導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值與最值【8類題型】（老師版）

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專題3-4導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值與最值近5年考情（2020-2024）考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求2024年I卷第10題，6分導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值、最值是高考數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)。函數(shù)極值每年必考，題型多樣，難度適中。最值問題則常作為熱點(diǎn)和難點(diǎn)，常與函數(shù)單調(diào)性、方程和不等式相結(jié)合，考查綜合應(yīng)用能力。高考常通過求函數(shù)在特定條件下的最值或根據(jù)最值條件求參數(shù)范圍來考查學(xué)生的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用能力和解題技巧。這類題型要求學(xué)生熟練掌握導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，靈活應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)，具有較強(qiáng)的邏輯思維和解題能力（1）求導(dǎo)判斷單調(diào)性（2）找極值點(diǎn)并分析性質(zhì)（3）確定最值位置并求解（4）結(jié)合不等式求參數(shù)范圍（5）考察綜合運(yùn)用能力2024年II卷第16題，5分2024年II卷第11題，6分2024年甲卷第21題2023年乙卷第21題2023年II卷第22題2022年乙卷第16題，5分2022年甲卷第6題，5分2022年I卷第10題，5分本*號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感模塊一模塊一總覽熱點(diǎn)題型解讀（目錄）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】函數(shù)的極值與極值點(diǎn)【題型2】利用圖像判斷極值【題型3】由極值或極值點(diǎn)求參數(shù)的值【題型5】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）【題型7】求含參函數(shù)的最值【題型6】根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)的值【題型4】由極值，極值點(diǎn)求參數(shù)范圍【重點(diǎn)題型】【題型6】根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)范圍【題型8】函數(shù)極值、最值的綜合應(yīng)用模塊二模塊二核心題型·舉一反三【題型1】函數(shù)的極值與極值點(diǎn)1.極值點(diǎn)與極值的概念極值與單調(diào)性一樣，都是函數(shù)的局部性質(zhì)(1)極小值點(diǎn)與極小值如圖，函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則把a(bǔ)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值.(2)極大值點(diǎn)與極大值如圖，函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則把b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值.極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.2.求函數(shù)y＝f(x)的極值的方法解方程f′(x)＝0，當(dāng)f′(x0)＝0時：(1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值；(2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，那么f(x0)是極小值.（2024·遼寧鞍山·二模）的極大值為．【答案】【解析】，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故有極大值.（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）函數(shù)的極小值點(diǎn)為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而可得極小值點(diǎn).【詳解】因?yàn)?，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故極小值點(diǎn)為2．（23-24高三上·陜西咸陽·階段練習(xí)）函數(shù)的（

）A．極小值點(diǎn)為 B．極小值點(diǎn)為C．極大值點(diǎn)為 D．極大值點(diǎn)為【答案】B【分析】求得，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合極值點(diǎn)的定義，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，令，解得；令，解得.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在處取得極小值.【鞏固練習(xí)1】（23-24高三·湖北孝感·階段練習(xí)）函數(shù)的極大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極大值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，則或，所以當(dāng)或時，當(dāng)時，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為．【鞏固練習(xí)2】（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，過點(diǎn)和.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值點(diǎn)為.【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號確定原函數(shù)的單調(diào)性，可直接寫出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；分析原函數(shù)的單調(diào)性，可以得到函數(shù)的極大值點(diǎn).【詳解】如圖：導(dǎo)函數(shù)的圖象過點(diǎn)和，則當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增.∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值點(diǎn)為.【鞏固練習(xí)3】函數(shù)的極小值點(diǎn)為.【答案】【分析】對原函數(shù)求導(dǎo)，求出其單調(diào)區(qū)間，從而得到極小值點(diǎn).【詳解】由題意得，令，可得，所以在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，所以處，取得極小值，所以極小值點(diǎn)為.【題型2】利用圖像判斷極值利用函數(shù)圖像判斷極值的方法主要是觀察圖像在特定點(diǎn)附近的單調(diào)性變化。若圖像在某點(diǎn)由上升轉(zhuǎn)為下降，則該點(diǎn)為極大值點(diǎn)；若由下降轉(zhuǎn)為上升，則為極小值點(diǎn)。通過比較該點(diǎn)與其鄰近點(diǎn)的函數(shù)值大小，可進(jìn)一步確認(rèn)極值點(diǎn)的存在。這種方法直觀且有效，適用于可直觀觀察的圖像。已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（

