2023-2024學(xué)年湖北省十堰市高一下學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省十堰市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?故選：B.2.某公司在職員工有1200人，其中銷售人員有400人，研發(fā)人員有600人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)加樣的方法抽取120人進(jìn)行調(diào)研，則被抽到的研發(fā)人員人數(shù)比銷售人員人數(shù)多（）A.20 B.30 C.40 D.50〖答案〗A〖解析〗由題意可得被抽到的研發(fā)人員有人，銷售人員有人，則被抽到的研發(fā)人員人數(shù)比銷售人員人數(shù)多.故選：A.3.設(shè)是三條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面.下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則或〖答案〗C〖解析〗若，則或A錯(cuò)誤；若，則或異面，B錯(cuò)誤；若，則在內(nèi)必存在直線和a平行，不妨設(shè)為l，而，則，則，C正確；若，則與的位置關(guān)系不確定，還可能異面，D錯(cuò)誤.故選：C.4.函數(shù)是（）A.周期為偶函數(shù) B.周期為的偶函數(shù)C.周期為的奇函數(shù) D.周期為的奇函數(shù)〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?，所以，則是偶函數(shù)，因?yàn)?，，所以是周期為的偶函?shù).故選：A.5.在一個(gè)港口，有一艘船以每小時(shí)30海里的速度向正東方向行駛，在某時(shí)觀測(cè)到在該船北偏東75°方向上有一座燈塔A，2小時(shí)后，燈塔A在該船的東北方向上，該船繼續(xù)向正東方向行駛足夠長(zhǎng)時(shí)間，則該船與燈塔A之間的最短距離是（）A.海里 B.海里C.海里 D.海里〖答案〗D〖解析〗設(shè)該船的初始位置為小時(shí)后的位置為，過(guò)作，垂足為，則為所求的最短距離，由題意可知海里，則，在中，由正弦定理可得，則海里，在中，海里，，則海里.故選：D.6.已知某圓柱的軸截面是正方形，且上?下底面圓周上的所有點(diǎn)都在球的表面上，則該圓柱的體積與球的體積的比值是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)該圓柱的底面圓半徑為，高為，則，設(shè)球的半徑為，則由已知條件可得，設(shè)圓柱的體積為，球的體積，由圓柱的體積公式可得，由球的體積公式可得，則.故選：D.7.我國(guó)唐代僧人一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長(zhǎng)與太陽(yáng)天頂距對(duì)應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表.根據(jù)三角學(xué)知識(shí)可知，晷影長(zhǎng)等于表高與太陽(yáng)天頂距正切值的乘積，即.對(duì)同一“表高”測(cè)量?jī)纱危谝淮魏偷诙蔚奶?yáng)天頂距分別為.若第一次的“晷影長(zhǎng)”是“表高”的2倍，第二次的“晷影長(zhǎng)”是“表高”的7倍，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，則，故，因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，則，因?yàn)椋?故選：C.8.若向量是一組基底，向量，則稱為向量在其底下的坐標(biāo).如圖，某人仿照趙爽弦圖，用四個(gè)三角形和一個(gè)小的平行四邊形拼成一個(gè)大平行四邊形，其中分別是的中點(diǎn).已知向量分別是與向量同向的單位向量，且向量在基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，因?yàn)槭瞧叫兴倪呅?，所以，所以，所以，因?yàn)橄蛄吭诨紫碌淖鴺?biāo)為，所以，，因?yàn)椋栽诨紫碌淖鴺?biāo)是.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某商場(chǎng)評(píng)選金牌銷售員，現(xiàn)將該商場(chǎng)所有銷售員某月的銷售額進(jìn)行整理，得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，則（）A.該商場(chǎng)有20名銷售員B.該啇場(chǎng)這個(gè)月所有銷售員銷售額的平均數(shù)為7萬(wàn)元C.該商場(chǎng)這個(gè)月有的銷售員的銷售額超過(guò)7萬(wàn)元D.該商場(chǎng)這個(gè)月所有銷售員銷售額的第85百分位數(shù)是8.5萬(wàn)元〖答案〗ACD〖解析〗由統(tǒng)計(jì)圖可知該商場(chǎng)有名銷售員，則A正確；該商場(chǎng)這個(gè)月所有銷售員銷售額的平均數(shù)為萬(wàn)元，則B錯(cuò)誤；該商場(chǎng)這個(gè)月銷售額超過(guò)7萬(wàn)元的銷售員有6人，占總?cè)藬?shù)的百分比為，則C正確；因?yàn)?，所以該商?chǎng)這個(gè)月所有銷售員銷售額的第85百分位數(shù)是萬(wàn)元，則D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.不等式的解集是D.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱〖答案〗AC〖解析〗因，所以的最小正周期為，故A正確；因?yàn)椋缘膱D象不關(guān)于直線對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；由，即，得，則，解得，即不等式的解集是，，故C正確；將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，因?yàn)椋缘膱D象不關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.在正方體中，是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若是線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是B.若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為C.若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則平面與平面夾角的余弦值的取值范圍為D.若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且與平面交于點(diǎn)，則三棱錐的體積為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A：由正方體的定義可知∥，則是異面直線與所成的角或補(bǔ)角，因?yàn)槠矫?