函數(shù)與圖像（老師版）【8類題型】

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學函數(shù)與圖像近5年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2024年全國甲卷第7題，5分基本初等函數(shù)的圖像是高考中的重要考點之一，是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具．高考中總以一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等的圖像為基礎來考查函數(shù)圖像，往往結(jié)合函數(shù)性質(zhì)一并考查，考查的內(nèi)容主要有知式選圖、知圖選式、圖像變換以及靈活地應用圖像判斷方程解的個數(shù)，屬于每年必考內(nèi)容之一．（1）函數(shù)圖像的識別（2）函數(shù)圖像的應用（3）函數(shù)圖像的變換2024年I卷第7題，5分2023年天津卷第4題，5分2022年全國乙卷第8題，5分2022年全國甲卷第5題，5分函數(shù)圖象的應用很廣泛,利用函數(shù)圖象可研究函數(shù)的性質(zhì)、解決方程和不等式的求解問題、求參數(shù)范圍等,同時也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．有時利用函數(shù)圖象能夠更便捷地解決問題．函數(shù)圖象應用的考查在高考中占有重要地位,應引起師生重視．模塊一模塊一題型解讀TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】由解析式確定函數(shù)圖像【題型2】由函數(shù)圖像選擇解析式【題型3】函數(shù)圖像與實際問題【題型4】表達式含參數(shù)的圖象【題型5】函數(shù)圖象的平移，伸縮，對稱，翻折變換【題型6】利用函數(shù)圖像解不等式【題型7】利用函數(shù)圖像研究函數(shù)的性質(zhì)、最值【題型8】利用函數(shù)圖像分析交點的個數(shù)模塊二模塊二高考模擬·新題速遞【題型1】由解析式確定函數(shù)圖像按先后順序進行排除篩選：先看奇偶性、定義域，再看特殊點的正負等，排除錯誤選項，從而篩選出正確答案.（2024·全國·模擬預測）函數(shù)的大致圖像是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由奇偶函數(shù)的定義可判斷A，C；由特值法可判斷B，D.【詳解】函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，又，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關于原點對稱，排除選項A，C．因為，排除選項B.（另解：當時，，所以，排除選項B）．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（

）本號資料全部來*源于微信公眾號：數(shù)學第六感A． B．C． D．【答案】A【解析】令，則，所以為奇函數(shù)，排除BD；又當時，，所以，排除C.故選：A.【鞏固練習1】函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)奇偶性、區(qū)間函數(shù)值符號及對應冪、指數(shù)復合函數(shù)的增長趨勢，應用排除法確定答案即可.本號資料#全部來源于微信公眾號：數(shù)學第六感【詳解】由且定義域，即是偶函數(shù)，排除D；當時，，即，此時，排除C；當趨向時，、均趨向，但隨變大，的增速比快，所以趨向于，排除B.【鞏固練習2】當a>1時，在同一直角坐標系中，函數(shù)與的圖像是（

）A．B．

C．

D．

【答案】A【分析】由可知，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象的單調(diào)性即可判斷得出結(jié)果.【詳解】依題意可將指數(shù)函數(shù)化為，由可知；由指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得為單調(diào)遞減，且過定點，即可排除BD，由對數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得為單調(diào)遞增，且過定點，排除C【鞏固練習3】函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的定義域和函數(shù)的奇偶性，再求函數(shù)的零點，以及函數(shù)值的正負，運用排除法得解.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，所以函數(shù)的定義域關于原點對稱，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故函數(shù)的圖象關于軸對稱，B，C錯誤，排除B，C，令可得，或，所以或，所以函數(shù)的非負零點從小到大依次為，當時，，所以，D錯誤，排除D.【題型2】由函數(shù)圖像選擇解析式方法技巧1、從定義域值域判斷圖像位置；2、從奇偶性判斷圖像的對稱性；3、從周期性判斷圖像循環(huán)往復；本號資料全部來源于微信公眾號：*數(shù)學第六感4、從單調(diào)性判斷大致變化趨勢；5、從特殊點排除錯誤選項．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，則，故排除B;設，當時，，所以，故排除C;設，則，故排除D.（2024·湖南·二模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能為（

