第70講、弦長(zhǎng)問(wèn)題（教師版）

第70講弦長(zhǎng)問(wèn)題知識(shí)梳理1、弦長(zhǎng)公式的兩種形式①若，是直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且由兩方程消去后得到一元二次方程，則．②若，是直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且由兩方程消去后得到一元二次方程，則．必考題型全歸納題型一：弦長(zhǎng)問(wèn)題例1．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與圓相切，且交橢圓于兩點(diǎn)，若，則．【答案】/【解析】設(shè)直線，直線與圓相切，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得，所以，因?yàn)?，所以，由?duì)稱(chēng)性，不妨取，故答案為：.例2．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知橢圓，過(guò)左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為．【答案】【解析】在橢圓中，，，則，故點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，由題意可知，直線的方程為，即，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，.故答案為：.例3．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓，的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過(guò)且垂直于的直線與交于，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)是13，則．【答案】6【解析】如圖，連接，因?yàn)榈碾x心率為，所以，即，所以，因?yàn)椋詾榈冗吶切?，又，所以直線為線段的垂直平分線，所以，，則的周長(zhǎng)為，，而，所以直線的方程為，代入橢圓的方程，得，設(shè)，，則，所以，故答案為：6.變式1．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線：，若直線的傾斜角為60°，且與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)P，若，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.【答案】【解析】雙曲線雙曲線：的漸近線方程為，而直線的傾斜角為60°，則直線的斜率為，可設(shè)直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)可得，由，得或．設(shè)，，則，，則，所以，，解得：（舍去）或，所以直線的方程為，令，可得.故點(diǎn)P的坐標(biāo)為.故答案為：.變式2．（2024·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，分別在雙曲線的左支與右支上，且點(diǎn)，與點(diǎn)共線，若，則.【答案】【解析】因?yàn)椋O(shè)，，由雙曲線定義可得，所以，即，，即.故答案為：.變式3．（2024·四川巴中·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過(guò)焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則．【答案】【解析】如圖，由題意可知軸，，將代入中得，即,又，則，故的方程為，聯(lián)立，可得，解得，或（此時(shí)C與B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，不合題意），則，故，故答案為：.變式4．（2024·河南鄭州·高三鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則．【答案】8【解析】由題意得，，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，故設(shè)直線的方程為，不妨設(shè)，聯(lián)立，可得，易得，設(shè)，則，則，則，，由正弦定理得，，因?yàn)?，，所以，，即，又由焦半徑公式可知，則，即，即，解得，則，解得，故，當(dāng)時(shí)，同理可得到.故答案為：8變式5．（2024·新疆喀什·?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線C兩條準(zhǔn)線之間的距離為1，離心率為2，直線l經(jīng)過(guò)C的右焦點(diǎn)，且與C相交于A、B兩點(diǎn).(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l與該雙曲線的漸近線垂直，求AB的長(zhǎng)度.【解析】（1）因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)C的右焦點(diǎn)，所以該雙曲線的焦點(diǎn)在橫軸上，因?yàn)殡p曲線C兩條準(zhǔn)線之間的距離為1，所以有，又因?yàn)殡x心率為2，所以有代入中，可得，∴C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）由上可知：該雙曲線的漸近線方程為，所以直線l的斜率為，由于雙曲線和兩條直線都關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以?xún)蓷l直線與雙曲線的相交弦相等.又因?yàn)橹本€斜率的絕對(duì)值小于漸近線斜率的絕對(duì)值，所以直線與雙曲線交于左右兩支，因此不妨設(shè)直線l的斜率為，方程為與雙曲線方程聯(lián)立為：，設(shè)，則有，變式6．（2024·湖南邵陽(yáng)·高三湖南省邵東市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是.(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)k的值.【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為.（2）如圖，設(shè)，.將代入，消去整理得.當(dāng)時(shí)，，.，化簡(jiǎn)得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)，故.題型二：長(zhǎng)度和問(wèn)題例4．（2024·寧夏銀川·銀川一中?？家荒＃┤鐖D所示，由半橢圓和兩個(gè)半圓、組成曲線，其中點(diǎn)依次為的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)為的下頂點(diǎn)，點(diǎn)依次為的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn)分別為曲線的圓心．(1)求的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)作兩條平行線分別與和交與和，求的最小值．【解析】（1）由兩圓的方程知：圓心分別為，，即，，，解得：，.（2）由題意知：；，由對(duì)稱(chēng)性可知：為橢圓截直線的弦長(zhǎng)，設(shè)，其與橢圓交于點(diǎn)和由得：，則，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，的最小值為.例5．（2024·河南安陽(yáng)·安陽(yáng)一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）定義：一般地，當(dāng)且時(shí)，我們把方程表示的橢圓稱(chēng)為橢圓的相似橢圓．已知橢圓，橢圓（且）是橢圓的相似橢圓，點(diǎn)為橢圓上異于其左、右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，若與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線恰好相交于點(diǎn)，直線的斜率分別為，求的值；(2)當(dāng)（e為橢圓的離心率）時(shí)，設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)，求的值．【解析】（1）設(shè)，則直線的方程為，即，記，則的方程為，將其代入橢圓的方程，消去，得，因?yàn)橹本€與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，即，將代入上式，整理得，同理可得，，所以為關(guān)于的方程的兩根，所以，．