北京市大興區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試題 含解析

大興區(qū)2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期高二期末檢測數(shù)學(xué)1.本試卷共4頁，共兩部分，21道小題.滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.2.在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校名稱?班級?姓名和準(zhǔn)考證號.3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.4.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他題用黑色字跡簽字筆作答.第一部分（選擇題共40分）一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.橢圓的長軸長為（）A.4 B.5 C.6 D.9【答案】C【解析】【分析】由橢圓的方程即可得出答案.【詳解】由可得，則.故選：C.2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接由漸近線的定義即可得解.【詳解】由題意雙曲線的漸近線方程為，即.故選：B.3.若直線的方向向量為，平面的法向量為，且，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】由可知，直線的方向向量與平面的法向量平行，列方程組求解即可.【詳解】∵直線的方向向量為，平面的法向量為，且，∴直線的方向向量與平面的法向量平行，則存在實(shí)數(shù)使，∴，解得，故選：D.4.兩條平行直線與間的距離等于（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】直接利用兩平行線間的距離公式求解.【詳解】兩條平行直線與，由兩平行線間的距離公式可知，所求距離為．故選：A．5.過點(diǎn)且被圓截得的弦長最大的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)可知所求直線即為過圓心的直線，結(jié)合直線的截距式方程求解.【詳解】由題意可知：圓的圓心為，顯然圓的最大弦長為直徑，所求直線即為過圓心的直線，可得直線方程為，即.故選：B.6.圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相離 C.內(nèi)切 D.外切【答案】D【解析】【分析】求出兩個(gè)圓的圓心距即可判斷得解.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，顯然，所以圓與外切.故選：D7.采取隨機(jī)模擬的方法估計(jì)氣步槍學(xué)員擊中目標(biāo)的概率，先由計(jì)算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次射擊擊中的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)數(shù)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：907966181925271932812458569683431257393027556488730113537989根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)，該學(xué)員三次射擊至少擊中兩次概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)計(jì)數(shù)至少擊中兩次的次數(shù)后計(jì)算概率．【詳解】所給數(shù)據(jù)中有181，271，932，812，431，393，113共7個(gè)數(shù)據(jù)表示至少擊中兩次，所以概率為．故選：B．8.若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意得到，再解不等式即可.【詳解】依題意，，則或.故選：A9.已知是雙曲線與橢圓的左?右公共焦點(diǎn)，是在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，若，則的離心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由雙曲線定義、橢圓定義以及離心率公式，結(jié)合已知條件運(yùn)算即可得解.【詳解】由知，所以，∵，∴，∴，∵，∴的離心率是.故選：A.10.平面內(nèi)與定點(diǎn)距離之積等于的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線.曲線是當(dāng)時(shí)的雙紐線，是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（）A.曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱B.滿足的點(diǎn)有且只有一個(gè)C.D.若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】D【解析】【分析】由題意得當(dāng)時(shí)的雙紐線方程為，對于A，用替換方程中的即可判斷；對于B，令，求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可驗(yàn)證；對于C，由即可判斷；對于D，由方程無零解，即可得解.【詳解】根據(jù)雙紐線的定義可得，當(dāng)時(shí)，曲線C：，即，整理，得，對于A，用替換方程中的，原方程不變，所以曲線C關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，故A正確；對于B，若，則，所以，此時(shí)，即，所以滿足的點(diǎn)有且只有一個(gè)，即，故B正確；對于C，由，得，所以曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即都不超過4，故C正確；對于D，直線與曲線C一定有公共點(diǎn)，若直線與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，將代入方程中，得，當(dāng)時(shí)，方程無零解，則，解得或，故D錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵是首先一定有公共點(diǎn)，然后通過化簡方程組得方程無零解，由此即可順利得解.