）*本號資料全部來源于#微信公眾號：數(shù)學第六感A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和定義域，利用排除法即可得解.【詳解】由圖可知，函數(shù)圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù)，排除C；由圖可知，函數(shù)的定義域不是實數(shù)集.故排除B；由圖可知，當時，，而對于D選項，當時，，故排除D.（2024·廣東廣州·一模）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的奇偶性、定義域結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)判定即可.【詳解】觀察圖象可知函數(shù)為偶函數(shù)，對于A，，為奇函數(shù)，排除；對于B，，為奇函數(shù)，排除；同理，C、D選項為偶函數(shù)，而對于C項，其定義域為，不是R，舍去，故D正確.【鞏固練習1】（2024·安徽馬鞍山·三模）已知函數(shù)的大致圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于選項A：因為，與圖象不符，故A錯誤；本號資料全部來源于微信公眾*號：數(shù)學第六感對于選項B：因為，與圖象不符，故B錯誤；對于選項C：因為，與圖象不符，故C錯誤【鞏固練習2】（2024·寧夏固原·一模）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對于B，當時，，易知，，則，不滿足圖象，故B錯誤；對于C，，定義域為，又，則的圖象關于軸對稱，故C錯誤；對于D，當時，，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，故D錯誤；檢驗選項A，滿足圖中性質(zhì)，故A正確.本號資料全部來源于#微信公眾號：數(shù)學第#六感【鞏固練習3】（2021·浙江·高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（

）本號資料全部來源于微信公#眾號#：數(shù)學第六感A． B．C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B，結(jié)合導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，即可得解.【詳解】對于A，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；對于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；對于C，，則，當時，，與圖象不符，排除C.【鞏固練習4】（2024·天津·二模）函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)奇偶性判斷A；驗證的值判斷B；根據(jù)奇偶性、單調(diào)性判斷C；根據(jù)單調(diào)性判斷D.【詳解】由圖象知，該函數(shù)圖象關于原點對稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，且，對于A，，為偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，為奇函數(shù)，當時，，因為，在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，故C正確；本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學*第六感對于D，當時，，，所以時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，故D錯誤【題型3】函數(shù)圖像與實際問題方法技巧（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．（2）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象；（5）根據(jù)圖象的變化趨勢，設置分段函數(shù)節(jié)點某研究所開發(fā)一種新藥，據(jù)監(jiān)測，一次性服藥小時后每毫升血液中的含藥量（毫克）與時間（小時）之間近似滿足圖中所示的曲線關系.據(jù)測定，每毫升血液中含藥量不少于4毫克時治療疾病有效，則12小時內(nèi)藥物在體內(nèi)對治療疾病一直有效所持續(xù)的時長為（

）A．4小時 B．5小時 C．6小時 D．7小時【答案】A【分析】首先求出函數(shù)解析式，再令求出相應的的取值范圍，即可得解．【詳解】當時，則，當時，設函數(shù)為，將，代入可得，解得，所以，所以，要使，則或，解得或，綜上所述：，所以有效所持續(xù)的時長為個小時．【鞏固練習1】（2024·山東·二模）如圖所示，動點在邊長為1的正方形的邊上沿運動，表示動點由A點出發(fā)所經(jīng)過的路程，表示的面積，則函數(shù)的大致圖像是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】分，，求出解析式，然后可知圖象.【詳解】當時，，是一條過原點的線段；當時，，是一段平行于軸的線段；當時，，圖象為一條線段.【鞏固練習2】（2024·廣東佛山·模擬預測）如圖，點在邊長為1的正方形邊上運動，是的中點，當點沿運動時，點經(jīng)過的路程與的面積的函數(shù)的圖象的形狀大致是（

