抽象函數(shù)的賦值計(jì)算與模型總結(jié)【15類題型】（老師版）

更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)抽象函數(shù)的賦值計(jì)算與模型總結(jié)近5年考情（2020-2024）考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求2023年新高考1卷，第11題賦值法判斷抽象函數(shù)的奇偶性，周期性（1）熟悉常見函數(shù)的抽象表達(dá)式（2）用賦值法判斷抽象函數(shù)性質(zhì)2022年新高考2卷，第8題模塊一模塊一總覽熱點(diǎn)題型解讀（目錄）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】抽象函數(shù)的賦值計(jì)算求值【題型2】抽象函數(shù)的奇偶性【題型3】抽象函數(shù)的單調(diào)性【題型4】抽象函數(shù)的最值與值域【題型5】抽象函數(shù)的對(duì)稱性【題型6】抽象函數(shù)的周期性【題型7】一次函數(shù)的抽象表達(dá)式【題型8】對(duì)數(shù)型函數(shù)的抽象表達(dá)式【題型9】指數(shù)型函數(shù)的抽象表達(dá)式本號(hào)資料全#部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感【題型10】冪函數(shù)的抽象表達(dá)式【題型11】正弦函數(shù)的抽象表達(dá)式【題型12】余弦函數(shù)的抽象表達(dá)式【題型13】正切函數(shù)的抽象表達(dá)式【題型14】二次函數(shù)的抽象表達(dá)式【題型15】其它函數(shù)的抽象表達(dá)式模塊二模塊二核心題型·舉一反三(講與練)【題型1】抽象函數(shù)的賦值計(jì)算求值賦值法是求解抽象函數(shù)問題最基本的方法，一般有以下幾種：1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解2024·長沙市第一中適應(yīng)性訓(xùn)練已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，滿足，且，，則________.【答案】0【詳解】由，令，則（2024·福建龍巖·一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則________【答案】2【詳解】令，得得或，當(dāng)時(shí)，令得不合題意，故【鞏固練習(xí)1】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x,y∈R)，f(1)＝2，則f(3)=，f(-3)=.【詳解】f(1+1)=f(1)+f(1)+2=6，f(2+1)=f(2)+f(1)+4=12易知f(0)=0，f(-1+1)=f(-1)+f(1)-2f(-1)=0f(-2)=2f(-1)+2=2f(-3)=f(-2)+f(-1)+4=6【鞏固練習(xí)2】已知對(duì)所有的非負(fù)整數(shù)均有，若，則______．【答案】31【解析】令，則，可得，當(dāng)時(shí)，令，令，令，，則，可得，所以，令，，則，可得【鞏固練習(xí)3】（2024·安徽合肥·一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，記，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)滿足的表達(dá)式以及，利用賦值法即可計(jì)算出的大小.【詳解】由可得，令，代入可得，即，令，代入可得，即，令，代入可得，即；由可得，顯然可得.【題型2】抽象函數(shù)的奇偶性證明奇偶性：利用定義和賦值的方法找到與的關(guān)系2024·福建莆田·二模已知定義在上的函數(shù)滿足：，證明：是奇函數(shù)【詳解】定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；對(duì)原式，令，可得，解得；對(duì)原式，令，可得，即，故是奇函數(shù)2024·長沙市第一中適應(yīng)性訓(xùn)練已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，滿足，且，，證明：是偶函數(shù)【詳解】令，則①，知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，令，則，令，則②，由①可得：③，由①②可知：，且函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)是偶函數(shù)【鞏固練習(xí)1】（多選）定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的，則下列結(jié)論一定正確的有（

