第71講、面積問題（學(xué)生版）

第71講面積問題知識梳理1、三角形的面積處理方法（1）底·高（通常選弦長做底，點到直線的距離為高）（2）水平寬·鉛錘高或（3）在平面直角坐標系中，已知的頂點分別為，，，三角形的面積為．2、三角形面積比處理方法（1）對頂角模型（2）等角、共角模型3、四邊形面積處理方法（1）對角線垂直（2）一般四邊形（3）分割兩個三角形4、面積的最值問題或者取值范圍問題一般都是利用面積公式表示面積，然后將面積轉(zhuǎn)化為某個變量的一個函數(shù)，再求解函數(shù)的最值（一般處理方法有換元，基本不等式，建立函數(shù)模型，利用二次函數(shù)、三角函數(shù)的有界性求最值或利用導(dǎo)數(shù)法求最值，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)等等），在算面積的過程中，優(yōu)先選擇長度為定值的線段參與運算，靈活使用割補法計算面積，盡可能降低計算量．必考題型全歸納題型一：三角形的面積問題之底·高例1．（2024·福建漳州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知橢圓的左焦點為，且過點.(1)求C的方程；(2)不過原點O的直線與C交于P，Q兩點，且直線OP，PQ，OQ的斜率成等比數(shù)列.（i）求的斜率；（ii）求的面積的取值范圍.例2．（2024·湖南常德·高三常德市一中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知點，點在直線上運動，過點與垂直的直線和的中垂線相交于點.(1)求動點的軌跡的方程；(2)設(shè)點是軌跡上的動點，點在軸上，圓內(nèi)切于，求的面積的最小值.例3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，已知曲線C上任意一點滿足.(1)化簡曲線的方程；(2)已知圓（為坐標原點），直線經(jīng)過點且與圓相切，過點A作直線的垂線，交于兩點，求面積的最小值.變式1．（2024·河北秦皇島·校聯(lián)考二模）已知雙曲線實軸的一個端點是，虛軸的一個端點是，直線與雙曲線的一條漸近線的交點為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與曲線有兩個不同的交點是坐標原點，求的面積最小值.變式2．（2024·四川成都·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)?？既＃┰O(shè)橢圓過點，且左焦點為.(1)求橢圓的方程；(2)內(nèi)接于橢圓，過點和點的直線與橢圓的另一個交點為點，與交于點，滿足，求面積的最大值.題型二：三角形的面積問題之分割法例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)動點M與定點的距離和M到定直線l：的距離的比是．(1)求動點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀；(2)當時，記動點M的軌跡為，動直線m與拋物線：相切，且與曲線交于點A，B．求面積的最大值．例5．（2024·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的對稱中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，離心率，且過點．(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線與橢圓交于兩點，且直線的傾斜角互補，點，求三角形面積的最大值．例6．（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為2，右焦點到漸近線的距離為．(1)求雙曲線的標準方程；(2)若點為雙曲線右支上一動點，過點與雙曲線相切的直線，直線與雙曲線的漸近線分別交于M，N兩點，求的面積的最小值．變式3．（2024·廣東廣州·高三中山大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過橢圓的右焦點作兩條相互垂直的弦，.，的中點分別為，.(1)證明：直線過定點；(2)若，的斜率均存在，求面積的最大值.題型三：三角形、四邊形的面積問題之面積坐標化例7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知雙曲線的左右焦點分別為、，若點為雙曲線在第一象限上的一點，且滿足，過點分別作雙曲線兩條漸近線的平行線、與漸近線的交點分別是和.（1）求四邊形的面積；（2）若對于更一般的雙曲線，點為雙曲線上任意一點，過點分別作雙曲線兩條漸近線的平行線、與漸近線的交點分別是和.請問四邊形的面積為定值嗎？若是定值，求出該定值（用、表示該定值）；若不是定值，請說明理由.例8．（2024·浙江·高三競賽）已知直線與橢圓：交于、兩點，直線不經(jīng)過原點.（1）求面積的最大值；（2）設(shè)為線段的中點，延長交橢圓于點，若四邊形為平行四邊形，求四邊形的面積.例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）分別是橢圓于的左、右焦點.(1)若Р是該橢圓上的一個動點，求的取值范圍；(2)設(shè)是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點.求四邊形AEBF面積的最大值.變式4．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線的焦點為，過的直線交于，兩點（其中點在第一象限），過點作的切線交軸于點，直線交于另一點，直線交軸于點.