2023-2024學(xué)年江蘇省連云港市七校高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2江蘇省連云港市七校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題提供的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知離散型隨機(jī)變量的分布列為，則（）A. B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗由題意得，則，故選：B.2.在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A.1 B.10 C.40 D.80〖答案〗D〖解析〗通項(xiàng)公式為，當(dāng)時，，所以項(xiàng)的系數(shù)為80.故選：D3.中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，主要有宮燈、紗燈、吊燈等種類．現(xiàn)有4名學(xué)生，每人從宮燈、紗燈、吊燈中選購1種，則不同選購方式有（）A.種 B.種 C.種 D.種〖答案〗A〖解析〗由題可知，每名同學(xué)都有3種選法，故不同的選購方式有種，經(jīng)檢驗(yàn)只有A選項(xiàng)符合.故選：A4.已知正方體的棱長為，則點(diǎn)到面的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，設(shè)面的法向量為，，所以，令，則，所以，，所以到平面的距離，故選：C.5.長方體中，，E為與的交點(diǎn)，F(xiàn)為與的交點(diǎn)，又，則長方體的高等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)長方體的長為，由長方體的性質(zhì)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，由可得，所以，解得：.故選：C.6.在2002年美國安然公司（在2000年名列世界財富500強(qiáng)第16位，擁有數(shù)千億資產(chǎn)的巨頭公司，曾經(jīng)是全球最大電力、天然氣及電訊服務(wù)提供商之一）宣布破產(chǎn)，原因是持續(xù)多年的財務(wù)數(shù)據(jù)造假．但是據(jù)說這場造假丑聞的揭露并非源于常規(guī)的審計(jì)程序，而是由于公司公布的每股盈利數(shù)據(jù)與一個神秘的數(shù)學(xué)定理——本福特定律——嚴(yán)重偏離．本福特定律指出，一個沒有人為編造的自然生成的數(shù)據(jù)（為正實(shí)數(shù)）中，首位非零的數(shù)字是這九個事件并不是等可能的，而是大約遵循這樣一個公式：隨機(jī)變量是一個沒有人為編造的首位非零數(shù)字，則，則根據(jù)本福特定律，在一個沒有人為編造的數(shù)據(jù)中，首位非零數(shù)字是8的概率約是（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.0.046 B.0.051 C.0.058 D.0.067〖答案〗B〖解析〗由題意可得：,故選：B7.若能被13整除，則可以是（）A.0 B.1 C.11 D.12〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，又因?yàn)槟鼙?3整除，所以能被13整除，觀察選項(xiàng)可知可以是.故選：B.8.甲袋中有個白球和個紅球，乙袋中有個白球和個紅球，丙袋中有個白球和個紅球.先隨機(jī)取一只袋，再從該袋中隨機(jī)取一個球，該球?yàn)榧t球的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)“取出的是甲袋”為事件，“取出的是乙袋”為事件，“取出的是丙袋”為事件，“該球?yàn)榧t球”為事件，則，故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9.已知二項(xiàng)式的展開式中共有7項(xiàng)，則下列說法正確的有（

）A.為7 B.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64C.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng) D.沒有常數(shù)項(xiàng)〖答案〗BCD〖解析〗對A,因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中共有7項(xiàng)，所以，即，故A錯誤；對B,二項(xiàng)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故B正確；對C,因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中共有7項(xiàng)，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)，故C正確；對D,二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，令，得，不滿足題意，故D正確.故選：BCD.10.某班準(zhǔn)備舉行一場小型班會，班會有3個歌唱節(jié)目和2個語言類節(jié)目，現(xiàn)要排出一個節(jié)目單，則下列說法正確的是（）A.若3個歌唱節(jié)目排在一起，則有6種不同的排法B.若歌唱節(jié)目與語言類節(jié)目相間排列，則有12種不同的排法C.若2個語言類節(jié)目不排在一起，則有72種不同的排法D.