函數單調性與奇偶性【15類題型全歸納】（老師版）

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數學第六感；微信公眾號：數學三劍客；微信公眾號：ABC數學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數學第六感；微信公眾號：數學三劍客；微信公眾號：ABC數學函數單調性與奇偶性15類題型全歸納近4年考情（2020-2024）考題統(tǒng)計考點分析考點要求2024年新高考I卷，第6題,5分近幾年的高考情況來看，函數的單調性、奇偶性、是高考的一個重點，需要重點關注，與函數圖象、函數零點和不等式相結合進行考查，解題時要充分運用轉化思想和數形結合思想借助函數圖象，會用符

號語言表達函數的單調性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義2024年上海卷，第4題,5分2023年新高考I卷，第4題,5分2023年新高考Ⅱ卷，第4題,5分2023年新高考I卷，第8題,5分2022年新高考II卷，第6題,5分2021年新高考I卷，第6題,5分模塊一模塊一總覽熱點題型解讀（目錄）【題型1】函數的單調性 ①式，可以寫成函數或函數．偶函數：①函數．②函數．③函數類型的一切函數．④常數函數⑤若為奇函數，則為偶函數設函數的定義域為，且是奇函數，是偶函數，則下列結論中正確的是（

）A．是偶函數 B．是奇函數C．是奇函數 D．是奇函數【答案】C【解析】易知選項ABCD中的函數定義域即為；因為是奇函數，是偶函數，所以，對于A，，故是奇函數，即A錯誤；對于B，，故是偶函數，即B錯誤；對于C，，故是奇函數，即C正確；對于D，，故是偶函數，即D錯誤已知函數，若，則．【答案】或【分析】由奇偶性定義可判斷是偶函數，且結合在上單調遞增，即可求解.【詳解】由題可知，，所以是偶函數．由于函數在上單調遞增，而且單調遞增，在上單調遞增，故在上單調遞增，進而可得在上單調遞增，又，所以或，解得或．函數的奇偶性為.【答案】奇函數【解析】要使函數，必須滿足，解得，所以函數的定義域為，關于原點對稱，由可得，所以函數可化為因為，所以函數是奇函數.【鞏固練習1】（多選題）（2024·重慶·模擬預測）函數，，那么（