又點(diǎn)在橢圓上，所以，所以．（2）由橢圓，得其離心率，所以當(dāng)，即時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，，，恰好為橢圓的左、右焦點(diǎn)，易知直線的斜率均存在且不為，所以，因?yàn)樵跈E圓上，所以，即，所以．設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，所以直線的方程為．由，得，設(shè)，則，，所以，同理可得，所以．例6．（2024·江西九江·統(tǒng)考一模）如圖，已知橢圓()的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(非左右頂點(diǎn))，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為，面積的最大值為2．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，且與的離心率相等，為與異于的交點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，證明：為定值．【解析】（1）的周長(zhǎng)為，由橢圓的定義得，即，又面積的最大值為2，，即，，，，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）可知，，橢圓的離心率，設(shè)橢圓的方程為，則有，，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，，，點(diǎn)在曲線上，，依題意，可設(shè)直線，的斜率分別為，則的方程分別為，，于是，聯(lián)立方程組，消去整理，得，，，，同理可得：，，，為定值.變式7．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB與CD，求的取值范圍.【解析】（1）∵，所以.設(shè)橢圓方程為，將代入，得.故橢圓方程為.（2）①當(dāng)兩條弦中一條斜率為0時(shí)，另一條弦的斜率不存在，易得其中一條弦為長(zhǎng)軸，另一條弦長(zhǎng)為橢圓的通徑為，即；②當(dāng)兩條弦斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)，，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，將直線的方程代入橢圓方程中，并整理得：，∴，，∴，同理，，∴，令，則，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴.綜合②可知，的取值范圍為.題型三：長(zhǎng)度差問(wèn)題例7．（2024·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）．(1)若，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．(2)已知，直線在直線的右側(cè)，，與之間的距離，交于，兩點(diǎn)，試問(wèn)是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．【解析】（1）證明：將點(diǎn)代入，得，即．聯(lián)立得，由，設(shè)，，則，．因?yàn)?，所以恒成立，則，所以的方程為，故直線過(guò)定點(diǎn)．（2）聯(lián)立得，則且，即，，設(shè)，同理可得．因?yàn)橹本€在的右側(cè)，所以，則，即．所以，即，解得，因?yàn)?，所以滿(mǎn)足條件的存在，.例8．（2024·云南保山·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為橢圓：的右焦點(diǎn)F，點(diǎn)P為拋物線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)，且.(1)求橢圓的方程；(2)若直線l過(guò)點(diǎn)F，交拋物線于A，C兩點(diǎn)，交橢圓于B，D兩點(diǎn)（A，B，C，D依次排序），且，求直線l的方程.【解析】（1）由拋物線可知：，故由得：，故，則，則對(duì)于有：，解得，故橢圓方程為：；（2）過(guò)點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，，，，所以直線在點(diǎn)的右側(cè)，與兩曲線的交點(diǎn)順序變成A，B，D，C的順序，不滿(mǎn)足題意，如下圖；所以過(guò)點(diǎn)的直線的斜率存在，故設(shè)直線的斜率為k，則直線方程為，聯(lián)立拋物線方程：，整理得：，設(shè)，則，故，聯(lián)立，整理得，設(shè)，則，則，又，即，整理得，解得，因?yàn)?，，而，且A，B，C，D依次排序，所以，如下圖，故，故直線的方程為.綜上，直線的方程為.題型四：長(zhǎng)度商問(wèn)題例9．（2024·重慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的離心率是，點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離是2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作兩條直線，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，直線與雙曲線交于兩點(diǎn).若直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，證明：.【解析】（1）根據(jù)雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，其漸近線方程為，因?yàn)榻裹c(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離是2.所以，因?yàn)殡p曲線的離心率是，所以，，解得所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：由題意可知直線的斜率存在，設(shè)，直線.聯(lián)立整理得，所以，.故.設(shè)直線的斜率為，同理可得.因?yàn)橹本€與直線的傾斜角互補(bǔ)，所以，所以，則，即，所以.例10．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，(1)求圓心的軌跡方程(2)若過(guò)點(diǎn)且斜率的直線與交與兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸與點(diǎn)，證明的值是定值.【解析】（1）因?yàn)閳AC與圓A、圓B外切，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)，圓C半徑為，則，，所以<4，所以點(diǎn)C的軌跡是雙曲線的一支，又，，，所以其軌跡方程為；（2）設(shè)直線為，聯(lián)立，消去y得：，所以，設(shè)MN中點(diǎn)坐標(biāo)為G，則，所以，，直線GP的方程為:，，所以，所以=1.例11．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)F與x軸垂直的直線與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且.(1)求C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線C的左?右兩支分別交于D，E兩點(diǎn)，與雙曲線C的兩條漸近線分別交于G，H兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題意得，解得故C的方程為.（2）顯然直線率存在，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，因?yàn)榕c雙曲線C的左，右兩支分別交于D，E兩點(diǎn)，故，解得，此時(shí)有.，，由，解得，同理可得，所以.因?yàn)椋?因?yàn)?，故，故?shí)數(shù)的取值范圍是.變式8．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線C的漸近線方程為，右焦點(diǎn)到漸近線的距離為.（1）求雙曲線C的方程；

（2）過(guò)F作斜率為k的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線交x軸于D，求證：為定值.【解析】（1）設(shè)雙曲線方程為由題知雙曲線方程為：（2）設(shè)直線l的方程為代入整理得，設(shè)所以：由弦長(zhǎng)公式得：設(shè)AB的中點(diǎn)則，