）A．B．函數(shù)在x＝c處取得最大值，在處取得最小值C．函數(shù)在x＝c處取得極大值，在處取得極小值D．函數(shù)的最小值為【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定的單調(diào)性，從而比較函數(shù)值的大小及極值情況，對四個選項(xiàng)作出判斷.【詳解】由題圖可知，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又a<b<c，所以，故A不正確．因?yàn)?，，且?dāng)時，；當(dāng)c<x<e時，；當(dāng)x>e時，．所以函數(shù)在x＝c處取得極大值，但不一定取得最大值，在x＝e處取得極小值，不一定是最小值，故B不正確，C正確．由題圖可知，當(dāng)時，，所以函數(shù)在[d，e]上單調(diào)遞減，從而，所以D不正確．【鞏固練習(xí)1】設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A．函數(shù)在上為增函數(shù) B．函數(shù)在上為增函數(shù)C．函數(shù)有極大值和極小值 D．函數(shù)有極大值和極小值【答案】AD【分析】結(jié)合的圖象，分析的取值情況，即可得到的單調(diào)性與極值點(diǎn).【詳解】由圖可知當(dāng)時，所以，當(dāng)時，所以，當(dāng)時，所以，當(dāng)時，所以，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故A正確，B錯誤，則在處取得極大值，處取得極小值，即函數(shù)有極大值和極小值，故C錯誤，D正確.【鞏固練習(xí)2】如圖，可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，設(shè)，則下列說法正確的是（

）A． B．C．是的極大值點(diǎn) D．是的極小值點(diǎn)【答案】C【解析】因函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，即，則，于是，，由圖知，當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，此時.對于B項(xiàng)，由上分析，B項(xiàng)顯然錯誤；對于C,D項(xiàng)，由上分析，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減,即當(dāng)時，取得極大值，且，故C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯誤；對于A項(xiàng)，由上分析時，取得極大值，也是最大值，則有，故A項(xiàng)錯誤.【鞏固練習(xí)3】（23-24高三·吉林長春·期中）（多選）已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)和的導(dǎo)函數(shù)、圖象如圖所示，則關(guān)于函數(shù)的判斷正確的是（

）A．有1個極大值點(diǎn)和2個極小值點(diǎn) B．有2個極大值點(diǎn)和1個極小值點(diǎn)C．有最大值 D．有最小值【答案】BC【分析】圖象可知，的圖象有三個不同交點(diǎn)，將其橫坐標(biāo)按從小到大依次設(shè)為，則，結(jié)合圖象，利用導(dǎo)數(shù)判定的單調(diào)性，即可得到極值點(diǎn).【詳解】根據(jù)的圖象可得，與的圖象有三個不同的交點(diǎn)，設(shè)這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，滿足，其中.由圖可知，當(dāng)時，，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞減.綜上所述，函數(shù)分別在時取得極大值，在時取得極小值,即函數(shù)有2個極大值點(diǎn)和1個極小值點(diǎn),故B項(xiàng)正確，A項(xiàng)錯誤；因時，的趨近值未知，時，的趨近值也未知，故無法判斷函數(shù)的最小值能否取得，但因函數(shù)分別在時取得極大值，故可取與中的較大者作為函數(shù)的最大值，故C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯誤.【題型3】由極值或極值點(diǎn)求參數(shù)的值由極值或極值點(diǎn)求參數(shù)值，通常需先對函數(shù)求導(dǎo)，找到極值點(diǎn)對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)等于零的方程。然后，將極值或極值點(diǎn)的坐標(biāo)代入原函數(shù)或?qū)?shù)方程中，解出參數(shù)值。（2024·青?！つM預(yù)測）已知函數(shù)的極值點(diǎn)為a，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn)，再代入求出函數(shù)值.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此是的極小值點(diǎn)，且是唯一極值點(diǎn)，所以，.（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若不是的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù).【答案】3【解析】由，設(shè)，若不是函數(shù)的極值點(diǎn)，則必有，即，所以．當(dāng)時，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此是的極值點(diǎn)，不是極值點(diǎn)，滿足題意，故．（2024·寧夏銀川·一模）若函數(shù)在處取得極大值，則的極小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意求出的值，進(jìn)而求出，再解出極小值即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極大值，則，且，即，所以；所以，，令，則或，由，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)在處取得極大值，.【鞏固練習(xí)1】（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)在處有極值8，則等于．【答案】【分析】求導(dǎo)，即可由且求解，進(jìn)而代入驗(yàn)證是否滿足極值點(diǎn)即可．【詳解】若函數(shù)在處有極值8，則即解得：或，當(dāng)時，，此時不是極值點(diǎn)，故舍去；當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)，故是極值點(diǎn)，故符合題意，故，故.【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)，若是的極值點(diǎn)，求的極值．【答案】極大值為，極小值為【分析】首先確定函數(shù)的定義域，由是的極值點(diǎn)，所以，解得，再求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，由是的極值點(diǎn)，所以，解得，所以，令，所以，所以，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，所以，.【鞏固練習(xí)3】（23-24高二上·天津?yàn)I海新·期中）函數(shù)在處有極小值，則的值等于（

