2023-2024學年浙江省臺州市六校聯(lián)盟高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2浙江省臺州市六校聯(lián)盟2023-2024學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題考生須知：1.本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.2.考生答題前，務必將自己的姓名?準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上.選擇題部分一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，不選?多選?錯選均不得分）1.設函數(shù)，若，則（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗∵，且，∴．故選：A．2.已知隨機變量的分布列，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D.3.若函數(shù)在處的導數(shù)等于，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.4.2013年華人數(shù)學家張益唐證明了孿生素數(shù)（注：素數(shù)也叫做質數(shù)）猜想一個弱化形式.孿生素數(shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題之一，可以這樣描述：存在無窮多個素數(shù)使得是素數(shù)，素數(shù)對稱為孿生素數(shù)，從20以內的素數(shù)中任取兩個，其中能構成孿生素數(shù)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，20以內的素數(shù)共有8個，從中選兩個共包含個基本事件，而20以內的孿生素數(shù)有共四對，包含4個基本事件，所以從20以內的素數(shù)中任取兩個，其中能構成字生素數(shù)的概率為.故選：B.5.展開式中的系數(shù)為（）A.17 B.20 C.75 D.100〖答案〗A〖解析〗因為，因為的通項為：，令可得，令可得，所以展開式中的系數(shù)為：.故選：A.6.函數(shù)的圖象如圖所示，則下列不等關系中正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設，由圖可得，而，故，故選：C.7.已知，，，下列選項正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，即，又，，所以，故A錯誤；又，故B正確；，故D錯誤；，故C錯誤.故選：B8.把函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度后得到圖像．若對任意的，曲線與至多只有一個交點，則的最小值為A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意曲線C的〖解析〗式為則方程，即，即對任意恒成立，于是的最大值，令則由此知函數(shù)在（0，2）上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以當時，函數(shù)取最大值，即為4，于是．二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個備選項中至少有一個是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.設離散型隨機變量的分布列為012340.20.10.40.1若離散型隨機變量滿足，則下列結果正確的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對于A：由，解得，所以，故A正確；對于B：，故B正確；對于C：，故C正確；對于D：，故D錯誤.故選：ABC.10.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A：令，可得，故A正確；對于B：令，，所以，故B正確；對于C：，二項式的展開式的通項公式為，所以，故C錯誤；對于D：令，可得，所以，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，其中，則（）．A.不等式對恒成立B.若直線與函數(shù)的圖象有且只有兩個不同的公共點，則k的取值范圍是C.方程恰有3個實根D.若關于x的不等式恰有1個負整數(shù)解，則a的取值范圍為〖答案〗AD〖解析〗對于選項A，，當或時，，所以在上單調遞減，當時，，所以在上單調遞增，所以在出取得極小值，，在處取得極大值，，而時，恒有成立，所以的最小值是，即，對恒成立，故A正確；對于B選項，若函數(shù)與直線有且只有兩個交點，由A選項分析，函數(shù)的大致圖象如下，由圖知，當或時，函數(shù)與直線有且只有兩個交點，故B錯誤；對于C選項，由，得，解得，令，和，而，由圖象知，和分別有兩解：綜上，方程共有4個根，C錯誤；對于D選項，直線過原點，且，，記，，易判斷，，不等式恰有1個負整數(shù)解，即曲線在的圖象下方對應的x值恰有1個負整數(shù)，由圖可得，即，故D正確．故選：AD非選擇題部分三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.方程的解是__________.〖答案〗1或2〖解析〗由可得：或，則：或，解得：或或，當時，顯然不符合題意；當時，則成立；當時，則成立；故或.