）A． B．C．為上的增函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】ABD【思路點(diǎn)撥】對(duì)于A：令，結(jié)合題意運(yùn)算求解；對(duì)于D：令，根據(jù)題意結(jié)合奇函數(shù)的定義分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)奇函數(shù)的定義分析判斷；對(duì)于C：舉反例分析判斷.本號(hào)資料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)*第六感【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，對(duì)于選項(xiàng)A：令，則，解得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)C：令，則，可得，且的定義域?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，故D正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：例如滿足題意，但為常函數(shù)，不具有單調(diào)性，故C錯(cuò)誤；故選：ABD【鞏固練習(xí)2】（多選）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【思路點(diǎn)撥】由已知，利用賦值法計(jì)算判斷得解.【詳解】定義在上的函數(shù)滿足，令，得，而，則，A正確；令1，得，而，則，令，得，即，而，即，則，B正確；令，得，即有，因此，C錯(cuò)誤，D正確.【鞏固練習(xí)3】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，則（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】AD【分析】令，或，分類討論可求，判斷A；令，可得，進(jìn)而可求，判斷B；由B可得，可判斷CD；【詳解】對(duì)于A：令，得，即，所以或．當(dāng)時(shí)，不恒成立，故，故A正確．本號(hào)資料全部來源于微信公眾號(hào)*：數(shù)學(xué)第六*感對(duì)于B：令，得，又，所以，故，故B錯(cuò)誤．對(duì)于C、D：由B選項(xiàng)可知，則，所以為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤，D正確．【鞏固練習(xí)4】（2024屆韶關(guān)市一模）已知是定義在上且不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對(duì)取特殊值代入已知表達(dá)式，結(jié)合奇偶性即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得，則，當(dāng)時(shí)，，則，函數(shù)的定義域?yàn)镽，令時(shí)，，所以得，所以函數(shù)是奇函數(shù)，令得，又函數(shù)是奇函數(shù)，.【題型3】抽象函數(shù)的單調(diào)性判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）湊：湊定義或湊已知,利用定義或已知條件得出結(jié)論;（2）賦值：給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系.有時(shí)可能要進(jìn)行多次嘗試.=1\*GB3①若給出的是“和型”抽象函數(shù)，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：或;=2\*GB3②若給出的是“積型”抽象函數(shù)，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：或.函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于，，，且當(dāng)時(shí)，，證明：為減函數(shù).【詳解】（1）設(shè)，且，則，，因?yàn)?，所以，即為減函數(shù)已知函數(shù)是定義在R上的函數(shù).對(duì)任意，總有，，且時(shí)，恒成立.（1）求（2）判斷的奇偶性并證明（3）證明在上單調(diào)遞減【答案】（1），（2）奇函數(shù);(3)在上單調(diào)遞減【詳解】（1）由對(duì)任意，總有，令，則，則，又由，可得，則，故選項(xiàng)A判斷正確；（2）令，則，則有，故，則是奇函數(shù)（3）設(shè)任意，，則，又，則，則，則在上單調(diào)遞減.【鞏固練習(xí)1】（多選）定義在上的函數(shù)，對(duì)于任意的都有；且；當(dāng)時(shí)，；則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是奇函數(shù)C．在上單調(diào)遞增 D．的解集為【答案】ACD【思路點(diǎn)撥】對(duì)于A：利用賦值法求出；對(duì)于B：借助于賦值法，利用奇偶性的定義直接證明；*本號(hào)資料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六#感對(duì)于C：利用單調(diào)性的定義進(jìn)行證明；對(duì)于D：利用賦值法求出，把化為，即可解得.【詳解】對(duì)于A：對(duì)于任意的都有，令，則有，所以.故A正確；對(duì)于B：對(duì)于任意的都有，令，則有，所以；令，則有，所以，故是偶函數(shù).故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：任取，不妨令，則有，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.故C正確；對(duì)于D：由B的判斷過程，可知是偶函數(shù)；由C的推導(dǎo)過程，在上單調(diào)遞增.