）A．0 B． C． D．6【答案】A【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，利用以及解出，進(jìn)而得出答案．本號資#料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感【詳解】由題意得，因?yàn)樵谔幱袠O小值，所以，解得，所以，令，解得或，故函數(shù)在和上為增函數(shù)，令，解得，故函數(shù)在上為減函數(shù)，所以在處有極小值，符合題意，所以【鞏固練習(xí)4】已知函數(shù)在處取得極小值，則的值為．【答案】【解析】由求導(dǎo)，，依題意，，即，解得或.當(dāng)，時，，，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，即時，函數(shù)取得極小值，符合題意，此時；當(dāng)，時，，，因，即函數(shù)在上為增函數(shù)，無極值，與題意不符，舍去.【題型4】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的詳細(xì)步驟如下：求導(dǎo)數(shù)：首先，對給定的函數(shù)求導(dǎo)，得到其導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。找臨界點(diǎn)：令導(dǎo)數(shù)等于0，解方程找出所有使導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)，這些點(diǎn)稱為駐點(diǎn)或臨界點(diǎn)。檢查函數(shù)定義域內(nèi)是否有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)（如分母為0的點(diǎn)），這些點(diǎn)也是臨界點(diǎn)。判斷單調(diào)性：在每個臨界點(diǎn)之間及臨界點(diǎn)兩側(cè)選取測試點(diǎn)，代入導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，判斷導(dǎo)數(shù)的符號。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號變化，確定函數(shù)在這些區(qū)間上的單調(diào)性（增或減）。#本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感求最值：在每個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)要么沒有最值（如果區(qū)間是開區(qū)間），要么最值出現(xiàn)在區(qū)間的端點(diǎn)或臨界點(diǎn)處。對于閉區(qū)間，還需要檢查區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值。比較所有候選點(diǎn)的函數(shù)值，確定函數(shù)在該區(qū)間上的最大值和最小值。注意：對于實(shí)際應(yīng)用問題，還需要考慮函數(shù)的實(shí)際定義域和約束條件。（23-24高三·河南商丘·期末）已知函數(shù)在處取得極小值1，則在區(qū)間上的最大值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)在處取得極小值1求出，利用導(dǎo)數(shù)判斷出區(qū)間上的單調(diào)性，求出極值、端點(diǎn)值可得答案.本號資料*全部來源于微信公#眾號：數(shù)學(xué)第六感【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極小值1，所以，解得，可得，且，解得，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，，，，則在區(qū)間上的最大值為6.（2024·浙江杭州·二模）函數(shù)的最大值為．【答案】【解析】令，則，故，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即函數(shù)的最大值為.【鞏固練習(xí)1】（23-24高三·湖南益陽·期中）已知（a為常數(shù)）在上有最大值3，則此函數(shù)在上的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)的最大值求出a，即可求出函數(shù)的最小值．【詳解】由題意可知：，令，解得；令，解得；可知在上單調(diào)遞增，則上單調(diào)遞減，則函數(shù)的最大值為，此時，且，，可知當(dāng)時，函數(shù)取得最小值為.【鞏固練習(xí)2】函數(shù)的最小值為．【答案】【解析】∵函數(shù)，∴，令，得，當(dāng)時，，為減函數(shù)，當(dāng)時，，為增函數(shù)，∴在處取極小值，也是最小值，∴函數(shù)最小值為.【題型5】求含參函數(shù)的最值求含參函數(shù)最值步驟：先對參數(shù)分類討論，再對每類求導(dǎo)找極值點(diǎn)，結(jié)合邊界點(diǎn)比較確定最值。已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求在處的切線方程；(2)討論在區(qū)間上的最小值.【解析】（1）當(dāng)時，，則，所以，本號資料全部來源于*微信公眾號：數(shù)學(xué)第六*感則在處的切線方程為，即，所以當(dāng)時，函數(shù)在處的切線方程為．（2）函數(shù)，則，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)的最小值；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值；當(dāng)時，函數(shù)的最小值．綜上可得.【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；本號資料全部來源于微*信公眾號：數(shù)學(xué)第六感(2)求在上的最小值.【解析】（1）當(dāng)時，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)有極小值，無極大值.綜上：的減區(qū)間是，增區(qū)間是，極小值為0，無極大值.（2），當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以；本號資料全部來源于微信公眾號：*數(shù)學(xué)*第六感當(dāng)時，令，得，（?。