導數(shù)的基本概念與切線方程10類題型（學生版）

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學導數(shù)的基本概念與切線方程10類題型TOC\o"1-3"\n\h\z\u知識點梳理模塊一導數(shù)的基本概念與計算【題型1】平均變化率與瞬時速度以及導數(shù)的定義【題型2】導數(shù)的定義【題型3】導數(shù)的幾何意義【題型4】導數(shù)的運算及復合函數(shù)求導【題型5】導數(shù)的賦值運算模塊二切線相關問題【題型6】在某點的切線【題型7】過某點的切線【題型8】已知過某點的切線條數(shù)求參數(shù)范圍【題型9】公切線問題匯總【題型10】切線平行、垂直、重合問題知識點梳理一、導數(shù)的幾何意義“在點(x0，f(x0))處”的切線就是指(x0，f(x0))是切點．當點P沿著曲線y＝f(x)無限趨近于點P0時，即當Δx→0時，k無限趨近于函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，因此，函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)f′(x0)就是切線P0T的斜率k0，即二、拋物線的切線的斜率當點P無限趨近于P0時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線P0T稱為拋物線f(x)在點P0處的切線，我們可以用割線P0P的斜率k近似地表示切線P0T的斜率k0．三、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式原函數(shù)導函數(shù)（為常數(shù)）四、導數(shù)的四則運算法則（1）函數(shù)和差求導法則：；（2）函數(shù)積的求導法則：；（3）函數(shù)商的求導法則：，則．特別地：①當g(x)＝c(c為常數(shù))時，[cf(x)]′＝cf′(x)；②當f(x)＝1時，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,gx)))′＝－eq\f(g′x,[gx]2).五、簡單復合函數(shù)的導數(shù)（1）復合函數(shù)的概念一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復合函數(shù)，記作y＝f(g(x)).（2）復合函數(shù)的求導法則正確地拆分復合函數(shù)是求導的前提一般地，對于由函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)復合而成的函數(shù)y＝f(g(x))，它的導數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積.六、2類切線1.在點的切線方程切線方程的計算：函數(shù)在點處的切線方程為，抓住關鍵．2.過點的切線方程設切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，又因為切線方程過點，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．模塊一導數(shù)的基本概念與計算【題型1】平均變化率與瞬時速度以及導數(shù)的定義1.求平均變化率的主要步驟：(1)先計算函數(shù)值的改變量Δy＝f(x2)－f(x1).(2)再計算自變量的改變量Δx＝x2－x1.(3)得平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).2．瞬時速度是當Δt→0時，運動物體在t0到t0＋Δt這段時間內的平均速度的極限值，瞬時速度與平均速度二者不可混淆．函數(shù)在區(qū)間，上的平均變化率為15，則實數(shù)的值為A． B． C．1 D．2某物體的運動方程為，若（位移單位：，時間單位：，則下列說法中正確的是A．是物體從開始到這段時間內的平均速度 B．是物體從到△這段時間內的速度 C．是物體在這一時刻的瞬時速度 D．是物體從到△這段時間內的平均速度已知函數(shù)y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0處的瞬時變化率為－8，則f(x0)＝________．已知一物體的運動方程是，則此物體在t＝1和t＝4時的瞬時速度分別為________．若函數(shù)在區(qū)間，△上的平均變化率為，在區(qū)間△，上的平均變化率為，則A． B． C． D．與的大小關系與的取值有關【題型2】導數(shù)的定義設函數(shù)可導，（1）則．函數(shù)在區(qū)間內可導，且若，則A． B． C． D．不確定已知函數(shù)，則的值為（

）A． B． C．10 D．20已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的導數(shù)為f′(x)，已知f′(0)＞0，且對于任意實數(shù)x，有f(x)≥0，則eq\f(f（1）,f′（0）)的最小值為________．設f(x)＝eq\f(1,x)，則等于()A．－eq\f(1,a) B．eq\f(2,a)C．－eq\f(1,a2) D．eq\f(1,a2)若存在，則稱為二元函數(shù)在點處對的偏導數(shù)，記為；若存在，則稱為二元函數(shù)在點處對的偏導數(shù)，記為，已知二元函數(shù)，則下列選項中錯誤的是（

）A． B．C．的最小值為 D．的最小值為【題型3】導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義就是切線的斜率，所以比較導數(shù)的大小可以根據(jù)函數(shù)圖象，觀察對應切線的斜率的大小.函數(shù)的圖像如圖所示，下列不等關系正確的是（

）A．B．C．D．已知函數(shù)在上有導函數(shù)，圖象如圖所示，則下列不等式正確的是A．（a）（b）（c） B．（b）（c）（a） C．（a）（c）（b） D．（c）（a）（b）函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是A．（2）（4）（2）（4） B．（4）（2）（4）（2） C．（2）（4）（4）（2） D．（4）（2）（4）（2）如圖，它表示物體運動的路程隨時間變化的函數(shù)f(t)＝4t－2t2的圖象，試根據(jù)圖象，描述、比較曲線f(t)分別在t0，t1，t2附近的變化情況，并求出t＝2時的切線方程．【題型4】導數(shù)的運算及復合函數(shù)求導對于復合函數(shù)的求導，要注意分析問題的具體特征，靈活恰當?shù)剡x擇中間變量，中間變量的選擇應是基本函數(shù)的結構，切不可機械照搬某種固定的模式，否則會使確定的復合關系不準確，不能有效地進行求導運算．注意：一般是從最外層開始，由外及里，一層層地求導．不要忘記中間變量對自變量的求導．規(guī)律方法(1)求復合函數(shù)的導數(shù)的步驟(2)求復合函數(shù)的導數(shù)的注意點：①分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；②求導時分清是對哪個變量求導；③計算結果盡量簡潔.求下列各函數(shù)的導數(shù)：(1)；(2)；(3)求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝(2x－1)4；(2)y＝102x＋3；(3)y＝e－x·sin2x；(4)y＝eq\f(ln3x,ex).求下列函數(shù)的導數(shù)．(1)y＝(4－3x)2；(2)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))； (3)y＝ln(4x－1)； (4)y＝ex2.【題型5】導數(shù)的賦值運算已知函數(shù)f(x)=f'(1)+xlnx,則f(e)=()A.1+eB.eC.2+eD.3【答案】A∵f'(x)=lnx+1,∴f'(1)=ln1+1=1,則f(x)=1+xlnx,∴f(e)=1+elne=1+e.已知函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，則（

