第64講、橢圓及其性質(zhì)（教師版）

第64講橢圓及其性質(zhì)知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語(yǔ)言表示為：注意：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在．知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的方程、圖形與性質(zhì)橢圓的方程、圖形與性質(zhì)所示．焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一方程參數(shù)方程第一定義到兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2，即（）范圍且且頂點(diǎn)、、、、軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)對(duì)稱(chēng)性關(guān)于軸、軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)焦點(diǎn)、、焦距離心率準(zhǔn)線方程點(diǎn)和橢圓的關(guān)系切線方程（為切點(diǎn)）（為切點(diǎn)）對(duì)于過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線方程，只需將橢圓方程中換為，換為可得切點(diǎn)弦所在的直線方程焦點(diǎn)三角形面積①，（為短軸的端點(diǎn)）②③焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是焦半徑左焦半徑：又焦半徑：上焦半徑：下焦半徑：焦半徑最大值，最小值通徑過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑：通徑長(zhǎng)=（最短的過(guò)焦點(diǎn)的弦）弦長(zhǎng)公式設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，，，則弦長(zhǎng)（其中是消后關(guān)于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）【解題方法總結(jié)】（1）過(guò)橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長(zhǎng)軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱(chēng)為橢圓的通徑，其長(zhǎng)為．①橢圓上到中心距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，到中心距離最大的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．②橢圓上到焦點(diǎn)距離最大和最小的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．距離的最大值為，距離的最小值為．（2）橢圓的切線①橢圓上一點(diǎn)處的切線方程是；②過(guò)橢圓外一點(diǎn)，所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是；③橢圓與直線相切的條件是．必考題型全歸納題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程例1．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C上任意一點(diǎn)都滿(mǎn)足關(guān)系式，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【解析】由題可知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，其坐標(biāo)分別為，，故，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.例2．（2024·山東青島·統(tǒng)考三模）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∵拋物線焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，∴橢圓焦點(diǎn)在軸，設(shè)橢圓方程為，（），則由焦點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)軸長(zhǎng)知，，∴，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.例3．（2024·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】由題知：，①又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，②又，③聯(lián)立解得：，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：.變式1．（2024·浙江紹興·紹興一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E：（），F(xiàn)是E的左焦點(diǎn)，過(guò)E的上頂點(diǎn)A作AF的垂線交E于點(diǎn)B.若直線AB的斜率為，的面積為，則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【解析】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB交x軸于點(diǎn)C，如圖所示：由題意知：，直線AB的斜率為，即，所以，.由橢圓的性質(zhì)知：，，則，所以，，則，故直線AB的方程為.聯(lián)立，解得：或，所以，故，則，解得：.又，所以，即，則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.變式2．（2024·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓焦點(diǎn)在軸，它與橢圓有相同離心率且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【解析】橢圓的離心率為，設(shè)所求橢圓方程為，則，從而，，又，∴，∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.變式3．（2024·北京·高二北大附中?？计谀┡c雙曲線有相同焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【解析】即，焦點(diǎn)為，橢圓長(zhǎng)軸，即，故短半軸，故橢圓方程為.故答案為：.變式4．（2024·福建福州·高二福建省福州屏東中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交E于P，Q兩點(diǎn)，且，且，，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【解析】連接，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，，又，所以四邊形為矩形，設(shè)則由題意得，解得，則，則標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：.變式5．（2024·山東青島·高二青島二中?？计谥校┻^(guò)點(diǎn)，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是．【答案】【解析】由題意設(shè)橢圓的方程為，，將點(diǎn)代入，，整理可得：，解得或（舍，所以橢圓的方程為：，故答案為：．變式6．（2024·浙江麗水·高三?？计谥校┪覀儼呀裹c(diǎn)在同一條坐標(biāo)軸上，且離心率相同的橢圓叫做“相似橢圓”.若橢圓，則以橢圓E的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的相似橢圓F的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【解析】∵橢圓E的離心率為，且設(shè)橢圓F的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，∴橢圓F的，即橢圓F的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.變式7．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為M，N，過(guò)F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)（異于M、N），的周長(zhǎng)為，且直線AM與AN的斜率之積為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【解析】由的周長(zhǎng)為,可知,解得,由直線AM與AN的斜率之積為,可得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：變式8．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【解析】設(shè)所求橢圓方程為：(，，)將和的坐標(biāo)代入方程得：，解得，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：.【解題方法總結(jié)】（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫(xiě)出橢圓方程.（2）待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在軸還是軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件列出的方程組，解出，從而求得標(biāo)準(zhǔn)方程.注意：①如果橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定，可設(shè)方程為.②與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)為.③與橢圓有相同離心率的橢圓，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上）或（，焦點(diǎn)在軸上）.題型二：橢圓方程的充要條件例4．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若是任意實(shí)數(shù)，方程表示的曲線不可能是（

