2022-2023學年福建省廈門市高二下學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2福建省廈門市2022-2023學年高二下學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題考生注意：1.答題前，考生務必將自己的準考證號、姓名填寫在答題卡上.考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名、考試科目”與考生本人準考證號、姓名是否一致.2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.等比數(shù)列中，，，則（）A.1 B.2 C.4 D.8〖答案〗A〖解析〗因為是等比數(shù)列，依題意，，所以.故選：A2.直線被圓所截得的弦長為（）A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗由圓的方程，則其圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，則弦長.故選：C.3.在的展開式中，的系數(shù)為（）A.8 B.10 C.80 D.160〖答案〗C〖解析〗的展開式的通項公式為，其中，當時，可得展開式中的系數(shù)為.故選：C4.試驗測得四組成對數(shù)據(jù)的值分別為，由此可得關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為，根據(jù)經(jīng)驗回歸方程預測，當時，（）A.8.4 B.8.6 C.8.7 D.9〖答案〗C〖解析〗由條件可知，，，回歸直線過點，代入直線，得，得，所以回歸直線方程為，當時，.故選：C5.甲、乙兩選手進行乒乓球比賽，采取五局三勝制（先勝三局者獲勝，比賽結(jié)束），如果每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，則甲選手以3：1獲勝的概率為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗甲選手以3：1獲勝，說明前3場中甲贏了兩場，輸了一場，且第四場甲贏，故所求概率為.故選：A6.如圖，太陽灶是一種將太陽光反射至一點用來加熱水或食物的設備，上面裝有拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分，已知太陽灶的口徑（直徑）為4m，深度為0.5m，則該拋物線頂點到焦點的距離為（）A.0.25m B.0.5m C.1m D.2m〖答案〗D〖解析〗以該拋物線頂點為原點建立平面直角坐標系，如圖所示：設此拋物線方程為，依題意點在此拋物線上，所以，解得，則該拋物線頂點到焦點的距離為.故選：D7.把正方形紙片沿對角線折成直二面角，，，分別為，，的中點，則折紙后的大小為（）A.60° B.90° C.120° D.150°〖答案〗C〖解析〗折起后的圖形如下所示，連接，，則，，又平面平面，平面平面，平面，平面，，，三直線兩兩垂直，分別以這三直線為，，軸，建立空間直角坐標系，設正方形的對角線長為2，則可確定以下點坐標：，，，，，，，，，，又，，．故選：C8.直線與兩條曲線和均相切，則的斜率為（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗B〖解析〗由，可得；由，可得，設兩個切點分別為和，直線l的斜率，故，由，所以，即直線l的斜率為1.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分，9.函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞減B.在處取得極大值C.在區(qū)間上有2個極大值點D.在處取得最大值〖答案〗AB〖解析〗由導函數(shù)的圖象可知：時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增.故A，B正確，C，D錯誤.故選：AB10.如圖，已知正方體的棱長為1，則（）A. B.平面C.三棱錐的體積為 D.到平面的距離為〖答案〗ACD〖解析〗如圖建系，，A選項正確；設平面法向量，令，，，不平行平面，B選項錯誤；,平面法向量，到平面的距離為，D選項正確；三棱錐的體積為，C選項正確.故選：ACD.11.設A、B是隨機試驗的兩個事件，，，，則（）A.事件A與事件B互斥 B.事件A與事件B相互獨立C. D.〖答案〗BCD〖解析〗因為，所以，故A錯誤；因，所以事件A與事件B相互獨立，故B正確；因為，故C正確；因為，故D正確.故選：BCD12.在平面直角坐標系中，，，動點P滿足，則（）A.P的軌跡方程為 B.P的軌跡關(guān)于直線對稱C.的面積的最大值為2 D.P的橫坐標的取值范圍為〖答案〗BCD〖解析〗對于A，設，則，得到，故A錯誤.對于B，由橢圓定義知P的軌跡是以為焦點的橢圓，故所在直線是橢圓的對稱軸，故B正確.對于C，因為長半軸，半焦距，所以短半軸，當點P在短軸頂點上，，此時的面積最大，最大值為2，故C正確.對于D，聯(lián)立方程，得，由，得，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線的一個方向向量，平面的一個法向量，若，則____________.〖答案〗〖解析〗因為直線的一個方向向量，平面的一個法向量且，所以，所以，即，所以.故〖答案〗：14.已知雙曲線C：的漸近線方程為，則C的離心率為_____________.