對(duì)于任意的都有，且，令可得：，令可得：.所以可化為：，即解得：，即的解集為.故D正確【鞏固練習(xí)2】若定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意x1,x2∈R,都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1成立，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞1.(1)求證:y＝f(x)－1為奇函數(shù);(2)求證:f(x)是R上的增函數(shù);(3)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)＜3.[解](1)證明：因?yàn)槎x在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1成立．所以令x1＝x2＝0，則f(0＋0)＝f(0)＋f(0)－1.即f(0)＝1.令x1＝x，x2＝－x，則f(x－x)＝f(x)＋f(－x)－1.所以[f(x)－1]＋[f(－x)－1]＝0，故y＝f(x)－1為奇函數(shù)．(2)證明：由(1)知y＝f(x)－1為奇函數(shù)，所以f(x)－1＝－[f(－x)－1]．任取x1，x2∈R，且x1＜x2，則x2－x1＞0.所以f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)－1＝f(x2)－[f(x1)－1]＝f(x2)－f(x1)＋1.因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞1.所以f(x2－x1)＝f(x2)－f(x1)＋1＞1，即f(x1)＜f(x2)，故f(x)是R上的增函數(shù)．(3)因?yàn)閒(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1，且f(4)＝5，所以f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，即f(2)＝3，由不等式f(3m－2)＜3，得f(3m－2)＜f(2)．由(2)知f(x)是R上的增函數(shù)，所以3m－2＜2，即3m－4＜0，即m＜eq\f(4,3).故不等式f(3m－2)＜3的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,3))).【鞏固練習(xí)3】（2023·湖南師大附中校考）已知連續(xù)函數(shù)滿足：①，則有，②當(dāng)時(shí)，，③，則以下說法中正確的是（）A．B．C．在上的最大值是10D．不等式的解集為【答案】ACD【思路點(diǎn)撥】依題意令，求出，從而判斷A；令得到，再令，，即可判斷B；再利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；依題意原不等式等價(jià)于，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，則有，令，則，則，故A正確；令，則，令代，則，即，即，故B錯(cuò)誤；設(shè)且，則，由，令，則，即，令，，則，即，因?yàn)闀r(shí)，，又，故，所以，所以，即在上單調(diào)遞減，又，所以，，又，所以，故在上的最大值為，故C正確；由，即，即，即，又因?yàn)?，即，所以，即，故，即，解得，即原不等式的解集為，故D正確【題型4】抽象函數(shù)的最值與值域結(jié)合奇偶性與單調(diào)性來判斷最值或值域已知函數(shù)對(duì)任意的，總有，若時(shí)，，且，則當(dāng)時(shí)，的最大值為（）A．0B．C．1D．2【答案】D【解析】令，則，得，令，則，所以，所以為奇函數(shù)，任取，且，則，，所以，所以，所以在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為，因?yàn)?，所以，所以，故選：D【鞏固練習(xí)1】已知連續(xù)函數(shù)滿足：①，則有，②當(dāng)時(shí)，，③，則在上的最大值是________【答案】10【解析】設(shè)且，則，由，令，則，即，令，，則，即，因?yàn)闀r(shí)，，又，故，所以，所以，即在上單調(diào)遞減，又，所以，，又，所以，故在上的最大值為【鞏固練習(xí)2】已知連續(xù)函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有，當(dāng)時(shí)，，，則f(x)在[－3，3]上的最大值是________【答案】6【詳解】令，可得，所以，所以是奇函數(shù)；令，則，因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜0，所以，即，所以在均遞減，因?yàn)椋栽谏线f減；，可得；令，可得，；，在，上的最大值是6【題型5】抽象函數(shù)的對(duì)稱性抽象函數(shù)的對(duì)稱性常有以下結(jié)論（1）關(guān)于軸對(duì)稱，（2）關(guān)于中心對(duì)稱，2024·江蘇南通·二模（多選）已知函數(shù)，的定義域均為R，的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱，，，則（）A．為偶函數(shù) B．為偶函數(shù) C． D．【答案】ACD【分析】由賦值法，函數(shù)奇偶性，對(duì)稱性對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】令，則，注意到不恒為，故，故A正確；因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱，所以，令，得，故，故B錯(cuò)誤；令，得，令，得，故，從而，故,令，得，化簡得，故C正確；令，得，而，故D正確.故選：ACD.【鞏固練習(xí)1】已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，函數(shù)滿足，則（

