2023-2024學(xué)年浙江省臺(tái)金七校聯(lián)盟高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2浙江省臺(tái)金七校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.的值是（）A.20 B.40 C. D.〖答案〗B〖解析〗．故選：B．2.4名男生分別報(bào)名參加學(xué)校的足球隊(duì)、籃球隊(duì)、乒乓球隊(duì)，每人限報(bào)其中的一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)，不同報(bào)法的種數(shù)是（）A.6 B.24 C.64 D.81〖答案〗D〖解析〗由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：不同報(bào)法的種數(shù)是；故選：D.3.已知雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由離心率的定義可知：，則雙曲線的漸近線方程為：.故選A.4.8個(gè)人分成3人、3人、2人三組，共有（）種不同的分組方法.A.1120 B.840 C.560 D.280〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意，分組方法數(shù)為種故選：D.5.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，故選：A.6.設(shè)…，則（）A B. C.800 D.640〖答案〗B〖解析〗

要得到分兩種情況討論：①5個(gè)因式取1個(gè)，取4個(gè)，即②5個(gè)因式取2個(gè)，取3個(gè)，即所以二項(xiàng)展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：B.7.將三顆骰子各擲一次，記事件“三個(gè)點(diǎn)數(shù)互不相同”，事件“至少出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)”，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意可得，，所以.故選：C8.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，令函?shù)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，又因?yàn)椋?故選：B.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.隨機(jī)變量X的分布列如下：X01Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則可以為（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗隨機(jī)變量X的分布列如下：X01Pabc，且a，b，①，b，c成等差數(shù)列，，②聯(lián)立①②，得，，所以，，可以

