2023-2024學(xué)年山西省陽(yáng)泉市高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省陽(yáng)泉市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共6小題，每小題5分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知向量，且，則（）A.1 B. C. D.0〖答案〗D〖解析〗由題意知，所以.故選：D.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗由題意，所以，所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，它在第三象限.故選：C.3.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列說(shuō)法正確的是（）A.與互為對(duì)立事件 B.C.與相等 D.與互斥〖答案〗B〖解析〗AD選項(xiàng)，事件與能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，不是對(duì)立事件，故AD均錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，故B正確；C選項(xiàng)，事件與事件不是同一個(gè)事件，故C錯(cuò)誤．故選：B．4.如圖所示，點(diǎn)E為的邊AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BE上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，則=（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C.5.已知兩條不同直線m，n與三個(gè)不同平面，，，則下列命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，，則〖答案〗A〖解析〗A：若，，則，故A正確；B：若，則與可能平行或相交，故B錯(cuò)誤；C：若，，則或，故C錯(cuò)誤；D：若，，，則與可能相交、平行或異面，故D錯(cuò)誤.故選：A.6.海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象．若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑，即兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)，測(cè)得，，，，則兩點(diǎn)間的距離為（）A.80 B. C.160 D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，所以，，所以，又因?yàn)椋?，在中，由正弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所?故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共2小題，每小題5分，共10分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有錯(cuò)選得0分．7.給出下列說(shuō)法，其中正確的是（）A.數(shù)據(jù)0，1，2，4的極差與中位數(shù)之積為6B.已知一組數(shù)據(jù)的方差是5，則數(shù)據(jù)的方差是20C.已知一組數(shù)據(jù)的方差為0，則此組數(shù)據(jù)的眾數(shù)唯一D.已知一組不完全相同的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，在這組數(shù)據(jù)中加入一個(gè)數(shù)后得到一組新數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，則〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，極差為，中位數(shù)為，所以極差與中位數(shù)之積為，A對(duì)；對(duì)于B，根據(jù)方差的性質(zhì)可知，數(shù)據(jù)的方差是，B錯(cuò)；對(duì)于C，由方差，可得，即此組數(shù)據(jù)眾數(shù)唯一，C對(duì)；對(duì)于D，，，D對(duì).故選：ACD.8.如圖圓臺(tái)，在軸截面中，，下面說(shuō)法正確的是（）A.線段B.該圓臺(tái)的表面積為C.該圓臺(tái)的體積為D.沿著該圓臺(tái)的表面，從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為5〖答案〗ABD〖解析〗顯然四邊形是等腰梯形，，其高即為圓臺(tái)的高，對(duì)于A，在等腰梯形中，，A正確；對(duì)于B，圓臺(tái)的表面積，B正確；對(duì)于C，圓臺(tái)的體積，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將圓臺(tái)一半側(cè)面展開(kāi)，如下圖中扇環(huán)且為中點(diǎn)，而圓臺(tái)對(duì)應(yīng)的圓錐半側(cè)面展開(kāi)為且，又，在△中，，斜邊上的高為，即與弧相離，所以C到AD中點(diǎn)的最短距離為5cm，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．9.某校從高一新生中隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為10的身高樣本，數(shù)據(jù)（單位：cm）從小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，171，172，173，175．則這組樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以這組樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是.故〖答案〗為：.10.若向量，，則向量在向量上的投影向量坐標(biāo)為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，所以，所以向量在向量上的投影向量的坐?biāo)為.故〖答案〗為：.11.如圖，是在斜二測(cè)畫(huà)法下的直觀圖，其中，且，則的面積為_(kāi)__________.〖答案〗〖解析〗，且，故，∴.故〖答案〗為：.12.在一個(gè)正三棱柱中，所有棱長(zhǎng)都為2，各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為_(kāi)_______．〖答案〗〖解析〗由已知做出正三棱柱，則，設(shè)點(diǎn)分別為正，正的中心，連接，則，連接并延長(zhǎng)交于于點(diǎn)，則，，設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，連接CO，則點(diǎn)為正三棱柱外接球的球心，且平面，，因?yàn)辄c(diǎn)為正的中心，所以，所以，則，因?yàn)槠矫?，所以，則正三棱柱外接球半徑，所以該球的表面積為：.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共3小題，共40分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．13.如圖，在四棱錐中，，，，E為棱AD的中點(diǎn)，．（1）求證：平面；（2）若，求二面角的平面角的正切值．解：（1）由題意知，，所以且，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面.（2）由平面，平面，得，又平面，所以平面，由平面，得，所以為二面角的平面角，又平面，平面，得，在中，，所以，即二面角的平面角的正切值為.14.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若．（1）求B；（2）若，且，求的面積的最大值．解：（1），由正弦定理得，即，，，又，所以，即，又，所以.（2），得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即的面積的最大值為.15.第33屆奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2024年7月26日至2024年8月11日在法國(guó)巴黎舉行，某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解人們對(duì)“奧運(yùn)會(huì)”相關(guān)知識(shí)的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“奧運(yùn)會(huì)”知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有m人，按年齡分成5組，其中第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這m人的平均年齡；（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的“奧運(yùn)會(huì)”宣傳使者．①若有甲（年齡38），乙（年齡40）兩人已確定入選，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和1，據(jù)此估計(jì)這m人中35～45歲所有人的年齡的方差．解：（1）設(shè)這人的平均年齡為，則（歲）.（2）①：由頻率分布直方圖可知各組的頻率之比為，第四組應(yīng)抽取人，記A，，，甲，第五組抽取人，記為，乙，對(duì)應(yīng)的樣本空間為，，,甲），,乙），，，,甲），乙），，,甲）,乙），，（甲,乙），（甲,，（乙,，共15個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)事件“甲、乙兩人至少一人被選上”，則,甲），,乙），,甲），,乙），,甲），,乙），（甲,乙），（甲,，（乙,，共有9個(gè)樣本點(diǎn)，所以.