2023-2024學(xué)年浙江省臺州市山海協(xié)作體高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2浙江省臺州市山海協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題考生須知:1.本卷共6頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有〖答案〗必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.（）．A.15 B.30 C.45 D.60〖答案〗C〖解析〗，故選：C．2.若隨機變量，且，，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以，解得.故選：A.3.5個人分4張足球票（有位置區(qū)別），每人至多分1張，而且票必須分完，則不同分法的種數(shù)為（）A5 B.10 C.60 D.120〖答案〗D〖解析〗因為5個人分4張足球票（有位置區(qū)別），每人至多分1張，而且票必須分完，所以只有一人沒有分到票，其余4人分到1人1張票，所以共有種不同的分法．故選：D.4.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，則（

）A.有2個極值點 B.在處取得極小值C.有極大值，沒有極小值 D.在上單調(diào)遞減〖答案〗C〖解析〗由題意及圖得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則有一個極大值，沒有極小值，故ABD錯誤，C正確，故選：C.5.求形如的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，我們常采用以下做法：先兩邊同取自然對數(shù)得：，再兩邊同時求導(dǎo)得，于是得到：，運用此方法求得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知：，令，得，，∴原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，故選：C.6.在的展開式中，項的系數(shù)為（）A. B. C.30 D.50〖答案〗B〖解析〗表示5個因式的乘積，在這5個因式中，有2個因式都選，其余的3個因式都選1，相乘可得含的項；或者有3個因式選，有1個因式選，1個因式選1，相乘可得含的項，故項的系數(shù)為.故選:B．7.設(shè)，隨機變量的分布01則當(dāng)在內(nèi)增大時，（）A.增大，增大 B.增大，減小C.減小，增大 D.減小，減小〖答案〗D〖解析〗因為分布列中概率之和為1，可得，∴，∴當(dāng)增大時，減小，又由，可知當(dāng)在內(nèi)增大時，減小.故選：D.8.已知，則的大小關(guān)系是為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗,設(shè)，，得當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且，所以，即，即，故，，，設(shè)，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且，所以，即，則，即，設(shè)，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且，所以，即，則，即，綜上可知，.故選：A二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選得0分）9.市物價部門對5家商場的某商品一天的線上銷售量及其價格進行調(diào)查，5家商場的售價（元）和銷售量（件）之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：價格99.51010511銷售量1110865按公式計算，與的回歸直線方程是：，相關(guān)系數(shù)，則下列說法正確的是（）A. B.變量線性正相關(guān)C.相應(yīng)于點的殘差約為 D.當(dāng)時，的估計值為14.4〖答案〗AD〖解析〗由表格知：，所以，可得，A正確；由相關(guān)系數(shù)且回歸方程斜率為負，則變量線性負相關(guān)且相關(guān)性較強，B錯誤；由，故殘差為，C錯誤；由，D正確；故選：AD.10.某車間加工同一型號零件，第一、二臺車床加工的零件分別占總數(shù)的，各自產(chǎn)品中的次品率分別為.記“任取一個零件為第臺車床加工”為事件，“任取一個零件是次品”為事件，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗A.由題意可知，，故A正確；B.，故B正確；C.，故C錯誤；D.由題意可知，，故D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.在上是增函數(shù)B.若函數(shù)有兩個零點，，則C.若在定義域內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)D.若，且，則的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，當(dāng)時，，令，則，，由，當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增；又在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在上是增函數(shù)，A正確；對于B，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，則；不妨設(shè)，則必有，若，則，等價于，又，則等價于；令，則，，由，，，即，在上單調(diào)遞增，，即，所以，可知不成立，B錯誤；對于C，，函數(shù)定義域為，，若在定義域內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則有解，即，在有解，時，結(jié)合一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在一定有解；時，有，解得，此時，對應(yīng)的二次方程有兩個不等的正根，符合題意，所以在定義域內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，實數(shù)，C正確；對于D，由，且，得，即，由B選項知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，則，所以，，則有，即，可得；令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即的最大值為，D正確.