代入l得：AB的垂直平分線方程為令y=0得，即，所以：為定值.變式9．（2024·河南鄭州·鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，且.過(guò)右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)原點(diǎn)作一條垂直于的直線交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）由，得，又的周長(zhǎng)為，即，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，得；當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線，直線，聯(lián)立直線和橢圓的方程，并消去整理得，.由根與系數(shù)的關(guān)系得，所以.聯(lián)立直線和橢圓的方程，并消去整理得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以.令，則不妨設(shè)，，，，綜上可得，的取值范圍為.變式10．（2024·陜西·統(tǒng)考一模）在橢圓C：，，過(guò)點(diǎn)與的直線的斜率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)F為橢圓C的右焦點(diǎn)，P為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)F作PF的垂線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，求直線MN的方程．【解析】（1）過(guò)點(diǎn)與的直線的斜率為，所以，即，又，即，解得，．所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）如圖所示，由題知，設(shè)點(diǎn)，則直線FP的斜率為．當(dāng)時(shí)，直線MN的斜率，直線MN的方程是；當(dāng)時(shí)，直線MN的方程是，也符合的形式，將直線MN的方程代入橢圓方程得，且，設(shè)，，則，，所以．又，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，由，解得，即當(dāng)時(shí)取最大值時(shí)，此時(shí)直線MN的方程為或．變式11．（2024·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測(cè)）在橢圓）中，，過(guò)點(diǎn)與的直線的斜率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)作的垂線交橢圓于兩點(diǎn)，求的最大值.【解析】（1）過(guò)點(diǎn)與的直線的斜率為，所以，即，又，即，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）由題知，作出圖形如圖所示設(shè)點(diǎn)，則直線的斜率為.當(dāng)時(shí)，直線的斜率，直線的方程是；當(dāng)時(shí)，直線的方程是，也符合的形式，將直線的方程代入橢圓方程得，且，設(shè)，則.所以又，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，由，解得，所以的最大值為.變式12．（2024·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，為動(dòng)點(diǎn)，與直線垂直，垂足位于第一象限，與直線垂直，垂足位于第四象限，且，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程；(2)已知點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，的角平分線為直線，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，交于另一點(diǎn)，求的最大值.【解析】（1）由題意設(shè)，由點(diǎn)到直線距離公式得，，∴，∴，又∵垂足位于第一象限，垂足位于第四象限，，∴的軌跡方程為.（2）由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)在第一象限，設(shè)，則，設(shè)直線的斜率為，記，由為的角平分線，則有，其中，，，，∴，同理得：，代入中，∴，化簡(jiǎn)得：.將代入，中，解得：，，∴，，設(shè)直線的方程為，將代入，解得：，∴直線的方程為，，由點(diǎn)到直線距離公式得：.由直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)代入，解得：，∴直線的方程為，將其與聯(lián)立得：，設(shè)，則，，由可知，，由均值不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，∵，故，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.∴的最大值為.變式13．（2024·四川南充·高三四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．且，P為橢圓上一點(diǎn)，．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．求的最大值．【解析】（1）依題意，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）依題意可知直線與軸不重合，設(shè)直線的方程為，，，，設(shè)，則，，..的中點(diǎn)為，則，即，直線的方程為，令，得，即，而，所以，所以，令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以的最大值為.變式14．（2024·海南?？凇じ呷y(tǒng)考期中）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M，N在拋物線上，且.(1)證明：直線過(guò)定點(diǎn)；(2)設(shè)C在點(diǎn)M，N處的切線相交于點(diǎn)P，求的取值范圍.【解析】（1）由題意可設(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立拋物線方程，所以，又，化簡(jiǎn)得，解之得，即直線為：，顯然過(guò)定點(diǎn)；（2）由拋物線，則點(diǎn)的切線方程分別為，易知，聯(lián)立切線方程可得，結(jié)合（1）可知，∴，故，，由弦長(zhǎng)公式及（1）可得，所以，易知，即的取值范圍為.變式15．（2024·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考三模）過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，（在第一象限），且當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，.(1)求拋物線的方程；(2)若，延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，求的值.【解析】（1）由題意直線l的斜率，所以l得方程為，聯(lián)立方程，解得，，由弦長(zhǎng)公式得：

，

，解得，拋物線方程為；（2）由（1）知：拋物線方程為，設(shè)