）A．圓 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線【答案】B【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，由得，方程表示圓，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)是第一象限角時(shí)，，不會(huì)是拋物線方程；當(dāng)是第二象限角時(shí)，，不會(huì)是拋物線方程；當(dāng)是第三象限角時(shí)，，不成立，不會(huì)是拋物線方程；當(dāng)是第四象限角時(shí)，，不會(huì)是拋物線方程；當(dāng)?shù)慕堑慕K邊落在軸正半軸上時(shí)，，，得，不是拋物線方程；當(dāng)?shù)慕堑慕K邊落在軸正半軸上時(shí)，，，得，不是拋物線方程；當(dāng)?shù)慕堑慕K邊落在軸負(fù)半軸上時(shí)，，，得不成立；當(dāng)?shù)慕堑慕K邊落在軸負(fù)半軸上時(shí)，，，得不成立；故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，由，得，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由，得，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，故D正確；故選：B.例5．（2024·上海徐匯·位育中學(xué)?？既＃┮阎?，則方程所表示的曲線為，則以下命題中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓B．當(dāng)曲線表示雙曲線時(shí)，的取值范圍是C．當(dāng)時(shí)，曲線表示一條直線D．存在，使得曲線為等軸雙曲線【答案】A【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，即曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，A正確；對(duì)于B，若曲線表示雙曲線，則，解得：或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，曲線，即，即曲線表示兩條直線，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若曲線為等軸雙曲線，則，解集為，不存在，使得曲線為等軸雙曲線，D錯(cuò)誤.故選：A.例6．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知方程，其中．現(xiàn)有四位同學(xué)對(duì)該方程進(jìn)行了判斷，提出了四個(gè)命題：甲：可以是圓的方程；

乙：可以是拋物線的方程；丙：可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

?。嚎梢允请p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．其中，真命題有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】因?yàn)榉匠蹋渲?，所以?dāng)時(shí)，方程為，即是圓的方程，故方程可以是圓的方程；當(dāng)時(shí)，方程為，即是拋物線的方程，故方程可以是拋物線的方程；當(dāng)時(shí)，方程為，即是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，故方程可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若方程為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，則有，這與矛盾，故方程不可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；所以真命題有3個(gè).故選：C.變式9．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“，”是“方程表示的曲線為橢圓”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】[解法一]方程即方程，表示橢圓的充分必要條件是,顯然“，”是“”既不充分也不必要條件，故“，”是“方程表示的曲線為橢圓”的既不充分也不必要條件，[解法二]當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足“，”，此時(shí)題中方程可化為：,表示的曲線是圓而不是橢圓，當(dāng)時(shí)，不滿(mǎn)足“，”，只是題中方程可化為：,表示中心在原點(diǎn)，半長(zhǎng)軸為1，半短軸為的橢圓，故：“，”是“方程表示的曲線為橢圓”的既不充分也不必要條件，故選：變式10．（2024·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）已知曲線，則“”是“曲線C是橢圓”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若曲線是橢圓，則有：解得：，且故“”是“曲線C是橢圓”的必要不充分條件故選：C變式11．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)為實(shí)數(shù)，則曲線：不可能是（

）A．拋物線 B．雙曲線 C．圓 D．橢圓【答案】A【解析】對(duì)A：因?yàn)榍€C的方程中都是二次項(xiàng)，所以根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征曲線C不可能是拋物線，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B：當(dāng)時(shí)，曲線C為雙曲線，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C：當(dāng)時(shí)，曲線C為圓，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)D：當(dāng)且時(shí)，曲線C為橢圓，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：A.變式12．（2024·廣西欽州·高三?？茧A段練習(xí)）“”是方程“表示橢圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條【答案】B【解析】若方程表示橢圓，則有因此且，故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件．故選：B【解題方法總結(jié)】表示橢圓的充要條件為：；表示雙曲線方程的充要條件為：；表示圓方程的充要條件為：.題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問(wèn)題例7．（2024·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【解析】因?yàn)?所以四邊形是平行四邊形.所以.由橢圓的定義得.所以.故選：C例8．（2024·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）如圖，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作一條直線，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則的內(nèi)切圓面積可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】記的周長(zhǎng)為l，面積為S，內(nèi)切圓半徑為r．易知．由于，故．設(shè)的內(nèi)切圓面積為，則，于是選項(xiàng)A符合題意．故選：A.例9．（2024·江西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓為兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為4，則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解析】設(shè)橢圓的焦距為，則，的周長(zhǎng)為，解得，故選：D變式13．（2024·河南·高三階段練習(xí)）已知分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且的離心率為為橢圓上的一點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（