〖答案〗〖解析〗因為雙曲線C：的漸近線方程為，所以，所以離心率，故〖答案〗：15.甲、乙、丙3個公司承包6項不同的工程，甲承包1項，乙承包2項，丙承包3項，則共有____________種承包方式（用數(shù)字作答）.〖答案〗60〖解析〗由題意得，不同的承包方案分步完成，先讓甲承包1項，有種，再讓乙承包2項，有，剩下的3項丙承包，所以由分步乘法原理可得共有種方案，故〖答案〗為：6016.畢達哥拉斯樹的生長方式如下：以邊長為1的正方形的一邊作為斜邊，向外作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的兩直角邊為邊向外作正方形，得到2個新的小正方形，實現(xiàn)了一次生長，再將這兩個小正方形各按照上述方式生長，如此重復下去，則第次生長得到的小正方形的周長的和為______________；11次生長后所有小正方形（包括第一個正方形）的周長的總和為______________.〖答案〗①②〖解析〗每次生長的小正方形的個數(shù)，構(gòu)成以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，每次生長的小正方形的邊長構(gòu)成以為首項，為公比的等比數(shù)列，每次生長的小正方形周長和依次構(gòu)成等比數(shù)列，首項，公比，故第n次生長得到的小正方形的周長的和為，11次生長后所有小正方形（包括第一個正方形）共12組，周長的總和為.故〖答案〗為：；四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列的公差，其前項和為，若，，成等比數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求證：.解：（1）因為，，成等比數(shù)列，，所以，由，解得，所以.（2）由，，得，由，有，所以，得.18.隨著全球新能源汽車市場蓬勃發(fā)展，中國在十余年間實現(xiàn)了“彎道超車”，新能源汽車產(chǎn)量連續(xù)7年位居世界第一.某新能源汽車企業(yè)改進并生產(chǎn)了某款純電動車，該款電動車有白色和紅色.為研究購車顧客性別是否與其購買的車輛顏色有關(guān)，公司研究團隊利用隨機抽樣的方法收集了購買該車型的男生和女生各60人的數(shù)據(jù)，得到成對樣本數(shù)據(jù)的分類統(tǒng)計結(jié)果，如下表所示：性別車輛顏色白色紅色女生4020男生5010（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為購車顧客的性別與其購買的車輛顏色有關(guān)聯(lián)?（2）現(xiàn)從上述購買白色車輛的90名顧客中按性別比例分配的分層隨機抽樣抽取9人，從購買紅色車輛的30名顧客中按性別比例分配的分層隨機抽樣抽取3人，并從這12人中依次抽取2人作為幸運嘉賓，求第二次抽到的嘉賓是男生且購買白色車輛的概率.附：，其中臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設為：購車顧客的性別與其購買的車輛顏色無關(guān)聯(lián).根據(jù)列表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為購車顧客的性別與其購買的車輛顏色有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.（2）由題得抽取的12人中，是男生且購買白色車輛的有5人.設A=“第一次抽到的是男生且購買白色車輛”，B=“第二次抽到的是男生且購買白色車輛”.，，，，由全概率公式，得.所以第二次抽到的嘉賓是男生且購買白色車輛概率為.19.如圖所示，在三棱柱中，是正三角形，D為棱AC的中點，，平面交于點E.（1）證明：四邊形是矩形（2）若，，求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）取的中點，則點為平面與棱的交點，證明如下：連接和，因為點分別是和的中點，所以∥，，因為∥，，所以∥，，所以四邊形是平行四邊形，所以點為平面與棱的交點，因為，∥，所以所以四邊形是矩形，（2）連接，在正中，為的中點，所以，因為，，平面，所以平面，因為，，所以為正三角形，因為為棱的中點，所以，以為坐標原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，設三棱柱的棱長為2，則，所以,，設平面的法向量為，則，令，則所以平面的一個法向量為，設平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，設平面與平面的夾角的大小為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為20.某商場為促進消費，規(guī)定消費滿一定金額可以參與抽獎活動.抽獎箱中有4個藍球和4個紅球，這些球除顏色外完全相同.有以下兩種抽獎方案可供選擇：初始獎池摸球方式獎勵規(guī)則方案A30元不放回摸3次，每次摸出1個球.每摸出一個紅球，獎池金額增加50元，在抽獎結(jié)束后獲得獎池所有金額.方案B有放回摸3次，每次摸出1個球.每摸出一個紅球，獎池金額翻倍，在抽獎結(jié)束后獲得獎池所有金額.（1）若顧客選擇方案A，求其所獲得獎池金額X的分布列及數(shù)學期望.（2）以獲得獎池金額的期望值為決策依據(jù)，顧客應該選擇方案A還是方案B?解：（1）由題意可知可能取值為30，80，130，180，則，，，，所以的分布列為3080130180所以（2）設顧客選方案，所獲得的金額為，則的可能取值為30，60，120，240，則，，，，所以，所以，所以選擇方案.21.