，且平面，則，在中，因?yàn)?，則，所以，則A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：將平面展開到平面，則，所以的最小值為，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：過(guò)點(diǎn)作∥，交于點(diǎn)，可知：∥∥，則平面即為平面，平面即為平面，則平面平面，且平面，則平面，且平面，則，可知為平面與平面的夾角，因?yàn)闉榫€段上的動(dòng)點(diǎn)，所以為線段上的動(dòng)點(diǎn)，在正方體，結(jié)合對(duì)稱性可知：當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，取到最大值，取到最小值，此時(shí)，則；當(dāng)為線段的端點(diǎn)重合時(shí)，取到最小值，取到最大值；綜上所述：，所以平面與平面夾角的余弦值的取值范圍為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)平面與平面的交線為，因?yàn)椤纹矫妫矫?，則∥，又因?yàn)椤?，且，可知為平行四邊形，則∥，可得∥，因?yàn)榕c平面交于點(diǎn)，即，平面，且平面，可知平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，則，可知，且平面，可知三棱錐的高為，所以三棱錐的體積為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，且，則__________.〖答案〗3〖解析〗設(shè)，且，則，所以，解得，故.故〖答案〗為：3.13.如圖，均為圓上的動(dòng)點(diǎn)（可重合），為圓心，已知該圓的半徑為1，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗，因?yàn)?，所以，即取值范圍?故〖答案〗為：14.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，分別為邊上的點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）.若的周長(zhǎng)為4，則的最大值是__________.〖答案〗〖解析〗如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，易證，則，故，設(shè)，則.因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為4，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，設(shè)，則.因?yàn)椋?，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，則的最大值是.故〖答案〗為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.某中學(xué)地理組教師團(tuán)隊(duì)研發(fā)了《聽歌曲學(xué)地理》校本課程并對(duì)高一年級(jí)共1200名學(xué)生進(jìn)行了授課，授課結(jié)束后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了知識(shí)測(cè)驗(yàn)，從所有答卷中隨機(jī)抽取了100份作為樣本，將樣本的成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于50分的整數(shù)）整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值；（2）估計(jì)樣本成績(jī)的中位數(shù)（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后1位）；（3）若測(cè)驗(yàn)成績(jī)不低于80分的同學(xué)被定義為“地理愛好者”.試估計(jì)全年級(jí)“地理愛好者”的人數(shù).解：（1）由題意得，解得.（2），中位數(shù)在這一組，設(shè)中位數(shù)的估計(jì)值為，則，解得，即樣本成績(jī)的中位數(shù)約為81.4.（3）全年級(jí)“地理愛好者”約有人.16.如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，是等邊三角形.平面平面分別棱的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）由三棱柱的定義可知，因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以，所以四邊形是平行四邊形，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，且，所以平面平?（2）作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，則是直線與平面所成的角，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)槭堑冗吶切危?，所以，由余弦定理可得，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，則，故，即直線與平面所成角的正弦值為.17.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的〖解析〗式；（2）在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，且，求面積的取值范圍.解：（1）由對(duì)稱性知為函數(shù)的對(duì)稱軸，所以，則，解得，因?yàn)椋?，因?yàn)榈膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，解得，因?yàn)?，所以，因?yàn)榈膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，故.（2）由（1）可得，則，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以，則，故的面積，由正弦定理可得，則，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，解得，所以，所以，則，即，故的面積.18.如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，.（1）證明：平面；（2）茬，求二面角的正切值；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得直線平面？若存在，求出的值；若不存在.請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，因?yàn)槠矫?，且，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，且，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)槠矫妫?