）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】C【解析】因?yàn)榈碾x心率為，且，所以，解得，則，所以的周長(zhǎng)為.故選：C變式14．（2024·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，左、右焦點(diǎn)分別為，，延長(zhǎng)交橢圓E于點(diǎn)P．若點(diǎn)A到直線的距離為，的周長(zhǎng)為16，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，得，，，則直線的方程為，所以點(diǎn)A到直線的距離①．由的周長(zhǎng)為16，得，即a+c=8②，聯(lián)立①②，解得③．因?yàn)?，所以④．?lián)立②④，解得a=6，c=2，所以，故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為是.故選：B．變式15．（2024·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的面積為（

）A． B． C．4 D．【答案】D【解析】橢圓中，，由及橢圓定義得，因此為等腰三角形，底邊上的高，所以的面積為.故選：D變式16．（2024·廣東廣州·高三華南師大附中校考開(kāi)學(xué)考試）橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以，所以，則當(dāng)最大時(shí)，面積最大，此時(shí)點(diǎn)位于橢圓的上下端點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，所?故選：C.變式17．（2024·河南開(kāi)封·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，則的面積為（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【解析】由橢圓，得，，.設(shè)，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故選：C.變式18．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【解析】方法一：因?yàn)椋?，從而，所以．故選：B.方法二：因?yàn)椋?，由橢圓方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故選：B.變式19．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】方法一：設(shè)，所以，由，解得：，由橢圓方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故選：B．方法二：因?yàn)棰?，，即②，?lián)立①②，解得：，而，所以，即．故選：B．方法三：因?yàn)棰伲储?，?lián)立①②，解得：，由中線定理可知，，易知，解得：．故選：B．變式20．（2024·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若橢圓的離心率為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)是的內(nèi)心，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則（

）A．2 B． C．4 D．【答案】A【解析】如圖，連接，，設(shè)到軸距離為，到軸距離為，則設(shè)△內(nèi)切圓的半徑為，則，∴不妨設(shè)，則，∴，因?yàn)闄E圓的離心率為，∴，故選：A.變式21．（2024·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，則的面積等于（

）A．18 B．10 C．9 D．6【答案】C【解析】據(jù)題意，四邊形是矩形，設(shè)，，則有，，由此可得，所以的面積是，又的面積與的面積相等，所以的面積等于9.故選：C．變式22．（2024·貴州黔西·校考一模）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為．P是C上一點(diǎn)，且．若的面積為2，則（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【解析】設(shè)，，由，的面積為2，可得，∴①由離心率為，可得，代入①式，可得.故選：B.變式23．（2024·云南昆明·昆明市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上一點(diǎn)，且，若關(guān)于平分線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在橢圓上，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為，則設(shè)關(guān)于平分線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，由橢圓對(duì)稱(chēng)性及角平分線性質(zhì)可知P，，Q三點(diǎn)共線且又因?yàn)?，所以是正三角形，設(shè)，由橢圓定義可得，，又，所以，所以，即，，所以的面積.故選：C.變式24．（2024·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在橢圓中，已知焦距為2，橢圓上的一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和等于4，且，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知，焦距，則，又橢圓上的一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和等于4，即，所以，在中，，由余弦定理得：，整理得，所以，則，故的面積.故選：D.變式25．（2024·河北唐山·統(tǒng)考三模）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，的角平分線交線段于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榈慕瞧椒志€交線段于點(diǎn)，所以，所以由正弦定理得，，又因?yàn)?，，所以，即，不妨設(shè)，如圖：則，解得，所以，由題意，，所以，故選：D【解題方法總結(jié)】焦點(diǎn)三角形的問(wèn)題常用定義與解三角形的知識(shí)來(lái)解決，對(duì)于涉及橢圓上點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)將距離問(wèn)題常用定義，即.題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問(wèn)題例10．（2024·湖南·校聯(lián)考二模）已知分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．64 B．16 C．8 D．4【答案】B【解析】，因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)滿(mǎn)足，當(dāng)點(diǎn)為的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)時(shí)，取得最大值，最大值為．所以的最大值為16．故選：B．例11．（2024·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，P是橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．9 B．16 C．25 D．50【答案】C【解析】由題意，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即，故最大值為.故選：C例12．（2024·河南·高三期末）已知是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且與的四個(gè)頂點(diǎn)不重合，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在的平分線上，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，由橢圓的性質(zhì)可知，因?yàn)榉謩e是橢圓的左、右焦點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為、點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)是的角平分線上的一點(diǎn)，所以，又，則,所以，則，，又因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以為的中位線，即，當(dāng)點(diǎn)在橢圓右頂點(diǎn)時(shí)，取最大值，最大值為6，當(dāng)點(diǎn)在橢圓左頂點(diǎn)時(shí)，取最小值，最小值為2，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，，又因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且與的四個(gè)頂點(diǎn)不重合，則的取值范圍為，結(jié)合函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，的取值范圍是，故選：A.變式26．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，，則，，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故選：C.變式27．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若橢圓C：，則該橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為（）A．3 B．2＋C．2 D．＋1【答案】A【解析】由題意知，距離的最大值為；故選：A.變式28．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

