2023-2024學(xué)年廣東省惠州市博羅縣高二下學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2廣東省惠州市博羅縣2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共有8小題，每小題6分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把它選出后在答題卡規(guī)定的位置上用鉛筆涂黑.1.已知，則x的取值為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以或，解得．?jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.故選：B．2.下列求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗,故A正確；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：C3.若展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為160，則（）A.1 B.2 C.4 D.8〖答案〗A〖解析〗二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，則常數(shù)項(xiàng)為，解得.故選：A.4.已知函數(shù)，則（）A. B.2 C.3 D.〖答案〗A〖解析〗由，得，令，則，解得，故選：A5.開(kāi)學(xué)典禮上甲、乙、丙、丁、戊這5名同學(xué)從左至右排成一排上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng)，要求甲與乙相鄰且甲與丙之間恰好有1名同學(xué)的排法有（）種．A.12 B.16 C.20 D.24〖答案〗C〖解析〗若甲與丙之間為乙，即乙在甲、丙中間且三人相鄰，共有種情況，將三人看成一個(gè)整體，與丁戊兩人全排列，共有種情況，則此時(shí)有種排法；若甲與丙之間不是乙，先從丁、戊中選取1人，安排在甲、丙之間，有種選法，此時(shí)乙在甲的另一側(cè)，將四人看成一個(gè)整體，考慮之前的順序，有種情況，將這個(gè)整體與剩下的1人全排列，有種情況，此時(shí)有種排法，所以總共有種情況符合題意.故選：C．6.下圖示函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，給出下列命題：①，是函數(shù)的極小值點(diǎn)；②是函數(shù)的極大值點(diǎn)；③在處切線的斜率大于零；④在區(qū)間上單調(diào)遞增．則正確命題的序號(hào)是（）A.①② B.①④ C.②③ D.③④〖答案〗C〖解析〗①當(dāng)時(shí)，且左右兩側(cè)同時(shí)為正，此時(shí)單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，且左右兩側(cè)同時(shí)負(fù)，此時(shí)單調(diào)遞減，無(wú)極值點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；②當(dāng)時(shí)，且左側(cè)為正，右側(cè)為負(fù)，此時(shí)在的左側(cè)為單調(diào)遞增，右側(cè)為單調(diào)遞減，故是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故②正確；③由圖知，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，在處切線的斜率大于零，故③正確；④當(dāng)時(shí)，，故在為單調(diào)遞減，故④錯(cuò)誤；綜上可知，②③正確故選：C．7.我國(guó)中醫(yī)藥選出的“三藥三方”對(duì)治療新冠肺炎均有顯著效果，功不可沒(méi)，“三藥”分別為金花清感顆粒、連花清瘟膠囊、血必清注射液；“三方”分別為清肺排毒湯、化敗毒方、宣肺敗毒方.若某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機(jī)選出兩種，事件表示選出的兩種中至少有一藥，事件表示選出的兩種中有一方，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，所以.故選：D8.泰勒公式是一個(gè)用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式，得名于英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒．根據(jù)泰勒公式，有，其中，，，．現(xiàn)用上述式子求的值，下列選項(xiàng)中與該值最接近的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得當(dāng)時(shí)，于是,故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：共3小題，每小題滿分18分，共18分.在每題四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，取,則，則A正確；對(duì)B，根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)通式得的展開(kāi)式通項(xiàng)為，即，其中所以，故B正確；對(duì)C，取，則，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，取，則，將其與作和得，所以，故D正確；故選：ABD.10.袋中有大小相同8個(gè)小球，其中5個(gè)紅球，3個(gè)藍(lán)球．每次從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回．記“第一次摸球時(shí)摸到紅球”為事件，“第一次摸球時(shí)摸到藍(lán)球”為事件，“第二次摸球時(shí)摸到紅球”為事件，“第二次摸球時(shí)摸到藍(lán)球”為事件，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，故D正確．故選：ABD．11.定義階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)（，），即，分別記作.設(shè)函數(shù)，不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值可能為（）A. B.1 C. D.〖答案〗BD〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，，所以，所以?duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，令，，則，，，令，得，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，故選:BD.三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共16分.把〖答案〗填在答題卷相應(yīng)橫線上.12.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖像在處的切線方程為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由，得，則，所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即．