）A．是偶函數 B．是奇函數C．是奇函數 D．是奇函數【答案】BC【解析】因為，所以為偶函數，因為，即，所以為奇函數，所以為非奇非偶函數，A錯誤；，所以為奇函數，B正確；，所以是奇函數，C正確；令，，為偶函數，D錯誤.【鞏固練習2】（2024·重慶·三模）設函數fx=2?xA．fx?2+1 C．fx+2+2 【答案】A【解題思路】首先推導出f?4?x+fx=?2，即函數fx的對稱中心為?2,?1，再根據函數的平移只需將函數fx向右平移2個單位，向上平移【解答過程】因為fx=2?x2+x則f?4?x+fx=?1+4?x?2?1+所以將函數fx向右平移2個單位，向上平移1個單位，得到函數y=f該函數的對稱中心為0,0，故函數y=fx?2【鞏固練習3】結合圖象判斷下列函數的奇偶性：(1)(2)(3)；(4)；(5).【解析】（1）函數的定義域為，對于函數，當，為二次函數，是一條拋物線，開口向下，對稱軸為，當，為二次函數，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，畫出函數的圖象，如圖所示，函數圖象關于原點對稱，所以函數為奇函數；（2）函數的定義域為，對于函數，當，為二次函數，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，當，為二次函數，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，畫出函數的圖象，如圖所示，函數圖象關于y軸對稱，故為偶函數；本號資料#全部來源于微信公眾號：數學#第六感（3）先作出的圖象，保留圖象中x≥0的部分，再作出的圖象中x>0部分關于y軸的對稱部分，即得的圖象，如圖實線部分．由圖知的圖象關于y軸對稱，所以該函數為偶函數.（4）將函數的圖象向左平移一個單位長度，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數的圖象，如圖，由圖知的圖象既不關于y軸對稱，也不關于x軸對稱，所以該函數為非奇非偶函數；（5）函數，當，為二次函數，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，當，為二次函數，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，畫出函數的圖象，如圖，由圖知的圖象關于y軸對稱，所以該函數為偶函數.【題型9】函數圖像的識別判斷函數圖像常用的辦法是排除法一:判斷奇偶性(依選項而判斷)本號資料全部來*源于微信公眾號：數學第六感二:代入特殊點看正負三:極限思想我國著名數學家華羅庚先生曾說：數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休．在數學的學習和研究中，常用函數的圖象來研究函數的性質，也常用函數的解析式來琢磨函數的圖象特征，如函數的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】記，函數定義域為，則，所以函數為奇函數，排除BC，又當時，，排除D函數的圖象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】求出函數的定義域，然后判斷函數的奇偶性，再根據函數的單調性進行分析判斷即可.【詳解】函數的定義域為，因為，所以為奇函數，所以的圖象關于原點對稱，所以排除A，當時，，所以排除C，當時，，因為和在上遞增，所以在上遞增，所以排除B【鞏固練習1】函數的部分圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據函數奇偶性和特殊區(qū)間的正負即可判斷求解.【詳解】因為定義域，且，所以是奇函數，則的圖象關于原點對稱，排除A，D；當時，，排除B.【鞏固練習2】函數的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【詳解】，函數定義域為，，函數為奇函數，排除CD，，排除B【鞏固練習3】函數的圖象大致形狀是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】當時，可判斷C，D錯誤，當時可判斷A，B.【詳解】當時，，其在單調遞增，C，D錯誤；當時，，在單調遞減，B錯誤，A正確.【鞏固練習4】函數的圖像為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】函數的定義域為，且，函數為奇函數，A選項錯誤；又當時，，C選項錯誤；當時，函數單調遞增，故B選項錯誤【題型10】利用單調性，奇偶性比大小利用奇偶性把不在同一單調區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數值轉化到同一單調區(qū)間上，進而利用其單調性比較大小（2024·寧夏石嘴山·三模）若定義在上的偶函數在上單調遞增，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為是定義在上偶函數，所以，因為，則，所以，因為在上單調遞增，所以，即【鞏固練習1】（2024·寧夏銀川·一模）若，設，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知，由，所以為偶函數，圖象關于軸對稱，當時，由復合函數的單調性法則知隨的增大而增大，本號資料*全部來源于微信公眾號：數學#第六感即，單調遞增，因為，，且，，所以，所以，即，也就是.【鞏固練習2】已知函數，記，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函數的定義域為，所以函數為偶函數，當時，設，則，故在上單調遞增且恒為正數，則函數在上單調遞減，又函數為偶函數，故在上單調遞增，又，即，于是，即.【鞏固練習3】（2024·四川·模擬預測）若定義在上的偶函數在上單調遞增，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為是定義在上偶函數，所以，因為，所以，因為在上單調遞增，所以【題型11】已知函數的奇偶性求參數利用函數的奇偶性求參數函數的奇偶性，題目難度不大，屬于基礎題。根據偶函數的定義，即可求參數考查學生的邏輯推理能力和數學運算能力常見方法：

（1）定義法奇函數：；偶函數：（2）特殊值法可以取0，±1這類比較好計算的特殊值（3）導數法奇函數的導數為偶函數，偶函數的導數為奇函數

（4）函數性質法①為偶函數，②奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶，結合常見函數模型③復合函數的奇偶性原來：內偶則偶，兩奇為奇.（5）定義域對稱法若解析式中含有2個參數時，可以考慮通過定義域對稱這個限制來得出參數的值（2023年新課標全國Ⅱ卷）若為偶函數，則（

）．A． B．0 C． D．1【答案】B【解法1】特殊值法：因為為偶函數，則，解得，驗證：當時，，，解得或，則其定義域為或，關于原點對稱.，故此時為偶函數.【解法2】函數性質法：因為是奇函數，而為偶函數，故為奇函數．證明過程：，故，則，這一方法要求學生能夠發(fā)現(xiàn)函數的奇偶性，解題的起點相對高，對一些數學基礎弱的學生有一點難度?！窘夥?】定義法：則有即(，則已知函數為奇函數，則的值是（