）A． B． C．5 D．6【答案】B【解析】設(shè)圓的圓心為，則，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，所以．故選：B．【解題方法總結(jié)】利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.題型五：橢圓上兩線段的和差最值問(wèn)題例13．（2024·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A． B．C． D．前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】C【解析】點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，設(shè)，如圖．記題中代數(shù)式為M，則，等號(hào)當(dāng)點(diǎn)E，A，P依次共線時(shí)取得．因此所求最小值為．故選：C.例14．（2024·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，A是C上一點(diǎn)，，則的最大值為（

）A．7 B．8 C．9 D．11【答案】A【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，則，，如圖，連接，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)共線且在中間時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為.故選：A.例15．（2024·江蘇·統(tǒng)考三模）已知F為橢圓C：的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，Q為圓M：上一點(diǎn)，則PQ＋PF的最大值為（

）A．3 B．6C． D．【答案】D【解析】圓M：的圓心為，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，如下圖，由橢圓的定義知，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)取等，，，，.故選：D．變式29．（2024·河北·高三河北衡水中學(xué)校考階段練習(xí)）若平面向量滿(mǎn)足，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，則，且，不妨設(shè)，則，由，即，故點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，∴，則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，即，故.故選：D.變式30．（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為是上一點(diǎn)，，則的最大值為（

）A．7 B．8 C．9 D．11【答案】C【解析】因?yàn)椋栽跈E圓內(nèi)部，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，由橢圓，得，由橢圓的定義可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)是射線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)．故選：C.變式31．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別為和上的點(diǎn)，則的最大值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】設(shè)圓和圓的圓心分別為,半徑分別為.則橢圓的焦點(diǎn)為.又,，，故，當(dāng)且僅當(dāng)分別在的延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào).此時(shí)最大值為.故選：C.變式32．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【解析】橢圓上的點(diǎn)P滿(mǎn)足，當(dāng)點(diǎn)P為的延長(zhǎng)線與C的交點(diǎn)時(shí)，達(dá)到最大值，最大值為．故選：B變式33．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓外一點(diǎn)A(5，6)，l為橢圓的左準(zhǔn)線，P為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到l的距離為d，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，設(shè)F為橢圓的左焦點(diǎn)，可知其坐標(biāo)為F(－3，0)，根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義有：＝e＝，即，所以，可知當(dāng)P、F、A三點(diǎn)共線且P在線段AF上時(shí)，最小，最小值＝10．故的最小值為10．故選：B．變式34．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1 B．－1 C． D．【答案】A【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則，可得，所以，如圖所示，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線（點(diǎn)在線段上）時(shí)，此時(shí)取得最小值，又由橢圓，可得且，所以，所以的最小值為1．故選：A．【解題方法總結(jié)】在解析幾何中，我們會(huì)遇到最值問(wèn)題，這種問(wèn)題，往往是考察我們定義．求解最值問(wèn)題的過(guò)程中，如果發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問(wèn)題能迎刃而解．題型六：離心率的值及取值范圍方向1：利用橢圓定義去轉(zhuǎn)換例16．（2024·四川成都·高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，某同學(xué)用兩根木條釘成十字架，制成一個(gè)橢圓儀.木條中間挖一道槽，在另一活動(dòng)木條的處鉆一個(gè)小孔，可以容納筆尖，各在一條槽內(nèi)移動(dòng)，可以放松移動(dòng)以保證與的長(zhǎng)度不變，當(dāng)各在一條槽內(nèi)移動(dòng)時(shí)，處筆尖就畫(huà)出一個(gè)橢圓.已知，且在右頂點(diǎn)時(shí)，恰好在點(diǎn)，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知與的長(zhǎng)度不變，已知，設(shè)，則，當(dāng)滑動(dòng)到位置處時(shí)，點(diǎn)在上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，則短半軸長(zhǎng)，當(dāng)在右頂點(diǎn)時(shí)，恰好在點(diǎn)，則長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，故離心率為.故選：D.例17．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】記橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，則即所以橢圓的圓心率的取值范圍是.故選：A.例18．（2024·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為，，P，Q為C上兩點(diǎn)，，若，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，，.在中得：，即.因此，，，在中得：，故，所以.故選：D變式35．（2024·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知圓柱底面半徑為2，高為3，是軸截面，分別是母線上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），過(guò)與軸截面垂直的平面與圓柱側(cè)面的交線是圓或橢圓，當(dāng)此交線是橢圓時(shí)，其離心率的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)與接近平行時(shí)，交線接近是一個(gè)圓，離心率接近0；當(dāng)時(shí)，交線是一個(gè)長(zhǎng)軸最大的橢圓，此時(shí)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，解得，又短半軸長(zhǎng)為，則焦距的一半為，所以離心率，所以離心率的取值范圍是.故選：A變式36．（2024·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，分別是橢圓（）的左，右焦點(diǎn)，M，N是橢圓C上兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接，設(shè)，則，，，在中，即，，，，，，在中，，即，，，又，.故選：C.變式37．（2024·重慶巴南·統(tǒng)考一模）橢圓的左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P為橢圓上不在坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N滿(mǎn)足，，若四邊形的周長(zhǎng)等于，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，即，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，又因點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以且，且，所以四邊形的周長(zhǎng)為，又因點(diǎn)P為橢圓上不在坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，所以，所以，即，故橢圓C的離心率為.故選：C.變式38．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校校考三模）已知M，N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，P是橢圓C上異于的點(diǎn)，且的最大值是，則橢圓C的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知M，N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，故,由橢圓的范圍可知，故的最大值為，則，即橢圓C的離心率是，故選：C方向2：利用與建立一次二次方程不等式變式39．（2024·四川綿陽(yáng)·高三鹽亭中學(xué)?？茧A段練習(xí)）橢圓?的左、右焦點(diǎn)分別為?，焦距為?，若直線?與橢圓?的一個(gè)交點(diǎn)為?在?軸上方，滿(mǎn)足?，則該橢圓的離心率為（

