浙江省“山水聯(lián)盟”2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE21-浙江省“山水聯(lián)盟”2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）考生須知：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.全部答案必需寫在答題卷上，寫在試卷上無效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分（40分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，則=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計算，再計算并集得到答案.【詳解】，則，故.故選：【點睛】本題考查了集合的補集和并集，屬于簡潔題.2.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),i是虛數(shù)單位,則實數(shù)()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,因為復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則實部為且虛部不為聯(lián)立方程,即可求得答案.【詳解】復(fù)數(shù)為純虛數(shù)實部為且虛部不為可得解得:故選:D.【點睛】本題考查依據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)求參數(shù),解題關(guān)鍵是駕馭復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算和復(fù)數(shù)的純虛數(shù)的定義,考查了分析實力和計算實力,屬于基礎(chǔ)題.3.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：用特別值法，令，，得，選項A錯誤，，選項B錯誤，，選項D錯誤，因為選項C正確，故選C．【考點】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.4.用列表法將函數(shù)表示為（見表格）則下列推斷正確的是（）-2-10-101A.為奇函數(shù) B.為偶函數(shù) C.為奇函數(shù) D.為偶函數(shù)【答案】C【解析】【分析】由題意得，，，再依據(jù)奇偶性的定義推斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：由表格得，，，則，，，則，則為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)不成立；若為奇函數(shù)，即，則有函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，由題設(shè)推不出，不成立；若為偶函數(shù)，即，則有函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，由題設(shè)推不出，不成立；故選：C．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的推斷，運用定義法是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．5.設(shè)，滿意約束條件，則的最小值為（）A. B. C. D.5【答案】A【解析】【分析】由線性約束條件，畫出可行域，結(jié)合直線的平移即可求得的最小值.【詳解】依據(jù)線性約束條件，畫出不等式組表示的可行域如圖所示：由平移得到，由圖可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點處取得最小值，代入可得為．故選：A.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃的簡潔應(yīng)用，線性目標(biāo)函數(shù)最值的求法，屬于基礎(chǔ)題.6.設(shè)，則“數(shù)列為等比數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】分別證明當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列時數(shù)列是否等比數(shù)列，反之證明當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列時，數(shù)列是否為等比數(shù)列.【詳解】充分性：若數(shù)列為等比數(shù)列，所以，因為，所以數(shù)列為等比數(shù)列，充分性成立，必要性：若數(shù)列為等比數(shù)列，則所以，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，必要性不成立.故選：A【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的推斷及充分、必要條件的推斷，屬于基礎(chǔ)題.7.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析函數(shù)的奇偶性，并利用導(dǎo)數(shù)分析該函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合解除法可得出合適的選項.【詳解】因為，且定義域關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故解除B項；，設(shè)，則恒成立，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，任取，則，所以，，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，故解除C、D選項.故選：A.