第二部分（非選擇題共110分）二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.如果事件A與事件B互斥，且，，則＝．【答案】0.5【解析】【分析】表示事件A與事件B滿足其中之一占整體的占比．所以根據(jù)互斥事件概率公式求解．【詳解】【點(diǎn)睛】此題考查互斥事件概率公式，關(guān)鍵點(diǎn)在于理解清楚題目概率表示的實(shí)際含義，屬于簡單題目．12.經(jīng)過原點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為__________.【答案】【解析】【分析】與直線垂直的直線方程可設(shè)為：，再將代入即可得出答案.【詳解】與直線垂直的直線方程可設(shè)為：，又因?yàn)榻?jīng)過原點(diǎn)，所以.所求方程為故答案為：.13.已知雙曲線是等軸雙曲線，則的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為__________；的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是__________.【答案】①.②.1【解析】【分析】根據(jù)等軸雙曲線的概念求得，即可得焦點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離可得結(jié)果．【詳解】雙曲線是等軸雙曲線，則，，，則，則則的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，即，則焦點(diǎn)到漸近線的距離，故答案為：，1．14.探照燈、汽車燈等很多燈具的反光鏡是拋物面（其縱斷面是拋物線的一部分），正是利用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射之后沿對稱軸方向射出．根據(jù)光路可逆圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，一條光線經(jīng)過，與軸平行射到拋物線上，經(jīng)過兩次反射后經(jīng)過射出，則________，光線從點(diǎn)到經(jīng)過的總路程為________．【答案】①.②.【解析】【分析】由點(diǎn)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同和韋達(dá)定理可得，利用拋物線的定義可求得總路程.【詳解】如圖，設(shè)第一次射到拋物線上的點(diǎn)記為，第二次射到拋物線上的點(diǎn)記為，易得，因?yàn)?，所以直線的方程為．聯(lián)立消去整理得，可設(shè)，顯然和是該方程的兩個(gè)根，則，所以．（方法一）光線從點(diǎn)到經(jīng)過的總路程為．（方法二）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，則其方程為，分別過點(diǎn)，做準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，則，，所以，故光線從點(diǎn)到經(jīng)過的總路程為．故答案為：；20.15.畫法幾何的創(chuàng)始人法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓的離心率為分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).直線的方程為.給出下列四個(gè)結(jié)論：①的蒙日圓的方程為；②在直線上存在點(diǎn)，橢圓上存在，使得；③記點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為；④若矩形的四條邊均與相切，則矩形面積的最大值為.其中所有正確結(jié)論的序號為__________.【答案】①②④【解析】【分析】由在蒙日圓上可得蒙日圓的方程，結(jié)合離心率可得關(guān)系，由此可知①正確；由過且在蒙日圓上，可知當(dāng)恰為切點(diǎn)時(shí)，，知②正確；根據(jù)橢圓定義可將轉(zhuǎn)化為，可知時(shí)，取得最小值，由點(diǎn)到直線距離公式可求得最小值，代入可得的最小值，知③錯(cuò)誤；由題意知，蒙日圓為矩形的外接圓，由矩形外接圓特點(diǎn)可知矩形長寬與圓的半徑之間的關(guān)系，利用基本不等式可求得矩形面積最大值，知④正確．【詳解】對于①，過可作橢圓的兩條互相垂直的切線：，∴在蒙日圓上，∴蒙日圓方程為，由，得，∴的蒙日圓方程為，故①正確；對于②，由方程知：過，又滿足蒙日圓方程，∴在圓上，當(dāng)恰為過作橢圓兩條互相垂直切線的切點(diǎn)時(shí)，，故②正確；對于③，∵在橢圓上，∴，∴，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為到直線的距離，又到直線的距離，∴，故③錯(cuò)誤；對于④，當(dāng)矩形的四條邊均與相切時(shí)，蒙日圓為矩形的外接圓，∴矩形對角線為蒙日圓的直徑，設(shè)矩形的長和寬分別為，則，∴矩形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即矩形面積的最大值為，故④正確.故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查圓錐曲線中的新定義問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)蒙日圓的定義，結(jié)合點(diǎn)在蒙日圓上，得到蒙日圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而結(jié)合圓的方程來判斷各個(gè)選項(xiàng)．三?解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知兩直線：和：，（1）若與交于點(diǎn)，求的值；（2）若，試確定需要滿足的條件．【答案】（1）（2）當(dāng)或時(shí)，【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入則得到方程，解出即可；（2）根據(jù)平行列出方程，解出，再排除重合的情況即可.【小問1詳解】將點(diǎn)代入兩直線方程得：和，解得.