）A．? B．?C．? D．?【答案】A【解析】由直線可知：過(guò)定點(diǎn)，斜率，即，則，解得，又因?yàn)椋傻?，結(jié)合橢圓的定義可得，整理得.故選：A.變式40．（2024·廣東深圳·高三校考階段練習(xí)）已知橢圓E：的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，若E上的點(diǎn)P滿(mǎn)足軸，，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則直線：，由，得，即，而，，由，得，即，有，又，因此，所以E的離心率為.故選：A變式41．（2024·廣東廣州·高三華南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn).延長(zhǎng)，交橢圓于，兩點(diǎn)，，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，連接，，，，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知四邊形為平行四邊形，因?yàn)?所以，所以可得四邊形為矩形，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，由橢圓的定義可知，，，在中，，即，整理可得：，所以可得，在△中，，即，所以離心率，故選：A變式42．（2024·河南開(kāi)封·校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，，分別是的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，是的左焦點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意作出圖形，如下圖所示：可知：，，，在中可得：，在中可得：，所以化簡(jiǎn)得：因?yàn)?，所以①，又，所以①整理可得：，即，解得，又，所以，故選：C.變式43．（2024·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，斜率為的直線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)且交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），設(shè)△的內(nèi)切圓半徑為的內(nèi)切圓半徑為，若，則橢圓的離心率的值為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如圖所示，由橢圓定義可得，，設(shè)△的面積為，的面積為，因?yàn)?，所以，即①，設(shè)直線，則聯(lián)立橢圓方程與直線，可得，所以②，③，聯(lián)立①②③得，，整理得，所以．故選：D變式44．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為F，B為橢圓上一點(diǎn)，，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，解?故選：D.變式45．（2024·湖北荊州·沙市中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓，為其左焦點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)，，且．若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，，故四邊形為平行四邊形，設(shè)，，則，，，，中，，整理得到，即，故.故選：A方向3：利用最大頂角滿(mǎn)足變式46．（2024·四川成都·高三樹(shù)德中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿(mǎn)足的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)、半短軸長(zhǎng)、半焦距分別為，，點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓，又點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，該圓內(nèi)含于橢圓，即，，，．故選：A．變式47．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓外存在點(diǎn)使得，則橢圓的離心率的取值范圍______．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，易知，，則，故點(diǎn)的軌跡為圓，由題意可知，圓與橢圓相交，由圖可知，即，可得，又因?yàn)?，故．故答案為：．變?8．（2024·北京豐臺(tái)二中高三階段練習(xí)）已知，分別是某橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若該橢圓上存在點(diǎn)使得（，是已知數(shù)），則該橢圓離心率的取值范圍是________.【答案】【解析】根據(jù)橢圓的幾何意義可知橢圓的離心率最小值為根據(jù)橢圓離心率的取值范圍可知故答案為：變式49．（2024·廣東·廣州市真光中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則該橢圓離心率的取值范圍是________．【答案】【解析】由橢圓的定義可知：，在△中，由余弦定理得：，所以，又，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，所以，，解得：.故答案為：方向4：坐標(biāo)法變式50．（2024·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，（如圖），過(guò)的直線交于，兩點(diǎn)，且軸，，則的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，由題意可得：，則，因?yàn)?，則，解得，即，且點(diǎn)在橢圓上，則，整理得，解得，即.故選：A.變式51．（2024·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為．傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn)，并且滿(mǎn)足，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，由，消去，得，注意到，則.于是，同理，.因此.的傾斜角為，∴直線的斜率，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，可得.由，可得，故.．故選：A變式52．（2024·廣東佛山·?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的下焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，直線交橢圓于另一點(diǎn)，且，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，所以，把代入橢圓得，化簡(jiǎn)得，則橢圓的離心率為.故選：C.變式53．（2024·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)運(yùn)動(dòng)到下頂點(diǎn)時(shí)，取得最大值，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，因?yàn)?，，所以，，由題意知當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，可得，即，則．故選：B．變式54．（2024·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：（）的左焦點(diǎn)為，過(guò)左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，，，過(guò)點(diǎn)所作直線的傾斜角為，所以該直線斜率為，所以直線方程可寫(xiě)為，聯(lián)立方程，可得，，根據(jù)韋達(dá)定理：，，因?yàn)?，即，所以，所以，即，所以，?lián)立，可得，.故選：C變式55．（2024·浙江溫州·樂(lè)清市知臨中學(xué)?？级＃┮阎獧E圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，，，過(guò)點(diǎn)做傾斜角為的直線斜率，直線方程為，聯(lián)立方程，可得，根據(jù)韋達(dá)定理：，，因?yàn)?，即，所以，所以，即，所以，?lián)立，可得，.故選：C.變式56．（2024·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)為，離心率為，又點(diǎn)是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，若，則（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【解析】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，，橢圓方程為，因?yàn)?，所以點(diǎn)共線，因?yàn)?，則，設(shè)，由橢圓的定義得，又因?yàn)?，，所以，解得，即，所以在上、下頂點(diǎn)處，不妨設(shè)，則，聯(lián)立，解得或，則，因?yàn)?，所以，故選：C．變式57．（2024·湖南邵陽(yáng)·邵陽(yáng)市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在過(guò)且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知：，，，直線的方程為：，由，點(diǎn)在第三象限，，則，代入直線方程中得整理得，則，∴橢圓的離心率.