故〖答案〗為：或.13.過原點的直線與相切，則切點的坐標是______.〖答案〗〖解析〗由題意設切點坐標為，由，得，故直線斜率為，則直線l的方程為，將代入，得，則切點的坐標為，故〖答案〗為：14.若函數(shù)在單調遞增，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗函數(shù)的導數(shù)為，由題意，函數(shù)在上單調遞增，∴在上恒成立，即在上恒成立，令，則，，∵在上恒成立，∴在上恒成立，又∵的圖象是開口向下的拋物線，∴，解得：.∴的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題（本題共5小題；共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）15.已知函數(shù)在處取得極大值6.（1）求實數(shù)的值；（2）當時，求函數(shù)的最小值.解：（1），因為在處取得極大值6.所以，得此時，令可得：；令可得或，所以在上單調遞減，在，上單調遞增所以在處取得極大值，符合題意，所以.又，所以（2），所以列表如下：0123

+00+

1極大值6極小值510由于，故時，.16.在的展開式中，（1）求二項式系數(shù)最大的項；（2）若第項是有理項，求的取值集合；（3）系數(shù)最大的項是第幾項.解：（1），二項式系數(shù)最大的項為中間項，即第5項，所以.（2），當為整數(shù)時為有理項，即，則的取值集合為；（3）設第項的系數(shù)最大，則，所以，解得，故系數(shù)最大的項為第6項和第7項.17.某班共有團員12人，其中男團員8人，女團員4人，并且男?女團員各有一名組長，現(xiàn)從中選5人參加學校的團員座談會.（用數(shù)字做答）（1）若至少有1名組長當選，求不同的選法總數(shù)；（2）若至多有2名女團員當選，求不同的選法總數(shù)；（3）若既要有組長當選，又要有女團員當選，求不同的選法總數(shù).解：（1）方法一（直接法）：至少有一名組長含有兩種情況：有一名組長和兩名組長，故共有種．方法二（間接法）：至少有一名組長可以采用排除法，有種．（2）至多有2名女團員含有四種情況：有2名女團員，有1名女團員，沒有女團員，故共有種（3）既要有組長當選，又要有女團員當選含兩類情況：第一類：女組長當選，有種，第二類：女組長不當選，男組長當選，有種，共有種.18.有兩個盒子，其中1號盒子中有3個紅球，2個白球；2號盒子中有4個紅球，6個白球，這些球除顏色外完全相同.（1）如果從兩個盒子中摸出3個球，其中從1號盒子摸1個球，從2號盒子摸兩個球，規(guī)定摸到紅球得2分，摸到白球得1分，用表示這3個球的得分之和，求的分布列及數(shù)學期望；（2）先等可能地選擇一個盒子，再從此盒中摸出2個球.若摸出球的結果是一紅一白，求這2個球出自1號盒子的概率.解：（1）由題意，的可能值為.所以的分布列為3456所以.（2）記“摸出球的結果是一紅一白”為事件，“選擇1號盒子”為事件，“選擇2號盒子”為事件，則，，，由貝葉斯公式，若摸球的結果是一紅一白，出自1號盒子的概率為：.19.已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個極值點.（i）求取值范圍；（ii）證明：解：（1）當時，，.顯然，當且僅當時等號成立，所以在上單調遞增.（2）（i）由題設且，若，則在上恒成立，即單調遞減，不可能有兩個極值點，不符合題意；故，又有兩個極值點，則是的兩個不同正根，所以，可得，即的取值范圍是.（ii）由（i）且，不妨設，則，要證，需證，即，只需證，即，令，則證，由（1）可知當時，在上遞增，又，故，即，綜上，浙江省臺州市六校聯(lián)盟2023-2024學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題考生須知：1.本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.2.考生答題前，務必將自己的姓名?準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上.選擇題部分一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，不選?多選?錯選均不得分）1.設函數(shù)，若，則（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗∵，且，∴．故選：A．2.已知隨機變量的分布列，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D.3.若函數(shù)在處的導數(shù)等于，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.4.2013年華人數(shù)學家張益唐證明了孿生素數(shù)（注：素數(shù)也叫做質數(shù)）猜想一個弱化形式.孿生素數(shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題之一，可以這樣描述：存在無窮多個素數(shù)使得是素數(shù)，素數(shù)對稱為孿生素數(shù)，從20以內的素數(shù)中任取兩個，其中能構成孿生素數(shù)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，20以內的素數(shù)共有8個，從中選兩個共包含個基本事件，而20以內的孿生素數(shù)有共四對，包含4個基本事件，所以從20以內的素數(shù)中任取兩個，其中能構成字生素數(shù)的概率為.