②：設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，則，，，，設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為；則，，因此第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10，據(jù)此可估計(jì)這人中年齡在歲的所有人的年齡方差約為10.山西省陽(yáng)泉市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共6小題，每小題5分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知向量，且，則（）A.1 B. C. D.0〖答案〗D〖解析〗由題意知，所以.故選：D.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗由題意，所以，所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，它在第三象限.故選：C.3.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列說(shuō)法正確的是（）A.與互為對(duì)立事件 B.C.與相等 D.與互斥〖答案〗B〖解析〗AD選項(xiàng)，事件與能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，不是對(duì)立事件，故AD均錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，故B正確；C選項(xiàng)，事件與事件不是同一個(gè)事件，故C錯(cuò)誤．故選：B．4.如圖所示，點(diǎn)E為的邊AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BE上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，則=（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C.5.已知兩條不同直線m，n與三個(gè)不同平面，，，則下列命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，，則〖答案〗A〖解析〗A：若，，則，故A正確；B：若，則與可能平行或相交，故B錯(cuò)誤；C：若，，則或，故C錯(cuò)誤；D：若，，，則與可能相交、平行或異面，故D錯(cuò)誤.故選：A.6.海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象．若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑，即兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)，測(cè)得，，，，則兩點(diǎn)間的距離為（）A.80 B. C.160 D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，所以，，所以，又因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所?故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共2小題，每小題5分，共10分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有錯(cuò)選得0分．7.給出下列說(shuō)法，其中正確的是（）A.數(shù)據(jù)0，1，2，4的極差與中位數(shù)之積為6B.已知一組數(shù)據(jù)的方差是5，則數(shù)據(jù)的方差是20C.已知一組數(shù)據(jù)的方差為0，則此組數(shù)據(jù)的眾數(shù)唯一D.已知一組不完全相同的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，在這組數(shù)據(jù)中加入一個(gè)數(shù)后得到一組新數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，則〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，極差為，中位數(shù)為，所以極差與中位數(shù)之積為，A對(duì)；對(duì)于B，根據(jù)方差的性質(zhì)可知，數(shù)據(jù)的方差是，B錯(cuò)；對(duì)于C，由方差，可得，即此組數(shù)據(jù)眾數(shù)唯一，C對(duì)；對(duì)于D，，，D對(duì).故選：ACD.8.如圖圓臺(tái)，在軸截面中，，下面說(shuō)法正確的是（）A.線段B.該圓臺(tái)的表面積為C.該圓臺(tái)的體積為D.沿著該圓臺(tái)的表面，從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為5〖答案〗ABD〖解析〗顯然四邊形是等腰梯形，，其高即為圓臺(tái)的高，對(duì)于A，在等腰梯形中，，A正確；對(duì)于B，圓臺(tái)的表面積，B正確；對(duì)于C，圓臺(tái)的體積，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將圓臺(tái)一半側(cè)面展開(kāi)，如下圖中扇環(huán)且為中點(diǎn)，而圓臺(tái)對(duì)應(yīng)的圓錐半側(cè)面展開(kāi)為且，又，在△中，，斜邊上的高為，即與弧相離，所以C到AD中點(diǎn)的最短距離為5cm，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．9.某校從高一新生中隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為10的身高樣本，數(shù)據(jù)（單位：cm）從小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，171，172，173，175．則這組樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以這組樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是.故〖答案〗為：.10.若向量，，則向量在向量上的投影向量坐標(biāo)為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，所以，所以向量在向量上的投影向量的坐?biāo)為.故〖答案〗為：.11.如圖，是在斜二測(cè)畫(huà)法下的直觀圖，其中，且，則的面積為_(kāi)__________.〖答案〗〖解析〗，且，故，∴.故〖答案〗為：.12.在一個(gè)正三棱柱中，所有棱長(zhǎng)都為2，各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為_(kāi)_______．〖答案〗〖解析〗由已知做出正三棱柱，則，設(shè)點(diǎn)分別為正，正的中心，連接，則，連接并延長(zhǎng)交于于點(diǎn)，則，，設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，連接CO，則點(diǎn)為正三棱柱外接球的球心，且平面，，因?yàn)辄c(diǎn)為正的中心，所以，所以，則，因?yàn)槠矫?，所以，則正三棱柱外接球半徑，所以該球的表面積為：.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共3小題，共40分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．13.如圖，在四棱錐中，，，，E為棱AD的中點(diǎn)，．（1）求證：平面；（2）若，求二面角的平面角的正切值．解：（1）由題意知，，所以且，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面.（2）由平面，平面，得，又平面，所以平面，由平面，得，所以為二面角的平面角，又平面，平面，得，在中，，所以，即二面角的平面角的正切值為.14.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若．（1）求B；（2）若，且，求的面積的最大值．解：（1），由正弦定理得，即，，，又，所以，即，又，所以.（2），得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即的面積的最大值為.15.第33屆奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2024年7月26日至2024年8月11日在法國(guó)巴黎舉行，某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解人們對(duì)“奧運(yùn)會(huì)”相關(guān)知識(shí)的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“奧運(yùn)會(huì)”知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有m人，按年齡分成5組，其中第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這m人的平均年齡；（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的“奧運(yùn)會(huì)”宣傳使者．①若有甲（年齡38），乙（年齡40）兩人已確定入選，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和1，據(jù)此估計(jì)這m人中35～45歲所有人的年齡的方差．解：（1）設(shè)這人的平均年齡為，則（歲）.（2）①