2023-2024學(xué)年江蘇省南通市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.0 B.1 C.-1 D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以且，解得.故選：A.2.下列特征數(shù)中，刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)離散程度的是（）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.方差〖答案〗D〖解析〗平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的量，方差是衡量一組數(shù)據(jù)偏離其平均數(shù)的大小的量，即刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)離散程度.故選：D.3.已知圓錐的底面半徑和高均為1，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意圓錐的母線長(zhǎng)，代入即可求得．故選：B.4.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，即，所以，所以，所?故選：B.5.一個(gè)水果盤(pán)子里有2個(gè)蘋(píng)果和3個(gè)桃子，從盤(pán)中任選2個(gè)，則選中水果品種相同的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)個(gè)蘋(píng)果分別記為：和，個(gè)桃子編號(hào)為，從盤(pán)中任選兩個(gè)，可得，共種情況；選中的水果品種相同的選法有：，，有種，所以選中的水果品種相同概率為：．故選：C.6.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，，則，令，則，所以.故選：B.7.某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，在旗桿底部O的正東方向A處，測(cè)得旗桿頂端P的仰角為，在A的南偏西方向上的B處，測(cè)得P的仰角為（O，A，B在同一水平面內(nèi)），A，B兩點(diǎn)間的距離為20m，則旗桿的高度OP約為（，）（）A.10m B.14m C.17m D.20m〖答案〗C〖解析〗如圖，設(shè)米，則米，米，在中，由題意可得，，由余弦定理可得，解得米.故選：C.8.在銳角三角形ABC中，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，又三角形ABC為銳角三角形，所以，所以又因?yàn)槿切蜛BC為銳角三角形，所以，所以，所以.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．下列命題為真命題的是（）A.若，則為直角三角形B.若，則為等腰三角形C.若，則為等腰三角形D.若，則為等腰直角三角形〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，若，由正弦定理得，所以，所以為直角三角形，故A正確；對(duì)于B，若，由正弦定理得，所以，所以為等腰三角形，故B正確；對(duì)于C，若，由正弦定理得，即，所以或，即或，則是等腰或直角三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，由正弦定理得，所以，即，所以為等腰直角三角形，故D正確.故選：ABD.10.已知a，b，c為三條直線，，，為三個(gè)平面．下列命題為真命題的是（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，則 D.若，，，則〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，令，，若，則一定有，，而在同一平面的a，b兩條直線可以平行，也可以相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，這是線面平行的性質(zhì)定理，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，這是面面垂直的判定定理，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)，，過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)A，分別作，，如圖所示，因?yàn)?，，，，所以，又因?yàn)?，所以，同理：，又因?yàn)椋?、，所以，故D項(xiàng)正確.故選：BCD.11.一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球（標(biāo)號(hào)為1和2），2個(gè)白色球（標(biāo)號(hào)為3和4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．設(shè)事件“兩個(gè)球顏色不同”，“兩個(gè)球標(biāo)號(hào)的和為奇數(shù)”，“兩個(gè)球標(biāo)號(hào)都不小于2”，則（）A.A與B互斥 B.A與C相互獨(dú)立C. D.〖答案〗BC〖解析〗根據(jù)題意，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則，，，所以有，，對(duì)于A，，事件A、B可以同時(shí)發(fā)生，則A、B不互斥，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，A、C相互獨(dú)立，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤．故選：BC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.樣本數(shù)據(jù)7，8，10，11，12，13，15，17的第40百分位數(shù)為_(kāi)_______．〖答案〗11〖解析〗首先對(duì)數(shù)據(jù)從小到大進(jìn)行排序：7，8，10，11，12，13，15，17，共有8個(gè)數(shù)據(jù)，，所以這個(gè)樣本數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為第四位，即11.故〖答案〗為：11.13.已知向量，滿足，向量在上的投影向量為，則___________．〖答案〗2〖解析〗由已知向量在上的投影向量為，則，又因?yàn)榧?，所以，所?故〖答案〗為：2.14.以棱長(zhǎng)為2的正方體的六個(gè)面為底面，分別向外作形狀相同的正四棱錐，得到一個(gè)多面體，已知正四棱錐的側(cè)面與底面所成的角為．該多面體的體積為_(kāi)_______，其面數(shù)為_(kāi)_______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，如圖，以棱長(zhǎng)為2正方體的一個(gè)面為底面的正四棱錐，取底面中心，中點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以平面，則，所以，從而該多面體的體積為，考慮到四棱錐的側(cè)面夾角為，其面數(shù)為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．