）A．B．C．D．E．均不是【答案】A【解析】當點在上時，，當點在上時，，當點在上時，，其中A選項符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正確.【題型4】表達式含參數(shù)的圖象根據(jù)參數(shù)的不同情況對每個選項逐一分析，推斷出合理的圖像位置關系，排除相互矛盾的位置關系，以得出正確選項．（多選）我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休.”在數(shù)學的學習和研究中，常用兩數(shù)的圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式琢磨函數(shù)圖象的特征，如函數(shù)（且）的圖像的大致形狀可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】BD【分析】按和分類，結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象判斷即得.【詳解】當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，在上遞增，，當時，在上遞減，，A不滿足，D符合題意；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，在上遞減，，當時，在上遞增，，C不滿足，B符合題意.（2024·重慶·模擬預測）已知函數(shù)，為實數(shù)，的導函數(shù)為，在同一直角坐標系中，與的大致圖象不可能是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由可得對于，當時，在第一象限上遞減，對應圖象在第四象限且遞增，故A項符合；對于在第一象限上與的圖象在上都單調(diào)遞增，故且，則.又由可得，即與的圖象交點橫坐標應大于1，顯然C項不符合，B,D項均符合.設為常數(shù)，若，則函數(shù)的圖象必定不經(jīng)過第象限【答案】二【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象的平移可得.【詳解】已知,則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，過定點，且，函數(shù)的圖象是由函數(shù)函數(shù)向下平移個單位，作出函數(shù)的圖象，可知圖象必定不經(jīng)過第二象限.故答案為：二.【鞏固練習1】（多選）函數(shù)與在同一直角坐標系中的圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)各選項中二次函數(shù)圖象特征確定的正負，再觀察冪函數(shù)圖象判斷即得.【詳解】對于A，二次函數(shù)開口向上，則，此時存在與圖中符合，如，A可能；對于B，二次函數(shù)開口向下，則，此時存在與圖中符合，如，B可能；對于C，二次函數(shù)開口向上，則，此時存在與圖中符合，如，C可能；對于D，二次函數(shù)開口向上，則，此時在為增函數(shù)，不符合，D不可能.本號#資料全部來源于微信公眾號：*數(shù)學第六感故選：ABC【鞏固練習2】（23-24高三上·江蘇揚州·期末）（多選）已知函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用奇偶性求對應參數(shù)a的值，再由指數(shù)型函數(shù)性質(zhì)判斷時的函數(shù)值符號，即可得答案.【詳解】由已知得，若為偶函數(shù)，則恒成立，所以恒成立，故，則，所以時有，顯然C對，D錯；若為奇函數(shù)，則恒成立，所以恒成立，故，則，所以時有，顯然B對，A錯【鞏固練習3】（2024高三·全國·專題練習）（多選）函數(shù)的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】ABD【分析】首先根據(jù)選項中圖象的對稱性得出，選項A和B關于原點對稱，為奇函數(shù)，求出，即可判斷；選項C和D關于軸對稱，為偶函數(shù)，求出，根據(jù)值域即可判斷．【詳解】A，B選項中，圖象關于原點對稱，若為奇函數(shù)，則，即，解得，當時，，當，且單調(diào)遞增，所以當時，且單調(diào)遞減，的圖象為選項A；當時，，當，且單調(diào)遞增，所以且單調(diào)遞增，所以的圖象為選項B；而C，D選項中，圖象關于y軸對稱，所以若為偶函數(shù)，則，即，所以；當時，，，即，故的圖象為選項D，不可能為選項C【題型5】函數(shù)圖象的平移，伸縮，對稱，翻折變換圖像的變換（1）平移變換①函數(shù)的圖像是把函數(shù)的圖像沿軸向左平移個單位得到的；②函數(shù)的圖像是把函數(shù)的圖像沿軸向右平移個單位得到的；③函數(shù)的圖像是把函數(shù)的圖像沿軸向上平移個單位得到的；④函數(shù)的圖像是把函數(shù)的圖像沿軸向下平移個單位得到的；本號資料全部來源于*微信公眾號：數(shù)#學第六感（2）對稱變換①函數(shù)與函數(shù)的圖像關于軸對稱；函數(shù)與函數(shù)的圖像關于軸對稱；函數(shù)與函數(shù)的圖像關于坐標原點對稱；②若函數(shù)的圖像關于直線對稱，則對定義域內(nèi)的任意都有或（實質(zhì)上是圖像上關于直線對稱的兩點連線的中點橫坐標為，即為常數(shù)）；若函數(shù)的圖像關于點對稱，則對定義域內(nèi)的任意都有③的圖像是將函數(shù)的圖像保留軸上方的部分不變，將軸下方的部分關于軸對稱翻折上來得到的（如圖（a）和圖（b））所示④的圖像是將函數(shù)的圖像只保留軸右邊的部分不變，并將右邊的圖像關于軸對稱得到函數(shù)左邊的圖像即函數(shù)是一個偶函數(shù)（如圖（c）所示）．注：的圖像先保留原來在軸上方的圖像，做出軸下方的圖像關于軸對稱圖形，然后擦去軸下方的圖像得到；而的圖像是先保留在軸右方的圖像，擦去軸左方的圖像，然后做出軸右方的圖像關于軸的對稱圖形得到．這兩變換又叫翻折變換．⑤函數(shù)與的圖像關于對稱．（3）伸縮變換①的圖像，可將的圖像上的每一點的縱坐標伸長或縮短到原來的倍得到．②的圖像，可將的圖像上的每一點的橫坐標伸長或縮短到原來的倍得到．函數(shù)的圖象為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】利用特殊點法與圖象平移即可得解.【詳解】因為，所以當時，，故排除ABC，本號資料*全部來源#于微信公眾號：數(shù)學第六感又的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移一個單位得到，則D正確.（2024·重慶·三模）設函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先推導出，即函數(shù)的對稱中心為，再根據(jù)函數(shù)的平移只需將函數(shù)向右平移個單位，向上平移個單位，得到函數(shù)，則該函數(shù)關于對稱，即可判斷.【詳解】因為定義域為，則，所以函數(shù)的對稱中心為，所以將函數(shù)向右平移個單位，向上平移個單位，得到函數(shù)，該函數(shù)的對稱中心為，故函數(shù)為奇函數(shù).已知函數(shù)的圖象如圖1所示，則圖2所表示的函數(shù)是（