，所以平?（2）取棱的中點(diǎn)，連接，作，垂足為，連接，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，由（1）可知平面，則平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)槠矫妫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，則是二面角的平面角，因?yàn)?，所以，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，且，所以，且，因?yàn)?，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，則.（3）連接，交于點(diǎn)，連接，作，交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，且平面平面，所以，因?yàn)樗倪呅问橇庑危允堑闹悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，即，因?yàn)?，所以是的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以，則，即.19.點(diǎn)是直線外一點(diǎn)，點(diǎn)在直線上（點(diǎn)與兩點(diǎn)均不重合），我們稱如下操作為“由點(diǎn)對(duì)施以視角運(yùn)算”：若點(diǎn)在線段上，記；若點(diǎn)在線段外，記.（1）若在正方體的棱的延長(zhǎng)線上，且，由對(duì)施以視角運(yùn)算，求的值；（2）若在正方體棱上，且，由對(duì)施以視角運(yùn)算，得到，求的值；（3）若是的邊的等分點(diǎn)，由對(duì)施以視角運(yùn)算，證明：.解：（1）如圖1，因?yàn)?，所以，由正方體的定義可知，則，故，，因?yàn)?，所以，則.（2）如圖2，設(shè)，則，因?yàn)椋?，則，解得，故.（3）證明：如圖3，因?yàn)槭堑牡确贮c(diǎn)，所以，在中，由正弦定理可得，則，在中，同理可得，因?yàn)?，所以，則，同理可得，故.湖北省十堰市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?故選：B.2.某公司在職員工有1200人，其中銷售人員有400人，研發(fā)人員有600人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)加樣的方法抽取120人進(jìn)行調(diào)研，則被抽到的研發(fā)人員人數(shù)比銷售人員人數(shù)多（）A.20 B.30 C.40 D.50〖答案〗A〖解析〗由題意可得被抽到的研發(fā)人員有人，銷售人員有人，則被抽到的研發(fā)人員人數(shù)比銷售人員人數(shù)多.故選：A.3.設(shè)是三條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面.下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則或〖答案〗C〖解析〗若，則或A錯(cuò)誤；若，則或異面，B錯(cuò)誤；若，則在內(nèi)必存在直線和a平行，不妨設(shè)為l，而，則，則，C正確；若，則與的位置關(guān)系不確定，還可能異面，D錯(cuò)誤.故選：C.4.函數(shù)是（）A.周期為偶函數(shù) B.周期為的偶函數(shù)C.周期為的奇函數(shù) D.周期為的奇函數(shù)〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，則是偶函數(shù)，因?yàn)?，，所以是周期為的偶函?shù).故選：A.5.在一個(gè)港口，有一艘船以每小時(shí)30海里的速度向正東方向行駛，在某時(shí)觀測(cè)到在該船北偏東75°方向上有一座燈塔A，2小時(shí)后，燈塔A在該船的東北方向上，該船繼續(xù)向正東方向行駛足夠長(zhǎng)時(shí)間，則該船與燈塔A之間的最短距離是（）A.海里 B.海里C.海里 D.海里〖答案〗D〖解析〗設(shè)該船的初始位置為小時(shí)后的位置為，過(guò)作，垂足為，則為所求的最短距離，由題意可知海里，則，在中，由正弦定理可得，則海里，在中，海里，，則海里.故選：D.6.已知某圓柱的軸截面是正方形，且上?下底面圓周上的所有點(diǎn)都在球的表面上，則該圓柱的體積與球的體積的比值是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)該圓柱的底面圓半徑為，高為，則，設(shè)球的半徑為，則由已知條件可得，設(shè)圓柱的體積為，球的體積，由圓柱的體積公式可得，由球的體積公式可得，則.故選：D.7.我國(guó)唐代僧人一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長(zhǎng)與太陽(yáng)天頂距對(duì)應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表.根據(jù)三角學(xué)知識(shí)可知，晷影長(zhǎng)等于表高與太陽(yáng)天頂距正切值的乘積，即.對(duì)同一“表高”測(cè)量?jī)纱?，第一次和第二次的太?yáng)天頂距分別為.若第一次的“晷影長(zhǎng)”是“表高”的2倍，第二次的“晷影長(zhǎng)”是“表高”的7倍，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，則，故，因?yàn)?，且，所以，所以，因?yàn)?，且，所以，所以，則，因?yàn)椋?故選：C.8.若向量是一組基底，向量，則稱為向量在其底下的坐標(biāo).如圖，某人仿照趙爽弦圖，用四個(gè)三角形和一個(gè)小的平行四邊形拼成一個(gè)大平行四邊形，其中分別是的中點(diǎn).已知向量分別是與向量同向的單位向量，且向量在基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，因?yàn)槭瞧叫兴倪呅?，所以，所以，所以，因?yàn)橄蛄吭诨紫碌淖鴺?biāo)為，所以，，因?yàn)椋栽诨紫碌淖鴺?biāo)是.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某商場(chǎng)評(píng)選金牌銷售員，現(xiàn)將該商場(chǎng)所有銷售員某月的銷售額進(jìn)行整理，得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，則（）A.該商場(chǎng)有20名銷售員B.該啇場(chǎng)這個(gè)月所有銷售員銷售額的平均數(shù)為7萬(wàn)元C.該商場(chǎng)這個(gè)月有的銷售員的銷售額超過(guò)7萬(wàn)元D.