（1）求B；（2）若，求．解：（1），故，因，所以.（2）設(shè)，代入中，，故，解得，由余弦定理得，則，故.16.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，分別是棱的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）證明：平面．解：（1）連接交于點(diǎn)，由四邊形是菱形得，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，，平面，所以平面，又平面，所以．?）連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，又分別是棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可得平面，因?yàn)槠矫?，且，所以平面平面，又平?所以平面．17.某班學(xué)生日睡眠時(shí)間（單位：h）的頻率分布表如下：分組[7，7.5）[7.5，8）[8，8.5）[8.5，9]頻數(shù)4x20y頻率ab0.40.12（1）計(jì)算該班學(xué)生的平均日睡眠時(shí)間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從該班日睡眠時(shí)間在和的學(xué)生中抽取5人．再?gòu)某槿〉?人中隨機(jī)抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠時(shí)間在[7，7.5）的概率．解：（1）因?yàn)槿萘?，所以，所以該班學(xué)生的平均日睡眠時(shí)間為.（2）由（1）知，該班日睡眠時(shí)間在和頻率比為，由比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，分別從和兩組的學(xué)生中抽取2人，3人，記中抽取的2人為，中抽取的3人為，設(shè)“2人中至少有1人的睡眠時(shí)間在”為事件，則，，所以發(fā)生的概率，所以2人中至少有1人的日睡眠時(shí)間在[7，7.5）的概率為.18.已知面積為9，點(diǎn)D在BC邊上，．（1）若，，①證明：；②求AC；（2）若，求AD的最小值．解：（1）①因?yàn)椋?，所以，在中，由正弦定理可得，所?②設(shè)，則，因?yàn)?，所以，設(shè)，因?yàn)椋?，在中，，由①知，所以，所以，整理得，又因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，在中，因?yàn)?，，所以，所以，則，所以.（2）記的內(nèi)角為，所對(duì)邊為，因?yàn)?，所以，所以，在中，因?yàn)?，所以由余弦定理可得，整理得，因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以AD的最小值為4.19.如圖，等腰梯形ABCD為圓臺(tái)的軸截面，E，F(xiàn)分別為上下底面圓周上的點(diǎn)，且B，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共面．（1）證明：；（2）已知，，四棱錐C-BEDF的體積為3．①求三棱錐B-ADE的體積；②當(dāng)母線與下底面所成的角最小時(shí)，求二面角C-BF-D的正弦值．解：（1）證明：在圓臺(tái)中，平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所?（2）①將圓臺(tái)的母線延長(zhǎng)交于一點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交底面于點(diǎn)，連接，，在圓臺(tái)中，平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以，又由?）可知，所以，又，，，，，平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，在圓臺(tái)中，，，所以，所以，所以，所以，連接，交于點(diǎn)，所以，所以，到平面的距離之比，所以.②在等腰梯形中，過(guò)點(diǎn)作邊的垂線，垂足為，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，連接，易得，因?yàn)槠矫?，所以平面，所以為母線與下底面所成角，因?yàn)椋?，所以，所以，要使最小，只要最小即可，因?yàn)椋?，所以，設(shè)，因?yàn)闉閳A的直徑，所以，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，因?yàn)?，，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，所以，因此為二面角的平面角，在中，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，在中，由勾股定理得，所以，所以二面角的正弦值為．江蘇省南通市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.0 B.1 C.-1 D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以且，解得.故選：A.2.下列特征數(shù)中，刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)離散程度的是（）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.方差〖答案〗D〖解析〗平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的量，方差是衡量一組數(shù)據(jù)偏離其平均數(shù)的大小的量，即刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)離散程度.故選：D.3.已知圓錐的底面半徑和高均為1，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意圓錐的母線長(zhǎng)，代入即可求得．故選：B.4.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，即，所以，所以，所?故選：B.5.一個(gè)水果盤(pán)子里有2個(gè)蘋(píng)果和3個(gè)桃子，從盤(pán)中任選2個(gè)，則選中水果品種相同的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)個(gè)蘋(píng)果分別記為：和，個(gè)桃子編號(hào)為，從盤(pán)中任選兩個(gè)，可得，共種情況；選中的水果品種相同的選法有：，，有種，所以選中的水果品種相同概率為：．故選：C.6.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，，則，令，則，所以.故選：B.7.某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，在旗桿底部O的正東方向A處，測(cè)得旗桿頂端P的仰角為，在A的南偏西方向上的B處，測(cè)得P的仰角為（O，A，B在同一水平面內(nèi)），A，B兩點(diǎn)間的距離為20m，則旗桿的高度OP約為（，）（）A.10m B.14m C.17m D.20m〖答案〗C〖解析〗如圖，設(shè)米，則米，米，在中，由題意可得，，由余弦定理可得，解得米.