）本號資#料全部來源于微信公眾*號：數(shù)學第六感A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖知，將的圖象關于軸對稱后再向下平移個單位即得圖2，又將的圖象關于軸對稱后可得函數(shù)，再向下平移個單位，可得所以解析式為【鞏固練習1】（2024·四川南充·二模）已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象（

）A．關于點對稱 B．關于點對稱C．關于點對稱 D．關于點對稱【答案】A【分析】首先判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)平移規(guī)則判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，又，所以為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關于原點對稱，又的圖象是由的圖象向右平移個單位，再向上平移個單位得到，所以函數(shù)的圖象關于點對稱.【鞏固練習2】（2024·江西贛州·二模）已知函數(shù)的圖象的一部分如下左圖，則如下右圖的函數(shù)圖象所對應的函數(shù)解析式（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】①關于y軸對稱②向右平移1個單位③縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话搿眷柟叹毩?】（2024·遼寧·三模）已知對數(shù)函數(shù)，函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的3倍，得到函數(shù)的圖象，再將的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象恰好與函數(shù)的圖象重合，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖像變換法則求出函數(shù)的解析式，由條件列方程，解方程求解即可【詳解】因為將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的3倍，得到函數(shù)的圖象，所以，即，將的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式，因為所得圖象恰好與函數(shù)的圖象重合，所以，所以，又且，解得【題型6】利用函數(shù)圖像解不等式利用函數(shù)圖像求解不等式的解集及參數(shù)的取值范圍．先作出所研究對象的圖像，求出它們的交點，根據(jù)題意結(jié)合圖像寫出答案（2024·重慶·模擬預測）已知函數(shù)是定義在上周期為4的奇函數(shù)，且，則不等式在上的解集為（

）*本號資料全部來源于微信公眾*號：數(shù)學第六感A． B．C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)的圖象向右平移1個單位長度，作出函數(shù)在上的圖象，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】因為函數(shù)是定義在R上周期為4的奇函數(shù)，且，所以當時，；當時，，所以；當時，，所以，函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移1個單位長度得到，作出函數(shù)在上的圖象，如圖所示．由圖可知不等式在上的解集為．【鞏固練習1】（2024·高三·江西·期中）已知函數(shù)，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題知在同一坐標系下畫出，圖象如下所示：由圖可知的解集為.【鞏固練習2】已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，則或，解得或或.令，則或，解得或.畫出函數(shù)圖象的草圖（如圖），得滿足的的取值范圍為.故選:D.

【題型7】利用函數(shù)圖像研究函數(shù)的性質(zhì)、最值利用函數(shù)圖像求函數(shù)的最值，先做出所涉及到的函數(shù)圖像，根據(jù)題目對函數(shù)的要求，從圖像上尋找取得最值的位置，計算出結(jié)果，這體現(xiàn)出了數(shù)形結(jié)合的思想．用表示a，b，c三個數(shù)中的最小值，則函數(shù)的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】在一個坐標系中畫出的圖像，從左到右，取橫坐標對應的縱坐標小的點構成新的圖像，如圖：其中A點，即與的交點，其縱坐標即為所求聯(lián)立，解得，函數(shù)的最大值為3【鞏固練習1】對，，記，則函數(shù)的最小值為．【答案】/1.5【解析】函數(shù)是函數(shù)與函數(shù)同一個取得的兩個函數(shù)值的較大的值，作函數(shù)與函數(shù)的圖象如下，由圖象可知，令，得或，故當時，的最小值為．【鞏固練習2】已知，設函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.若，則正實數(shù)的最大值為.【答案】【解析】畫出的圖象如下：故，由圖象可知，當時，取得最小值，最小值為，此時，，則①，故只需要②，將①代入②得，化簡得，解得，故正實數(shù)的最大值為.【題型8】利用函數(shù)圖像分析交點的個數(shù)利用函數(shù)圖像判斷方程解的個數(shù)．由題設條件作出所研究對象的圖像，利用圖像的直觀性得到方程解的個數(shù)．函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連