該商場(chǎng)這個(gè)月所有銷售員銷售額的第85百分位數(shù)是8.5萬(wàn)元〖答案〗ACD〖解析〗由統(tǒng)計(jì)圖可知該商場(chǎng)有名銷售員，則A正確；該商場(chǎng)這個(gè)月所有銷售員銷售額的平均數(shù)為萬(wàn)元，則B錯(cuò)誤；該商場(chǎng)這個(gè)月銷售額超過(guò)7萬(wàn)元的銷售員有6人，占總?cè)藬?shù)的百分比為，則C正確；因?yàn)椋栽撋虉?chǎng)這個(gè)月所有銷售員銷售額的第85百分位數(shù)是萬(wàn)元，則D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.不等式的解集是D.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱〖答案〗AC〖解析〗因，所以的最小正周期為，故A正確；因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；由，即，得，則，解得，即不等式的解集是，，故C正確；將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.在正方體中，是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若是線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是B.若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為C.若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則平面與平面夾角的余弦值的取值范圍為D.若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且與平面交于點(diǎn)，則三棱錐的體積為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A：由正方體的定義可知∥，則是異面直線與所成的角或補(bǔ)角，因?yàn)槠矫?，且平面，則，在中，因?yàn)椋瑒t，所以，則A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：將平面展開到平面，則，所以的最小值為，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：過(guò)點(diǎn)作∥，交于點(diǎn)，可知：∥∥，則平面即為平面，平面即為平面，則平面平面，且平面，則平面，且平面，則，可知為平面與平面的夾角，因?yàn)闉榫€段上的動(dòng)點(diǎn)，所以為線段上的動(dòng)點(diǎn)，在正方體，結(jié)合對(duì)稱性可知：當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，取到最大值，取到最小值，此時(shí)，則；當(dāng)為線段的端點(diǎn)重合時(shí)，取到最小值，取到最大值；綜上所述：，所以平面與平面夾角的余弦值的取值范圍為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)平面與平面的交線為，因?yàn)椤纹矫?，平面，則∥，又因?yàn)椤危?，可知為平行四邊形，則∥，可得∥，因?yàn)榕c平面交于點(diǎn)，即，平面，且平面，可知平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，則，可知，且平面，可知三棱錐的高為，所以三棱錐的體積為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，且，則__________.〖答案〗3〖解析〗設(shè)，且，則，所以，解得，故.故〖答案〗為：3.13.如圖，均為圓上的動(dòng)點(diǎn)（可重合），為圓心，已知該圓的半徑為1，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗，因?yàn)?，所以，即取值范圍?故〖答案〗為：14.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，分別為邊上的點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）.若的周長(zhǎng)為4，則的最大值是__________.〖答案〗〖解析〗如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，易證，則，故，設(shè)，則.因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為4，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，則.因?yàn)?，所以，則，因?yàn)椋?，所以，所以，則的最大值是.故〖答案〗為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.某中學(xué)地理組教師團(tuán)隊(duì)研發(fā)了《聽歌曲學(xué)地理》校本課程并對(duì)高一年級(jí)共1200名學(xué)生進(jìn)行了授課，授課結(jié)束后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了知識(shí)測(cè)驗(yàn)，從所有答卷中隨機(jī)抽取了100份作為樣本，將樣本的成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于50分的整數(shù)）整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值；（2）估計(jì)樣本成績(jī)的中位數(shù)（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后1位）；（3）若測(cè)驗(yàn)成績(jī)不低于80分的同學(xué)被定義為“地理愛好者”.試估計(jì)全年級(jí)“地理愛好者”的人數(shù).解：（1）由題意得，解得.（2），中位數(shù)在這一組，設(shè)中位數(shù)的估計(jì)值為，則，解得，即樣本成績(jī)的中位數(shù)約為81.4.（3）全年級(jí)“地理愛好者”約有人.16.如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，是等邊三角形.平面平面分別棱的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）由三棱柱的定義可知，因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以，所以四邊形是平行四邊形，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，且，所以平面平?（2）作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，則是直線與平面所成的角，設(shè)，則，因?yàn)椋?，則，因?yàn)槭堑冗吶切危?，所以，由余弦定理可得，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，則，故，即直線與平面所成