故選：ACD.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機變量，且，則__________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：13.已知函數(shù)，則的值為_____________.〖答案〗〖解析〗，故，即，解得.故〖答案〗為：14.如圖，這是整齊的正方形道路網(wǎng)，其中小明、小華，小齊分別在道路網(wǎng)臂的，，的三個交匯處，小明和小華分別隨機地選擇一條沿道路網(wǎng)的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，去往地和地，小齊保持原地不動，則小明、小華、小齊三人能相遇的概率為_______________.〖答案〗〖解析〗小明從A到B的不同路徑共有種，小華從B到A的不同路徑共有種，因此小明和小華各自到達目的地的試驗有個基本事件，小明經(jīng)過到達目的地的不同路徑有，小華經(jīng)過到達目的地的不同路徑有，因此小明、小華、小齊三人能相遇的事件有個基本事件，所以小明、小華、小齊三人能相遇的概率為.故〖答案〗為：非選擇題部分四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟）15.一個口袋中有大小相同的5個白球和4個紅球，每個球編有不同的號碼.（1）若一次取2個球，至少有一個紅球的取法有多少種;（2）若一次取出顏色不全相同的3個球，有多少種取法.解：（1）由題意，若一次取2個球，至少有一個紅球有兩種可能：“兩個都是紅球”或“一個白球一個紅球”，故不同的取法有種.（2）若一次取3個球，取出顏色不全相同有兩種可能：“兩個白球一個紅球”或“一個白球兩個紅球”，故不同的取法有種.16.已知的展開式（1）求展開式中所有項的系數(shù)和;（2）求展開式中二項式系數(shù)最大的項;（3）將展開式中所有項重新排列，求有理項不相鄰的概率.解：（1）令可得展開式中所有項的系數(shù)和.（2）二項式系數(shù)最大的項為第4項或第5項二項式系數(shù)最大的項為（3）展開式共有8項，展開式的通項公式為當(dāng)為整數(shù)，即時為有理項，共4項，由插空法得有理項不相鄰的概率為.17.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有三個零點，求的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域為，且令，解得或，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；令，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，要使得函數(shù)有三個零點，則需滿足，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍.18.某觀影平臺為了解觀眾對最近上映的某部影片的評價情況（評價結(jié)果僅有“好評”、“差評”），從平臺所有參與評價的觀眾中隨機抽取216人進行調(diào)查，部分數(shù)據(jù)如下表所示（單位:人）:好評差評合計男性4068108女性6048108合計100116216（1）判斷是否有的把握認為“對該部影片的評價與性別有關(guān)”?（2）若將頻率視為概率，從觀影平臺的所有給出“好評”的觀眾中隨機抽取3人，用隨機變量表示被抽到的男性觀眾的人數(shù)，求的分布列;（3）在抽出的216人中，從給出“好評”的觀眾中利用分層抽樣的方法抽取10人，從給出“差評”的觀眾中抽取人.現(xiàn)從這人中，隨機抽出2人，用隨機變量表示被抽到的給出“好評”的女性觀眾的人數(shù).若隨機變量的數(shù)學(xué)期望不小于1，求的最大值.參考公式:，其中.參考數(shù)據(jù):0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1），所以有的把握認為“觀影評價與性別有關(guān)”.（2）從觀影平臺的所有給出“好評”的觀眾中隨機抽取1人為男性的概率為，且各次抽取之間相互獨立，所以，所以，，故的分布列為0123（3）從給出“好評”的觀眾中利用分層抽樣的方法抽取10人，則男性4人，女性6人.則的可能取值為0，1，2，所以.所以，即即，解得，又，所以的最大值為2.19.已知函數(shù)在處的切線和直線垂直.（1）求實數(shù)的值；（2）若對任意的，，都有成立（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)m的取值范圍.解：（1）由函數(shù)，可得，可得因為函數(shù)在處切線l和直線垂直，所以，即，解得.（2）不妨設(shè)，則，因為對任意的，，都有成立，可得，即，設(shè)，則，故在單調(diào)遞增，從而有，即在上恒成立，設(shè)，則，因為，令，即，解得，令，即，解得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又因為，故在上最小值，所以，實數(shù)的取值范圍是.浙江省臺州市山海協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題考生須知:1.本卷共6頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有〖答案〗必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.（）．A.15 B.30 C.45 D.60〖答案〗C〖解析〗，故選：C．2.若隨機變量，且，，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以，解得.故選：A.3.5個人分4張足球票（有位置區(qū)別），每人至多分1張，而且票必須分完，則不同分法的種數(shù)為（）A5 B.10 C.60 D.120〖答案〗D〖解析〗因為5個人分4張足球票（有位置區(qū)別），每人至多分1張，而且票必須分完，所以只有一人沒有分到票，其余4人分到1人1張票，所以共有種不同的分法．故選：D.4.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，則（