，直線l的方程為，顯然時(shí)存在的，如圖：聯(lián)立方程，得，，①，直線MB的方程為：，即，，②，直線PN的方程為：，令得，，，，由①②得：；綜上，拋物線方程為，.變式16．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線C：上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離為2．(1)求拋物線C的方程；(2)已知點(diǎn)D在直線l：上，過(guò)點(diǎn)D作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB與直線l交于點(diǎn)M，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F作直線AB的垂線交直線l于點(diǎn)N，當(dāng)|MN|最小時(shí)，求的值．【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)，在拋物線C：上，所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義得：，解得，即拋物線C的方程為；（2）由題意可設(shè)，，，因?yàn)椋?，即，故，整理得，設(shè)點(diǎn)，同理可得，則直線AB方程為：，令得，即點(diǎn)，因?yàn)橹本€NF與直線AB垂直，所以直線NF方程為：，令得，即點(diǎn)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，時(shí)上式等號(hào)成立，聯(lián)立，得，∴，，，，∴．變式17．（2024·廣東揭陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)F關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好在y軸上．(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)C，若，求的最大值．【解析】（1）由題意得，設(shè)F關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得，∴拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由可得，設(shè)，，則，，∴，，∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則線段AB的垂直平分線方程為，令，得，故，又，得．∴，令，則，，∴，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，故的最大值為．變式18．（2024·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓與拋物線有一個(gè)相同的焦點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2p．(1)求橢圓與拋物線的方程；(2)P為拋物線上一點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，求的最大值．【解析】（1）由題意，

，又，，拋物線方程為：，橢圓方程為；（2）由（1）知：，由題意的斜率不為0，設(shè)直線的方程為：，直線的方程為：，，聯(lián)立方程，得：，；聯(lián)立方程，得，，又點(diǎn)P是的交點(diǎn)，，得，點(diǎn)P在拋物線上，，，，，考察函數(shù)，是增函數(shù)，，，即最大值為；綜上，拋物線方程為：，橢圓方程為，的最大值為.題型五：長(zhǎng)度積問(wèn)題例12．（2024·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線，為的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，且在，兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，當(dāng)與軸垂直時(shí)，．(1)求的方程；(2)證明：．【解析】（1）由題意知，將代入，解得，所以當(dāng)與軸垂直時(shí)，，所以，故拋物線的方程為．（2）證明：法一：根據(jù)題意知直線的斜率存在，，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立得，所以，，．對(duì)求導(dǎo)，得，所以，所以．由得所以．當(dāng)時(shí)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，即．綜上，．法二：根據(jù)題意知直線的斜率存在，，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立得，所以，，．對(duì)求導(dǎo)，得，由得所以．因?yàn)?，，所以．又，所以．?3．（2024·浙江·?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線：，過(guò)其焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，其中．(1)求拋物線方程；(2)是否存在直線，使得是與的等比中項(xiàng)，若存在，請(qǐng)求出AB的方程及；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）設(shè)直線的方程為，，由得，則，，，又，所以，又，所以，所以拋物線方程為；（2）由（1）可知：，所以，設(shè)，由得，則，所以，若是與的等比中項(xiàng)，則，即，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，所以方程無(wú)解，所以不存在直線，使得是與的等比中項(xiàng)．例14．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為．(1)求橢圓的方程；(2)以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑作圓，過(guò)直線上的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為，若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，求的取值范圍．【解析】（1）直線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，可得．又，，解得：，，，橢圓的方程為．（2）由（1）可得：圓的方程為：．設(shè)，則以為直徑的圓的方程為：，與相減可得：直線的方程為：，設(shè)，，，，聯(lián)立，化為：，，則，，故．又圓心到直線的距離，，，令，則，，可得，可得：．變式19．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上一點(diǎn)，且當(dāng)軸時(shí)，.(1)求的方程；(2)設(shè)在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，證明：.【解析】（1）由題意知，，得，當(dāng)軸時(shí)，設(shè)，代入橢圓方程，得，解得，即，由橢圓的定義知，，又，所以，由，解得，故橢圓C的方程為；（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，等式成立；當(dāng)切線斜率為0時(shí)，切線與x軸不相交，不符合題意；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)，由，得，則，所以切線的斜率為，得切線方程為，即，整理得，即，所以切線方程為，令，得，即，由(1)知，，則，，又，得，所以，，所以，即，即證.變式20．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的離心率為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，與交于兩點(diǎn)，且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，，交于點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）由橢圓的離心率為，得，即①，將代入橢圓方程得，則，由，得，即②，由①②并結(jié)合，得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，，所以；②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的斜率為0，此時(shí)，，所以；③當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為（），聯(lián)立，整理得．

設(shè)，，則，，所以．因?yàn)?，所以可用替換表達(dá)式中的得，所以．