）A．0 B． C．12 D．10【答案】D【分析】由奇函數的性質可知，由此可以求出的值，進而可以求出.【詳解】因為函數為奇函數，所以，即，即或，顯然函數的定義域為關于原點對稱，且當時，有，從而有，當時，有，但，所以，即，所以.故選：D.已知函數的圖象關于軸對稱，則．【答案】1【分析】由函數圖象關于軸對稱可得，再結合對數的運算性質代入表達式求出即可.【詳解】因為，且，即，有，所以．函數為奇函數，則實數.【答案】【解析】由為奇函數，根據定義有，結合是單調函數即可求.【詳解】函數為奇函數知：，而，∴，即，又是單調函數，∴，即有，解得.（2022·全國·高考真題）若是奇函數，則，．【答案】；．【分析】根據奇函數的定義即可求出．本號資料全部來源于微信公#眾號：數學第六感【詳解】[方法一]：奇函數定義域的對稱性若，則的定義域為，不關于原點對稱若奇函數的有意義，則且且，函數為奇函數，定義域關于原點對稱，，解得，由得，，，故答案為：；．[方法二]：函數的奇偶性求參函數為奇函數[方法三]：因為函數為奇函數，所以其定義域關于原點對稱．由可得，，所以，解得：，即函數的定義域為，再由可得，．即，在定義域內滿足，符合題意．本號#資料全*部來源于微信公眾號：數學第六感故答案為：；．【鞏固練習1】（2021·全國·高考真題）已知函數是偶函數，則.【答案】1【分析】利用偶函數的定義可求參數的值.【詳解】因為，故，因為為偶函數，故，時，整理得到，故【鞏固練習2】已知函數是奇函數，則.【答案】【解析】由，得，則，所以函數的定義域為，所以，解得【鞏固練習3】已知函數是奇函數，則實數．【答案】【分析】根據題意可知是偶函數，結合偶函數的定義分析求解.【詳解】由題意可知：函數的定義域為函數，因為函數是奇函數，且是奇函數，可知是偶函數，則，因為不恒成立，則，解得.【鞏固練習4】若函數是偶函數，則實數的值為.【答案】【分析】根據偶函數定義對函數解析式進行化簡即可得.【詳解】易知的定義域為，且，因為函數是偶函數，所以，所以恒成立，故，即.【鞏固練習5】（2024·高三·湖北武漢·期末）函數為奇函數，則實數k的取值為.【答案】【解析】因為為定義域上的奇函數，所以，即，整理化簡有：恒成立，所以，得，又因為，所以，且當時，，其定義域為，關于原點對稱，故滿足題意.本號資料#全部來源于#微信公眾號：數學第六感【鞏固練習6】若函數是奇函數，則．【答案】【分析】根據奇函數的定義域關于關于原點對稱，即可求出，求出函數的定義域，再由奇函數得，即可求出，即可得解.【詳解】由，可得，即，且，即，又因為奇函數的定義域關于原點對稱，所以，所以，故，定義域為，因為函數是奇函數，所以，所以，經檢驗，符合題意，所以，，所以.【題型12】解奇函數不等式先移項，再利用單調性把不等式的函數符號“f”脫掉，得到具體的不等式(組)，并注意是否有定義域的限制奇函數f(x)是定義在(－1,1)上的減函數，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求實數m的取值范圍．【答案】(1,2)【詳解】原不等式化為f(m－1)<－f(3－2m)．因為f(x)是奇函數，所以f(m－1)<f(2m－3)．因為f(x)是減函數，所以m－1>2m－3，所以m<2.又f(x)的定義域為(－1,1)，所以－1<m－1<1且－1<3－2m<1，所以0<m<2且1<m<2，所以1<m<2.綜上得1<m<2.故實數m的取值范圍是(1,2)．設函數f(x)為奇函數，且在(－∞，0)上是減函數，若f(－2)＝0，則xf(x)<0的解集為()A．(－1,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)【答案】C【解析】利用函數的性質畫出函數f(x)的簡圖如圖，所以不等式xf(x)<0可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,fx<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,fx>0，))由圖可知x>2或x<－2，故選C. 已知是定義在R上的奇函數，當時，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【思路點撥】根據函數的奇偶性以及當時，，判斷函數單調性，作出其大致圖像，數形結合，結合對數函數性質，解不等式，即可求得答案.【詳解】由題意是定義在R上的奇函數，故，當時，，此時在上單調遞增，且過點，則當時，在上單調遞增，且過點，作出函數的大致圖像如圖：則由可得或，解得或，即的解集為【鞏固練習1】設奇函數在上為增函數，且，則不等式的解集為A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為奇函數在上為增函數,所以在上也是增函數,且,從而在定義域上的大致圖象為：所以的解為:,或【鞏固練習2】已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則的解集是.【答案】【思路點撥】利用奇偶性求出函數的解析式，分類討論即可求解.【詳解】當時，，所以，因為函數是定義在R上的奇函數，所以，所以當時，，所以，要解不等式，只需或或，解得或或，綜上，不等式的解集為.【鞏固練習3】已知是定義在上的奇函數，當時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【思路點撥】根據函數的奇偶性求出函數的表達式，分段討論解不等式即可得到結論．【詳解】解：∵是定義在上的奇函數，，當，，此時，∵是奇函數，，即，當，即時，不等式不成立；當，即時，，解得：當，即時，，解得，綜合得：不等式的解集為【鞏固練習4】（2024·安徽安慶·三模）已知函數的圖象經過點，則關于的不等式的解集為（