故選：B.變式58．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為，以原點(diǎn)O為圓心，a為半徑作圓O，過(guò)點(diǎn)作圓O的兩切線互相垂直，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，在圓O外，兩條切線的斜率必存在，令一條切線為，另一條切線為，所以，，則，可得，所以.故選：D變式59．（2024·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)且與軸垂直，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不妨設(shè)在第一象限，由題意，的橫坐標(biāo)為，令，解得，即.設(shè)，又，，，由可得：，解得，又在橢圓上，即，整理得，解得.故選：A方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理變式60．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)位于第一象限，直線與橢圓另交于點(diǎn)，且，若，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，所以四邊形為平行四邊形．設(shè)，則．因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以．在中，，由余弦定理得，所以，所以．故選：B.變式61．（2024·江蘇·高三江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)、分別為橢圓：的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)，在橢圓上，若，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，，設(shè)，則，則,，∴在中，由余弦定理得.故選：A變式62．（2024·湖南衡陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)作直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，設(shè)，，設(shè)，則，在中，，由橢圓定義可知，，，解得，所以，，在中，可得，在中，由余弦定理可得，，，即0，解得，所以橢圓離心率.故選：D.變式63．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得線段與直線垂直垂足為Q，若，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)C的右焦點(diǎn)為，線段與直線垂直，所以的斜率為，所以，設(shè)，則，故，在中，由余弦定理得，，所以所以，所以，又因?yàn)?，所以橢圓C的離心率為.故選:A．變式64．（2024·江西南昌·校聯(lián)考二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，，，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】分別取，關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，連接，，，，由以及橢圓的對(duì)稱(chēng)性及幾何知識(shí)可得，且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則四邊形是平行四邊形，所以，，又，所以，所以是等邊三角形，又的周長(zhǎng)為，所以，，中，由余弦定理，得，整理得，所以，故選：B.變式65．（2024·海南海口·海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，分別是橢圓：（）的左，右焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在中，，設(shè)，由題意知,，由余弦定理得,，由橢圓定義知，則離心率.故選:C.方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理變式66．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓E上的點(diǎn)，，且，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意及正弦定理得：，令，則，，可得，所以橢圓的離心率為：.故選：B變式67．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知橢圓＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2c，若橢圓上存在點(diǎn)M使得中，，則該橢圓離心率的取值范圍為()A．(0，－1) B． C． D．(－1,1)【答案】D【解析】由正弦定理可得：,結(jié)合題意可得，所以，根據(jù)橢圓的定義可得，所以，，易知.因?yàn)闉闄E圓上一點(diǎn)，所以，即，整理得，所以，解得.故選D.變式68．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn)，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在中，由正弦定理可得所以，所以該橢圓的離心率，故選：C．變式69．（2024·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在點(diǎn)（異于長(zhǎng)軸的端點(diǎn)），使得，則該橢圓離心率的取值范圍是______．【答案】【解析】由已知，得，由正弦定理，得，所以．由橢圓的幾何性質(zhì)，知，所以且，所以且，即且，結(jié)合，可解得．故答案為：.變式70．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn)，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在中，由正弦定理可得所以，所以該橢圓的離心率，故選：C．方向7：利用基本不等式變式71．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓上的兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)你，且滿(mǎn)足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，四邊形為平行四邊形，又，即，所以四邊形為矩形，，設(shè)，，在直角中，，，得，所以，令，得，又，得，所以，所以，即，所以所以橢圓的離心率的取值范圍為，故選：B變式72．（2024·江蘇南京·高三階段練習(xí)）設(shè)、分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是橢圓準(zhǔn)線上一點(diǎn)，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可設(shè)直線，的傾斜角分別為，，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)為第一象限的點(diǎn)，即，則，，因?yàn)?，所以，所以，則，解得，故選：A.變式73．（2024·山西運(yùn)城·高三期末（理））已知點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足，則橢圓離心率的最大值______________.【答案】【解析】由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)P在x軸上方，設(shè)，，∴當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，∵直線l上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足∴即，∴，即，所以，故橢圓離心率的最大值為.故答案為：.變式74．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且，記橢圓的離心率為e，則的取值范圍是___________.【答案】；【解析】設(shè)為橢圓的另一焦點(diǎn)，如圖，連接，根據(jù)橢圓和直線的對(duì)稱(chēng)性，可得四邊形為平行四邊形，又因?yàn)椋?在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?故答案為：.方向8：利用焦半徑的取值范圍為．變式75．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率取值范圍是________．【答案】【解析】設(shè)橢圓的焦距為，由橢圓的定義可得，解得，，由題意可得，解得，又，所以，所以橢圓離心率的取值范圍是．故答案為：.變式76．（2024·廣西南寧·二模（理））已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在一點(diǎn)使，則該橢圓的離心率的取值范圍是______.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，則由橢圓的定義可得，，由題意可得，，，，則該橢圓的離心率的取值范圍是，，故答案為：，．變式77．（2024·河南·信陽(yáng)高中高三期末（文））若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，其中分別是的左、右焦點(diǎn)，則的離心率的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】，，又，，解得，則.