令，因?yàn)椋?，，，所以，因?yàn)?，則，所以；綜上所述：的取值范圍為．變式21．（2024·湖南岳陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，左，右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)A為橢圓的右頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A，求的最大值．【解析】（1）根據(jù)題意可得解得，，所以橢圓的方程為．（2）由(1)得，設(shè)直線的方程為，，，，聯(lián)立，得，所以，，,，，因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)點(diǎn)A，故，所以，所以，所以，所以，所以，解得或舍去，當(dāng)時(shí)，，且，點(diǎn)A到MN的距離為，所以，化簡(jiǎn)得，令，則，，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性知，在上單調(diào)遞增，即時(shí)取得最小值，此時(shí).變式22．（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的焦距為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F且斜率為的動(dòng)直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)x軸上是否存在異于點(diǎn)F的定點(diǎn)T，使恒成立？若存在，求出T點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．【解析】（1）由橢圓的焦距為2，故，則，又由橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入得，解得，所以橢圓的方程為．（2）根據(jù)題意，直線l的斜率顯然不為零，令，由橢圓右焦點(diǎn)，故可設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，設(shè)，，且，設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由，可得，又因?yàn)?，所以，所以，所以直線和關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，其傾斜角互補(bǔ)，即有，則，所以，所以，整理得，即，即，解得，符合題意，即存在點(diǎn)滿(mǎn)足題意．題型六：長(zhǎng)度的范圍與最值問(wèn)題例15．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，與的公共弦長(zhǎng)為．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作垂直于的直線交軸于點(diǎn)，試求的取值范圍．【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，由題意可得①由與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，可得與的公共點(diǎn)為，可得②由①②解得，，即有橢圓的方程為；（2）設(shè)，，代入橢圓方程，可得，設(shè)，，，，則，，即有，由為中點(diǎn)，可得，又的斜率為，即有，令，可得，即有可得又，即有，由，可得，即有，則有的取值范圍為．例16．（2024·黑龍江佳木斯·高三校考開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，且使得的點(diǎn)恰有兩個(gè)，動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為．(1)求橢圓的方程；(2)如圖，以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑作圓，過(guò)直線上的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為，，若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，求弦長(zhǎng)的取值范圍．【解析】（1）設(shè)半焦距為，由使得的點(diǎn)恰有兩個(gè)可得，動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為，可得，即，所以橢圓的方程是.（2）圓的方程為，設(shè)直線上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)，連接OA，因?yàn)橹本€為切線，故，否則直線垂直于軸，則與直線平行，若，則，故，故直線的方程為：，整理得到：；當(dāng)時(shí)，若，直線的方程為：；若，則直線的方程為：，滿(mǎn)足.故直線的方程為，同理直線的方程為，又在直線和上，即，故直線的方程為.聯(lián)立，消去得，設(shè)，．則，從而，又，從而，所以.例17．（2024·陜西咸陽(yáng)·?？既＃┮阎p曲線的離心率為，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線：與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線分別交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）由題可知，，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題可知，直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，聯(lián)立消去，得，所以，解得，且，所以.聯(lián)立可得，同理可得，所以，所以，其中，則，所以.變式23．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)，分別是雙曲線的左右頂點(diǎn)，且橢圓的右頂點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由.【解析】（1）由題意得：，故，雙曲線漸的近線方程為，故橢圓右頂點(diǎn)到雙曲線漸近線距離為，因?yàn)椋獾茫?，故，所以橢圓方程為；（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，聯(lián)立與，得：，由得：，設(shè)，則，因?yàn)椋?，其中，整理得：，將代入中，解得：，又，解得：，綜上：或，原點(diǎn)到直線的距離為，則存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，且，該圓的半徑即為，故圓的方程為，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線的方程為，與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，或，，此時(shí)，滿(mǎn)足要求，經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)圓上的切線在軸上的截距滿(mǎn)足或，綜上：存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，且；，將代入上式，令，則，因?yàn)?，則，所以，因?yàn)?，所以，故?dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，又，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)，綜上：的取值范圍為.變式24．（2024·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不在軸上），的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)在橢圓上，且為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的取值范圍.【解析】（1）由的周長(zhǎng)為，得，即，又離心率，所以，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知的坐標(biāo)為，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，則；②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為且，聯(lián)立，得，設(shè)，，則，，，設(shè)點(diǎn)，則，即，代入橢圓方程得，解得，，所以，所以，又，所以的取值范圍是.綜上所述，的取值范圍是.變式25．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，焦距為，過(guò)的左焦點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．(1)若，求證：；(2)過(guò)點(diǎn)作直線的垂線與相交于、兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．求的最大值．【解析】（1）證明：設(shè)、，因?yàn)闄E圓的焦距為，所以，解得．又因?yàn)闄E圓的離心率，所以，所以，所以橢圓的方程為.因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)、，，所以，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，由，得，.