若前2個節(jié)目中必須要有語言類節(jié)目，則有84種不同的排法〖答案〗BCD〖解析〗A選項(xiàng)，若3個歌唱節(jié)目排在一起，則有種情況，將3個歌唱節(jié)目看為一個整體，和2個語言類節(jié)目進(jìn)行排列，則有種情況，綜上，共有種情況，A錯誤；B選項(xiàng)，歌唱節(jié)目與語言類節(jié)目相間排列，則歌唱類節(jié)目在兩端和最中間，語言類放在歌唱類節(jié)目的之間，則有種情況，B正確；C選項(xiàng)，若2個語言類節(jié)目不排在一起，則采用插空法，先安排歌唱類節(jié)目，有種情況，再將語言類節(jié)目插入到3個節(jié)目形成的4個空格中，有種，綜上，共有種情況，C正確；D選項(xiàng)，前2個節(jié)目都是語言類節(jié)目，此時后3個為歌唱類節(jié)目，有種情況，前2個節(jié)目中有1個是語言類，有1個是歌唱類，則有種情況，剩余的3個節(jié)目進(jìn)行全排列，則有種情況，則共有種情況，綜上，有種不同的排法，D正確.故選：BCD11.玻璃缸中裝有2個黑球和4個白球，現(xiàn)從中先后無放回地取2個球．記“第一次取得黑球”為，“第一次取得白球”為，“第二次取得黑球”為，“第二次取得白球”為，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對A，由題意，第一次取得黑球的概率，第一次取得白球的概率，第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率，第一次取得白球、第二次取得白球的概率，則，所以A錯誤；對B，第一次取得黑球、第二次取得白球的概率，第一次取得白球、第二次取得黑球的概率，則，所以B正確；對C，由，得，所以C正確；對D，由，得，所以D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．不需寫出解答過程，請把〖答案〗直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.12.已知，則__________.〖答案〗3或5〖解析〗根據(jù)題意，若，必有，或，解可得或3；經(jīng)檢驗(yàn)均符合題意.故〖答案〗為:3或5．13.設(shè)是空間兩個不共線的非零向量，已知，，，且三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值為__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，可得，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，可設(shè)，即，因?yàn)椴还簿€，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.故〖答案〗為：.14.小明在設(shè)置銀行卡的數(shù)字密碼時，計(jì)劃將自己出生日期的后6個數(shù)字0，5，0，9，1，9進(jìn)行某種排列得到密碼，如果排列時要求兩個9相鄰，兩個0也相鄰，則小明可以設(shè)置多少個不同的密碼______．〖答案〗24〖解析〗依題意，將兩個0視為一個元素，將兩個9也視為一個元素，所以共有不同的密碼個數(shù)是.故〖答案〗為：24四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.在一個盒子中有大小與質(zhì)地相同的10個球，其中5個紅球，5個白球，兩人依次不放回地各摸個1球，求：（1）在第一個人摸出個紅球的條件下，第二個人摸出個白球的概率；（2）第一個人摸出個紅球，且第二個人摸出個白球的概率.解：（1）設(shè)事件表示：第一個人摸出紅球，表示：第二個人摸出白球，第一個人摸出個紅球后，盒子中還有9個球，其中4個紅球，5個白球，故在第一個人摸出個紅球的條件下，第二個人摸出個白球的概率.（2）設(shè)事件表示：第一個人摸出紅球，表示：第二個人摸出白球，事件：第一個人摸出個紅球，且第二個人摸出個白球即事件，所以16.如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，且.（1）證明：平面.（2）求平面與平面的夾角余弦值.解：（1）在正方體中，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，令，則，于是，顯然，則，而平面；所以平面.（2）由（1）知平面一個法向量為，，設(shè)平面的一個法向量，則，取，得，則，所以平面與平面夾角的余弦值是.17.用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字可以組成多少個符合下列條件的無重復(fù)的數(shù)字？（1）六位奇數(shù)；（2）個位數(shù)字不是5的六位數(shù)；（3）不大于4310四位偶數(shù).解：（1）先排個位數(shù)，有種，因?yàn)?不能在首位，再排首位有種，最后排其它有，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得，六位奇數(shù)有；（2）因?yàn)?是特殊元素，分兩類，個位數(shù)字是0，和不是0，當(dāng)個位數(shù)是0，有，當(dāng)個位不數(shù)是0，有，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得，個位數(shù)字不是5的六位數(shù)有；（3）當(dāng)千位小于4時，有種，當(dāng)千位是4，百位小于3時，有種，當(dāng)千位是4，百位是3，十位小于1時，有1種，當(dāng)千位是4，百位是3，十位是1，個位小于等于0時，有1種，所以不大于4310的四位偶數(shù)4有.18.在的展開式中，（1）求展開式中所有有理項(xiàng)；（2）展開式中系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？并求系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)解：（1）由題展開式中的第項(xiàng).即.故當(dāng)為整數(shù)時為有理項(xiàng).故當(dāng)時成立,分別為,,,.