┊?dāng)時，則，所以在上單調(diào)遞增，所以；（ⅱ）當(dāng)時，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則；綜上：當(dāng)時，在上的最小值為；當(dāng)時，在上的最小值為.【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求在上的最小值.【解析】（1）當(dāng)時，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)有極小值，無極大值.綜上：的減區(qū)間是，增區(qū)間是，極小值為0，無極大值.（2），當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時，令，得，（?。┊?dāng)時，則，所以在上單調(diào)遞增，所以；（ⅱ）當(dāng)時，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則；綜上：當(dāng)時，在上的最小值為；當(dāng)時，在上的最小值為.【題型6】根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)的值根據(jù)最值條件建立方程，解方程求參數(shù)，驗(yàn)證解符合題意。若函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的最小值為0，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．－2 B．－1 C．2 D．【答案】C【分析】對函數(shù)求導(dǎo)后，分和兩種情況求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最小值，使最小值等于零，從而可出實(shí)數(shù)a的值【詳解】由，得，當(dāng)時，在上恒成立，所以在上遞增，所以，解得（舍去），當(dāng)時，由，得或，當(dāng)時，在上恒成立，所以在上遞增，所以，解得（舍去），當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，所以，解得（舍去），當(dāng)時，當(dāng)時，，所以在上遞減，所以，解得，綜上，【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)（為常數(shù)），在區(qū)間上有最大值，那么此函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，函數(shù)，可得，令，即，解得或（舍去）．當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時取最小值，而，即最大值為，所以，所以此函數(shù)在區(qū)間上的最小值為本號資料全部來源于微信公眾號#：數(shù)學(xué)第#六感【鞏固練習(xí)2】若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是4，則m的值為(

)A．3 B．1 C．2 D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)函數(shù)求出在上的單調(diào)性，然后結(jié)合已知條件即可求解.【詳解】，令，解得或，當(dāng)時，；當(dāng)時，或，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，則，所以在區(qū)間上的最大值為，解得．本號資料全部來源*于微信公眾號：數(shù)#學(xué)第六感【鞏固練習(xí)3】已知，若函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)的最大值為.【答案】/【解析】當(dāng)時，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，且，當(dāng)時，，若，在上單調(diào)遞增，此時沒有最小值，若，在上單調(diào)遞減，要想函數(shù)有最小值，則，解得，故實(shí)數(shù)的最大值為.【題型7】由極值，極值點(diǎn)求參數(shù)范圍【重點(diǎn)題型】一、根據(jù)極值或極值點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)范圍首先需對函數(shù)求導(dǎo)并分析其導(dǎo)數(shù)。根據(jù)導(dǎo)數(shù)等于零的解的個數(shù)，結(jié)合二階導(dǎo)數(shù)判斷極值點(diǎn)類型（極大值或極小值）。然后，利用給定的極值個數(shù)或極值點(diǎn)個數(shù)條件，建立關(guān)于參數(shù)的不等式或方程。最后，解這些不等式或方程，得到參數(shù)的取值范圍。注意，解可能需分類討論，確保全面覆蓋所有情況。二、根據(jù)函數(shù)有（無）極值點(diǎn)求參數(shù)范圍函數(shù)有無極值，需分析其一階導(dǎo)數(shù)。首先求導(dǎo)，觀察導(dǎo)數(shù)是否可能為零。若方程無解或解不滿足極值條件（如二階導(dǎo)數(shù)為零），則無極值；若有解且滿足極值條件，則有極值。根據(jù)有無極值的條件，建立關(guān)于參數(shù)的不等式或方程。解不等式或方程，得到參數(shù)的取值范圍，區(qū)分出函數(shù)有無極值的情況。三、函數(shù)在某區(qū)間上存在極值點(diǎn)求參數(shù)范圍函數(shù)在某區(qū)間上存在極值點(diǎn)，需先求導(dǎo)并令其為零，轉(zhuǎn)化為在該區(qū)間上有解，建立關(guān)于參數(shù)的不等式或方程。解這些不等式或方程，得到參數(shù)的取值范圍，確保函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)存在極值點(diǎn)。（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知函數(shù)在上無極值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，討論x的取值范圍可得結(jié)果.【詳解】由題意得，，故，因?yàn)楹瘮?shù)在上無極值，所以在R上恒成立，當(dāng)時，，設(shè)，則，當(dāng)時，得，當(dāng)時，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，故，當(dāng)時，，則.綜上，.（2024·河北秦皇島·三模）已知0是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分類討論、與三種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與極值點(diǎn)的定義即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，令，可得或，?dāng)，即時，令，得或；令，得；所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)，即時，恒成立，則在上單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)，即時，令，得或；令，得；所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不滿足題意；綜上，，即的取值范圍為.