所以，，因此，.（2）證明：若直線、中兩條直線分別與兩條坐標(biāo)軸垂直，則其中有一條必與直線平行，不合乎題意，所以，直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線方程為，則直線方程為，其中．聯(lián)立可得，設(shè)、，則，由韋達(dá)定理可得，，易知且，將代入直線的方程可得，即點(diǎn)，所以，同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最大值為.變式26．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，且，的雙曲線的頂點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，且直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為A，B和C，D．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：直線，的斜率之積·為定值；(3)求的取值范圍．【解析】（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意知，且，即，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）設(shè)點(diǎn)，由題可知，則，，所以，而由點(diǎn)在雙曲線上，可知，即有，從而，故；（3）由上可知，且，且不能同時(shí)取或，所以可設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，把直線的方程為代入橢圓方程，整理得，設(shè)，，則有，，因此，同理可得，因此，又，所以，所以，所以的取值范圍為.變式27．（2024·江蘇南京·校考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）設(shè)，由題意，因?yàn)椋?，即，兩邊平方并整理得．故點(diǎn)的軌跡的方程為；（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立，消并整理得，，顯然，設(shè)，，則，，又，可得線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線段中垂線的方程為，令，可得，對(duì)于直線，令，可得，所以又，所以，令，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故．變式28．（2024·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn)，的焦點(diǎn)到的漸近線的距離為.直線與相交于A，B兩點(diǎn)，.(1)求證：(2)若直線l與相交于P，Q兩點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）由題意得橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線漸近線方程為，所以，解得，所以的方程為，由，消y得，所以得，設(shè)，，則，所以，化簡(jiǎn)得，得證；（2）由消x，得，所以，即，結(jié)合，及，可得，設(shè)，，則，所以，所以，設(shè)，由，得，所以，所以，所以.變式29．（2024·廣東深圳·高三校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總滿(mǎn)足關(guān)系式：.(1)點(diǎn)的軌跡是什么曲線？寫(xiě)出它的方程；(2)設(shè)圓，直線與圓O相切且與點(diǎn)的軌跡交于不同兩點(diǎn)，當(dāng)且時(shí)，求弦長(zhǎng)的取值范圍.【解析】（1）由關(guān)系式，結(jié)合橢圓的定義，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓.∴，∴點(diǎn)M的方程為.（2）由題意，聯(lián)立方程，則設(shè)，，則，,因直線與圓相切，且，∴

，，，

①

②將①代入②.因?yàn)椋?變式30．（2024·四川遂寧·統(tǒng)考三模）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)，直線與圓相切，且橢圓的離心率為(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)在橢圓上，過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不在軸上）且(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求的取值范圍．【解析】（1）由題設(shè)因?yàn)?，所以：，所以，所以橢圓方程為（2）由（1）知的坐標(biāo)為，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，則；②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為且，聯(lián)立，得，設(shè)，，則，，，設(shè)點(diǎn)，則，即，代入橢圓方程得，解得，，所以，所以，又，所以的取值范圍是．綜上所述，的取值范圍是．變式31．（2024·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓:過(guò)點(diǎn)，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且互相垂直的直線,分別交橢圓于,兩點(diǎn)及兩點(diǎn).求的取值范圍.【解析】（1）橢圓:過(guò)點(diǎn)，且離心率為所以，解得，所以橢圓的方程為；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則直線：，代入橢圓方程得，所以；直線：，代入橢圓方程得，所以，所以；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，同理可得；當(dāng)直線,的斜率均存在，不妨設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，，則，消去得，恒成立，所以，所以；同理可得，將換成可得所以，綜上所述，的取值范圍是.變式32．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離的比值為，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若動(dòng)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求弦長(zhǎng)的取值范圍.【解析】（1）由題意得，，兩邊平方化簡(jiǎn)得，即可整理得曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）i.當(dāng)直線l的斜率k不存在時(shí)，由橢圓對(duì)稱(chēng)性有，又，故為等腰直角三角形，故，代入方程有，則弦長(zhǎng)；ii.當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線l為，聯(lián)立橢圓消y得，∴，，由，即，整理得.從而.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，綜上，弦長(zhǎng)的取值范圍為.變式33．（2024·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓過(guò)點(diǎn).(1)若橢圓E的離心率，求b的取值范圍；(2)已知橢圓E的離心率，M，N為橢圓E上不同兩點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)M，N兩點(diǎn)的直線與圓相切，求線段的最大值.