）A．有對(duì)稱中心 B．有對(duì)稱軸C．是增函數(shù) D．是減函數(shù)【答案】B【分析】依題意取特值即可求解.【詳解】令，得，∴；令，得，∴；令，得，∴的圖象關(guān)于直線關(guān)于對(duì)稱【鞏固練習(xí)2】（2024·重慶八中校考）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，當(dāng)時(shí)，，且滿足，則下列說法正確的是（

）A．為奇函數(shù)B．C．不等式的解集為D．【答案】AB【詳解】對(duì)于A中，令，可得，所以，令，得到，即，所以為奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于B中，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，故B正確；對(duì)于C中，設(shè)，可得，所以，又因?yàn)椋?，所以，即，所以在R上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，由，可得，所以，所以，得到，所以的解集為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，又，故，所以D錯(cuò)誤【鞏固練習(xí)3】（多選）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且，則以下結(jié)論一定正確的有（

）本號(hào)資料全部*來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六#感A． B．是偶函數(shù)C．關(guān)于中心對(duì)稱 D．【答案】BC【分析】根據(jù)賦值法，可判斷或，進(jìn)而判斷A，根據(jù)賦值法結(jié)合奇偶性的定義可判斷C，根據(jù)偶函數(shù)即可判斷對(duì)稱性，根據(jù)對(duì)稱性以及奇偶性可得函數(shù)的周期性，進(jìn)而可判斷CD.【詳解】令，則或，故A錯(cuò)誤，若時(shí)，令，則，此時(shí)是偶函數(shù)，若時(shí)，令，則，此時(shí)既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)；因此B正確，令，則，所以關(guān)于中心對(duì)稱，故C正確，由關(guān)于中心對(duì)稱可得，結(jié)合是偶函數(shù)，所以，所以的周期為2，令，則，故，進(jìn)而，而，由A選項(xiàng)知或，所以或，故D錯(cuò)誤.【題型6】抽象函數(shù)的周期性抽象函數(shù)周期問題一般先求對(duì)稱性2024山東青島·統(tǒng)考三模設(shè)為定義在整數(shù)集上的函數(shù)，，，，對(duì)任意的整數(shù)均有．則______．【答案】【分析】采用賦值的方式可求得，令和可證得的對(duì)稱軸和奇偶性，由此可推導(dǎo)得到的周期性，利用周期性可求得函數(shù)值.【詳解】令，則，；令，，則，又，；令，則，關(guān)于直線對(duì)稱；令，則，不恒成立，恒成立，為奇函數(shù)，，，是周期為的周期函數(shù)，.函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，，則.【答案】2【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的周期，再結(jié)合求出即可求解作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，得，因此函?shù)是以3為周期的周期函數(shù)，且，即，由，得，又，，從而，所以.（2024屆廈門一中?？迹┤舳x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，且，則．【答案】2【分析】利用賦值法及奇函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的周期性即可求解.【詳解】由，得，所以，即，于是有，所以，即.所以函數(shù)的周期為.因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，即.令，則，解得，所以.【鞏固練習(xí)1】2024·山東青島·一模，，，則的值為（

）A．2 B．1 C．0 D．－1【答案】B【分析】利用賦值法求出的值，將變形為，即可推出，可得函數(shù)周期，由此即可求得答案.【詳解】由題意知，，，令，則顯然時(shí)，不成立，故，故，則，即6為函數(shù)的周期，則【鞏固練習(xí)2】（2024·福建龍巖·一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，則（