故〖答案〗為：．13.從七名運(yùn)動(dòng)員中選出名參加米接力賽，其中運(yùn)動(dòng)員不跑第一棒，運(yùn)動(dòng)員不跑第二棒，則不同安排方案有____________種.〖答案〗〖解析〗若運(yùn)動(dòng)員跑第一棒，則從剩下的六名運(yùn)動(dòng)員中任選三名跑另外三棒，有種；若運(yùn)動(dòng)員不跑第一棒，也不能跑第二棒，則從除外的五名運(yùn)動(dòng)員中，任選一名跑第一棒，有，從除和已經(jīng)排好的人以外的五名運(yùn)動(dòng)員中任選一名跑第二棒，有，再?gòu)氖Ｏ碌奈迕\(yùn)動(dòng)員中任選兩名跑另外兩棒，有種，故不同安排方案有種.故〖答案〗為：.14.若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為_(kāi)_____．〖答案〗．〖解析〗由可得當(dāng)時(shí)，，即，令，易知恒成立，即在R上單調(diào)遞增，由可得；故，可得，即，又是單調(diào)遞增函數(shù)，故可得，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，故，可得．故〖答案〗：．四、解答題：本題共5個(gè)小題，共77分.把〖答案〗填在答題卷相應(yīng)空白上.15.已知函的圖象過(guò)點(diǎn)，且．（1）求的值：（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解：（1）由題意得，，因?yàn)?，所以，所以；?）由（1）得，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為．16.北京時(shí)間2021年8月8日，歷時(shí)17天的東京奧運(yùn)會(huì)落下帷幕，中國(guó)代表團(tuán)以38金、32銀、18銅打破4項(xiàng)世界紀(jì)錄，創(chuàng)造21項(xiàng)奧運(yùn)會(huì)紀(jì)錄的傲人成績(jī)，順利收官．作為“夢(mèng)之隊(duì)”的中國(guó)乒乓球隊(duì)在東京奧運(yùn)會(huì)斬獲4金3銀的好成績(jī)，參賽的7名選手全部登上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)．我國(guó)是乒乓球生產(chǎn)大國(guó)，某廠家生產(chǎn)了兩批同種規(guī)格的乒乓球，第一批占，次品率為：第二批占，次品率為．為確保質(zhì)量，現(xiàn)在將兩批乒乓球混合，工作人員從中抽樣檢查．（1）從混合的乒乓球中任取1個(gè)．（i）求這個(gè)乒乓球是合格品的概率；（ii）已知取到的是合格品，求它取自第一批乒乓球的概率．（2）從混合的乒乓球中有放回地連續(xù)抽取2次，每次抽取1個(gè)，記兩次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列．解：（1）（i）∵第一批占，次品率為；第二批占，次品率為，∴這個(gè)乒乓球是合格品的概率.（ii）已知取到的是合格品，它取自第一批乒乓球的概率；（2）由題意可得，X的所有可能取值為0，1，2，；；；故X的分布列為：X012P0.360.480.1617.已知函數(shù)．（1）討論的極值；（2）求在上的最小值．解：（1）由題意知：的定義域?yàn)?，；?dāng)時(shí)，，恒成立，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，若，；若，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；的極小值為，無(wú)極大值；綜上所述：當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，的極小值為，無(wú)極大值.（2）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，若，；若，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，；綜上所述：在上的最小值.18.某商家為了促銷，規(guī)定每位消費(fèi)者均可免費(fèi)參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng).活動(dòng)規(guī)則如下：在一不透明的紙箱中有9張相同的卡片，其中3張卡片上印有“中”字，3張卡片上印有“國(guó)”字，另外3張卡片上印有“紅”字.消費(fèi)者從該紙箱中不放回地隨機(jī)抽取3張卡片，若抽到的3張卡片上都印有同一個(gè)字，則獲得一張20元代金券；若抽到的3張卡片中每張卡片上的字都不一樣，則獲得一張10元代金券；若抽到的3張卡片是其他情況，則不獲得任何獎(jiǎng)勵(lì).（1）求某位消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中抽到的3張卡片上都印有“中”字的概率.（2）記隨機(jī)變量為某位消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獲得代金券的金額數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.（3）該商家規(guī)定，消費(fèi)者若想再次參加該項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，則每抽獎(jiǎng)一次需支付5元.若你是消費(fèi)者，請(qǐng)從收益方面來(lái)考慮是否愿意再次參加該項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，并說(shuō)明理由.解：（1）記“某位消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中抽到的3張卡片上都印有‘中’字”為事件，則.所以某位消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中抽到的3張卡片上都印有“中”字的概率是（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為，則，，.所以的分布列為01020.（3）記隨機(jī)變量為消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中的收益，則，所以，因此我不愿意再次參加該項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng).19.如圖，對(duì)于曲線，存在圓滿足如下條件：①圓與曲線有公共點(diǎn)，且圓心在曲線凹的一側(cè)；②圓與曲線在點(diǎn)處有相同的切線；③曲線的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（即曲線的二階導(dǎo)數(shù)）等于圓在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)（已知圓在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)等于）；則稱圓為曲線在點(diǎn)處的曲率圓，其半徑稱為曲率半徑．