（2024·高三·陜西咸陽·期中）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋x域?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)既有極大值也有極小值，所以方程有兩個不相等的正根，設(shè)兩根為，則有，解得，所以的取值范圍為，（23-24高三上·廣東潮州·期末）若函數(shù)在上有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得在上有零點(diǎn)，即在上有實(shí)數(shù)根，利用基本不等式求出的最小值，可得，再驗(yàn)證是否滿足即可.【詳解】的定義域?yàn)?，，要函?shù)在上有極值，則在上有零點(diǎn)，即在上有實(shí)數(shù)根.令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以.當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，則函數(shù)在上沒有極值（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，則方程在時有兩個根，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值域，即可得【詳解】因?yàn)椋?，所以在時有兩個變號根，令，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以與，所以，（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有極值點(diǎn)在閉區(qū)間上，則的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】對求導(dǎo)，求出的單調(diào)性和極值，可得或，解不等式即可得出答案.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，令，解得：或，令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以為的極大值點(diǎn)，為的極小值點(diǎn)，所以或，解得：或.所以的取值范圍為：.（2024·新高考2卷真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）解法一：求導(dǎo)，分析和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可；解法二：求導(dǎo)，可知有零點(diǎn)，可得，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性和極值，分析可得，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)時，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，即.（2）解法一：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，若，則對任意恒成立，可知在上單調(diào)遞增，無極值，不合題意；若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無極大值，由題意可得：，即，構(gòu)建，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價于，解得，所以a的取值范圍為；解法二：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，若有極小值，則有零點(diǎn)，令，可得，可知與有交點(diǎn)，則，若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無極大值，符合題意，由題意可得：，即，構(gòu)建，因?yàn)閯t在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價于，解得，所以a的取值范圍為.【鞏固練習(xí)1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）若函數(shù)有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，依題意可得在上有變號零點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到，解得即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)有極值，所以在上有變號零點(diǎn)，即在上有解（若有兩個解，則兩個解不能相等），因?yàn)槎魏瘮?shù)的對稱軸為，開口向上，所以只需，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【鞏固練習(xí)2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）若函數(shù)在區(qū)間上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合函數(shù)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，結(jié)合零點(diǎn)存在定理列出不等式組即可求解.【詳解】已知，由題意知在內(nèi)有變號零點(diǎn)，顯然在單調(diào)遞增，故原條件等價于，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【鞏固練習(xí)3】（2024·廣東佛山·二模）若函數(shù)（）既有極大值也有極小值，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得函數(shù)在上有兩個零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，又函?shù)既有極大值也有極小值，所以函數(shù)在上有兩個零點(diǎn)，由，所以方程有兩個不同的正實(shí)數(shù)，所以，即.【鞏固練習(xí)4】（2024·重慶·三模）（多選）若函數(shù)既有極小值又有極大值，則（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)題意，求得，轉(zhuǎn)化為在上有兩個不同的實(shí)數(shù)根，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因?yàn)榧扔袠O小值又有極大值，可得方程在上有兩個不同的實(shí)數(shù)根，則滿足，可得，所以，，，例如：時，滿足上式，此時不成立．