）A． B．為奇函數(shù)C． D．的周期為3【答案】C【分析】令，則得，再令即可得到奇偶性，再令則得到其周期性，最后根據(jù)其周期性和奇偶性則得到的值.【詳解】令，得得或，當(dāng)時(shí)，令得不合題意，故，所以A錯(cuò)誤；令得，且的定義域?yàn)?，故為偶函?shù)，所以B錯(cuò)誤；令，得，所以，所以，則，則，所以的周期為6，所以D錯(cuò)誤；令，得，因?yàn)樗裕?，故C正確.【鞏固練習(xí)3】（2024·福建廈門·一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，，，若，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】利用賦值法對(duì)進(jìn)行賦值結(jié)合函數(shù)的周期可得答案.【詳解】令，得，即，令，得，得，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令，得，令，得，，或，若，解得與已知矛盾，，即，解得，，令，得，，，，，所以函數(shù)的周期為4.【鞏固練習(xí)4】函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意，恒有，若，則，．【答案】,【分析】取特殊值可得；取特殊值可得是周期為函數(shù)，計(jì)算出的值可得答案.【詳解】令，則，解得，令，則，因?yàn)?，所以；令，則，，令，則，，令，則，，，令，則，即，可得，令，則，令，則，可得，從而，所以，可得，所以，是周期為的函數(shù)，.故答案為：①；②0.【鞏固練習(xí)5】深圳市寶安區(qū)2024屆高三上學(xué)期10月調(diào)研數(shù)學(xué)試題（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，為偶函?shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．C． D．【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)，賦值法得到，進(jìn)而得到，為奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由為偶函數(shù)得到關(guān)于對(duì)稱，所以；C選項(xiàng)，由結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)，得到，C正確；D選項(xiàng)，推導(dǎo)出的一個(gè)周期為6，利用關(guān)系式得到，結(jié)合函數(shù)周期得到.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令，則，故，則，令，則，又不恒為0，故，所以為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，令，則，故，令，則，故，又為奇函數(shù)，故，所以，即，故C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C可知，所以，故的一個(gè)周期為6，因?yàn)?，所以，?duì)于，令，得，則，令，得，則，令，得，令，得，令，得，所以，又，所以由的周期性可得：，故D正確.故選：BCD【題型7】一次函數(shù)的抽象表達(dá)式一次函數(shù)的抽象表達(dá)式（1）

對(duì)于正比例函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為

.（2）

對(duì)于一次函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為

.（3）

對(duì)于一次函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為

.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的一個(gè)的解析式為.①，；②為奇函數(shù)；③在上單調(diào)遞減.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)直接得解.【詳解】由題意為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，可假設(shè)，此時(shí)，，即①成立（2023-2024學(xué)年重慶一中高一期中）（多選）已知定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：對(duì)任意均有；當(dāng)時(shí)，．則下列說法正確的是A． B．在定義域上單調(diào)遞減C．是奇函數(shù) D．若，則不等式的解集為【答案】ACD【簡析】即考慮一次函數(shù)模型，故AC對(duì)，B錯(cuò)，而，則，，解得【鞏固練習(xí)1】(2024·安徽安慶·二模)（多選）已知定義在R上的函數(shù)，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y，均有，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．C．函數(shù)為減函數(shù) D．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】ACD【詳解】法一對(duì)A：令，則有，故，故A正確；對(duì)B：令，，則有，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：令，則有，其中，，令，，即有對(duì)、，當(dāng)時(shí)，恒成立，即函數(shù)為減函數(shù)，故C正確；對(duì)D：令，則有，又，故，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D正確.法二：令，，故選ACD【鞏固練習(xí)2】(2024·山東泰安·一模)（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，若，則下列說法正確的是（

）A． B．有最大值C． D．函數(shù)是奇函數(shù)【答案】ACD【詳解】法一：賦值法對(duì)于A中，令，可得，令，則，解得，所以A正確；對(duì)于B中，令，且，則，可得，若時(shí)，時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)；若時(shí)，時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)不一定有最大值，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，令，可得，即，，C正確對(duì)于D中，令，可得，可得，即，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以D正確法二：構(gòu)造函數(shù)因?yàn)?，設(shè)，又，故，故ACD正確【題型8】對(duì)數(shù)型函數(shù)的抽象表達(dá)式對(duì)數(shù)函數(shù)的抽象表達(dá)式（重要）

對(duì)數(shù)函數(shù)

，其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為

或補(bǔ)充：對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)