已知函數(shù).（1）當時，討論單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍解：（1）當時，，定義域為，在定義域上單調(diào)遞增，令，得，則當時，，則在單調(diào)遞減；當時，，則在單調(diào)遞增；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）由函數(shù)，，，由于在為增函數(shù)，且值域為，所以在上有唯一的實數(shù)根，即，得，則，則當時，所以，則在單調(diào)遞減；當時，所以，則在單調(diào)遞增；當時，取得最小值，，令，即在上恒成立，令，則，則當時，，則在單調(diào)遞減；當時，，則在單調(diào)遞增；所以，所以只需，即.22.已知點在曲線上，為坐標原點，若點滿足，記動點的軌跡為.（1）求的方程；（2）已知點在曲線上，點，在曲線上，若四邊形為平行四邊形，則其面積是否為定值?若是，求出定值；若不是，說明理由解：（1）設，，因為點在曲線上，所以，因為，所以，代入可得，即，即的方程為；（2）設，，，因為點在曲線上，所以，因為四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以，又、，所以，因為，所以，直線：，點到直線的距離，所以平行四邊形的面積.福建省廈門市2022-2023學年高二下學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題考生注意：1.答題前，考生務必將自己的準考證號、姓名填寫在答題卡上.考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名、考試科目”與考生本人準考證號、姓名是否一致.2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.等比數(shù)列中，，，則（）A.1 B.2 C.4 D.8〖答案〗A〖解析〗因為是等比數(shù)列，依題意，，所以.故選：A2.直線被圓所截得的弦長為（）A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗由圓的方程，則其圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，則弦長.故選：C.3.在的展開式中，的系數(shù)為（）A.8 B.10 C.80 D.160〖答案〗C〖解析〗的展開式的通項公式為，其中，當時，可得展開式中的系數(shù)為.故選：C4.試驗測得四組成對數(shù)據(jù)的值分別為，由此可得關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為，根據(jù)經(jīng)驗回歸方程預測，當時，（）A.8.4 B.8.6 C.8.7 D.9〖答案〗C〖解析〗由條件可知，，，回歸直線過點，代入直線，得，得，所以回歸直線方程為，當時，.故選：C5.甲、乙兩選手進行乒乓球比賽，采取五局三勝制（先勝三局者獲勝，比賽結(jié)束），如果每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，則甲選手以3：1獲勝的概率為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗甲選手以3：1獲勝，說明前3場中甲贏了兩場，輸了一場，且第四場甲贏，故所求概率為.故選：A6.如圖，太陽灶是一種將太陽光反射至一點用來加熱水或食物的設備，上面裝有拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分，已知太陽灶的口徑（直徑）為4m，深度為0.5m，則該拋物線頂點到焦點的距離為（）A.0.25m B.0.5m C.1m D.2m〖答案〗D〖解析〗以該拋物線頂點為原點建立平面直角坐標系，如圖所示：設此拋物線方程為，依題意點在此拋物線上，所以，解得，則該拋物線頂點到焦點的距離為.故選：D7.把正方形紙片沿對角線折成直二面角，，，分別為，，的中點，則折紙后的大小為（）A.60° B.90° C.120° D.150°〖答案〗C〖解析〗折起后的圖形如下所示，連接，，則，，又平面平面，平面平面，平面，平面，，，三直線兩兩垂直，分別以這三直線為，，軸，建立空間直角坐標系，設正方形的對角線長為2，則可確定以下點坐標：，，，，，，，，，，又，，．故選：C8.直線與兩條曲線和均相切，則的斜率為（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗B〖解析〗由，可得；由，可得，設兩個切點分別為和，直線l的斜率，故，由，所以，即直線l的斜率為1.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分，9.函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞減B.在處取得極大值C.在區(qū)間上有2個極大值點D.在處取得最大值〖答案〗AB〖解析〗由導函數(shù)的圖象可知：時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增.故A，B正確，C，D錯誤.故選：AB10.如圖，已知正方體的棱長為1，則（）A. B.平面C.三棱錐的體積為 D.