【小問2詳解】由得：，又兩直線不能重合，所以有，對應(yīng)得，所以當(dāng)或時(shí)，．17.已知橢圓與經(jīng)過左焦點(diǎn)的一條直線交于兩點(diǎn).（1）若為右焦點(diǎn)，求的周長；（2）若直線的傾斜角為，求線段的長.【答案】（1）8（2）【解析】【分析】（1）直接畫出圖形結(jié)合橢圓的定義即可求解.（2）由題意結(jié)合左焦點(diǎn)的坐標(biāo)以及直線的傾斜角為，可得直線的方程，將其與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理以及弦長公式即可得解.【小問1詳解】由題意，由橢圓定義有，所以的周長為.【小問2詳解】設(shè)，由題意直線的斜率為，，即，所以直線的方程為，將它與橢圓方程聯(lián)立得，消去并化簡整理得，顯然，由韋達(dá)定理得，所以線段的長為.18.已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），與直線x+y＝2相切，且圓心C在直線2x+y﹣1＝0上.（1）求圓C的方程；（2）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)（0，1），并且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程.【答案】（1）（x﹣1）2+（y+1）2＝2（2）x＝0或3x+4y﹣4＝0【解析】【分析】（1）由圓C的圓心經(jīng)過直線2x+y﹣1＝0上，可設(shè)圓心為C（a，1﹣2a）.由點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心C到直線x+y＝2的距離d，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出AC的長度即為圓的半徑，然后根據(jù)直線與圓相切時(shí)圓心到直線的距離等于圓的半徑，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可確定出圓心坐標(biāo)及半徑，然后根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可.（2）分類討論，利用圓心到直線的距離為1，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】因?yàn)閳A心C在直線2x+y﹣1＝0上，可設(shè)圓心為C（a，1﹣2a）.則點(diǎn)C到直線x+y＝2的距離d.據(jù)題意，d＝|AC|，則，解得a＝1.所以圓心為C（1，﹣1），半徑r＝d，則所求圓的方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2.【小問2詳解】k不存在時(shí)，x＝0符合題意；k存在時(shí)，設(shè)直線方程為kx﹣y+1＝0，圓心到直線的距離1，∴k，∴直線方程為3x+4y﹣4＝0.綜上所述，直線方程為x＝0或3x+4y﹣4＝0.19.如圖，在四面體中，平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求平面和平面夾角的余弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）由勾股定理得，由平面得，從而平面，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，利用向量夾角公式求解；（3）設(shè)，則，求得，設(shè)直線與平面所成角為，由題意，列式求解即可.【小問1詳解】∵，∴，∴，∵平面，平面，∴，∵，平面，∴平面，∵平面，∴.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，,設(shè)平面的法向量為，由，令，則，，設(shè)平面的法向量為，由，令，則，，∴，∴平面和平面夾角的余弦值為.【小問3詳解】設(shè)，則，設(shè)，則，得，∴，，平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，由題意，，∴，此方程無解，∴在線段上是不存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為.20.已知拋物線，過的焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交于不同的兩點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與相交于不同的兩點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且與的面積之比為，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由題意可得直線方程，進(jìn)而可得，可求得值，即可得答案.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線，根據(jù)韋達(dá)定理及弦長公式求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，，求出到直線距離，由與的面積的關(guān)系列式求出，可得答案.【小問1詳解】拋物線的焦點(diǎn)，則兩點(diǎn)所在的直線方程為：，代入拋物線，得，，則，故，∴拋物線的方程為【小問2詳解】由題意，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，得，∴，解得且，，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴到直線距離，∴的面積，面積，由題意，∴，整理得，解得或，∴直線的方程為或.21.已知橢圓的上?下頂點(diǎn)為，左?右焦點(diǎn)為，四邊形是面積為2的正方形.（1）求橢圓的方程；（2）若是橢圓上異于的點(diǎn)，判斷直線和直線的斜率之積是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請說明理由；（3）已知圓的切線與橢圓相交于兩點(diǎn)，判斷以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，請說明理由.【答案】（1）（2）是定值，定值為（3）過定點(diǎn)，定點(diǎn)為【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列式求，即可