，其抽象函數(shù)還可以是奇偶性證明：只需構(gòu)造即可已知函數(shù)f（x）滿足：①對(duì)，，；②．請(qǐng)寫出一個(gè)符合上述條件的函數(shù)f（x）＝______．【答案】（答案不唯一，符合條件即可）【解析】因?yàn)閷?duì)，，；所以在上可能為對(duì)數(shù)函數(shù)，故滿足條件①，又，所以，故符合上述條件的函數(shù)可能為：（2024·安徽·二模）已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．為奇函數(shù) B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【詳解】法一：賦值法令，，，所以；令，，則．令，得，故為偶函數(shù)．A錯(cuò)誤，任取，，，則，則，故在上為減函數(shù)．由已知，可得，故，解得，且．B錯(cuò)誤，若，則，C正確，若，則，，，所以，故D錯(cuò)誤法二：由，可以令，又時(shí)，，故，故C正確【鞏固練習(xí)1】已知定義在上的函數(shù)，滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】法一：令，則，解得，令，則，解得，令，則，解得，令，則，解得，，依次類推可得法二：因?yàn)?，考慮對(duì)數(shù)函數(shù)模型，代入，得，故【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)的定義域是，對(duì)定義域內(nèi)的任意都有，且當(dāng)時(shí)，.本號(hào)資料全部來源于微信公眾*號(hào)：數(shù)學(xué)第六感(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)判斷的單調(diào)性并加以證明；【答案】(1)；；當(dāng)時(shí)，；；當(dāng)時(shí)，.(2)單調(diào)遞減.證明：即單調(diào)遞減【題型9】指數(shù)型函數(shù)的抽象表達(dá)式對(duì)于指數(shù)函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為

或

.本號(hào)資料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第*六感奇偶性證明：由得，判斷和1的大小關(guān)系已知函數(shù)的定義域?yàn)椋业膱D像是一條連續(xù)不斷的曲線，則同時(shí)滿足下列二個(gè)條件的一個(gè)的解析式為.①，；②在上單調(diào)遞減.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)直接得解.【詳解】由題意為指數(shù)型函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，（2023上·浙江·高一校聯(lián)考）（多選）已知定義在上的函數(shù)滿足：①是偶函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，則（

）A． B．在上單調(diào)遞增C．不等式的解集為 D．【答案】AB【思路點(diǎn)撥】方法一：對(duì)于A，由條件③令，，結(jié)合條件②可得；對(duì)于B，結(jié)合條件與單調(diào)性定義求解；對(duì)于C，不等式等價(jià)于，結(jié)合的單調(diào)性及奇偶性求解；對(duì)于D，令判斷即可．方法二：構(gòu)造函數(shù)判斷即可．【詳解】方法一：對(duì)于A，由條件③當(dāng)，時(shí)，，令，，得：，又由條件②得，∴，A正確；對(duì)于B，取，，且，則，∵，∴，，∴，∴，即，∴在上單調(diào)遞增，B正確；對(duì)于C，∵，，∴不等式等價(jià)于，又在上單調(diào)遞增，且由條件①得是偶函數(shù)，∴，∴解集為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，，此時(shí)不成立，D錯(cuò)誤．方法二：構(gòu)造函數(shù)，符合條件①②．，故A正確；時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故B正確；，則即為，則，解集為，故C錯(cuò)誤；

令，則，，此時(shí)不成立，D錯(cuò)誤【鞏固練習(xí)1】如果且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】法一：，，，，，，，，法二：設(shè)，，則【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)滿足，，則的值為（

）A．15 B．30 C．60 D．75【答案】B【解析】因此【鞏固練習(xí)3】已知定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y均有，且，當(dāng)且.(1)判斷的奇偶性；(2)判斷在上的單調(diào)性，并證明；【答案】(1)奇函數(shù)(2)單調(diào)遞增，證明見詳解【詳解】（1）根據(jù)題意，令，得，因?yàn)?，所以，故結(jié)合定義域可知，為奇函數(shù).（2）在上單調(diào)遞增.證明：由題意，可知，假設(shè)，使得，則，而當(dāng)時(shí)，由題意知，因此矛盾，故，恒成立.設(shè)，且，則，因此，因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增.【題型10】冪函數(shù)的抽象表達(dá)式對(duì)于冪函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為或（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)滿足，則（

