應(yīng)用評(píng)測(cè)練習(xí)

?、選擇題

1.若4>4,則函數(shù)y=>+」~;(B)

A.有最大值一6

B.有最小值6

C.有最大值2

D.沒(méi)有最小值

解析：尸X—4+」~7+422、/(X—4)?」~?+4=6.當(dāng)且僅當(dāng)萬(wàn)一時(shí)，即X

=5時(shí)取得最小值6.

2.設(shè)a、6為實(shí)數(shù)，且a+力=3,則2“+2&的最小值為(B)

A.6B.472

C.2mD.8

解析：2^2^2yfrT1)=2yf2:(=4yl2.

3.已知x,y是正數(shù)，且燈=4,則多+未取得最小值時(shí)，x的值是(B)

A.1B.2

C.2yf2D.乖

解析：，-+j22yly[^225一2木,止匕時(shí)y,即x=y=2.

4.小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和b〈aV物,其全程的平均時(shí)速為v,貝MA)

A.a<v<y[ab

B.v=y[ab

C.y[ab<

乙

a+b

D.g2

2q2r—a+62ab2ab

解析：設(shè)甲地到乙地距離為s,則。=-=太，<b，?7abV2=a+z?2b

一a+二b

2abi—

=創(chuàng)市<4破

5.若P=71ga?1gb,^=1(lga+lg垃,

Qlg則(B)

A.R<P<QB.P<Q<R

C.Q<P<RD.P<R<Q

解析：??飛>6>1,Alga>0,lgb>0.

由基本不等式易得產(chǎn)<0,而B(niǎo)ig若^=吊WP<Q<R.

二、填空題

6.已知%>0,y>0,lg2v+lg8'=lg2,則的最小值是______.

xoy

解析,：由x>0,y>0,lg2*+lg8''=lg2得2""=2,即*+3尸1,?,+3=小：）

+':"=2+@+搟22+28丹?搟=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=3y時(shí).取等號(hào).

oyxJy\lxoy

答案：4

7.已知A>0,y>0,3x+4y=5,2孫的最大值為.______.

解析：2%y=|x3xX4j<K^y^）2=|x

225

口案：或

8.不等式尸x（l-3x）（0V1V，的最大值是.

5k1/、1/、/、」「3>+（1-3x）121

解析：:OVxVw，，1—3x>0.，x（l—3x）=鼻（3彳）（1—3x）W目=~X

JJul/J

2__i_

4=l2，

1?答案：TT

1乙

三、解答題

9.已知后*求/U)=*—匕"的最小值.

4X4

,.、5/、AT2—4x+5(X—2)24-1..,1、、[…

解析r：:*》.，???*-2>0.?,?〃彳)=------=------------=()-2)+—^22.當(dāng)且

2x—2x—2x—2

僅當(dāng)2=」"，即*=3時(shí)，等號(hào)成立.故當(dāng)>=3時(shí)，/■(x)nin=2.

x—2

10.過(guò)點(diǎn)P(L2)的直線/與x軸、y軸的正半軸分別交于力，B兩點(diǎn)、,當(dāng)△4%?的面積

最小時(shí)，求直線1的方程.

解析：設(shè)力⑶0),8(0,6),則a>0,心0,則/的方程為^+[=1,又?：1過(guò)P點(diǎn),

ab

121

，一+7=1,三角形.的面積S=;;a6.

nb2

i2

由；+4=lna6=Z?+2a當(dāng)且僅當(dāng)6=2a,即a=2,6=4時(shí)，￡打=4.

1的方程為^+3=1,即2x+y—4=0.