（1）求拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程；（2）求曲線的曲率半徑的最小值；（3）若曲線在和處有相同的曲率半徑，求證：．解：（1）記，設(shè)拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程為，其中為曲率半徑．則，，故，，即，所以拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程為；（2）設(shè)曲線在的曲率半徑為．則法一：，由知，，所以，故曲線在點(diǎn)處的曲率半徑，所以，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故，曲線在點(diǎn)處的曲率半徑．法二：，，所以，而，所以，解方程可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故，曲線在點(diǎn)處的曲率半徑．（3）法一：函數(shù)的圖象在處的曲率半徑，故，由題意知：令，則有，所以，即，故．因?yàn)椋?，所以，所以．法二：函?shù)的圖象在處的曲率半徑，有令，則有，則，故，因?yàn)?，所以，所以有，令，則，即，故，所以，即；法三：函數(shù)的圖象在處的曲率半徑．故設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故有，所以，要證，即證，即證將，下證：當(dāng)時(shí)，有，設(shè)函數(shù)（其中），則，故單調(diào)遞增，，故，所以．法四：函數(shù)的圖象在處的曲率半徑，有，設(shè)．則有，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．故有，所以，要證，即證，即證．將，下證：當(dāng)時(shí)，有，設(shè)函數(shù)（其中），則，故單調(diào)遞增，故，故，所以．廣東省惠州市博羅縣2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共有8小題，每小題6分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把它選出后在答題卡規(guī)定的位置上用鉛筆涂黑.1.已知，則x的取值為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以或，解得．?jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.故選：B．2.下列求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗,故A正確；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：C3.若展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為160，則（）A.1 B.2 C.4 D.8〖答案〗A〖解析〗二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，則常數(shù)項(xiàng)為，解得.故選：A.4.已知函數(shù)，則（）A. B.2 C.3 D.〖答案〗A〖解析〗由，得，令，則，解得，故選：A5.開(kāi)學(xué)典禮上甲、乙、丙、丁、戊這5名同學(xué)從左至右排成一排上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng)，要求甲與乙相鄰且甲與丙之間恰好有1名同學(xué)的排法有（）種．A.12 B.16 C.20 D.24〖答案〗C〖解析〗若甲與丙之間為乙，即乙在甲、丙中間且三人相鄰，共有種情況，將三人看成一個(gè)整體，與丁戊兩人全排列，共有種情況，則此時(shí)有種排法；若甲與丙之間不是乙，先從丁、戊中選取1人，安排在甲、丙之間，有種選法，此時(shí)乙在甲的另一側(cè)，將四人看成一個(gè)整體，考慮之前的順序，有種情況，將這個(gè)整體與剩下的1人全排列，有種情況，此時(shí)有種排法，所以總共有種情況符合題意.故選：C．6.下圖示函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，給出下列命題：①，是函數(shù)的極小值點(diǎn)；②是函數(shù)的極大值點(diǎn)；③在處切線的斜率大于零；④在區(qū)間上單調(diào)遞增．則正確命題的序號(hào)是（）A.①② B.①④ C.②③ D.③④〖答案〗C〖解析〗①當(dāng)時(shí)，且左右兩側(cè)同時(shí)為正，此時(shí)單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，且左右兩側(cè)同時(shí)負(fù)，此時(shí)單調(diào)遞減，無(wú)極值點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；②當(dāng)時(shí)，且左側(cè)為正，右側(cè)為負(fù)，此時(shí)在的左側(cè)為單調(diào)遞增，右側(cè)為單調(diào)遞減，故是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故②正確；③由圖知，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，在處切線的斜率大于零，故③正確；④當(dāng)時(shí)，，故在為單調(diào)遞減，故④錯(cuò)誤；綜上可知，②③正確故選：C．7.我國(guó)中醫(yī)藥選出的“三藥三方”對(duì)治療新冠肺炎均有顯著效果，功不可沒(méi)，“三藥”分別為金花清感顆粒、連花清瘟膠囊、血必清注射液；“三方”分別為清肺排毒湯、化敗毒方、宣肺敗毒方.若某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機(jī)選出兩種，事件表示選出的兩種中至少有一藥，事件表示選出的兩種中有一方，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，所以.故選：D8.泰勒公式是一個(gè)用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式，得名于英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒．根據(jù)泰勒公式，有，其中，，，．現(xiàn)用上述式子求的值，下列選項(xiàng)中與該值最接近的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得當(dāng)時(shí)，于是,故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：共3小題，每小題滿分18分，共18分.在每題四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，取,則，則A正確；對(duì)B，根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)通式得的展開(kāi)式通項(xiàng)為，即，其中所以，故B正確；對(duì)C，取，則，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，取，則，將其與作和得，所以，故D正確；故選：ABD.10.