2023-2024學年上海市靜安區(qū)高一下學期期末教學質量調研數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1上海市靜安區(qū)2023-2024學年高一下學期期末教學質量調研數(shù)學試題一、填空題（本大題共有10題，滿分35分，其中1~5題每題3分，6~10題每題4分.）1.已知向量，則______．〖答案〗〖解析〗，故.故〖答案〗為：.2.若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則______．〖答案〗〖解析〗，故，故.故〖答案〗為：.3.已知（其中為正整數(shù)）是公比為的等比數(shù)列，且，則______．〖答案〗3〖解析〗由題意可知，故，所以.故〖答案〗為：3.4.已知角的終邊經過點，則______．〖答案〗〖解析〗由題得，故由三角函數(shù)定義得，所以.故〖答案〗為：.5.已知向量，且，則實數(shù)______．〖答案〗2〖解析〗由題，又，故，.故〖答案〗為：.6.已知平面上兩點的坐標分別是是直線上的一點，且，則點的坐標是______．〖答案〗〖解析〗設，則，故，即，解得，故點的坐標為.故〖答案〗為：.7.在中，若，則___________〖答案〗〖解析〗由正弦定理，且，則，設，由余弦定理，可得.故〖答案〗為：.8.設是正實數(shù)，將函數(shù)的圖象繞坐標原點逆時針方向旋轉角，得到的曲線仍然是某個函數(shù)的圖象，則的最大值______．〖答案〗〖解析〗如圖：函數(shù)在第一象限的射線的傾斜角為，圖象關于軸對稱，將函數(shù)的圖象繞坐標原點逆時針方向旋轉角，當時，所得圖象與垂直于的直線還是只有1個交點，所以仍然是函數(shù)的圖象；當時，旋轉所得的圖象是一段為，一段是軸的正半軸（包括原點），不是函數(shù)圖象；當時，如圖所示，則圖形不是函數(shù)的圖象，又，故的最大值為.故〖答案〗為：.9.已知角的終邊經過點，則______．〖答案〗〖解析〗角的終邊經過點，可得，因為，，所以，可得.故〖答案〗為：.10.函數(shù)的部分圖像的示意圖如圖所示，已知，且，則______．〖答案〗〖解析〗由圖可得，又，故，，又，故，則有，，即，，又，則，即，由，則，即，故或，，即或，，又，故，則.故〖答案〗：.二、選擇題（本大題共有3題，滿分12分，每題4分.）11.已知，則角的終邊所在的象限為第（）象限．A.一 B.二 C.三 D.四〖答案〗C〖解析〗由，則角的終邊所在的象限為第三象限.

故選：C.12.已知函數(shù)，且，則（）A.11 B.14 C.17 D.20〖答案〗B〖解析〗因為，故，而，故.故選：B.13.若函數(shù)在內是嚴格減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)在內是嚴格減函數(shù)，所以，，故.故選：D.三、解答題（本大題共有5題，滿分53分.）14.已知一元二次方程．（1）在復數(shù)范圍內解該方程；（2）設這個方程的兩個復數(shù)根在復平面上所對應的向量分別為（為坐標原點），求與夾角的大?。ńY果用反三角函數(shù)值表示）解：（1）因為，所以，所以方程有一對虛數(shù)根，設為、，又，解得，．（2）由（1）可得，，所以，所以與夾角的大小為．15.設是數(shù)列的前項和（其中為正整數(shù)），已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，求．解：設公差為，則，又，所以，解得，所以，故．16.化簡下列各式：（1）；（2）．解：（1）法一：．法2：.（2）.17.已知函數(shù)．（1）某同學打算用“五點法”畫出函數(shù)在某一周期內的圖象，列表如下：00100000請在答題紙上填寫上表的空格處數(shù)值，并寫出函數(shù)的表達式和單調遞增區(qū)間；（2）將（1）中函數(shù)的圖象向下平移個單位得到的圖象，若函數(shù)在閉區(qū)間上恰有兩個零點，請直接寫出實數(shù)的取值范圍．解：（1）根據(jù)“五點法”，完成列表：00100000所以表中所填的數(shù)據(jù)為：，由表格可知：，，，所以，由，，得，，所以函數(shù)單調遞增區(qū)間．