觀評(píng)記錄

本節(jié)課依據(jù)學(xué)生實(shí)際，遵循新課程理念,

通過(guò)“概念復(fù)習(xí)，導(dǎo)入新課一誘導(dǎo)嘗試，探

究新知一鞏固練習(xí)，深化新知一全課小結(jié)，

內(nèi)化新知”四個(gè)活動(dòng)展示教學(xué)流程。

教學(xué)設(shè)計(jì)始終以學(xué)生活動(dòng)為中心，不斷

創(chuàng)造出障礙，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行深度嘗試探索。

鞏固練習(xí)由易到難，讓思維在問(wèn)題解決中成

長(zhǎng)，讓問(wèn)題解決在思維中拓展。

本課例題典型，針對(duì)基本不等式成立的

三個(gè)限制條件，逐一設(shè)置陷阱，并逐個(gè)探求

突破。在民主和諧的課堂氛圍里，既培養(yǎng)了

學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣，也培

養(yǎng)了學(xué)生勇于探索、不斷創(chuàng)新的思維品質(zhì)。

教材分析

本節(jié)課是在系統(tǒng)學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握

了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開(kāi)的。作為重要的基本不等式之一,

為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。要進(jìn)一步了解不等式的性質(zhì)及其應(yīng)

用，研究最值問(wèn)題，此時(shí)基本不等式是必不可缺的。它在知

識(shí)體系中起了承上啟下的作用，同時(shí)在生活及生產(chǎn)實(shí)際中有

著廣泛的應(yīng)用，因此它也是對(duì)學(xué)生進(jìn)行情感價(jià)值教育的

好素材，所以基本不等式及其應(yīng)用需要重點(diǎn)研究。

教學(xué)設(shè)計(jì)

基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它是研究

函數(shù)、幾何等內(nèi)容的重要工具，本課主要分析了用基

本不等式求最值時(shí)幾個(gè)需要注意的問(wèn)題。圍繞“正”、

“定”、“等”要做適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?，不能隨心所欲亂

用基本不等式。針對(duì)學(xué)生實(shí)際，結(jié)合新課標(biāo)要求，我

設(shè)計(jì)了如下教學(xué)過(guò)程：

活動(dòng)一：要點(diǎn)復(fù)習(xí)，導(dǎo)入新課

1、什么是基本不等式？

2、基本不等式的常用

變形有哪些？

3、基本不等式成立的三個(gè)

限制條件是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】：為圍繞“正數(shù)”、“定值”、“相等”需

進(jìn)行適當(dāng)變形做好伏筆。

活動(dòng)二：誘導(dǎo)嘗試探究新知

1、化正型

例1、求函數(shù)k2%+：-1(%Y0)的最大值

分析：?.."YO,不符合基本不等式的使用條件,

需要把負(fù)數(shù)化為正數(shù)。

解:%Y0,

-2%A0,—A0

x

-2%+(力2/2%){—￡|=20

.t2xH—<-24^2

x

f(x)—2xT-----]<—2*\/2—1

X

當(dāng)且僅當(dāng)-2x=-L即x=-也時(shí),取等號(hào).

x2

f(x)的最大值為-2行-1.

特別提醒:如果所求因式都是負(fù)數(shù)，通常采用添負(fù)號(hào)

變?yōu)檎龜?shù)的處理方法.

2.湊定型

(1)構(gòu)造積為定值，利用基本不等式求最值.

例2求函數(shù)y二—i——pX(X>3)的最小值.

x-3

分析與x的積不為定值，故需變形使積為定值.

x-3

解：,.,x>3,...x-3〉0,----->0.

x-3

，y=x+^—=x-3+^—+322、k-3)?^—+3=2+3=5,

x-3x-3vx-3

當(dāng)且僅當(dāng)x-3=」一,即x=4fl寸,Ymin=5.

x-3

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生一開(kāi)始往往忽略自變量的正負(fù)，不

假思索就盲目套用基本不等式。實(shí)際上，好多情況都

暗示了變量取正值。一旦沒(méi)有特別暗示，需分類討論。

意在培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)風(fēng)，縝密的數(shù)學(xué)思維模式。

⑵構(gòu)造和為定值，利用基本不等式求最值

例3已知。<X<:，求函數(shù)y=x(l-3x)的最大值.

分析：X+(1-3x)不是定值,3x+(l-3x)為定值.

解：:0<x<；,1一3x>0.

-、1-八-、13X+1-3X1

/.y—x(l—3x)——*3x(1-3x)?—(Z--------)X2——.