【解析】（1）∵在橢圓，∴，有，所以，又∵，所以，∵，∴；（2）由（1）可知，又，所以，橢圓.因?yàn)橹本€與相切，故.若直線的斜率不存在，不妨設(shè)直線為：，代入橢圓方程可得此時(shí)線段.若直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為：.由直線與相切，故，可得：.聯(lián)立得，所以，線段.又因?yàn)?，所?當(dāng)且僅當(dāng)，故當(dāng)時(shí)，的最大值為2.綜上所述：當(dāng)時(shí)，線段的最大值2.變式34．（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中?？计谀┮阎獧E圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P在橢圓E上，，且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，與圓相交于C，D兩點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上．所以，又因?yàn)閨，所以，，因?yàn)椋?，又，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓的方程：，整理可得．，有，，所以弦長(zhǎng)，圓的圓心到直線的距離為，所以，所以，由，得，則，所以以的取值范圍為.變式35．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓：（）的短軸長(zhǎng)為4，離心率為．點(diǎn)為圓：上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記線段與橢圓交點(diǎn)為，求的取值范圍．【解析】（1）由題意可知：，，，則，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；（2）由題意可知：，設(shè)，則，∴，由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴的取值范圍；題型七：長(zhǎng)度的定值問(wèn)題例18．（2024·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)二中?？茧A段練習(xí)）如圖，已知橢圓，的左右焦點(diǎn)是雙曲線的左右頂點(diǎn)，的離心率為．點(diǎn)在上（異于兩點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)和分別作直線交橢圓于和點(diǎn)．(1)求證：為定值；(2)求證：為定值．【解析】（1）由題意知：，，雙曲線的，又雙曲線離心率，，，；設(shè)，，，則，，即為定值.（2）設(shè)直線的方程分別為，，，，由（1）知：，由得：，，，；同理可得：，，即為定值．例19．（2024·北京順義·高三牛欄山一中?？计谥校E圓．(1)點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)與點(diǎn)兩點(diǎn)之間距離的最大值和最小值；(2)和分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．為橢圓上第三象限點(diǎn)．直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．求．【解析】（1）設(shè)，，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.（2）如圖所示：過(guò)點(diǎn)作軸于，過(guò)點(diǎn)作軸于，設(shè)，例20．（2024·吉林松原·高三前郭爾羅斯縣第五中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓C的右焦點(diǎn)與拋物線E：的焦點(diǎn)F重合，且橢圓C的離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過(guò)點(diǎn)F的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，交拋物線E于P，Q兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得為定值？若存在，求出這個(gè)定值和λ的值；若不存在，說(shuō)明理由．【解析】（1）拋物線E：的焦點(diǎn)，設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，由右焦點(diǎn)得橢圓C的半焦距，又橢圓C的離心率，所以，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）如圖所示：當(dāng)過(guò)點(diǎn)F的直線l的斜率為0時(shí)，其與拋物線E只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，∴直線l的斜率不為0，設(shè)直線，，聯(lián)立方程組，消去x，得，所以，，所以.聯(lián)立方程組，消去x，得，設(shè)，則，，所以，所以，令，得.當(dāng)時(shí)，，即存在.使為定值.變式36．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線E：的焦點(diǎn)關(guān)于其準(zhǔn)線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，橢圓C：的左，右焦點(diǎn)分別是，，且與E有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，線段的中點(diǎn)是C的左頂點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M．(1)求C的方程；(2)證明：．【解析】（1）拋物線E的焦點(diǎn)關(guān)于其準(zhǔn)線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以，即．因?yàn)闄E圓C與拋物線E有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，所以，，所以線段的中點(diǎn)為，所以，．故C的方程為．（2）由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)為k．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A，B恰為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，y軸為線段AB的垂直平分線，，，，則．當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)為，．聯(lián)立，消去y，得，則，，所以，則．由題意知，線段AB的垂直平分線的方程為，令，得，則．又，所以．綜上，．變式37．（2024·天津紅橋·統(tǒng)考一模）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率，長(zhǎng)軸為4，且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的斜率；(3)若是橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的弦，且，判斷是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出，若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）由離心率，長(zhǎng)軸為4，得，，所以，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）由（1）得橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為：，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，由得，，則，，所以，因?yàn)?