(1)求證：；(2)記，，的面積分別為，，，當點的橫坐標大于2時，求的最小值及此時點的坐標.變式5．（2024·上海浦東新·高三上海市進才中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)橢圓：的一個頂點為，離心率為，為橢圓的右焦點．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過且斜率為的直線與橢圓交于，兩點，若滿足，求的值；(3)過點的直線與橢圓交于，兩點，過點，分別作直線：的垂線（點，在直線的兩側(cè)）．垂足分別為，，記，，的面積分別為，，，試問：是否存在常數(shù)，使得，，總成等比數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．變式6．（2024·福建泉州·泉州七中?？寄M預(yù)測）已知圓，點，圓周上任一點P，若線段PG的垂直平分線和CP相交于點Q，點Q的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若過點的動直線與橢圓相交于兩點，直線的方程為.過點作于點，過點作于點.記的面積分別為，，.問是否存在實數(shù)，使得成立？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.變式7．（2024·上海浦東新·高三上海市洋涇中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)拋物線：的焦點為，經(jīng)過軸正半軸上點的直線交于不同的兩點和.(1)若，求點的坐標；(2)若，求證：原點總在以線段為直徑的圓的內(nèi)部；(3)若，且直線，與有且只有一個公共點，問：的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出點的坐標；若不存在，請說明理由.（三角形面積公式：在中，設(shè)，，則的面積為變式8．（2024·四川眉山·高三?？茧A段練習(xí)）在中，已知點，，邊上的中線長與邊上的中線長之和為6；記的重心的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)若圓：，，過坐標原點且與軸不重合的任意直線與圓相交于點，，直線，與曲線的另一個交點分別是點，，求面積的最大值.題型四：三角形的面積比問題之共角、等角模型例10．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線，過點的直線與交于兩點，當直線與軸垂直時，（其中為坐標原點）.(1)求的準線方程；(2)若點在第一象限，直線的傾斜角為銳角，過點作的切線與軸交于點，連接交于另一點為，直線與軸交于點，求與面積之比的最大值.例11．（2024·北京東城·高三北京市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓，且過兩點．(1)求橢圓E的方程和離心率e；(2)若經(jīng)過有兩條直線，它們的斜率互為倒數(shù)，與橢圓E交于A，B兩點，與橢圓E交于C，D兩點，P，Q分別是AB，CD的中點試探究：與的面積之比是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由．例12．（2024·江蘇徐州·高三?？奸_學(xué)考試）設(shè)橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．(1)求橢圓方程及其離心率；(2)已知點是橢圓上一動點（不與端點重合），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．變式9．（2024·廣東深圳·深圳中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知定點，關(guān)于原點對稱的動點，到定直線的距離分別為，，且，記的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程，并說明曲線是什么曲線？(2)已知點，是直線與曲線的兩個交點，，在軸上的射影分別為，（，不同于原點），且直線與直線相交于點，求與面積的比值.變式10．（2024·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C：上一點到焦點F的距離為．(1)求拋物線C的方程；(2)過點F的直線與拋物線C交于兩點，直線與圓E：的另一交點分別為為坐標原點，求與面積之比的最小值．變式11．（2024·陜西商洛·陜西省丹鳳中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓的左、右頂點分別為，長軸長為短軸長的2倍，點在上運動，且面積的最大值為8．(1)求的方程；(2)若直線經(jīng)過點，交于兩點，直線分別交直線于，兩點，試問與的面積之比是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．變式12．（2024·福建廈門·廈門一中?？寄M預(yù)測）已知，分別是橢圓：的右頂點和上頂點，，直線的斜率為.(1)求橢圓的方程；(2)直線，與，軸分別交于點，，與橢圓相交于點，.（i）求的面積與的面積之比；（ⅱ）證明：為定值.題型五：三角形的面積比問題之對頂角模型例13．（2024·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預(yù)測）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．