33212

11

當(dāng)且僅當(dāng)3x=l-3x，即x=時(shí)，y=-.

6max12

合理地拆分轉(zhuǎn)化，構(gòu)造和為定值，或積為定值，是解

決這類問(wèn)題的關(guān)鍵。

【設(shè)計(jì)意圖】求和的最小值，需要積為定值；求積的

最大值，需要和為定值。當(dāng)題目當(dāng)中僅僅具備“正值”

條件時(shí)，需要通過(guò)適當(dāng)拆分、湊項(xiàng)構(gòu)造和或積為定值,

考查了學(xué)生的變形能力。通過(guò)實(shí)例，讓學(xué)生能靈活掌

握這兩種變形能力。

3.整體代換型

例4已知x〉0,y>0,且2x+y=l,求的最小值.

解：1=2x+y>272x7，

?*-Jxy<—尸，即J—'2\/2.

2V2Vxy

.*.-+->2上22.2加=4也.

xyyxy

即2_+%最小值為4y/2

xy

以上解法正確嗎？師生共同分析錯(cuò)誤原因后，教師板

書(shū)正確解法過(guò)程。

解:??,x,y>0,2x+y=l,

11_11

，一+—=(2x+7)x?(一+一)

xyxy

=3+^+—>3+2J^^=3+2A/2,

Xyy

y_2x\2-V2

當(dāng)且僅當(dāng)：=-7即J%=一;一時(shí)，等號(hào)成立。

y14

2x+j=1y=V2-i

所以原式最小值為3+2Ji.

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)于條件最值問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生利用整體

代換思想，常常采用乘“1”的辦法。

活動(dòng)三：鞏固練習(xí)，深化新知。

課堂練習(xí)

i.下列問(wèn)題的解法是否正確，如果錯(cuò)誤，請(qǐng)指出錯(cuò)

誤原因.

求函數(shù)y=的值域

函數(shù)的值域是［N-)

3

2.已知0<x<e,求函數(shù)y=x(3-2x)

的最大值.

1

XH----------

3、X*-1,當(dāng)X為何值時(shí)*+■有最小

值，最小值是多少？

［設(shè)計(jì)意圖］通過(guò)三個(gè)類型的練習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步體

會(huì)基本不等式是求最值的有力工具，時(shí)刻不忘它成立

時(shí)的三個(gè)限制條件，當(dāng)其中一個(gè)條件不具備時(shí)，應(yīng)進(jìn)

行適當(dāng)?shù)淖冃?，靈活運(yùn)用基本不等式。同時(shí)也是為了

規(guī)范解題過(guò)程，使學(xué)生進(jìn)一步牢固掌握基本不等式求

最值的幾種情況。

活動(dòng)四：全課小結(jié)，內(nèi)化新知。

(1)自主小結(jié)：

①對(duì)自己一談本節(jié)課有哪些收獲？

②對(duì)同桌一談在學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容中應(yīng)注意什

么？

③對(duì)老師一談本節(jié)課中還有哪些疑惑？

(2)教師概括小結(jié)，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào):通過(guò)變形、配湊“不

正變正，不定變定，不等變等?！?/p>

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)這個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生能真正將所學(xué)知

識(shí)內(nèi)化為自己的東西，教師補(bǔ)充小結(jié)學(xué)生能更深刻

全面掌握本節(jié)內(nèi)容。

效果分析

本節(jié)課擺脫了“滿堂灌”的傳統(tǒng)教法，

通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，采用引導(dǎo)探究的教學(xué)方法,

注重推理能力的培養(yǎng)，特別注意安排學(xué)生經(jīng)

歷思考一解答一歸納的完整數(shù)學(xué)思維過(guò)程,

讓學(xué)生通過(guò)對(duì)基本不等式應(yīng)用的學(xué)習(xí)，自主

探索與合作交流獲得新知，結(jié)果表明，學(xué)生

的積極性較高，課堂上學(xué)生不停地動(dòng)手，動(dòng)

腦，積極