（2）根據(jù)列出得表格，可以做出函數(shù)得圖象，如下：該問題轉化為方程在區(qū)間有兩個交點，又，，，所以的取值范圍是．18.在某一個十字路口，每次亮綠燈的時長為（為時間單位：秒），那么每次綠燈亮時，在同一條直行道路上同方向能有多少輛汽車通過該十字路口？該問題涉及車長、車距、車速，前方堵塞狀況包括行人非機動車等因素．為了將問題簡化，在路況車況駕駛狀態(tài)等都良好的前提下，提出如下基本假設：1．通過路口的車輛長度都相等；2．等待通行時，前后相鄰兩輛車的車距都相等；3．綠燈亮時，汽車都是沿同方向從靜止狀態(tài)勻加速啟動，到達最高限速汽車開始勻速行駛；4．離路口信號燈最近第一輛車在綠燈亮后延遲時間開始動起來．前一輛車啟動后，下一輛車啟動的延遲時間相等，在延遲時間內，車輛保持靜止；5．按照交通安全法規(guī)行駛，行車秩序良好，沒有碰擦或堵塞等現(xiàn)象發(fā)生．一名建模愛好者收集數(shù)據(jù)整理如下：1．車長設為，取，車距設為，取，第一輛車離停車線距離為；2．加速度記作，取，汽車在勻加速運動時段行駛路程；3．前后車啟動延遲時間記為，??；4．第輛車啟動延遲時間；5．該十字路口限速，換算為；6．第輛車到達最高限速的時間為取．設第輛車在綠燈持續(xù)時間內駛離停車線的距離為．根據(jù)上述假設與數(shù)據(jù)，，依次類推．請你解決下列問題：（1）求；（結果保留一位小數(shù)，單位：）（2）對于第輛車，寫出函數(shù)的分段表達式；（3）求在亮綠燈的內，這一條直行道路上同方向能有多少輛汽車通過該十字路口．解：（1），.（2）對第輛車，列出函數(shù)的分段表達式，相當于已經解決一般化的問題，通過對小汽車三個運動階段的分析，整理得：，其中，，或者寫成.（3）由于十字路口亮綠燈的時長為，即，于是，該實際問題可表述為數(shù)學問題：求的最大，與計算的方法相同，計算，，第8輛車沒有行駛到停車線時綠燈已經結束，沒能通過十字路口．在亮綠燈的內，這一條直行道路上同方向至多有7輛汽車通過該十字路口.上海市靜安區(qū)2023-2024學年高一下學期期末教學質量調研數(shù)學試題一、填空題（本大題共有10題，滿分35分，其中1~5題每題3分，6~10題每題4分.）1.已知向量，則______．〖答案〗〖解析〗，故.故〖答案〗為：.2.若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則______．〖答案〗〖解析〗，故，故.故〖答案〗為：.3.已知（其中為正整數(shù)）是公比為的等比數(shù)列，且，則______．〖答案〗3〖解析〗由題意可知，故，所以.故〖答案〗為：3.4.已知角的終邊經過點，則______．〖答案〗〖解析〗由題得，故由三角函數(shù)定義得，所以.故〖答案〗為：.5.已知向量，且，則實數(shù)______．〖答案〗2〖解析〗由題，又，故，.故〖答案〗為：.6.已知平面上兩點的坐標分別是是直線上的一點，且，則點的坐標是______．〖答案〗〖解析〗設，則，故，即，解得，故點的坐標為.故〖答案〗為：.7.在中，若，則___________〖答案〗〖解析〗由正弦定理，且，則，設，由余弦定理，可得.故〖答案〗為：.8.設是正實數(shù)，將函數(shù)的圖象繞坐標原點逆時針方向旋轉角，得到的曲線仍然是某個函數(shù)的圖象，則的最大值______．〖答案〗〖解析〗如圖：函數(shù)在第一象限的射線的傾斜角為，圖象關于軸對稱，將函數(shù)的圖象繞坐標原點逆時針方向旋轉角，當時，所得圖象與垂直于的直線還是只有1個交點，所以仍然是函數(shù)的圖象；當時，旋轉所得的圖象是一段為，一段是軸的正半軸（包括原點），不是函數(shù)圖象；當時，如圖所示，則圖形不是函數(shù)的圖象，又，故的最大值為.故〖答案〗為：.9.已知角的終邊經過點，則______．〖答案〗〖解析〗角的終邊經過點，可得，因為，，所以，可得.故〖答案〗為：.10.函數(shù)的部分圖像的示意圖如圖所示，已知，且，則______．〖答案〗〖解析〗由圖可得，又，故，，又，故，則有，，即，，又，則，即，由，則，即，故或，，即或，，又，故，則.故〖答案〗：.二、選擇題（本大題共有3題，滿分12分，每題4分.）11.已知，則角的終邊所在的象限為第（）象限．A.一 B.二 C.三 D.四〖答案〗C〖解析〗由，則角的終邊所在的象限為第三象限.