(1)求橢圓方程；(2)直線與橢圓交于點為的右焦點，直線分別交于另一點、，記與的面積分別為，求的范圍．例14．（2024·全國·高三對口高考）在平面直角坐標系中，點B與點關(guān)于原點O對稱，P是動點，且直線與的斜率之積等于．(1)求動點P的軌跡方程；(2)設(shè)直線和分別與直線交于點M，N,問：是否存在點P使得與的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．例15．（2024·重慶·高三重慶一中校考階段練習(xí)）已知O為坐標原點，拋物線的方程為，F(xiàn)是拋物線的焦點，橢圓的方程為，過F的直線l與拋物線交于M，N兩點，反向延長，分別與橢圓交于P，Q兩點．

(1)求的值；(2)若恒成立，求橢圓的方程；(3)在（2）的條件下，若的最小值為1，求拋物線的方程（其中，分別是和的面積）．變式13．（2024·四川·校聯(lián)考一模）已知點在橢圓上，點在橢圓C內(nèi)．設(shè)點以為的短軸的上、下端點，直線分別與橢圓C相交于點，且的斜率之積為．(1)求橢圓C的方程；(2)記，分別為，的面積，若，求的取值范圍．變式14．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中?？奸_學(xué)考試）已知點在橢圓C：上，點在橢圓C內(nèi).設(shè)點A，B為C的短軸的上、下端點，直線AM，BM分別與橢圓C相交于點E，F(xiàn)，且EA，EB的斜率之積為.(1)求橢圓C的方程；(2)記，分別為，的面積，若，求m的值.變式15．（2024·四川南充·四川省南充高級中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓的左、右焦點為，離心率為.點是橢圓上不同于頂點的任意一點，射線分別與橢圓交于點，的周長為8.(1)求橢圓的標準方程；(2)設(shè)，，的面積分別為.求證：為定值.題型六：四邊形的面積問題之對角線垂直模型例16．（2024·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，且E的漸近線方程為．(1)求E的方程；(2)過作兩條相互垂直的直線和，與E的右支分別交于A，C兩點和B，D兩點，求四邊形ABCD面積的最小值．例17．（2024·山西朔州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓E：的左、右焦點分別為，，M為橢圓E的上頂點，，點在橢圓E上.(1)求橢圓E的標準方程；(2)設(shè)經(jīng)過焦點的兩條互相垂直的直線分別與橢圓E相交于A，B兩點和C，D兩點，求四邊形ACBD的面積的最小值.例18．（2024·江西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知直線與拋物線交于兩點，.(1)求；(2)設(shè)拋物線的焦點為，過點且與垂直的直線與拋物線交于，求四邊形的面積.題型七：四邊形的面積問題之一般四邊形例19．（2024·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習(xí)）已知橢圓過和兩點.

(1)求橢圓C的方程；(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點分別為A，B，當動點M在定直線上運動時，直線，分別交橢圓于兩點P和Q.（i）證明：點B在以為直徑的圓內(nèi)；（ii）求四邊形面積的最大值.例20．（2024·新疆伊犁·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C：經(jīng)過點，O為坐標原點，若直線l與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，直線l與直線OM的斜率乘積為.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若四邊形OAPB為平行四邊形，求四邊形OAPB的面積.例21．（2024·上海黃浦·高三格致中學(xué)?？奸_學(xué)考試）定義：若橢圓上的兩個點滿足，則稱為該橢圓的一個“共軛點對”，記作.已知橢圓的一個焦點坐標為，且橢圓過點.(1)求橢圓的標準方程；(2)求“共軛點對”中點所在直線的方程；(3)設(shè)為坐標原點，點在橢圓上，且，（2）中的直線與橢圓交于兩點，且點的縱坐標大于0，設(shè)四點在橢圓上逆時針排列.證明：四邊形的面積小于.變式16．（2024·四川成都·高三石室中學(xué)校考開學(xué)考試）已知橢圓：（）左、右焦點分別為，，且為拋物線的焦點，為橢圓上一點.(1)求橢圓的方程；(2)已知，為橢圓上不同兩點，且都在軸上方，滿足.（?。┤?，求直線的斜率；（ⅱ）若直線與拋物線無交點，求四邊形面積的取值范圍.變式17．（2024·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓的離心率，且經(jīng)過點.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)直線與橢圓E交于A，B兩點，且橢圓E上存在點M，使得四邊形為平行四邊形.試探究：四邊形OAMB的面積是否為定值？若是定值，求出四邊形的面積；若不是定值，請說明理由.變式18．（2024·浙江·高三浙江省普陀中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）類似于圓的垂徑定理，橢圓：（）中有如下性質(zhì)：不過橢圓中心的一條弦的中點為，當，斜率均存在時，，利用這一結(jié)論解決如下問題：已知橢圓：，直線與橢圓交于，兩點，且，其中為坐標原點.(1)求點的軌跡方程；(2)過點作直線交橢圓于，兩點，使，求四邊形的面積.變式19．（2024·浙江·高三舟山中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線：與圓：相交于，，，四個點．

(1)當時，求四邊形的面積；(2)四邊形的對角線交點是否可能為，若可能，求出此時的值，若不可能，請說明理由；(3)當四邊形的面積最大時，求圓的半徑的值．變式20．（2024·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓：（）與橢圓：（）的離心率相同，且橢圓的焦距是橢圓的焦距的倍．(1)求實數(shù)a和b的值；(2)若梯形的頂點都在橢圓上，，，直線BC與直線AD相交于點