1.4.1用空間向量研究直線平面的位置關(guān)系（第2課時用空間向量研究直線平面的垂直關(guān)系）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊第一章空間向量與立體幾何1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系第2課時用空間向量研究直線、平面的垂直關(guān)系自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)空間中直線、平面的垂直1.空間中直線、平面的垂直

2.(1)若直線l的方向向量a=(1,0,2),平面α的法向量為n=(-2,0,-4),則(

)A.l∥α B.l⊥αC.l?α

D.l與α斜交(2)若平面α,β的法向量分別為m=(-1,2,4),n=(x,-1,-2),且α⊥β,則x的值為(

)解析:(1)∵n=(-2,0,-4)=-2(1,0,2)=-2a,∴n∥a.∴l(xiāng)⊥α.(2)∵α⊥β,∴它們的法向量互相垂直.∴m·n=0,即(-1,2,4)·(x,-1,-2)=0,解得x=-10.故選B.答案:(1)B

(2)B合作探究釋疑解惑探究一利用向量證明線線垂直【例1】

已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都為1,M是底面上BC邊的中點,N是側(cè)棱CC1上的點,且CN=CC1.求證:AB1⊥MN.則{a,b,c}構(gòu)成空間的一個基底.由已知條件和正三棱柱的性質(zhì),得|a|=|b|=|c|=1,a·c=b·c=0.證法二:設(shè)線段AB的中點為O,連接OC,作OO1∥AA1,交A1B1于點O1.由題意知,可以以O(shè)為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.反思感悟

利用空間向量證明兩條直線垂直的常用方法及步驟:(1)基向量法①選取三個不共線的已知向量(通常是它們的模及其兩兩夾角為已知)為空間的一個基底;②把兩條直線的方向向量用基底表示;③利用向量的數(shù)量積運(yùn)算,計算出兩直線的方向向量的數(shù)量積為0;④由方向向量垂直得到兩條直線垂直.(2)坐標(biāo)法①根據(jù)已知條件和圖形特征,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,正確地寫出各點的坐標(biāo);②根據(jù)所求出點的坐標(biāo)求出兩條直線方向向量的坐標(biāo);③計算兩條直線方向向量的數(shù)量積為0;④由方向向量垂直得到兩直線垂直.【變式訓(xùn)練1】

如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是矩形,AB=2,AD=1,AA1=3,M是BC的中點.在DD1上是否存在一點N,使MN⊥DC1?并說明理由.

解:存在點N∈DD1,使得MN⊥DC1,理由如下:以D為原點,DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DD1所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),C1(0,2,3),M.假設(shè)在DD1上存在一點N,使MN⊥DC1.設(shè)N(0,0,h),0≤h≤3,探究二利用向量證明線面垂直【例2】如圖所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,D為棱CC1的中點.求證:AB1⊥平面A1BD.證明:如圖所示,取BC的中點O,連接AO.因為△ABC為正三角形,所以AO⊥BC.又因為在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO?平面ABC,所以AO⊥平面BCC1B1.即AB1⊥BA1,AB1⊥BD.又因為BA1∩BD=B,所以AB1⊥平面A1BD.(方法二)設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),本例中增加條件:E,F分別是BC,BB1的中點,求證:EF⊥平面ADE.證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Exyz,所以EF⊥EA,EF⊥ED.又因為EA∩ED=E,所以EF⊥平面ADE.反思感悟

1.坐標(biāo)法證明線面垂直的兩種思路思路一:(1)建立空間直角坐標(biāo)系;(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示;(3)找出平面內(nèi)兩條相交直線,并用坐標(biāo)表示它們的方向向量;(4)分別計算兩組向量的數(shù)量積,得到數(shù)量積為0.思路二:(1)建立空間直角坐標(biāo)系;(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示;(3)求出平面的法向量;(4)證明直線的方向向量與平面的法向量平行.2.使用坐標(biāo)法證明時,如果平面的法向量很明顯,可以用思路二,否則常常選用思路一解決.【變式訓(xùn)練2】

如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是B1B,DC的中點,求證:AE⊥平面A1D1F.證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體的棱長為1,取z=1,則y=2.所以,n=(0,2,1)是平面A1D1F的一個法向量.探究三利用向量證明面面垂直【例3】

三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示,截面為三角形A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC.A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D為BC中點.證明:平面A1AD⊥平面BCC1B1.證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,所以BC⊥AD,BC⊥AA1.又AD∩AA1=A,所以BC⊥平面ADA1.因為BC?平面BCC1B1,所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.因為n1·n2=1-1+0=0,所以n1⊥n2.所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.反思感悟

1.利用空間向量證明面面垂直通?？梢杂袃蓚€途徑:一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直;二是直接求解兩個平面的法向量,由兩個法向量垂直,得證面面垂直.2.向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關(guān)系,恰當(dāng)建系或用基向量表示后,只需經(jīng)過向量運(yùn)算就可得到要證明的結(jié)果,思路方法“公式化”,降低了思維難度.【變式訓(xùn)練3】

在四面體ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E,F分別是AC,AD的中點,求證:平面BEF⊥平面ABC.證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz.∵∠BCD=90°,∴CD⊥BC.又AB⊥平面BCD,且CD?平面BCD,∴AB⊥CD.又AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.設(shè)n=(x,y,z)是平面BEF的法向量,【規(guī)范解答】

【典例】

在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是C1D1,C1B1的中點,G為CC1上任一點,tan∠ECD=4.(1)求證:AG⊥EF;(2)確定點G的位置,使AG⊥平面CEF,并說明理由.審題策略:(1)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法證明;(2)假設(shè)存在,設(shè)出點G的坐標(biāo),利用線面垂直這個條件求解.規(guī)范展示:因為ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,所以四邊形ABCD是正方形,設(shè)其邊長為2a.∠ECD是EC與底面所成的角,而∠ECD=∠CEC1,已知tan∠ECD=4,所以CC1=4EC1=4a.以A為原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),C(2a,2a,0),C1(2a,2a,4a),E(a,2a,4a),F(2a,a,4a),答題模板:第1步:設(shè)出正方形的邊長,計算棱柱的高?第2步:建立空間直角坐標(biāo)系?第3步:求相關(guān)點的坐標(biāo)?第4步:求出直線的方向向量的坐標(biāo),利用方向向量垂直,證明線線垂直?第5步:根據(jù)點G在CC1上,設(shè)出點G的坐標(biāo)?第6步:利用AG⊥CE,對應(yīng)向量的數(shù)量積為0,列出等式,得到點G