故選：C.12.已知函數(shù)，且，則（）A.11 B.14 C.17 D.20〖答案〗B〖解析〗因為，故，而，故.故選：B.13.若函數(shù)在內是嚴格減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)在內是嚴格減函數(shù)，所以，，故.故選：D.三、解答題（本大題共有5題，滿分53分.）14.已知一元二次方程．（1）在復數(shù)范圍內解該方程；（2）設這個方程的兩個復數(shù)根在復平面上所對應的向量分別為（為坐標原點），求與夾角的大小．（結果用反三角函數(shù)值表示）解：（1）因為，所以，所以方程有一對虛數(shù)根，設為、，又，解得，．（2）由（1）可得，，所以，所以與夾角的大小為．15.設是數(shù)列的前項和（其中為正整數(shù)），已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，求．解：設公差為，則，又，所以，解得，所以，故．16.化簡下列各式：（1）；（2）．解：（1）法一：．法2：.（2）.17.已知函數(shù)．（1）某同學打算用“五點法”畫出函數(shù)在某一周期內的圖象，列表如下：00100000請在答題紙上填寫上表的空格處數(shù)值，并寫出函數(shù)的表達式和單調遞增區(qū)間；（2）將（1）中函數(shù)的圖象向下平移個單位得到的圖象，若函數(shù)在閉區(qū)間上恰有兩個零點，請直接寫出實數(shù)的取值范圍．解：（1）根據(jù)“五點法”，完成列表：00100000所以表中所填的數(shù)據(jù)為：，由表格可知：，，，所以，由，，得，，所以函數(shù)單調遞增區(qū)間．（2）根據(jù)列出得表格，可以做出函數(shù)得圖象，如下：該問題轉化為方程在區(qū)間有兩個交點，又，，，所以的取值范圍是．18.在某一個十字路口，每次亮綠燈的時長為（為時間單位：秒），那么每次綠燈亮時，在同一條直行道路上同方向能有多少輛汽車通過該十字路口？該問題涉及車長、車距、車速，前方堵塞狀況包括行人非機動車等因素．為了將問題簡化，在路況車況駕駛狀態(tài)等都良好的前提下，提出如下基本假設：1．通過路口的車輛長度都相等；2．等待通行時，前后相鄰兩輛車的車距都相等；3．綠燈亮時，汽車都是沿同方向從靜止狀態(tài)勻加速啟動，到達最高限速汽車開始勻速行駛；4．離路口信號燈最近第一輛車在綠燈亮后延遲時間開始動起來．前一輛車啟動后，下一輛車啟動的延遲時間相等，在延遲時間內，車輛保持靜止；5．按照交通安全法規(guī)行駛，行車秩序良好，沒有碰擦或堵塞等現(xiàn)象發(fā)生．一名建模愛好者收集數(shù)據(jù)整理如下：1．車長設為，取，車距設為，取，第一輛車離停車線距離為；2．加速度記作，取，汽車在勻加速運動時段行駛路程；3．前后車啟動延遲時間記為，?。?．第輛車啟動延遲時間；5．該十字路口限速，換算為；6．第輛車到達最高限速的時間為?。O第輛車在綠燈持續(xù)時間內駛離停車線的距離為．根據(jù)上述假設與數(shù)據(jù)，，依次類推．請你解決下列問題：（1）求；（結果保留一位小數(shù)，單位：）（2）對于第