故選：B.5.展開式中的系數(shù)為（）A.17 B.20 C.75 D.100〖答案〗A〖解析〗因為，因為的通項為：，令可得，令可得，所以展開式中的系數(shù)為：.故選：A.6.函數(shù)的圖象如圖所示，則下列不等關系中正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設，由圖可得，而，故，故選：C.7.已知，，，下列選項正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，即，又，，所以，故A錯誤；又，故B正確；，故D錯誤；，故C錯誤.故選：B8.把函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度后得到圖像．若對任意的，曲線與至多只有一個交點，則的最小值為A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意曲線C的〖解析〗式為則方程，即，即對任意恒成立，于是的最大值，令則由此知函數(shù)在（0，2）上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以當時，函數(shù)取最大值，即為4，于是．二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個備選項中至少有一個是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.設離散型隨機變量的分布列為012340.20.10.40.1若離散型隨機變量滿足，則下列結果正確的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對于A：由，解得，所以，故A正確；對于B：，故B正確；對于C：，故C正確；對于D：，故D錯誤.故選：ABC.10.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A：令，可得，故A正確；對于B：令，，所以，故B正確；對于C：，二項式的展開式的通項公式為，所以，故C錯誤；對于D：令，可得，所以，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，其中，則（）．A.不等式對恒成立B.若直線與函數(shù)的圖象有且只有兩個不同的公共點，則k的取值范圍是C.方程恰有3個實根D.若關于x的不等式恰有1個負整數(shù)解，則a的取值范圍為〖答案〗AD〖解析〗對于選項A，，當或時，，所以在上單調遞減，當時，，所以在上單調遞增，所以在出取得極小值，，在處取得極大值，，而時，恒有成立，所以的最小值是，即，對恒成立，故A正確；對于B選項，若函數(shù)與直線有且只有兩個交點，由A選項分析，函數(shù)的大致圖象如下，由圖知，當或時，函數(shù)與直線有且只有兩個交點，故B錯誤；對于C選項，由，得，解得，令，和，而，由圖象知，和分別有兩解：綜上，方程共有4個根，C錯誤；對于D選項，直線過原點，且，，記，，易判斷，，不等式恰有1個負整數(shù)解，即曲線在的圖象下方對應的x值恰有1個負整數(shù)，由圖可得，即，故D正確．故選：AD非選擇題部分三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.方程的解是__________.〖答案〗1或2〖解析〗由可得：或，則：或，解得：或或，當時，顯然不符合題意；當時，則成立；當時，則成立；故或.故〖答案〗為：或.13.過原點的直線與相切，則切點的坐標是______.〖答案〗〖解析〗由題意設切點坐標為，由，得，故直線斜率為，則直線l的方程為，將代入，得，則切點的坐標為，故〖答案〗為：14.若函數(shù)在單調遞增，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗函數(shù)的導數(shù)為，由題意，函數(shù)在上單調遞增，∴在上恒成立，即在上恒成立，令，則，，∵在上恒成立，∴在上恒成立，又∵的圖象是開口向下的拋物線，∴，解得：.∴的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題（本題共5小題；共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）15.已知函數(shù)在處取得極大值6.（1）求實數(shù)的值；（2）當時，求函數(shù)的最小值.解：（1），因為在處取得極大值6.所以，得此時，令可得：；令可得或，所以在上單調遞減，在，上單調遞增所以在處取得極大值，符合題意，所以.又，所以（2），所以列表如下：0123

+00+

1極大值6極小值510由于，故時，.16.在的展開式中，（1）求二項式系數(shù)最大的項；（2）若第項是有理項，求的取值集合；（3）系數(shù)最大的項是第幾項.解：（1），二項式系數(shù)最大的項為中間項，即第5項，所以.（2），當為整數(shù)時為有理項，即，則的取值集合為；（3）設第項的系數(shù)最大，則，所以，解得，故系數(shù)最大的項為第6項和第7項.17.某班共有團員12人，其中男團員8人，女團員4人，并且男?女團員各有一名組長，現(xiàn)從中選5人參加學校的團員座談會.（用數(shù)字做答）（1）若至少有1名組長當選，求不同的選法總數(shù)；（2）若至多有2名女團員當選，求不同的選法總數(shù)；（3）若既要有組長當選，又要有女團員當選，求不同的選法總數(shù).解：（1）方法一（直接法）：至少有一名組長含有兩種情況：有一名組長和兩名組長，故共