故答案為變式78．（2024·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，若橢圓C上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)P，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】法一：顯然，是短軸端點(diǎn)時(shí)，，滿(mǎn)足為等腰三角形，因此由對(duì)稱(chēng)性，還有四個(gè)點(diǎn)在四個(gè)象限內(nèi)各有一個(gè)，設(shè)是第一象限內(nèi)使得為等腰三角形的點(diǎn)，若，則，又，消去整理得：，解得(舍去)或，由得，所以，即，若，則，又，消去整理得：，解得或，舍去．所以，所以，即，時(shí)，，是等邊三角形，只能是短軸端點(diǎn)，只有2個(gè)，不合題意．綜上，的范圍是．法二：①當(dāng)點(diǎn)與短軸的頂點(diǎn)重合時(shí)，構(gòu)成以為底邊的等腰三角形，此種情況有2個(gè)滿(mǎn)足條件的；②當(dāng)構(gòu)成以為一腰的等腰三角形時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，只要在第一象限內(nèi)的橢圓上恰好有一點(diǎn)滿(mǎn)足為等腰三角形即可，則或當(dāng)時(shí)，則，即，則，當(dāng)時(shí)，則有，則，綜上所述，橢圓的離心率取值范圍是.故選：A.變式79．（2024·陜西西安·統(tǒng)考三模）已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上一點(diǎn)Р到焦點(diǎn)的最大距離為7，最小距離為3，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，若橢圓上一點(diǎn)，則，且，又，，則由于，所以，于是可得，，所以橢圓C的離心率.故選：B.變式80．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別是橢圓C：的左?右焦點(diǎn)，B是橢圓C的上頂點(diǎn)，P是橢圓C上任意一點(diǎn)，且C的焦距大于短軸長(zhǎng)，若的最大值是的最小值的倍，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C．或 D．【答案】D【解析】依題意得，設(shè)，則，由題意知，故，又，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)，取得最小值，為，又的最大值是的最小值的倍，所以，即，又，所以，得或.又不滿(mǎn)足，滿(mǎn)足，所以，故選：D.方向9：利用橢圓第三定義．變式81．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C：（），點(diǎn)A，B為長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)P，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．【答案】【解析】由題可知，，設(shè)，由點(diǎn)P在橢圓上，得，所以，可得，所以．故答案為：.變式82．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓上異于的一點(diǎn)．若橢圓的離心率的取值范圍是，則直線，斜率之積的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，由直線與橢圓交于兩點(diǎn)可知兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以且，由題意知：，兩式相減得：，即，又，由橢圓的離心率的取值范圍是，即，所以，即，故選：D.變式83．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）下列結(jié)論：①若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是；②雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)相同．③M是雙曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別是雙曲線左右焦點(diǎn)，若，則或1．④直線與橢圓C：交于P，Q兩點(diǎn)，A是橢圓上任一點(diǎn)（與P，Q不重合），已知直線AP與直線AQ的斜率之積為，則橢圓C的離心率為．錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【解析】①若方程表示橢圓，則，解得或，故①錯(cuò)誤；②雙曲線化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，不相同，故②錯(cuò)誤；③雙曲線中，因?yàn)镸是雙曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別是雙曲線左右焦點(diǎn)，所以由雙曲線的定義得，若，則或1，而雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為，所以舍去，所以，故③錯(cuò)誤；④設(shè)，因?yàn)锳是橢圓上任一點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)橹本€與橢圓C：交于P，Q兩點(diǎn)，所以設(shè)，，所以，因?yàn)橹本€AP與直線AQ的斜率之積為，所以，所以，所以，又，所以，故④正確；綜上，錯(cuò)誤的有3個(gè).故選：B.變式84．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為弦的中點(diǎn)，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，直線的斜率為，設(shè)，則，且，由兩式相減得：，于是，解得，此時(shí)橢圓，顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，符合要求，所以橢圓的離心率.故選：A變式85．（2024·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn).若直線的斜率之積為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，橢圓的左頂點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，可設(shè)，則，所以，可得，又因?yàn)?，即，代入可得，所以離心率為.故選：D.【解題方法總結(jié)】求離心率的本質(zhì)就是探究之間的數(shù)量關(guān)系，知道中任意兩者間的等式關(guān)系或不等關(guān)系便可求解出的值或其范圍.具體方法為方程法、不等式法、定義法和坐標(biāo)法.題型七：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問(wèn)題例19．（2024·甘肅隴南·高三統(tǒng)考期中）已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，橢圓的焦距等于，則．【答案】5【解析】因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，所以，得，又橢圓的焦距等于，所以，得.故答案為：5例20．（2024·上海崇明·上海市崇明中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若拋物線的焦點(diǎn)恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，則.【答案】4【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，橢圓的右焦點(diǎn)為：，所以，解得：.故答案為：.例21．（2024·浙江嘉興·?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)、，若橢圓上頂點(diǎn)為點(diǎn)，且為等腰直角三角形，則.【答案】8【解析】橢圓，故，為等腰直角三角形，故，故，即，.故答案為：變式86．（2024·四川南充·高三統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足：直線的斜率與直線的斜率之積為，則的取值范圍為．【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，，，所以，，所以，即，所以，由，可知，所以，即.所以的取值范圍為.故答案為：.變式87．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若為橢圓上的一點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則的最大值為.【答案】/【解析】易知當(dāng)點(diǎn)為橢圓與軸的交點(diǎn)時(shí)，最大，因?yàn)闄E圓方程為，所以，，此時(shí)，，滿(mǎn)足，所以為等腰直角三角形，所以．故答案為：變式88．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）AB是平面上長(zhǎng)度為4的一條線段，P是平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，M是AB的中點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【解析】由題設(shè)，，則P的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓，若，，則P的軌跡方程為.所以的范圍為，即.故答案為：變式89．（2024·云南·云南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，在圓錐內(nèi)放入兩個(gè)大小不同的球，，使得它們分別與圓錐的側(cè)面和平面都相切，平面分別與球，相切于點(diǎn)，.數(shù)學(xué)家GerminalDandelin利用這個(gè)模型證明了平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，，為此橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，這兩個(gè)球也被稱(chēng)為Dandelin雙球.若球，的半徑分別為6和3，球心距離，則此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.

