2.3.3直線與圓的位置關(guān)系課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性2

第二章平面解析幾何直線與圓的位置關(guān)系人教B版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解直線與圓位置關(guān)系的三種表達(dá)形式;2.能根據(jù)給定的直線的方程、圓的方程用代數(shù)法和幾何法兩種方法來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系;3.掌握求圓的切線方程的方法,并能求與圓有關(guān)的最值問(wèn)題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)直線與圓的位置關(guān)系直線l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),設(shè)圓心(a,b)到直位置關(guān)系幾何特征代數(shù)特征(方程聯(lián)立)

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相離d>r無(wú)實(shí)數(shù)解(Δ<0)0相切d=r一組實(shí)數(shù)解(Δ=0)1相交d<r兩組實(shí)數(shù)解(Δ>0)2名師點(diǎn)睛如圖,直線l與圓C相交于A,B,半徑為r,弦AB中點(diǎn)為D,則①點(diǎn)C到直線l的距離d=|CD|,稱為弦心距;②CD⊥l;③過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的直線與圓相交,最長(zhǎng)弦長(zhǎng)是直徑,最短弦與最長(zhǎng)弦所在的直線垂直.過(guò)關(guān)自診1.直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系是(

)A.相切B.相交但直線不過(guò)圓心C.直線過(guò)圓心D.相離B∴直線與圓x2+y2=1相交,又(0,0)不在y=x+1上,∴直線不過(guò)圓心.2.過(guò)圓上一點(diǎn)有幾條切線?過(guò)圓外一點(diǎn)有幾條切線?若點(diǎn)(x0,y0)是圓x2+y2=r2上的點(diǎn),你能得出過(guò)點(diǎn)(x0,y0)的圓的切線方程嗎?3.過(guò)圓C內(nèi)一點(diǎn)P(不同于圓心)的所有弦中,何時(shí)弦最長(zhǎng)?何時(shí)弦最短?解

過(guò)圓上一點(diǎn)一定有1條切線,過(guò)圓外一點(diǎn)一定有2條切線.過(guò)圓上一點(diǎn)(x0,y0)的切線方程為x0x+y0y=r2.解

過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)P(不同于圓心)的所有弦中,當(dāng)弦經(jīng)過(guò)圓心C時(shí)弦最長(zhǎng),等于直徑的長(zhǎng).當(dāng)弦與過(guò)點(diǎn)P的直徑垂直時(shí)弦最短.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系的判斷【例1】

求實(shí)數(shù)m的取值范圍,使直線x-my+3=0與圓x2+y2-6x+5=0分別滿足:①相交;②相切;③相離.解

圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+y2=4,故圓心(3,0)到直線x-my+3=0規(guī)律方法

直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法(1)幾何法:由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷.(2)代數(shù)法:根據(jù)直線方程與圓的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷.(3)直線系法:若直線恒過(guò)定點(diǎn),可通過(guò)判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系.但有一定的局限性,必須是過(guò)定點(diǎn)的直線系.變式訓(xùn)練1[北師大版教材例題]已知直線l:2x+y-3=0,圓M:(x-a)2+y2=5.(1)指出圓心M的位置特征;(2)求實(shí)數(shù)a分別取何值時(shí),直線l與圓M相交、相切、相離.解

(1)由圓M的方程可知圓心M(a,0)為x軸上的動(dòng)點(diǎn).探究點(diǎn)二求切線方程【例2】

過(guò)點(diǎn)M(2,4)向圓(x-1)2+(y+3)2=1引切線,求切線的方程.解

由于(2-1)2+(4+3)2=50>1,故點(diǎn)M在圓外.當(dāng)切線斜率存在時(shí),設(shè)切線方程是y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0.所以切線方程為24x-7y-20=0.又當(dāng)切線斜率不存在時(shí),直線x=2與圓相切.綜上所述,所求切線方程為24x-7y-20=0或x=2.變式探究(1)若所給點(diǎn)M的坐標(biāo)是(1,-4),圓的方程不變,求切線方程;(2)條件不變,試求切線長(zhǎng).解