）A．是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減B．是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增C．是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減D．是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增【答案】A【解析】令，則，所以，令，則，所以，令，則，所以，令，則，所以，因?yàn)?，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)是奇函數(shù)，由反比例函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在上單調(diào)遞減.【鞏固練習(xí)】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則（

）A． B． C．是偶函數(shù) D．沒有極值點(diǎn)本號(hào)資料全部來源于微信公眾號(hào)*：數(shù)學(xué)第六感【答案】D【解析】令，則，所以，且為定義域內(nèi)任意值，故為常函數(shù).令，則，為奇函數(shù)且沒有極值點(diǎn)，C錯(cuò)，D對(duì)；所以不恒成立，不一定成立，A、B錯(cuò).【題型11】正弦函數(shù)的抽象表達(dá)式三角函數(shù)注意系數(shù)的配湊，，，以下均以為例對(duì)于正弦函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為注：

此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于正弦平方差公式：2024·廣東江門·一模函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意的，，恒有成立.請(qǐng)寫出滿足上述條件的函數(shù)的一個(gè)解析式.【答案】（答案不唯一）【分析】本題屬于開放性問題，只需找到符合題意的函數(shù)解析式即可，不妨令，根據(jù)兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式證明即可.【詳解】依題意不妨令，則，又，所以，故符合題意.同理可證明，，，也符合題意.故答案為：（答案不唯一）【鞏固練習(xí)1】（多選題）（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則下列說法中正確的是（

）A．為偶函數(shù) B． C． D．【答案】BD【解析】法一：賦值法令，則.另令，則，由，所以不成立，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；令，，則，故B正確；令，，則，又，所以，故C錯(cuò)；令得.且，，.所以；；所以，又，，所以；所以；所以所以，故D正確.法二：利用函數(shù)模型∵，設(shè)又∵，故，即【鞏固練習(xí)2】（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則下列說法中正確的是（

）A．為偶函數(shù) B． C． D．【答案】BC【解析】方法一：先介紹正弦平方差公式：．證明過程如下：．由題意，可以令，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤．因?yàn)?，故選項(xiàng)B正確．因?yàn)椋蔬x項(xiàng)C正確．因?yàn)?，故，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．方法二：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，令，則，故，則，令，則，又不恒為0，故，所以為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)B，令，則．而，所以，故選項(xiàng)B正確．對(duì)于選項(xiàng)C，由選項(xiàng)B可知，，令，則，所以．又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，故C正確．對(duì)于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)B以及，可得，所以，同理可得．因?yàn)?，故，故D錯(cuò)誤．故選：BC【題型12】余弦函數(shù)的抽象表達(dá)式三角函數(shù)注意系數(shù)的配湊，，，以下均以為例（1）

對(duì)于余弦函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為注：

此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于余弦和差化積公式：本號(hào)資料全*部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感（2）

對(duì)于余弦函數(shù)