即,,,（2）由知,當(dāng)系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)即最大.故.故絕對值最大的項(xiàng)是第6、7項(xiàng).其中系數(shù)最大的項(xiàng)為,系數(shù)最小的項(xiàng)為19.如圖，在四棱錐中，平面平面，為的中點(diǎn)，，，，，．（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求直線與平面所成角的余弦值；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出點(diǎn)位置；若不存在，說明理由．解：（1）作平面，又，所以以的方向分別為軸，軸的正方向，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且，平面，所以平面，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，且，，，所以由題意有，所以有不妨設(shè)平面的法向量為，所以有，即，取，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為.（2）如圖所示：由題意有，所以有不妨設(shè)平面的法向量為，所以有，即，取，解得，不妨設(shè)直線與平面所成角為，所以直線與平面所成角的正弦值為，所以直線與平面所成角的余弦值為.（3）如圖所示：由題意有所以，由題意不妨設(shè)，所以，又由（2）可知平面的法向量為，若平面，則，即，解得，所以當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時，有平面.江蘇省連云港市七校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題提供的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知離散型隨機(jī)變量的分布列為，則（）A. B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗由題意得，則，故選：B.2.在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A.1 B.10 C.40 D.80〖答案〗D〖解析〗通項(xiàng)公式為，當(dāng)時，，所以項(xiàng)的系數(shù)為80.故選：D3.中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，主要有宮燈、紗燈、吊燈等種類．現(xiàn)有4名學(xué)生，每人從宮燈、紗燈、吊燈中選購1種，則不同選購方式有（）A.種 B.種 C.種 D.種〖答案〗A〖解析〗由題可知，每名同學(xué)都有3種選法，故不同的選購方式有種，經(jīng)檢驗(yàn)只有A選項(xiàng)符合.故選：A4.已知正方體的棱長為，則點(diǎn)到面的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，設(shè)面的法向量為，，所以，令，則，所以，，所以到平面的距離，故選：C.5.長方體中，，E為與的交點(diǎn)，F(xiàn)為與的交點(diǎn)，又，則長方體的高等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)長方體的長為，由長方體的性質(zhì)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，由可得，所以，解得：.故選：C.6.在2002年美國安然公司（在2000年名列世界財富500強(qiáng)第16位，擁有數(shù)千億資產(chǎn)的巨頭公司，曾經(jīng)是全球最大電力、天然氣及電訊服務(wù)提供商之一）宣布破產(chǎn)，原因是持續(xù)多年的財務(wù)數(shù)據(jù)造假．但是據(jù)說這場造假丑聞的揭露并非源于常規(guī)的審計(jì)程序，而是由于公司公布的每股盈利數(shù)據(jù)與一個神秘的數(shù)學(xué)定理——本福特定律——嚴(yán)重偏離．本福特定律指出，一個沒有人為編造的自然生成的數(shù)據(jù)（為正實(shí)數(shù)）中，首位非零的數(shù)字是這九個事件并不是等可能的，而是大約遵循這樣一個公式：隨機(jī)變量是一個沒有人為編造的首位非零數(shù)字，則，則根據(jù)本福特定律，在一個沒有人為編造的數(shù)據(jù)中，首位非零數(shù)字是8的概率約是（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.0.046 B.0.051 C.0.058 D.0.067〖答案〗B〖解析〗由題意可得：,故選：B7.若能被13整除，則可以是（）A.0 B.1 C.11 D.12〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，又因?yàn)槟鼙?3整除，所以能被13整除，觀察選項(xiàng)可知可以是.故選：B.8.甲袋中有個白球和個紅球，乙袋中有個白球和個紅球，丙袋中有個白球和個紅球.先隨機(jī)取一只袋，再從該袋中隨機(jī)取一個球，該球?yàn)榧t球的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)“取出的是甲袋”為事件，“取出的是乙袋”為事件，“取出的是丙袋”為事件，“該球?yàn)榧t球”為事件，則，故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9.已知二項(xiàng)式的展開式中共有7項(xiàng)，則下列說法正確的有（