(1)由于(1-1)2+(-4+3)2=1,故點(diǎn)(1,-4)在圓上.又圓心為(1,-3),所以切線斜率為0,所以切線方程為y=-4,即y+4=0.規(guī)律方法

求圓的切線方程的三種方法(1)幾何法:設(shè)出切線方程,利用圓心到直線的距離等于半徑,求出未知量,此種方法需要注意斜率不存在的情況,要單獨(dú)驗(yàn)證,若符合題意,則直接寫出切線方程.(2)代數(shù)法:設(shè)出切線方程后與圓的方程聯(lián)立消元,利用判別式等于零,求出未知量,若消元后的方程為一元一次方程,則說(shuō)明要求的切線中,有一條切線的斜率不存在,可直接寫出切線方程.(3)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo):先利用切線的性質(zhì)解出切點(diǎn)坐標(biāo),再利用直線的兩點(diǎn)式寫出切線方程.變式訓(xùn)練2[人教A版教材例題]過(guò)點(diǎn)P(2,1)作圓O:x2+y2=1的切線l,求切線l的方程.解

(方法一)設(shè)切線l的斜率為k,則切線l的方程為y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.因此,所求切線l的方程為y=1或4x-3y-5=0.(方法二)設(shè)切線l的斜率為k,則切線l的方程為y-1=k(x-2).消元,得(k2+1)x2+(2k-4k2)x+4k2-4k=0.①因?yàn)榉匠挞僦挥幸粋€(gè)解,所以Δ=4k2(1-2k)2-16k(k2+1)(k-1)=0,解得k=0或

.所以,所求切線l的方程為y=1,或4x-3y-5=0.探究點(diǎn)三圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題(1)求圓C的方程;(2)若直線3x-y+1=0與圓C相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng);(3)設(shè)過(guò)點(diǎn)(-1,0)的直線l與圓C相交于M,N兩點(diǎn),試問(wèn):是否存在直線l,使得以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)圓C的圓心坐標(biāo)為(1,-2),半徑為3,圓心到直線3x-y+1=0的距離為

(3)存在直線l滿足題意.理由如下:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).由題意,知OM⊥ON,且OM,ON

的斜率均存在,∴直線l:x=-1滿足條件;②當(dāng)直線l

的斜率存在時(shí),可設(shè)直線l

的方程為y=k(x+1).代入(x-1)2+(y+2)2=9,得(1+k2)x2+(2k2+4k-2)x+k2+4k-4=0,由x1x2+y1y2=0,得x1x2+k2(x1+1)(x2+1)=0,即(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=0,∴直線l的方程為y=x+1.綜上可知,存在滿足條件的直線l:x=-1和l:y=x+1.規(guī)律方法

1.求直線與圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)有三種方法(1)交點(diǎn)法:將直線方程與圓的方程聯(lián)立,求出交點(diǎn)A,B的坐標(biāo),根據(jù)兩點(diǎn)間的(2)弦長(zhǎng)公式法:如圖所示,將直線方程與圓的方程聯(lián)立,設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別是(3)幾何法:如圖,直線與圓C交于A,B兩點(diǎn),設(shè)弦心距為d,圓的半徑為r,弦長(zhǎng)

通常采用幾何法較為簡(jiǎn)便.2.若涉及直線和圓相交的問(wèn)題,除了借助平面幾何知識(shí)進(jìn)行分析,還經(jīng)常利用聯(lián)立方程,用解方程組的思路來(lái)討論有關(guān)弦長(zhǎng)和垂直等問(wèn)題.變式訓(xùn)練3[人教A版教材習(xí)題]已知直線l:3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0,判斷直線l與圓C的位置關(guān)系;如果相交,求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng).消去y,得x2-3x+2=0,解得x1=2,x2=1.所以,直線l與圓C相交,有兩個(gè)公共點(diǎn).把x1=2,x2=1分別代入方程①,得y1=0,y2=3.所以,直線l與圓C的兩個(gè)交點(diǎn)是A(2,0),B(1,3).(方法二)圓C的方程x2+y2-2y-4=0可化為x2+(y-1)2=5,因此圓心C的坐標(biāo)為成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練123456789101112131415161718191.[探究點(diǎn)一·人教A版教材習(xí)題改編]直線3x+4y+2=0與圓(x-1)2+y2=1的位置關(guān)系是(

