11.1.6祖暅原理與幾何體的體積課件高一數(shù)學(xué)人教B版

第十一章立體幾何初步祖暅原理與幾何體的體積人教B版

數(shù)學(xué)

必修第四冊(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解柱體、錐體和臺(tái)體體積公式的推導(dǎo),利用“祖暅原理”將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.2.掌握球的體積公式,會(huì)計(jì)算球的體積.3.熟練運(yùn)用體積公式求多面體和簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的體積.4.掌握柱體、錐體、臺(tái)體體積公式之間的關(guān)系,了解求幾何體體積的幾種技巧.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)1祖暅原理1.祖暅原理“冪勢(shì)既同,則積不容異”,由祖暅原理可知,

.

2.說明:祖暅原理充分體現(xiàn)了空間與平面問題的相互轉(zhuǎn)化思想,是推導(dǎo)柱、錐、臺(tái)體積公式的理論依據(jù).等底面積、等高的兩個(gè)柱體或錐體的體積相等

過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)等底等高的兩個(gè)柱體的體積相同.(

)(2)等底等高的圓柱的體積是圓錐的體積的9倍.(

)(3)在三棱柱A1B1C1-ABC中,有

.

(

)√××2.運(yùn)用祖暅原理來證明兩個(gè)幾何體的體積相等,需要幾個(gè)條件?分別是什么?提示需要三個(gè)條件,分別是:①這兩個(gè)幾何體夾在兩個(gè)平行平面之間.②平行于兩個(gè)平行平面的每一個(gè)平面可截得兩個(gè)截面.③兩個(gè)截面的面積總相等.知識(shí)點(diǎn)2柱、錐、臺(tái)的體積柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式如下表,其中,棱柱、棱錐的底面積為S,圓柱、圓錐的底面圓半徑為r,高為h,臺(tái)體的上、下底面面積分別為S1,S2,高為h,上、下底面圓的半徑分別為r'和r.名稱體積(V)柱體棱柱

圓柱πr2h錐體棱錐

圓錐πr2h臺(tái)體棱臺(tái)

圓臺(tái)πh(r2+rr'+r'2)Sh

名師點(diǎn)睛柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系設(shè)棱臺(tái)上底面面積為S',下底面面積為S過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)棱臺(tái)的體積可由兩個(gè)棱錐的體積差得出.(

)(2)棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是由若干個(gè)等腰梯形組成的.(

)(3)圓臺(tái)的高就是相應(yīng)母線的長(zhǎng).(

)√××2.圓錐底面半徑為3,母線長(zhǎng)為5,則這個(gè)圓錐的體積為(

)

A.36π

B.18πC.45π

D.12πD3.已知棱臺(tái)的上、下底面面積分別為4,16,高為3,則該棱臺(tái)的體積為

.

284.[人教A版教材習(xí)題]如圖,將一個(gè)長(zhǎng)方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截出一個(gè)棱錐,求棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比.知識(shí)點(diǎn)3球的體積一般地,如果球的半徑為R,那么球的體積計(jì)算公式為V球=

.

名師點(diǎn)睛求解與球有關(guān)切接問題時(shí)要認(rèn)真分析題中已知條件,明確切點(diǎn)與接點(diǎn)位置,正確作出截面圖,再分析相關(guān)量間的數(shù)量關(guān)系.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)球的體積V與球的表面積S的數(shù)值關(guān)系為

.(

)(2)兩個(gè)球的體積之比等于其半徑比的立方.(

)√√2.已知某球的體積與其表面積的數(shù)值相等,則此球的體積為

.

3.[北師大版教材習(xí)題]球表面積膨脹為原來的2倍,體積變?yōu)樵瓉淼膸妆?36π重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一柱體的體積【例1】

用一塊長(zhǎng)4m,寬2m的矩形鐵皮卷成一個(gè)圓柱形鐵筒,如何制作可使鐵筒的體積最大?解①若以矩形的長(zhǎng)為圓柱的母線l,則l=4

m,此時(shí)圓柱底面周長(zhǎng)為2

m,②若以矩形的寬為圓柱的母線,則母線長(zhǎng)為2,此時(shí)圓柱底面周長(zhǎng)為4

m,圓所以第二種情況可使鐵筒體積最大.變式訓(xùn)練1長(zhǎng)方體中由一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)側(cè)面的面積分別為S1,S2,S3,則該長(zhǎng)方體的體積為

.