【點睛】本題考查利用函數(shù)解析式選擇圖象，一般分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、函數(shù)零點以及函數(shù)值符號，結(jié)合解除法得出合適的選項，考查分析問題和解決問題的實力，屬于中等題.8.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由，可得，結(jié)合，，可得，繼而得到，，轉(zhuǎn)化，利用兩角差的正弦公式即得解【詳解】由題意，故故又，故，則故選：C【點睛】本題考查了兩角和與差的正弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算實力，屬于中檔題9.已知平面對量滿意，、為不共線的單位向量.且恒成立，則、夾角的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得，由恒成立得出，化簡得知對隨意的恒成立，由可求得、夾角的取值范圍，由此可得出結(jié)果.【詳解】，由得，，由題意可得，對隨意的恒成立，，解得，，.因此，、夾角的最小值為.故選：B.【點睛】本題考查向量夾角最值的求解，考查二次不等式恒成立問題的求解，考查計算實力，屬于中等題.10.已知，函數(shù)，若函數(shù)恰有3個零點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，則函數(shù)恰有3個零點等價于方程有3個實數(shù)根．對選項逐個分析，數(shù)形結(jié)合可得答案.【詳解】令，則條件等價為方程有3個實數(shù)根．當(dāng)時，．對A選項分析：當(dāng)，時，在，，，圖象如圖所示：此時方程最多只有1個實數(shù)根，所以A選項錯誤．對B選項分析：當(dāng)，時，在，，，圖象如圖所示：故方程可能會出現(xiàn)3個實數(shù)根，所以B選項正確．對C選項分析：當(dāng)，時，在，圖象如圖所示：此時方程最多只有2個實數(shù)根，所以C選項錯誤．對D選項分析：當(dāng)，時，在，圖象如圖所示：此時方程最多只有2個實數(shù)根，所以D選項錯誤．故選：.【點睛】本題考查函數(shù)與方程，考查導(dǎo)數(shù)在探討函數(shù)中的應(yīng)用，屬于較難的題目.非選擇題部分（110分）二、填空題（本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分）11.《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中第一題：“今有共買物，人出八，盈三錢；人出七，不足四，問人數(shù)物價各幾何？”借用我們現(xiàn)在的說法可以表述為：有幾個人合買一件物品，每人出8元，則付完錢后還多3元；若每人出7元，則還差4元才夠付款.問他們的人數(shù)和物品價格？答：一共有_____人；所合買的物品價格為_______元．【答案】(1).7(2).53【解析】【分析】依據(jù)物品價格不變，可設(shè)共有x人，列出方程求解即可【詳解】設(shè)共有人，由題意知，解得，可知商品價格為53元.即共有7人，商品價格為53元.【點睛】本題主要考查了數(shù)學(xué)文化及一元一次方程的應(yīng)用，屬于中檔題.12.已知函數(shù)，則______________，方程的解為______________.【答案】(1).-1(2).-3或8【解析】分析】依據(jù)分段函數(shù)的解析式以及區(qū)間代入求解即可.【詳解】(1).(2)當(dāng)時,有,滿意；當(dāng)時,有,因為故.故方程的解為或.故答案為：(1).-1(2).-3或8【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的求值以及方程的求解,須要依據(jù)題意分段進(jìn)行求解,留意求解后推斷是否滿意定義域.屬于基礎(chǔ)題.13.已知為銳角三角形，角，，的對邊分別為，，，.則（1）角的值為________；（2）若，，則________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）由正弦定理，可轉(zhuǎn)化，為，即得解（2）由面積公式，可得，再由余弦定理，聯(lián)立可得解【詳解】（1）由題意，，且由正弦定理故又為銳角三角形，（2）由余弦定理：故故答案為：【點睛】本題考查了正弦定理與余弦定理綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算實力，屬于基礎(chǔ)題14.已知向量滿意：，，，則向量與向量的夾角為________；向量在向量方向上的投影為________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用平面對量數(shù)量積的定義和運算律可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到兩向量的夾角；利用平方運算可求得，代入向量投影公式即可求得結(jié)果.【詳解】，，，解得：，，即向量與向量的夾角為.，，則向量在向量方向上的投影為.故答案為：；.【點睛】本題考查利用平面對量數(shù)量積求解向量夾角、向量投影的求解問題；解題關(guān)鍵是能夠數(shù)量應(yīng)用平面對量的定義和運算律，屬于?？碱}型.15.若將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù)的最小值是________.【答案】3【解析】【分析】函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到為偶函數(shù)，利用，可得解【詳解】由題意，函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到為偶函數(shù)又，故當(dāng)時,實數(shù)的最小值是3，故答案為：3【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像變換，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算實力，屬于中檔題16.已知正實數(shù)，滿意，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】由條件可得且，則，利用重要不等式可得答案.