)A.相交

B.相切 C.相離

D.相交或相切B解析

圓(x-1)2+y2=1,圓心為(1,0),半徑r=1,由(m-1)x+(m-3)y-2=0,得m(x+y)=x+3y+2,由

得x=1,y=-1,所以直線過(guò)定點(diǎn)(1,-1),代入(x-1)2+y2=1成立,所以點(diǎn)(1,-1)為圓上的定點(diǎn),所以直線與圓相切或者相交.123456789101112131415161718192.[探究點(diǎn)三]過(guò)點(diǎn)(1,0)且傾斜角為30°的直線被圓(x-2)2+y2=1所截得的弦長(zhǎng)為(

)C123456789101112131415161718193.[探究點(diǎn)二]過(guò)點(diǎn)(1,2)作圓x2+y2=5的切線,則切線方程為(

)A.x=1 B.3x-4y+5=0C.x+2y-5=0 D.x=1或x+2y-5=0C當(dāng)斜率不存在時(shí),x=1,顯然不與圓相切.綜上,切線方程為x+2y-5=0.故選C.123456789101112131415161718194.[探究點(diǎn)三]若直線x-y=2被圓(x-a)2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為2,則實(shí)數(shù)a的值為(

)A.0或4 B.0或3 C.-2或6 D.-1或A123456789101112131415161718195.[探究點(diǎn)一、三](多選題)已知直線l:kx-y+2k=0和圓O:x2+y2=16,則(

)A.直線l恒過(guò)定點(diǎn)(2,0)B.存在k使得直線l與直線l0:x-2y+2=0垂直C.直線l與圓O相交D.若k=-1,直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)為4BC所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)(-2,0),故A錯(cuò)誤;對(duì)于C,因?yàn)橹本€l恒過(guò)定點(diǎn)(-2,0),而(-2)2+02=4<16,即(-2,0)在圓O:x2+y2=16內(nèi),所以直線l與圓O相交,故C正確;12345678910111213141516171819123456789101112131415161718196.[探究點(diǎn)三]過(guò)圓x2+y2=8內(nèi)的點(diǎn)P(-1,2)作直線l交圓于A,B兩點(diǎn).若直線l的傾斜角為135°,則弦AB的長(zhǎng)為

.

解析

由題意知直線l的方程為y-2=-(x+1),即x+y-1=0,123456789101112131415161718197.[探究點(diǎn)二]已知直線l:y=kx被圓C:x2+y2-6x+5=0截得的弦長(zhǎng)為2,則|k|的值為

.

123456789101112131415161718198.[探究點(diǎn)三]過(guò)點(diǎn)A(3,5)作圓x2+y2-4x-8y-80=0的最短弦,則這條弦所在直線的方程是

.

x+y-8=0解析

將圓x2+y2-4x-8y-80=0化成標(biāo)準(zhǔn)形式為(x-2)2+(y-4)2=100,圓心為M(2,4),則點(diǎn)A在圓內(nèi),當(dāng)AM垂直這條弦時(shí),所得到的弦長(zhǎng)最短.∵kAM==1,∴這條弦所在直線的斜率為-1,其方程為y-5=-(x-3),即x+y-8=0.123456789101112131415161718199.[探究點(diǎn)三]如果一條直線過(guò)點(diǎn)M且被圓x2+y2=25所截得的弦長(zhǎng)為8,求這條直線的方程.解

圓x2+y2=25的半徑長(zhǎng)r為5,直線被圓所截得的弦長(zhǎng)l=8,所以弦心距

因?yàn)閳A心O(0,0)到直線x=-3的距離恰為3,所以直線x=-3是符合題意的一條直線.綜上可知,滿足題意的直線方程為x=-3和3x+4y+15=0.1234567891011121314151617181910.[探究點(diǎn)二]已知圓x2+y2=25,求滿足下列條件的切線方程.(1)過(guò)點(diǎn)A(4,-3);(2)過(guò)點(diǎn)B(-5,2).解