解析

如圖,從長(zhǎng)方體中由頂點(diǎn)A出發(fā)的三個(gè)側(cè)面為矩形ADD1A1、矩形ADCB、矩形AA1B1B,它們的面積分別為S1,S2,S3.設(shè)AD=a,AB=b,AA1=c,探究點(diǎn)二錐體的體積A解析

作圓錐的軸截面(如圖所示).由題設(shè),在△POB中,∠APB=90°,PA=PB

.(2)如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,過頂點(diǎn)B,D,A1截下一個(gè)三棱錐,求剩余部分的體積.變式訓(xùn)練2(1)將若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形器皿中,量得水面高度為6cm,若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中,則水面高度為(

)B(2)[2023天津西青高一?？计谥衇如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,E是棱CC1的中點(diǎn),則三棱錐C1-EBD的體積為

.

探究點(diǎn)三臺(tái)體的體積【例3】

[北師大版教材習(xí)題]有一個(gè)正四棱臺(tái)形狀的油槽,可以裝油190L.已知它的兩底面邊長(zhǎng)分別等于60cm和40cm,求它的深度.變式訓(xùn)練3已知圓臺(tái)的高為3,在軸截面中,母線AA1與底面圓直徑AB的夾角為60°,軸截面中的一條對(duì)角線垂直于腰,求圓臺(tái)的體積.解如圖所示,作軸截面A1ABB1,設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑和母線長(zhǎng)分別為r,R,l,高為h.作A1D⊥AB于點(diǎn)D,則A1D=3.探究點(diǎn)四球的體積【例4】

[北師大版教材習(xí)題]已知一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上,它的棱長(zhǎng)是4cm.求這個(gè)球的體積.變式探究在本例中,將“正方體”改為“正四面體”,其他條件不變,求這個(gè)球的體積.規(guī)律方法

與棱長(zhǎng)為a的正方體相關(guān)的球有三個(gè):外接球、內(nèi)切球和與各條棱都相切的球,其半徑分別為

.變式訓(xùn)練4如果三個(gè)球的半徑之比是1∶2∶3,那么最大球的體積是其余兩個(gè)球的體積之和的(

)A.1倍

B.2倍

C.3倍

D.4倍C成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)1234567891011121314151617181920A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)四·2023浙江杭州高一校聯(lián)考期中]直徑為6cm的一個(gè)大金屬球,熔化后鑄成若干個(gè)直徑為2cm的小球,如果不計(jì)損耗,可鑄成這樣的小球的個(gè)數(shù)為(

)A.3 B.6

C.9

D.27D12345678910111213141516171819202.[探究點(diǎn)二·2023河南開封一模]已知圓錐的底面半徑為1,其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓,則該圓錐的體積為(

)B12345678910111213141516171819203.[探究點(diǎn)一]已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上,則該圓柱的體積為(

)B解析

繪制圓柱的軸截面如圖所示,1234567891011121314151617181920D12345678910111213141516171819205.[探究點(diǎn)三]圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2,4,母線長(zhǎng)為3,則圓臺(tái)的體積為(

)A12345678910111213141516171819206.[探究點(diǎn)四]若兩球的體積之和是12π,經(jīng)過兩球球心的截面圓周長(zhǎng)之和為6π,則兩球的半徑之差為(

)A.1 B.2

C.3 D.4A12345678910111213141516171819207.[探究點(diǎn)三·2023浙江平湖當(dāng)湖高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考]龍洗的盆體可以近似看作一個(gè)圓臺(tái).現(xiàn)有一龍洗盆高15cm,盆口直徑36cm,盆底直徑18cm.現(xiàn)往盆內(nèi)倒入水,當(dāng)水深5cm時(shí),盆內(nèi)水的體積近似為(

)B12345678910111213141516171819208.[探究點(diǎn)一]若一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為2π的正方形,則這個(gè)圓柱的表面積為

,體積為

.