，其抽象函數(shù)還可以是注：余弦積化和差公式：，2022新高考2卷T8用的就是這個(gè)模型2024·吉林白山·一模已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，?qǐng)寫出滿足條件的一個(gè)（答案不唯一），．【答案】（答案不唯一）；【分析】應(yīng)用賦值法可得為偶函數(shù)及以6為周期，進(jìn)而可求.【詳解】令，則，解得或，若，令，，則，即與已知矛盾,∴，令，則，則，∴為偶函數(shù)；令，則，則，則，所以以6為周期，結(jié)合以上特征，找到滿足條件的一個(gè)函數(shù)為，結(jié)合以6為周期，則．故答案為：（答案不唯一）；2024·重慶一中3月月考（多選）函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足，，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．的圖象關(guān)于對(duì)稱【答案】BC【詳解】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期（通性通法）令，，則，即，可得，故A錯(cuò)；令，則，即，又因?yàn)椋?，可得，故B正確；令，可得，故C正確；若的圖象關(guān)于對(duì)稱，則函數(shù)滿足，而，，顯然，故D錯(cuò)，令，可得，的圖象關(guān)于對(duì)稱.法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問題具體化（優(yōu)解）聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式，，易知，又，故，即，則，故BC對(duì)【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)滿足：，則.【答案】【分析】由已知等式聯(lián)想到三角公式，構(gòu)造函數(shù)求解.【詳解】由已知等式聯(lián)想到三角公式，本號(hào)資*料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感注意它們結(jié)構(gòu)相似，通過嘗試和調(diào)整，構(gòu)造函數(shù)，則，故函數(shù)滿足題意，而函數(shù)是周期的函數(shù)，.【鞏固練習(xí)2】（2022新高考2卷T8）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個(gè)周期為，求出函數(shù)一個(gè)周期中的的值，即可解出．【詳解】[方法一]：賦值加性質(zhì)因?yàn)?，令可得，，所以，令可得，，即，所以函?shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為．因?yàn)?，，，，，所以一個(gè)周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．[方法二]：【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式，可設(shè)，則由方法一中知，解得，取，所以，則，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故選：A．【鞏固練習(xí)3】（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知定義在上的連續(xù)函數(shù)滿足，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則下列說法正確的是A． B．是偶函數(shù)C． D．的圖象關(guān)于對(duì)稱【答案】BCD【分析】根據(jù)所給關(guān)系式，利用賦值法一一計(jì)算可得.【詳解】法一：賦值法因?yàn)?，，令可得，解得或，又?dāng)時(shí)，恒成立，所以，故A錯(cuò)誤；本號(hào)資料全部來源*于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感令，，則，即，所以為偶函數(shù)，故B正確；令，，則，所以，令，，則，所以，故C正確；令可得，令，可得，又，所以，即，所以，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，故D正確.法二：令，因?yàn)?，故，又因?yàn)?，故，即，故選BCD【題型13】正切函數(shù)的抽象表達(dá)式對(duì)于正切函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為注：

此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于正切函數(shù)和差角公式：已知函數(shù)滿足，，則（

）A． B．C．的定義域?yàn)镽 D．的周期為4【答案】ABD【分析】賦值，令，即可判斷A；令，可判斷C；令，結(jié)合函數(shù)奇偶性定義可判斷B；令，推出，即可推出函數(shù)的周期，判斷D.【詳解】令，則，即，A正確，令，則無意義，即的定義域不為R，C錯(cuò)誤；由可知，令，則，即，故，B正確；，故，即的周期為4，D正確【鞏固練習(xí)1】（2024·廣西賀州·一模）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（

）A．是奇函數(shù)B．為增函數(shù)C．若實(shí)數(shù)a滿足不等式，則a的取值范圍為D．【答案】ABD【分析】先令，求出，再令，即可判斷A；令，結(jié)合已知判斷的符號(hào)，即可判斷B；根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可判斷C；根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，令，則，所以，令，則，所以，所以是奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，令，則，因?yàn)?，所以，所以，，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又是奇函數(shù)，且，所以函數(shù)為增函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，由，得，所以，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，即，故D正確.【鞏固練習(xí)2】定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的都有，且當(dāng)時(shí)，．（1）判斷在上的單調(diào)性并證明；（2）求實(shí)數(shù)t的取值集合，使得關(guān)于x的不等式在上恒成立．【答案】（1）單調(diào)遞增；證明見解析；（2）.【解析】（1）首先判斷，再令，判斷函數(shù)的奇偶性，再設(shè)任意，利用已知條件列式，判斷符號(hào)，證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）不等式轉(zhuǎn)化為，再利用函數(shù)的單調(diào)性，去掉“”后，求的取值范圍.【詳解】解：（1）令，則，得，再令，則，∴，∴為奇函數(shù)，對(duì)任意，令，，則，∵當(dāng)時(shí)，，∴，，從而，∴在上的單調(diào)遞增.（2）∵為奇函數(shù)，∴，∵在上的單調(diào)遞增，且，∴在上單調(diào)遞增，由題意得：及在上恒成立，∴，得①；，，得②，由①②可知，的取值集合是.【題型14】二次函數(shù)的