，所以，即，解得，故直線的斜率為．（3）是定值，理由如下，由（2）得：直線的方程為：，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，，，則，由是橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的弦，設(shè)，，直線的斜率為，則，由得，，且，得，所以，為定值．變式38．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)（在軸上方），且，設(shè)點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn)，的面積為，拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合，斜率為的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)與橢圓交于兩，點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn).(1)求橢圓及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在常數(shù)，使為常數(shù)？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.【解析】（1）由題意可設(shè)，可得，所以，所以，，所以，所以，點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程得，所以橢圓C方程為，所以，即，所以拋物線E方程為.（2）設(shè).直線l的方程為，與橢圓C的方程聯(lián)立得，則恒成立，所以則.直線l的方程為，與拋物線E的方程聯(lián)立得...要使為常數(shù)，則，得.故存在，使為常數(shù).變式39．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.過(guò)的直線l交C的右支于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，M，N到C的一條漸近線的距離之和為.(1)求C的方程；(2)證明：為定值.【解析】（1）根據(jù)題意有，C的一條漸近線方程為，將代入C的方程有，，所以M，N到直線的距離之和為，所以，C的方程為.（2）方法1：當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，由（1）可知，，且由雙曲的定義可知，故.當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，由雙曲線的定義可知，，故.設(shè)，代入C的方程有：，設(shè)，，則，，所以，所以.綜上，的值為6.方法2：當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，由（1）可知，，且由雙曲的定義可知，故.當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)，代入C的方程有：.設(shè)，，則，，所以.綜上，的值為6.變式40．（2024·安徽淮北·統(tǒng)考二模）已知拋物線的焦點(diǎn)和橢圓的右焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)任意作直線分別交拋物線于，交橢圓于.當(dāng)垂直于軸時(shí)，.(1)求和的方程；(2)是否存在常數(shù)，使為定值？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）由已知可得，的方程為，代入拋物線方程可得，，解得，所以.由題意知，得，所以，拋物線方程是.所以直線的方程為，焦點(diǎn)，所以.將直線的方程代入橢圓方程可得，，解得，所以.由已知可得，，解得，所以，橢圓的方程為.（2）假設(shè)存在常數(shù)，使為定值.設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，聯(lián)立方程，消化簡(jiǎn)得.則恒成立，且，所以.設(shè)，，聯(lián)立方程，消化簡(jiǎn)得.則恒成立，且，所以，.所以，.因?yàn)闉槎ㄖ?，所以有，所?所以，假設(shè)成立.所以，存在常數(shù)，使為定值.變式41．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)所成的四邊形的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程和離心率；(2)已知過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的值.【解析】（1）根據(jù)題意，所以，橢圓頂點(diǎn)圍成的四邊形周長(zhǎng)為：，所以，又因?yàn)?，所以，，故橢圓方程為：，橢圓離心率為.（2）①當(dāng)直線PQ斜率不存在時(shí)，|PQ|，|MN|，此時(shí).②當(dāng)直線PQ斜率為0時(shí)，|PQ|，|MN|，此時(shí).③當(dāng)直線PQ斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線PQ:，直線MN：聯(lián)立所以所以，所以，PQ同理可得，.此時(shí).綜上所述，的值為.變式42．（2024·北京順義·高三北京市順義區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓C：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)D.求證：為定值.【解析】（1）由題設(shè)可得，設(shè)橢圓的半焦距為，則，故，故，故橢圓的方程為：.（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，而，故，故.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，，由可得，此時(shí)，，，且.的中垂線的方程為：，令，則，故，故.變式43．（2024·天津河北·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓點(diǎn)，且離心率，F(xiàn)為橢圓C的左焦點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，，連接OT與PQ交于點(diǎn)H.①若，求；②求的值.【解析】（1）由題意可得，解得,橢圓C的方程為.（2）①當(dāng)時(shí)，即，直線的斜率為，∴直線的斜率為，則直線的方程，聯(lián)立方程，消去得：，解得，∴.②∵，則直線的斜率為，當(dāng)時(shí)，則直線l與x軸垂直，點(diǎn)H即為點(diǎn)F，則；當(dāng)時(shí)，則直線的斜率為，則直線的方程，聯(lián)立方程，消去得：，顯然，設(shè)，則，∴線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∵直線的方程為，聯(lián)立方程，解得，即點(diǎn)H為線段的中點(diǎn)，則；綜上所述：.變式44．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓E：