【詳解】由得又，為正實數(shù)，所以，得則當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號.故答案為：【點睛】本題考查依據(jù)條件求最值問題，考查利用重要不等式求最值，利用重要不等式求最值時要留意“一正、二定、三相等”，以及變形技巧，屬于中檔題.17.實數(shù)，當(dāng)時，恒有成立，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，,依據(jù)題意即和同正或同負(fù)，當(dāng)時，，則時，，所以得到，又當(dāng)時，，則須要當(dāng)時，有，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得到答案.【詳解】設(shè)，當(dāng)時，恒有成立，即和同正或同負(fù).當(dāng)時，，則時，所以，此時，在時，所以當(dāng)時，有，又的對稱軸方程為則，解得所以故答案為：【點睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)，考查恒成立問題，考查等價轉(zhuǎn)化的思想和實力，屬于中檔題.三、解答題（本大題共5小題，共74分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）18.已知函數(shù)（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和協(xié)助角公式，化簡得到，利用正弦型函數(shù)的周期公式可得，令，可得的單調(diào)遞增區(qū)間（2）當(dāng)，利用正弦函數(shù)的圖像及性質(zhì)，可得分別當(dāng)，時，函數(shù)取得最小值，最大值【詳解】（1）故的最小正周期令可得故的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）當(dāng)故當(dāng)時，即時，當(dāng)時，即時，【點睛】本題考查了正弦型函數(shù)的圖像及性質(zhì)，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算實力，屬于中檔題19.已知數(shù)列為等差數(shù)列，是公比為2的正項等比數(shù)列，且滿意，，，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列，的通項公式.（2）設(shè)數(shù)列滿意：當(dāng)時，，當(dāng)時，，試求數(shù)列的前項和.【答案】（1），；（2）數(shù)列的前項和為，【解析】【分析】（1）用基本量法求得數(shù)列，的通項公式；（2）比較與的大小，得出，再分類探討，分組求和．【詳解】（1）由已知，，又，，成等比數(shù)列.，所以，即，解得（舍去），所以，又，，所以，所以，綜上，；（2）經(jīng)計算，時，，時，，用數(shù)學(xué)歸納法證明：時，．時，，，滿意，假設(shè)（）時，有，則，所以時也有，綜上對的全部正整數(shù)都有．設(shè)數(shù)列的前項和為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，【點睛】本題考查求等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，考查分類探討分組求和，駕馭等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、前項和公式是解題基礎(chǔ)．20.已知函數(shù)，當(dāng)時，值域為，（1）求實數(shù)，的值.（2）記集合，，若，求實數(shù)的值.【答案】(1)，;(2).【解析】【分析】(1)由不是最值可分析在對稱軸處取得最小值，在x=2取得最大值，列方程即可求解；(2)先求出集合A,依據(jù)，可分析方程的根，即可求解.【詳解】(1)由題意知，故的對稱軸，所以即解得或（舍去），故實數(shù)，.(2)由(1)得，，因為，所以是不等式的解集，故是方程的根，又所以【點睛】本題主要考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值及二次不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題.21.已知數(shù)列滿意：，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為，令，求證：【答案】(1);(2)證明見解析.【解析】分析】(1)設(shè)，，則,用累加法可先求出，從而得到答案.

(2)由，則,則，再用裂項相消法求和可證明.【詳解】（1）因為設(shè)，，則由，則（2）由，則所以【點睛】本題考查用累加法求數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列與不等式的證明問題，利用裂項相消法求和，考查放縮法的應(yīng)用，屬于中檔題.22.設(shè)函數(shù)，（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）①證明：當(dāng)時，函數(shù)在上恰有一個極值點；②求實數(shù)的取值范圍，使得對隨意的，恒有成立.注：為自然對數(shù)的底數(shù).【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，（2）①證明見解析；②.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，由得遞增區(qū)間，由得遞減區(qū)間；（2）①求導(dǎo)兩次后，利用零點存在性定理和極值點的概念可證結(jié)論；②當(dāng)時，依據(jù)單調(diào)性可知不合題意，當(dāng)時，利用①的結(jié)論，可知在上的最大值為，再將恒成立轉(zhuǎn)化為最大值即可解決.【詳解】（1）當(dāng)時，，，由，得，由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）①證明：當(dāng)時，，令，則，因為，所以，當(dāng)時