）A.為7 B.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64C.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng) D.沒有常數(shù)項(xiàng)〖答案〗BCD〖解析〗對A,因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中共有7項(xiàng)，所以，即，故A錯誤；對B,二項(xiàng)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故B正確；對C,因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中共有7項(xiàng)，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)，故C正確；對D,二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，令，得，不滿足題意，故D正確.故選：BCD.10.某班準(zhǔn)備舉行一場小型班會，班會有3個歌唱節(jié)目和2個語言類節(jié)目，現(xiàn)要排出一個節(jié)目單，則下列說法正確的是（）A.若3個歌唱節(jié)目排在一起，則有6種不同的排法B.若歌唱節(jié)目與語言類節(jié)目相間排列，則有12種不同的排法C.若2個語言類節(jié)目不排在一起，則有72種不同的排法D.若前2個節(jié)目中必須要有語言類節(jié)目，則有84種不同的排法〖答案〗BCD〖解析〗A選項(xiàng)，若3個歌唱節(jié)目排在一起，則有種情況，將3個歌唱節(jié)目看為一個整體，和2個語言類節(jié)目進(jìn)行排列，則有種情況，綜上，共有種情況，A錯誤；B選項(xiàng)，歌唱節(jié)目與語言類節(jié)目相間排列，則歌唱類節(jié)目在兩端和最中間，語言類放在歌唱類節(jié)目的之間，則有種情況，B正確；C選項(xiàng)，若2個語言類節(jié)目不排在一起，則采用插空法，先安排歌唱類節(jié)目，有種情況，再將語言類節(jié)目插入到3個節(jié)目形成的4個空格中，有種，綜上，共有種情況，C正確；D選項(xiàng)，前2個節(jié)目都是語言類節(jié)目，此時后3個為歌唱類節(jié)目，有種情況，前2個節(jié)目中有1個是語言類，有1個是歌唱類，則有種情況，剩余的3個節(jié)目進(jìn)行全排列，則有種情況，則共有種情況，綜上，有種不同的排法，D正確.故選：BCD11.玻璃缸中裝有2個黑球和4個白球，現(xiàn)從中先后無放回地取2個球．記“第一次取得黑球”為，“第一次取得白球”為，“第二次取得黑球”為，“第二次取得白球”為，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對A，由題意，第一次取得黑球的概率，第一次取得白球的概率，第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率，第一次取得白球、第二次取得白球的概率，則，所以A錯誤；對B，第一次取得黑球、第二次取得白球的概率，第一次取得白球、第二次取得黑球的概率，則，所以B正確；對C，由，得，所以C正確；對D，由，得，所以D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．不需寫出解答過程，請把〖答案〗直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.12.已知，則__________.〖答案〗3或5〖解析〗根據(jù)題意，若，必有，或，解可得或3；經(jīng)檢驗(yàn)均符合題意.故〖答案〗為:3或5．13.設(shè)是空間兩個不共線的非零向量，已知，，，且三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值為__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，可得，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，可設(shè)，即，因?yàn)椴还簿€，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.故〖答案〗為：.14.小明在設(shè)置銀行卡的數(shù)字密碼時，計(jì)劃將自己出生日期的后6個數(shù)字0，5，0，9，1，9進(jìn)行某種排列得到密碼，如果排列時要求兩個9相鄰，兩個0也相鄰，則小明可以設(shè)置多少個不同的密碼______．〖答案〗24〖解析〗依題意，將兩個0視為一個元素，將兩個9也視為一個元素，所以共有不同的密碼個數(shù)是.故〖答案〗為：24四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.在一個盒子中有大小與質(zhì)地相同的10個球，其中5個紅球，5個白球，兩人依次不放回地各摸個1球，求：（1）在第一個人摸出個紅球的條件下，第二個人摸出個白球的概率；（2）第一個人摸出個紅球，且第二個人摸出個白球的概率.解：（1）設(shè)事件表示：第一個人摸出紅球，表示：第二個人摸出白球，第一個人摸出個紅球后，盒子中還有9個球，其中4個紅球，5個白球，故在第一個人摸出個紅球的條件下，第二個人摸出個白球的概率.（2）設(shè)事件表示：第一個人摸出紅球，表示：第二個人摸出白球，事件：第一個人摸出個紅球，且第二個人摸出個白球即事件，所以16.如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，且.（1）證明：平面.（2）求平面與平面的夾角余弦值.解：（1）在正方體中，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，令，則，于是，顯然，則，而平面；所以平面.（2）由（1）知平面一個法向量為，，設(shè)平面的一個法向量，則，取，得，則，所以平面與平面夾角的余弦值是.17.用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字可以組成多少個符合下列條件的無重復(fù)的數(shù)字？（1）六位奇數(shù)；（2）個