）A．1 B． C． D．4已知函數(shù)y=f(x),其導函數(shù)y=f'(x)滿足f(x)=2xf'(e)+lnx,則f'(e)=.

已知函數(shù)，則__________.模塊二切線相關問題曲線“在某點”處的切線是以該點為切點的直線，它只有一條；“過某點”的切線，該點一定在直線上，但不一定在曲線上，作出的切線也不止一條．1、易混淆知識點補充：直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點．2、過一點的切線方程①設切點為，則斜率②利用切點和斜率寫出切線方程為：，③又因為切線方程過點，點入切線得然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時要分清題目是在點處（為切點），還是過點的切線（不一定為切點）本號資料全部來源于微信公眾號#：數(shù)學第六感3、求公切線方程已知其中一曲線上的切點，利用導數(shù)幾何意義求切線斜率，進而求出另一曲線上的切點；不知切點坐標，則應假設兩切點坐標，通過建立切點坐標間的關系式，解方程.具體做法為：設公切線在y＝f(x)上的切點P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切點P2(x2，g(x2))，則4、由公切線求參數(shù)的值或范圍問題由公切線求參數(shù)的值或范圍問題，其關鍵是列出函數(shù)的導數(shù)等于切線斜率的方程．【題型6】在某點的切線曲線在處的切線斜率為（

）A．0 B．1 C．2 D．曲線在處的切線的傾斜角為，則（

）A．- B． C．1 D．-1曲線y＝f(x)＝x3－3x2＋1在點(2，－3)處的切線方程為()A．y＝－3x＋3B．y＝－3x＋1 C．y＝－3 D．x＝2本號資料全#部來源于微信公眾號：數(shù)學第六感已知曲線y＝x4＋ax2＋1在點(－1，a＋2)處切線的斜率為8，則a＝()A．9 B．6C．－9 D．－6【題型7】過某點的切線已知直線是曲線的切線，則實數(shù)的值為．求經過點且與曲線相切的直線方程．函數(shù)過點的切線方程為（

）A． B． C．或 D．或2022·新高考全國II卷——求過原點的切線曲線過坐標原點的兩條切線的方程為，．江蘇高考：已知切線過某點，求切點本號資料全部來源于微信公眾號：#數(shù)學第六感在平面直角坐標系中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線經過點（-e，-1)(e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點A的坐標是.【題型8】已知過某點的切線條數(shù)求參數(shù)范圍2022年新高考全國I卷T15——已知過某點的切線條數(shù)求參若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是．2021新高考1卷·7——已知過某點的切線條數(shù)，求參數(shù)間的關系 若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．已知函數(shù)，若過點可作曲線的三條切線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2024屆·廣州中山大學附屬中學校考過點作曲線的兩條切線，切點分別為，，則（

）A． B． C． D．3廣東省深圳市2022-2023學年高二下期末T8已知點在直線上運動，若過點恰有三條不同的直線與曲線相切，則點的軌跡長度為（

）A．2 B．4 C．6 D．82023屆·深圳高級中學高三上學期期中T7若曲線有三條過點的切線，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．已知函數(shù)，過點有兩條直線與曲線相切，則實數(shù)的取值范圍是．（多選）已知函數(shù)，若過點可作曲線的三條切線，則的值可以為（

）A． B．4 C． D．22（多選）已知函數(shù)，若過點恰能作3條曲線的切線，則的值可以為（

）A． B． C． D．過點有條直線與函數(shù)的圖像相切，當取最大值時，的取值范圍為（

）A． B． C． D．若過點可以作曲線的三條切線，則（

）A． B． C． D．或【題型9】公切線問題匯總2023屆·浙江紹興二模T15與曲線和都相切的直線方程為__________.2023屆·浙江嘉興二模T15已知直線與曲線和均相切，則該直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為___________.已知曲線和曲線，若存在斜率為1的直線與，同時相切，則b的取值范圍是（

）A． B． C． D．（南京外國語學校模擬預測）若兩曲線y=x2-1與y=alnx-1存在公切線，則正實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．2023屆廣東省燕博園高三下綜合能力測試T16曲線與的公共切線的條數(shù)為________．廣東省汕頭市2022-2023學年高二下期末已知直線是曲線與曲線的公切線，則的值為.2023·福建廈門·5月適應性考試T16已知函數(shù)，若曲線與曲線存在公切線，則實數(shù)的最大值為__________．2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模T8已知函數(shù)，，若總存在兩條不同的直線與函數(shù)，圖象均相切，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．若曲線與曲線存在2條公共切線，則a的值是．長沙雅禮中學2022屆月考（六）T16本號資料全部來源于微信#公眾號：數(shù)學第六感已知函數(shù)，，若直線與函數(shù)，的圖象均相切，則的值為________；若總存在直線與函數(shù)，圖象均相切，則的取值范圍是________2024屆·江蘇省南通，連云港質量調研(一)已知直線分別與曲線，相切于點，，則的值為.【題型10】切線平行、垂直、重合問題對于三次函數(shù)，若曲線在點處的切線與曲線在點