）本號資料全部來源于微信公眾號：數學第六#感A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意知，解得，所以，其在上單調遞增，又因為，所以函數為奇函數，，所以不等式可化為，于是，即，解得或.【題型13】解偶函數不等式利用單調性把不等式的函數符號“f”脫掉，再加上絕對值，得到絕對值不等式(組)，注意是否有定義域的限制已知是定義在上的偶函數，且在區(qū)間上單調遞增，則不等式的解集為【答案】【思路點撥】由函數為偶函數可將原不等化為，再根據函數在上單調遞增，可得，從而可求得結果.【詳解】因為是定義在上的偶函數，所以可化為，因為在上單調遞增，所以，所以，即，解得，所以原不等式的解集為已知是定義在上的偶函數，且在上遞減，則不等式的解集是．【答案】【思路點撥】根據是定義在上的偶函數，將不等式轉化為，再利用其單調性求解.【詳解】解：因為是定義在上的偶函數，且在上遞減，所以在上遞增，不等式等價于，所以，解得，所以不等式的解集是.【鞏固練習1】若函數fx是定義在R上的偶函數，在?∞,0上是減函數，且f3=0，則使得fA．?∞,?3 C．?3,3 D．?【答案】C【解題思路】分析函數fx在0,+∞上的單調性，將所求不等式變形為fx<f【解答過程】因為函數fx是定義在R上的偶函數，在?則函數fx在0,+因為f3=0，由fx<0可得fx因此，滿足fx<0的x的取值范圍是【鞏固練習2】已知函數是定義在上的偶函數，且在上單調遞增，則的解集為．【答案】【分析】由偶函數定義域的對稱性可求，從而可得在上為增函數，在上為減函數，距離對稱軸越遠，函數值越小，將不等式轉化為，結合定義域列不等式組，即可得結論．【詳解】解：∵是定義在上的偶函數，∴，解得，∴函數的定義域為，∵在上單調遞增，∴在上單調遞減，距離對稱軸越遠，函數值越小，由，可得，解得，故不等式的解集為．【鞏固練習3】已知函數，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解答】函數的定義域為，且，即是偶函數，當時，，構造，，令，則在上單調遞增，又也是增函數，則在上單調遞增，又是定義域內的增函數，故在上單調遞增，不等式等價于，即，平方得：，解得且，則不等式的解集為.【題型14】函數不等式恒成立問題與能成立問題，使得，等價于，，使得，等價于，使得，等價于，，使得，等價于本#號資料全部來源于微信公眾號：數學第六感若，使的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據給定條件，分離參數，求出二次函數在上最大值即得結果.【詳解】不等式，等價于，依題意，，恒成立，而函數在上單調遞增，當時，，因此，所以的取值范圍為.若“，”為假命題，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】轉化為命題的否定為真命題，再分離參數，設新函數求出其最大值即可得到答案.【詳解】由題意得該命題的否定為真命題，即“，”為真命題，即，令，因為，則，則存在，使得成立，令，令，則（負舍），則根據對勾函數的性質知在上單調遞減，在上單調遞增，且，，則，則.【鞏固練習1】（2024·全國·模擬預測）已知，且在區(qū)間恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在區(qū)間恒成立，只需要即可，再根據指數函數的單調性求出最大值即可得解.【詳解】由解析式易知：單調遞增，當時，恒成立，則，得．【鞏固練習2】（23-24高三上·北京通州·期末）已知函數，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】求出時的范圍，然后根據充分條件及必要條件的概念即可得出結論.【詳解】由題意，在中，對稱軸，∴當時，，解得：，∴“”是“”的充分而不必要條件.【鞏固練習3】（2024·廣東深圳·模擬預測）已知函數，若，使得成立，則實數m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出分段函數的最小值；再求解不等式的解集即可.【詳解】因為函數在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，所以當時，函數取得最小值.又因為函數在區(qū)間上單調遞增，所以當時，.綜上可得函數的最小值為.因為，使得成立，所以，解得：或.【鞏固練習4】（2024·福建廈門·一模）已知，，，則下列結論錯誤的為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】舉例即可判斷ABC；再根據基本不等式及三角函數的性質即可判斷D.【詳解】對于A，當時，，，此時，所以，，故A正確；對于B，當時，，，此時，所以，，故B正確；對于C，當時，，，此時，所以，，故C正確；對于D，當時，，當且僅當，即時取等號，，由，得，而，所以當，即時，，所以，當且僅當時取等號，而，所以，，故D錯誤.【題型15】存在任意雙變量問題（1），成立（2），成立（3），恒成立（4），恒成立（5）成立（6）成立（7）若f(x)，g(x)的值域分別為A，B，則有：=1\*GB3①?x1∈D，?x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，則；=2\*GB3②?x1∈D，?x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，則.已知函數，，若，，使得，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題的關鍵是將已知轉化為在的