，，

，故選：ABC10.如圖，直線與曲線相切于兩點(diǎn)，則有（）A.2個(gè)極大值點(diǎn) B.3個(gè)極大值點(diǎn) C.2個(gè)極小值點(diǎn) D.3個(gè)極小值點(diǎn)〖答案〗BC〖解析〗因?yàn)椋?，由圖知，有3個(gè)極大值點(diǎn)，設(shè)為，2個(gè)極小值點(diǎn)，設(shè)為，且，在左側(cè)時(shí)，，所以，在右側(cè)時(shí)，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，，所以，故為的三個(gè)極大值點(diǎn)，在左側(cè)時(shí)，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，，即，在右側(cè)時(shí)，，所以，故為的2個(gè)極小值點(diǎn)，故選：BC.11.一個(gè)不透明的口袋中有8個(gè)大小相同的球，其中紅球5個(gè)，白球2個(gè)，黑球1個(gè)，則下列選項(xiàng)正確的有（）A.從該口袋中任取3個(gè)球，設(shè)取出的紅球個(gè)數(shù)為，則數(shù)學(xué)期望B.每次從該口袋中任取一個(gè)球，記錄下顏色后放回口袋，先后取了3次，設(shè)取出的紅球次數(shù)為，則方差C.從該口袋中任取3個(gè)球，設(shè)取出的球的顏色有X種，則數(shù)學(xué)期望D.每次從該口袋中任取一個(gè)球，不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿出的白球的個(gè)數(shù)為Y，則數(shù)學(xué)期望〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)選項(xiàng)A，從該口袋中任取3個(gè)球，取出的紅球個(gè)數(shù)的可能取值為0，1，2，3，則，，，，則，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，每次從該口袋中任取一個(gè)球，是紅球的概率為，則取出的紅球次數(shù)為，則方差，故B正確;對(duì)選項(xiàng)C，從該口袋中任取3個(gè)球，取出的球的顏色有X種，X的可能取值為1，2，3，則，，則，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，每次從該口袋中任取一個(gè)球，不放回，拿出紅球即停，拿出白球的個(gè)數(shù)Y的可能取值為0，1，2，則，，，則，故D正確；故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量，且，則__________.〖答案〗〖解析〗，相應(yīng)的正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱(chēng)，，故〖答案〗為：13.若直線與直線平行，則__________，它們之間的距離為_(kāi)_________.〖答案〗①②〖解析〗因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得，所以直線的方程可化簡(jiǎn)，而直線，即直線，它們之間的距離為，故〖答案〗為：；.14.甲乙兩人輪流投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，規(guī)定誰(shuí)先擲出6點(diǎn)為勝者；前一場(chǎng)的勝者，則下一場(chǎng)后擲分出勝者算一場(chǎng)若第一場(chǎng)時(shí)是甲先擲，則第2場(chǎng)甲勝的概率為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗一場(chǎng)中先擲的人贏的概率為，，由，，，所以當(dāng)時(shí)，，所以一場(chǎng)中先擲的人贏的概率為，后擲的人贏的概率為，若第一場(chǎng)時(shí)是甲先擲且第二場(chǎng)甲勝，有兩種情況：第一場(chǎng)甲贏第二場(chǎng)甲贏和第一場(chǎng)乙贏第二場(chǎng)甲贏，記甲先擲且第二場(chǎng)甲贏的事件為A，所以，故〖答案〗為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知的二項(xiàng)展開(kāi)式中，僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且各項(xiàng)系數(shù)之和為（1）求實(shí)數(shù)a和n的值；（2）求展開(kāi)式中系數(shù)最小的項(xiàng)．解：（1）僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則令，則，又，則（2）二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，假設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大，由通項(xiàng)可得：，解得：故二項(xiàng)展開(kāi)式中第6項(xiàng)和第7項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大.又展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為正，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，故展開(kāi)式中系數(shù)最小的項(xiàng)是第6項(xiàng)：16.如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊所在的平面垂直于矩形所在的平面，，為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若為直線上一點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫嫠裕?）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，依題意，可得，，，，，所以，，，，又，為的中點(diǎn).，所以，設(shè)為平面的法向量，因?yàn)?，，則，即，取，可得，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為17.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，記的前項(xiàng)和為，求解：（1）由題意得：解得：，，（2）由題意得：，由于所以18.某商場(chǎng)擬在周年店慶進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)，對(duì)一次性消費(fèi)超過(guò)200元的顧客，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動(dòng)，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若向上點(diǎn)數(shù)不超過(guò)4點(diǎn)，獲得1分，否則獲得2分，進(jìn)行若干輪游戲，若累計(jì)得分為9分，則游戲結(jié)束，可得到200元禮券，若累計(jì)得分為10分，則游戲結(jié)束，可得到紀(jì)念品一份，最多進(jìn)行9輪游戲.（1）當(dāng)進(jìn)行完3輪游戲時(shí)，總分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若累計(jì)得分為的概率為，初始分?jǐn)?shù)為0分，記（i）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）求活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率.解：（1）由題意得每輪游戲獲得1分概率為，獲得2分的概率為，所以隨機(jī)變量可能取值為3，4，5，6，可得，，所以的分布列：3456所以期望.（2）（?。?，即累計(jì)得分為1分，是第1次擲骰子，向上點(diǎn)數(shù)不超過(guò)4點(diǎn)的概率，則，累計(jì)得分為分的情況有兩種：①，即前一輪累計(jì)得分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)超過(guò)4點(diǎn)得2分，其概率為，②，即前一輪累計(jì)得分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)沒(méi)超過(guò)4點(diǎn)得1分，其概率為，所以，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（ⅱ）因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，，…，，各式相加，得：，所以所以活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率為.19.已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)與函數(shù)有相同的最小值，求a的值；（3）證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)解：（1）的定義域：，，①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；綜上可得：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由（1）得：，且，，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，函數(shù)與函數(shù)有相同的最小值，，轉(zhuǎn)化為：，令，則，所以，在上單調(diào)遞增，又；（3）令，此時(shí)由（1）得：，令，則，，，，故浙江省臺(tái)金七校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.的值是（）A.20 B.40 C. D.〖答案〗B〖解析〗．故選：B．2.4名男生分別報(bào)名參加學(xué)校的足球隊(duì)、籃球隊(duì)、乒乓球隊(duì)，每人限報(bào)其中的一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)，不同報(bào)法的種數(shù)是（）A.6 B.24 C.64 D.81〖答案〗D〖解析〗由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：不同報(bào)法的種數(shù)是；故選：D.3.已知雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由離心率的定義可知：，則雙曲線的漸近線方程為：.故選A.4.8個(gè)人分成3人、3人、2人三組，共有（）種不同的分組方法.A.1120 B.840 C.560 D.280〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意，分組方法數(shù)為種故選：D.5.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，故選：A.6.設(shè)…，則（）A B. C.800 D.640〖答案〗B〖解析〗

要得到分兩種情況討論：①5個(gè)因式取1個(gè)，取4個(gè)，即②5個(gè)因式取2個(gè)，取3個(gè)，即所以二項(xiàng)展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：B.7.將三顆骰子各擲一次，記事件“三個(gè)點(diǎn)數(shù)互不相同”，事件“至少出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)”，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意可得，，所以.故選：C8.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，令函?shù)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，又因?yàn)椋?故選：B.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.隨機(jī)變量X的分布列如下：X01Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則可以為（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗隨機(jī)變量X的分布列如下：X01Pabc，且a，b，①，b，c成等差數(shù)列，，②聯(lián)立①②，得，，所以，，可以