【鞏固練習(xí)5】若函數(shù)存在唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】，則，若函數(shù)存在唯一極值點(diǎn)，則在上有唯一的根，所以由可得，則有唯一的根，直線與函數(shù)的圖象有一個交點(diǎn)（非切點(diǎn)），又，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，函數(shù)的極大值為，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，則函數(shù)得圖象如下圖所示：所以，當(dāng)時，即當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有一個交點(diǎn)（非切點(diǎn)），因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【鞏固練習(xí)6】（23-24高三·湖北武漢·期末）已知函數(shù)，則“有兩個極值”的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可知有兩個不等的實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為方程有兩個實(shí)根，再次轉(zhuǎn)化為的圖象與有兩個不同的交點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)區(qū)間，畫出的圖象，結(jié)合圖象求解即可.【詳解】的定義域?yàn)?，則，因?yàn)橛袃蓚€極值，所以有兩個不等的實(shí)數(shù)解，由，得，令，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞增，在上遞減，因?yàn)椋?，所以?dāng)時，，當(dāng)時，，所以的圖象如圖所示，

由圖可知當(dāng)時，的圖象與的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，即有兩個極值，因?yàn)槭堑恼孀蛹浴坝袃蓚€極值”的一個必要不充分條件是 【鞏固練習(xí)7】（23-24高三·廣東廣州·期中）函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求導(dǎo)，根據(jù)極值分析可得與有2個變號交點(diǎn)，對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性和最值，結(jié)合的圖象分析求解.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，令，可得，由題意可知與有2個變號交點(diǎn)，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，可得，且當(dāng)x趨近于0，趨近于，當(dāng)x趨近于，趨近于0，可得的圖象，如圖所示：由圖象可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題型8】根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)范圍本號資料#全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六#感根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù)范圍題型，關(guān)鍵在于建立最值條件與參數(shù)之間的不等式或等式關(guān)系。首先，需明確函數(shù)在給定條件下的最值形式（如最大值、最小值等于某值）。然后，通過導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，找到可能的極值點(diǎn)，并結(jié)合定義域邊界點(diǎn)，確定最值的具體位置。最后，將最值條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的方程或不等式，求解得到參數(shù)的取值范圍。此題型考察函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用及不等式求解能力。若函數(shù)在內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值點(diǎn)，從而得到關(guān)于的不等式組，解得即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，令可得或（舍），?dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，即最小值，又因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)有最小值，故，解得，所以的取值范圍是.（2024·廣西南寧·一模）已知函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)a的符號分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性研究函數(shù)最值即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，若，則時，，故在上單調(diào)遞減，時，，故在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，有最小值，滿足題意；若，則當(dāng)無限趨近于負(fù)無窮大時，無限趨向于負(fù)無窮大，沒有最小值，不符合題意；綜上，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【鞏固練習(xí)1】已知在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，確定函數(shù)的極小值點(diǎn)，結(jié)合題意列出不等式組，即可求得答案.【詳解】由函數(shù)，可得，當(dāng)或時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，即為函數(shù)的極小值點(diǎn)；要使得函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則滿足，即，因?yàn)?，可得，即，解得，所以，即?shí)數(shù)的取值為.【鞏固練習(xí)2】（2024·河南南陽·一模）已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則整數(shù)的一個取值可以是．【答案】（答案不唯一，中的任意整數(shù)均可）【分析】將問題“在上有最小值”轉(zhuǎn)化為在上有變號零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值左負(fù)右正，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布求解即可.【詳解】由可知，，又在上有最小值，所以在上有變號零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值左負(fù)右正，令，則在上有變號零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值左負(fù)右正，所以，解得，又因?yàn)?，所?故答案為：（答案不唯一，中的任意整數(shù)均可）.【鞏固練習(xí)3】（23-24高三下·福建·開學(xué)考試）已知函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定極小值點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，列出相應(yīng)不等式，即可求得答案.【詳解】由題意得．當(dāng)時，得或，當(dāng)時，，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，．減區(qū)間為，即時，函數(shù)取得極小值，

當(dāng)時，即，解得或，故要使函數(shù)在區(qū)間上存在