到平面的距離為〖答案〗ACD〖解析〗如圖建系，，A選項正確；設平面法向量，令，，，不平行平面，B選項錯誤；,平面法向量，到平面的距離為，D選項正確；三棱錐的體積為，C選項正確.故選：ACD.11.設A、B是隨機試驗的兩個事件，，，，則（）A.事件A與事件B互斥 B.事件A與事件B相互獨立C. D.〖答案〗BCD〖解析〗因為，所以，故A錯誤；因，所以事件A與事件B相互獨立，故B正確；因為，故C正確；因為，故D正確.故選：BCD12.在平面直角坐標系中，，，動點P滿足，則（）A.P的軌跡方程為 B.P的軌跡關(guān)于直線對稱C.的面積的最大值為2 D.P的橫坐標的取值范圍為〖答案〗BCD〖解析〗對于A，設，則，得到，故A錯誤.對于B，由橢圓定義知P的軌跡是以為焦點的橢圓，故所在直線是橢圓的對稱軸，故B正確.對于C，因為長半軸，半焦距，所以短半軸，當點P在短軸頂點上，，此時的面積最大，最大值為2，故C正確.對于D，聯(lián)立方程，得，由，得，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線的一個方向向量，平面的一個法向量，若，則____________.〖答案〗〖解析〗因為直線的一個方向向量，平面的一個法向量且，所以，所以，即，所以.故〖答案〗：14.已知雙曲線C：的漸近線方程為，則C的離心率為_____________.〖答案〗〖解析〗因為雙曲線C：的漸近線方程為，所以，所以離心率，故〖答案〗：15.甲、乙、丙3個公司承包6項不同的工程，甲承包1項，乙承包2項，丙承包3項，則共有____________種承包方式（用數(shù)字作答）.〖答案〗60〖解析〗由題意得，不同的承包方案分步完成，先讓甲承包1項，有種，再讓乙承包2項，有，剩下的3項丙承包，所以由分步乘法原理可得共有種方案，故〖答案〗為：6016.畢達哥拉斯樹的生長方式如下：以邊長為1的正方形的一邊作為斜邊，向外作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的兩直角邊為邊向外作正方形，得到2個新的小正方形，實現(xiàn)了一次生長，再將這兩個小正方形各按照上述方式生長，如此重復下去，則第次生長得到的小正方形的周長的和為______________；11次生長后所有小正方形（包括第一個正方形）的周長的總和為______________.〖答案〗①②〖解析〗每次生長的小正方形的個數(shù)，構(gòu)成以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，每次生長的小正方形的邊長構(gòu)成以為首項，為公比的等比數(shù)列，每次生長的小正方形周長和依次構(gòu)成等比數(shù)列，首項，公比，故第n次生長得到的小正方形的周長的和為，11次生長后所有小正方形（包括第一個正方形）共12組，周長的總和為.故〖答案〗為：；四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列的公差，其前項和為，若，，成等比數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求證：.解：（1）因為，，成等比數(shù)列，，所以，由，解得，所以.（2）由，，得，由，有，所以，得.18.隨著全球新能源汽車市場蓬勃發(fā)展，中國在十余年間實現(xiàn)了“彎道超車”，新能源汽車產(chǎn)量連續(xù)7年位居世界第一.某新能源汽車企業(yè)改進并生產(chǎn)了某款純電動車，該款電動車有白色和紅色.為研究購車顧客性別是否與其購買的車輛顏色有關(guān)，公司研究團隊利用隨機抽樣的方法收集了購買該車型的男生和女生各60人的數(shù)據(jù)，得到成對樣本數(shù)據(jù)的分類統(tǒng)計結(jié)果，如下表所示：性別車輛顏色白色紅色女生4020男生5010（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為購車顧客的性別與其購買的車輛顏色有關(guān)聯(lián)?（2）現(xiàn)從上述購買白色車輛的90名顧客中按性別比例分配的分層隨機抽樣抽取9人，從購買紅色車輛的30名顧客中按性別比例分配的分層隨機抽樣抽取3人，并從這12人中依次抽取2人作為幸運嘉賓，求第二次抽到的嘉賓是男生且購買白色車輛的概率.附：，其中臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設為：購車顧客的性別與其購買的車輛顏色無關(guān)聯(lián).根據(jù)列表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為購車顧客的性別與其購買的車輛顏色有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.（2）由題得抽取的12人中，是男生且購買白色車輛的有5人.設A=“第一次抽到的是男生且購買白色車輛”，B=“第二次抽到的是男生且購買白色車輛”.，，，，由全概率公式，得.所以第二次抽到的嘉賓是男生且購買白色車輛概率為.19.如圖所示，在三棱柱中，是正三角形，D為棱AC的中點，，平面交于點E.（1）證明：四邊形是矩形（2）若，，求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）取的中點，則點為平面與棱的交點，證明如下：連接和，因為點分別是和的中點，所以∥，，因為∥，，所以∥，，所以四邊形是平行四邊形，所以點為平面與棱的交點，因為，∥，所以所以四邊形是矩形，（2）連接，在正中，為的中點，所以，因為，，平面，所以平面，因為，，所以為正三角形，因為為棱