2π+4π22π2解析

由題知,圓柱體的底面周長(zhǎng)、高均為2π.設(shè)底面半徑為r,則2πr=2π,解得r=1.所以圓柱體表面積S=2π×12+4π2=2π+4π2,體積V=π×12×2π=2π2.12345678910111213141516171819209.[探究點(diǎn)二]如圖,長(zhǎng)方體ABCD

-A1B1C1D1的體積是120,E為CC1的中點(diǎn),則三棱錐E-BCD的體積是

.

10123456789101112131415161718192010.[探究點(diǎn)四·2023浙江高一期中]山楂冰糖葫蘆是將可近似為球的山楂外圍裹上冰糖漿凝固制成的.假設(shè)山楂大小均勻,直徑均約為3cm,外層冰糖層均勻裹在山楂上,厚度在0.5cm左右,若有1L的冰糖漿,則大約可制作

顆冰糖葫蘆(π取3,最后結(jié)果精確到整數(shù)).

541234567891011121314151617181920B級(jí)關(guān)鍵能力提升練11.已知某圓錐的母線長(zhǎng)為2,其軸截面為直角三角形,則圓錐的體積為(

)A123456789101112131415161718192012.[2023浙江高一校聯(lián)考期中]如圖扇形ABC,圓心角A=90°,D為半徑AB的中點(diǎn),線段CB,CD把扇形分成三部分,這三部分繞AC旋轉(zhuǎn)一周,所得三部分旋轉(zhuǎn)體的體積V1,V2,V3之比是(

)A.1∶2∶2 B.1∶2∶3C.1∶3∶3 D.1∶3∶4D123456789101112131415161718192013.已知半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體,則這個(gè)半球的體積與正方體的體積之比為(

)B解析

作出過正方體的對(duì)角面的截面,如圖所示,123456789101112131415161718192014.有64個(gè)直徑都為

的球,記它們的體積之和為V甲,表面積之和為S甲;一個(gè)直徑為a的球,記其體積為V乙,表面積為S乙,則(

)A.V甲>V乙且S甲>S乙

B.V甲<V乙且S甲<S乙C.V甲=V乙且S甲>S乙

D.V甲=V乙且S甲=S乙C

123456789101112131415161718192015.(多選題)[探究點(diǎn)二·2023福建廈門一中?？计谥衇已知圓臺(tái)的上底半徑為1,下底半徑為3,球O與圓臺(tái)的兩個(gè)底面和側(cè)面都相切,則(

)A.圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為4B.圓臺(tái)的高為4C.圓臺(tái)的表面積為26πD.球O的表面積為12πACD123456789101112131415161718192016.[2023廣東東莞期中]圖1是一種木陀螺,可近似地看作是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體,其直觀圖如圖2所示,其中B,C分別是上、下底面圓的圓心,且AC=3AB=6,底面圓的半徑為2,則該陀螺的體積是(

)圖1圖2D123456789101112131415161718192017.如圖①,一只裝了水的密封瓶子,其內(nèi)部可以看成是由半徑為1cm和半徑為3cm的兩個(gè)圓柱組成的幾何體.當(dāng)這個(gè)幾何體如圖②水平放置時(shí),液面高度為20cm,當(dāng)這個(gè)幾何體如圖③水平放置時(shí),液面高度為28cm,則這個(gè)幾何體的總高度為

cm.

29解析

設(shè)半徑為1

cm和半徑為3

cm的兩個(gè)圓柱的高分別為h1

cm和h2

cm,則由題意知π·32·h2+π·12·(20-h2)=π·12·h1+π·32·(28-h1),整理得8π(h1+h2)=232π,所以h1+h2=29.123456789101112131415161718192018.[2023安徽宿松中學(xué)校聯(lián)考期中]依次連接棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1六個(gè)面的中心,得到的多面體的體積是

.

解析

依次連接正方體ABCD-A1B1C1D1六個(gè)面的中心,得到的多面體是正八面體,如圖.該正八面體為兩個(gè)全等的正四棱錐的組合體,正四棱錐的高為1,底面正方形的邊長(zhǎng)為12345678910