故選：C.8.在銳角三角形ABC中，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?，所以，又三角形ABC為銳角三角形，所以，所以又因?yàn)槿切蜛BC為銳角三角形，所以，所以，所以.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．下列命題為真命題的是（）A.若，則為直角三角形B.若，則為等腰三角形C.若，則為等腰三角形D.若，則為等腰直角三角形〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，若，由正弦定理得，所以，所以為直角三角形，故A正確；對(duì)于B，若，由正弦定理得，所以，所以為等腰三角形，故B正確；對(duì)于C，若，由正弦定理得，即，所以或，即或，則是等腰或直角三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，由正弦定理得，所以，即，所以為等腰直角三角形，故D正確.故選：ABD.10.已知a，b，c為三條直線，，，為三個(gè)平面．下列命題為真命題的是（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，則 D.若，，，則〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，令，，若，則一定有，，而在同一平面的a，b兩條直線可以平行，也可以相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，這是線面平行的性質(zhì)定理，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，這是面面垂直的判定定理，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)，，過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)A，分別作，，如圖所示，因?yàn)椋?，，，所以，又因?yàn)椋?，同理：，又因?yàn)?，、，所以，故D項(xiàng)正確.故選：BCD.11.一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球（標(biāo)號(hào)為1和2），2個(gè)白色球（標(biāo)號(hào)為3和4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．設(shè)事件“兩個(gè)球顏色不同”，“兩個(gè)球標(biāo)號(hào)的和為奇數(shù)”，“兩個(gè)球標(biāo)號(hào)都不小于2”，則（）A.A與B互斥 B.A與C相互獨(dú)立C. D.〖答案〗BC〖解析〗根據(jù)題意，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則，，，所以有，，對(duì)于A，，事件A、B可以同時(shí)發(fā)生，則A、B不互斥，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，A、C相互獨(dú)立，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤．故選：BC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.樣本數(shù)據(jù)7，8，10，11，12，13，15，17的第40百分位數(shù)為_(kāi)_______．〖答案〗11〖解析〗首先對(duì)數(shù)據(jù)從小到大進(jìn)行排序：7，8，10，11，12，13，15，17，共有8個(gè)數(shù)據(jù)，，所以這個(gè)樣本數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為第四位，即11.故〖答案〗為：11.13.已知向量，滿足，向量在上的投影向量為，則___________．〖答案〗2〖解析〗由已知向量在上的投影向量為，則，又因?yàn)榧矗?，所?故〖答案〗為：2.14.以棱長(zhǎng)為2的正方體的六個(gè)面為底面，分別向外作形狀相同的正四棱錐，得到一個(gè)多面體，已知正四棱錐的側(cè)面與底面所成的角為．該多面體的體積為_(kāi)_______，其面數(shù)為_(kāi)_______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，如圖，以棱長(zhǎng)為2正方體的一個(gè)面為底面的正四棱錐，取底面中心，中點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫矫妫?，又，平面，所以平面，則，所以，從而該多面體的體積為，考慮到四棱錐的側(cè)面夾角為，其面數(shù)為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．（1）求B；（2）若，求．解：（1），故，因，所以.（2）設(shè)，代入中，，故，解得，由余弦定理得，則，故.16.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，分別是棱的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）證明：平面．解：（1）連接交于點(diǎn)，由四邊形是菱形得，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋?，，平面，所以平面，又平面，所以．?）連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，又分別是棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，同理可得平面，因?yàn)槠矫妫遥云矫嫫矫?，又平?所以平面．17.某班學(xué)生日睡眠時(shí)間（單位：h）的頻率分布表如下：分組[7，7.5）[7.5，8）[8，8.5）[8.5，9]頻數(shù)4x20y頻率ab0.40.12（1）計(jì)算該班學(xué)生的平均日睡眠時(shí)間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從該班日睡眠時(shí)間在和的學(xué)生中抽取5人．再?gòu)某槿〉?人中隨機(jī)抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠時(shí)間在[7，7.5）的概率．解：（1）因?yàn)槿萘?，所以，所以該班學(xué)生的平均日睡眠時(shí)間為.（2）由（1）知，該班日睡眠時(shí)間在和頻率比為，由比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，分別從和兩組的學(xué)生中抽取2人，3人，記中抽取的2人為，中抽取的3人為，設(shè)“2人中至少有1人的睡眠時(shí)間在”為事件，則，，所以發(fā)生的概率，所以2人中至少有1人的日睡眠時(shí)間在[7，7.5）的概率為.18.已知面積為9，點(diǎn)D在BC