【答案】【解析】過(guò)切點(diǎn)E，F(xiàn)作出雙球模型的軸截面，設(shè)球分別與圓錐的同一條母線切于A，B兩點(diǎn)，有，過(guò)作于點(diǎn)C，則四邊形是矩形，于是，，又，從而，設(shè)直線AB與平面的交點(diǎn)為P，則有，，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng).故答案為：變式90．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）2022年神舟接力騰飛，中國(guó)空間站全面建成，我們的“太空之家”遨游蒼穹．太空中飛船與空間站的對(duì)接，需要經(jīng)過(guò)多次變軌．某飛船升空后的初始運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，其遠(yuǎn)地點(diǎn)（長(zhǎng)軸端點(diǎn)中離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）到地面的距離為，近地點(diǎn)（長(zhǎng)軸端點(diǎn)中離地面最近的點(diǎn)）到地面的距離為，地球的半徑為R，則該橢圓的短軸長(zhǎng)為（用，，R表示）．【答案】【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b，半焦距為c，由題意可知，，所以．所以，所以．故答案為：.【解題方法總結(jié)】標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，，焦距范圍，，對(duì)稱(chēng)性關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)頂點(diǎn)，，軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)離心率（注：離心率越小越圓，越大越扁）題型八：利用第一定義求解軌跡例22．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是橢圓中垂直于長(zhǎng)軸的動(dòng)弦，是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，則直線和的交點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】（）．【解析】設(shè)，因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