袋中有大小相同8個(gè)小球，其中5個(gè)紅球，3個(gè)藍(lán)球．每次從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回．記“第一次摸球時(shí)摸到紅球”為事件，“第一次摸球時(shí)摸到藍(lán)球”為事件，“第二次摸球時(shí)摸到紅球”為事件，“第二次摸球時(shí)摸到藍(lán)球”為事件，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，故D正確．故選：ABD．11.定義階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)（，），即，分別記作.設(shè)函數(shù)，不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值可能為（）A. B.1 C. D.〖答案〗BD〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，，所以，所以?duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，令，，則，，，令，得，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，故選:BD.三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共16分.把〖答案〗填在答題卷相應(yīng)橫線上.12.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖像在處的切線方程為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由，得，則，所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即．故〖答案〗為：．13.從七名運(yùn)動(dòng)員中選出名參加米接力賽，其中運(yùn)動(dòng)員不跑第一棒，運(yùn)動(dòng)員不跑第二棒，則不同安排方案有____________種.〖答案〗〖解析〗若運(yùn)動(dòng)員跑第一棒，則從剩下的六名運(yùn)動(dòng)員中任選三名跑另外三棒，有種；若運(yùn)動(dòng)員不跑第一棒，也不能跑第二棒，則從除外的五名運(yùn)動(dòng)員中，任選一名跑第一棒，有，從除和已經(jīng)排好的人以外的五名運(yùn)動(dòng)員中任選一名跑第二棒，有，再?gòu)氖Ｏ碌奈迕\(yùn)動(dòng)員中任選兩名跑另外兩棒，有種，故不同安排方案有種.故〖答案〗為：.14.若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為_(kāi)_____．〖答案〗．〖解析〗由可得當(dāng)時(shí)，，即，令，易知恒成立，即在R上單調(diào)遞增，由可得；故，可得，即，又是單調(diào)遞增函數(shù)，故可得，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，故，可得．故〖答案〗：．四、解答題：本題共5個(gè)小題，共77分.把〖答案〗填在答題卷相應(yīng)空白上.15.已知函的圖象過(guò)點(diǎn)，且．（1）求的值：（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解：（1）由題意得，，因?yàn)?，所以，所以；?）由（1）得，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為．16.北京時(shí)間2021年8月8日，歷時(shí)17天的東京奧運(yùn)會(huì)落下帷幕，中國(guó)代表團(tuán)以38金、32銀、18銅打破4項(xiàng)世界紀(jì)錄，創(chuàng)造21項(xiàng)奧運(yùn)會(huì)紀(jì)錄的傲人成績(jī)，順利收官．作為“夢(mèng)之隊(duì)”的中國(guó)乒乓球隊(duì)在東京奧運(yùn)會(huì)斬獲4金3銀的好成績(jī)，參賽的7名選手全部登上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)．我國(guó)是乒乓球生產(chǎn)大國(guó)，某廠家生產(chǎn)了兩批同種規(guī)格的乒乓球，第一批占，次品率為：第二批占，次品率為．為確保質(zhì)量，現(xiàn)在將兩批乒乓球混合，工作人員從中抽樣檢查．（1）從混合的乒乓球中任取1個(gè)．（i）求這個(gè)乒乓球是合格品的概率；（ii）已知取到的是合格品，求它取自第一批乒乓球的概率．（2）從混合的乒乓球中有放回地連續(xù)抽取2次，每次抽取1個(gè)，記兩次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列．解：（1）（i）∵第一批占，次品率為；第二批占，次品率為，∴這個(gè)乒乓球是合格品的概率.（ii）已知取到的是合格品，它取自第一批乒乓球的概率；（2）由題意可得，X的所有可能取值為0，1，2，；；；故X的分布列為：X012P0.360.480.1617.已知函數(shù)．（1）討論的極值；（2）求在上的最小值．解：（1）由題意知：的定義域?yàn)?，；?dāng)時(shí)，，恒成立，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，若，；若，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；的極小值為，無(wú)極大值；綜上所述：當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，的極小值為，無(wú)極大值.（2）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，若，；若，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，；綜上所述：在上的最小值.18.某商家為了促銷，規(guī)定每位消費(fèi)者均可免費(fèi)參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng).活動(dòng)規(guī)則如下：在一不透明的紙箱中有9張相同的卡片，其中3張卡片上印有“中”字，3張卡片上印有“國(guó)”字，另外3張卡片上印有“紅”字.消費(fèi)者從該紙箱中不放回地隨機(jī)抽取3張卡片，若抽到的3張卡片上都印有同一個(gè)字，則獲得一張20元代金券；若抽到的3張卡片中每張卡片上的字都不一樣，則獲得一張10元代金券；若抽到的3張卡片是其他情況，則不獲得任何獎(jiǎng)勵(lì).（1）求某位消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中抽到的3張卡片上都印有“中”字的概率.（2）記隨機(jī)變量為某位消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獲得代金券的金額數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.（3）該商家規(guī)定，消費(fèi)者若想再次參加該項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，則每抽獎(jiǎng)一次需支