，，

，故選：ABC10.如圖，直線與曲線相切于兩點(diǎn)，則有（）A.2個(gè)極大值點(diǎn) B.3個(gè)極大值點(diǎn) C.2個(gè)極小值點(diǎn) D.3個(gè)極小值點(diǎn)〖答案〗BC〖解析〗因?yàn)?，所以，由圖知，有3個(gè)極大值點(diǎn)，設(shè)為，2個(gè)極小值點(diǎn)，設(shè)為，且，在左側(cè)時(shí)，，所以，在右側(cè)時(shí)，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，，所以，故為的三個(gè)極大值點(diǎn)，在左側(cè)時(shí)，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，，即，在右側(cè)時(shí)，，所以，故為的2個(gè)極小值點(diǎn)，故選：BC.11.一個(gè)不透明的口袋中有8個(gè)大小相同的球，其中紅球5個(gè)，白球2個(gè)，黑球1個(gè)，則下列選項(xiàng)正確的有（）A.從該口袋中任取3個(gè)球，設(shè)取出的紅球個(gè)數(shù)為，則數(shù)學(xué)期望B.每次從該口袋中任取一個(gè)球，記錄下顏色后放回口袋，先后取了3次，設(shè)取出的紅球次數(shù)為，則方差C.從該口袋中任取3個(gè)球，設(shè)取出的球的顏色有X種，則數(shù)學(xué)期望D.每次從該口袋中任取一個(gè)球，不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿出的白球的個(gè)數(shù)為Y，則數(shù)學(xué)期望〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)選項(xiàng)A，從該口袋中任取3個(gè)球，取出的紅球個(gè)數(shù)的可能取值為0，1，2，3，則，，，，則，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，每次從該口袋中任取一個(gè)球，是紅球的概率為，則取出的紅球次數(shù)為，則方差，故B正確;對(duì)選項(xiàng)C，從該口袋中任取3個(gè)球，取出的球的顏色有X種，X的可能取值為1，2，3，則，，則，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，每次從該口袋中任取一個(gè)球，不放回，拿出紅球即停，拿出白球的個(gè)數(shù)Y的可能取值為0，1，2，則，，，則，故D正確；故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量，且，則__________.〖答案〗〖解析〗，相應(yīng)的正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱(chēng)，，故〖答案〗為：13.若直線與直線平行，則__________，它們之間的距離為_(kāi)_________.〖答案〗①②〖解析〗因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得，所以直線的方程可化簡(jiǎn)，而直線，即直線，它們之間的距離為，故〖答案〗為：；.14.甲乙兩人輪流投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，規(guī)定誰(shuí)先擲出6點(diǎn)為勝者；前一場(chǎng)的勝者，則下一場(chǎng)后擲分出勝者算一場(chǎng)若第一場(chǎng)時(shí)是甲先擲，則第2場(chǎng)甲勝的概率為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗一場(chǎng)中先擲的人贏的概率為，，由，，，所以當(dāng)時(shí)，，所以一場(chǎng)中先擲的人贏的概率為，后擲的人贏的概率為，若第一場(chǎng)時(shí)是甲先擲且第二場(chǎng)甲勝，有兩種情況：第一場(chǎng)甲贏第二場(chǎng)甲贏和第一場(chǎng)乙贏第二場(chǎng)甲贏，記甲先擲且第二場(chǎng)甲贏的事件為A，所以，故〖答案〗為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知的二項(xiàng)展開(kāi)式中，僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且各項(xiàng)系數(shù)之和為（1）求實(shí)數(shù)a和n的值；（2）求展開(kāi)式中系數(shù)最小的項(xiàng)．解：（1）僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則令，則，又，則（2）二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，假設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大，由通項(xiàng)可得：，解得：故二項(xiàng)展開(kāi)式中第6項(xiàng)和第7項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大.又展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為正，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，故展開(kāi)式中系數(shù)最小的項(xiàng)是第6項(xiàng)：16.如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊所在的平面垂直于矩形所在的平面，，為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若為直線上一點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫嫠裕?）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，依題意，可得，，，，，所以，，，，又，為的中點(diǎn).，所以，設(shè)為平面的法向量，因?yàn)椋?，則，即，取，可得，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為17.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，記的前項(xiàng)和為，求解：（1）由題意得：解得：，，（2）由題意得：，由于所以18.某商場(chǎng)擬在周年店慶進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)，對(duì)一次性消費(fèi)超過(guò)200元的顧客，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動(dòng)，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若向上點(diǎn)數(shù)不超過(guò)4點(diǎn)，獲得1分，否則獲得2分，進(jìn)行若干輪游戲，若累計(jì)得