(1)因?yàn)閳Ax2+y2=25的圓心為O(0,0),半徑為r=5,點(diǎn)A(4,-3)在圓x2+y2=25上,所以過(guò)點(diǎn)A(4,-3)的切線斜率存在,且其與直線AO垂直(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).12345678910111213141516171819(2)因?yàn)閳Ax2+y2=25的圓心為O(0,0),半徑為r=5,所以當(dāng)過(guò)點(diǎn)B(-5,2)的切線斜率不存在時(shí),其方程為x=-5,滿足題意;當(dāng)切線斜率存在時(shí),設(shè)斜率為k,則其方程為y-2=k(x+5),即kx-y+5k+2=0,所綜上,所求切線方程為21x-20y+145=0或x=-5.12345678910111213141516171819B級(jí)關(guān)鍵能力提升練11.圓x2+y2+2x-2y-2=0上到直線l:x+y+=0的距離為1的點(diǎn)共有(

)A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)C解析

化x2+y2+2x-2y-2=0為(x+1)2+(y-1)2=4,得圓心坐標(biāo)為(-1,1),半徑為2,結(jié)合圖形可知(圖略),圓上有三點(diǎn)到直線l的距離為1.1234567891011121314151617181912.已知直線l:mx-y-3m+1=0恒過(guò)點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作直線與圓C:(x-1)2+(y-2)2=25相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|的最小值為(

)A解析

直線方程可化為m(x-3)-y+1=0,故其恒過(guò)點(diǎn)P(3,1).又(3-1)2+(1-2)2=5<25,即P在圓C內(nèi),要使|AB|最小,只需圓心C(1,2)與P的連線與該直線垂直.1234567891011121314151617181913.(多選題)已知直線l:ax+by-r2=0與圓C:x2+y2=r2,點(diǎn)A(a,b),則下列說(shuō)法正確的是(

)A.若點(diǎn)A在圓C上,則直線l與圓C相切B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi),則直線l與圓C相離C.若點(diǎn)A在圓C外,則直線l與圓C相離D.若點(diǎn)A在直線l上,則直線l與圓C相切ABD123456789101112131415161718191234567891011121314151617181914.[2022天津卷]若直線x-y+m=0(m>0)與圓(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦長(zhǎng)為m,則m=

.

21234567891011121314151617181915.過(guò)點(diǎn)(1,4)且斜率為k的直線l與曲線y=+1有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

.

解析

曲線y=+1可化為(x+2)2+(y-1)2=1(1≤y≤2),設(shè)點(diǎn)C(1,4),如圖所示,當(dāng)直線l在直線AC和BC之間運(yùn)動(dòng)時(shí),直線l與曲線有公共點(diǎn),其中點(diǎn)A為(-1,1),點(diǎn)B為直線l與曲線的切點(diǎn),即直線l與圓心為(-2,1),半徑為1的半圓相切.∵直線l的方程為y=k(x-1)+4,1234567891011121314151617181916.已知圓C:x2+y2-4x=0,直線l恒過(guò)點(diǎn)P(4,1).(1)若直線l與圓C相切,求l的方程;(2)當(dāng)直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=2時(shí),求l的方程.解

(1)由題意可知,圓C的圓心為(2,0),半徑r=2,①當(dāng)直線l的斜率不存在,即l的方程為x=4時(shí),此時(shí)直線與圓相切,符合題意;②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)斜率為k,∴直線l的方程為y-1=k(x-4),化為一般式為kx-y+1-4k=0.綜上,當(dāng)直線l與圓C相切時(shí),直線l的方程為x=4或3x+4y-16=0.12345678910111213141516171819(2)由題意可知,直線l的斜率一定存在,設(shè)斜率為k,∴直線l的方程為y-1=k(x-4),即kx-y+1-4k=0.則直線l的方程為y=1或4x-3y-13=0.1234567891011121314151617181917.已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=25,直線l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).(1)證明:不論m取什么實(shí)數(shù),直線l與圓恒交于兩點(diǎn);(2)求直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)l的方程.(1)證明

直線l:(2m+1)x+