）A.有2個極值點 B.在處取得極小值C.有極大值，沒有極小值 D.在上單調(diào)遞減〖答案〗C〖解析〗由題意及圖得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則有一個極大值，沒有極小值，故ABD錯誤，C正確，故選：C.5.求形如的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，我們常采用以下做法：先兩邊同取自然對數(shù)得：，再兩邊同時求導(dǎo)得，于是得到：，運用此方法求得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知：，令，得，，∴原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，故選：C.6.在的展開式中，項的系數(shù)為（）A. B. C.30 D.50〖答案〗B〖解析〗表示5個因式的乘積，在這5個因式中，有2個因式都選，其余的3個因式都選1，相乘可得含的項；或者有3個因式選，有1個因式選，1個因式選1，相乘可得含的項，故項的系數(shù)為.故選:B．7.設(shè)，隨機變量的分布01則當(dāng)在內(nèi)增大時，（）A.增大，增大 B.增大，減小C.減小，增大 D.減小，減小〖答案〗D〖解析〗因為分布列中概率之和為1，可得，∴，∴當(dāng)增大時，減小，又由，可知當(dāng)在內(nèi)增大時，減小.故選：D.8.已知，則的大小關(guān)系是為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗,設(shè)，，得當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且，所以，即，即，故，，，設(shè)，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且，所以，即，則，即，設(shè)，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且，所以，即，則，即，綜上可知，.故選：A二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選得0分）9.市物價部門對5家商場的某商品一天的線上銷售量及其價格進行調(diào)查，5家商場的售價（元）和銷售量（件）之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：價格99.51010511銷售量1110865按公式計算，與的回歸直線方程是：，相關(guān)系數(shù)，則下列說法正確的是（）A. B.變量線性正相關(guān)C.相應(yīng)于點的殘差約為 D.當(dāng)時，的估計值為14.4〖答案〗AD〖解析〗由表格知：，所以，可得，A正確；由相關(guān)系數(shù)且回歸方程斜率為負，則變量線性負相關(guān)且相關(guān)性較強，B錯誤；由，故殘差為，C錯誤；由，D正確；故選：AD.10.某車間加工同一型號零件，第一、二臺車床加工的零件分別占總數(shù)的，各自產(chǎn)品中的次品率分別為.記“任取一個零件為第臺車床加工”為事件，“任取一個零件是次品”為事件，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗A.由題意可知，，故A正確；B.，故B正確；C.，故C錯誤；D.由題意可知，，故D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.在上是增函數(shù)B.若函數(shù)有兩個零點，，則C.若在定義域內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)D.若，且，則的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，當(dāng)時，，令，則，，由，當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增；又在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在上是增函數(shù)，A正確；對于B，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，則；不妨設(shè)，則必有，若，則，等價于，又，則等價于；令，則，，由，，，即，在上單調(diào)遞增，，即，所以，可知不成立，B錯誤；對于C，，函數(shù)定義域為，，若在定義域內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則有解，即，在有解，時，結(jié)合一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在一定有解；時，有，解得，此時，對應(yīng)的二次方程有兩個不等的正根，符合題意，所以在定義域內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，實數(shù)，C正確；對于D，由，且，得，即，由B選項知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，則，所以，，則有，即，可得；令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即的最大值為，D正確.故選：ACD.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機變量，且，則__________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：13.已知函數(shù)，則的值為_____________.〖答案〗〖解析〗，故，即，解得.故〖答案〗為：14.如圖，這是整齊的正方形道路網(wǎng)，其中小明、小華，小齊分別在道路網(wǎng)臂的，，的三個交匯處，小明和小華分別隨機地選擇一條沿道路網(wǎng)的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，去往地和地，小齊保持原地不動，則小明、小華、小齊三人能相遇的概率為_______________.〖答案〗〖解析〗小明從A到B的不同路徑共有種，小華從B到A的不同路徑共有種，因此小明和小華各自到達目的地的試驗有個基本事件，小明經(jīng)過到達目的地的不同路徑有，小華經(jīng)過到達目的地的不同路徑有，因此小明、小華、小齊三人能相遇的事件有個基本事件，所以小明、小華、小齊三人能相遇的概率為.故〖答案〗為：非選擇題部分四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟）15.一個口袋中有大小相同的5個白球和4個紅球，每個球編有不同的號碼.（1）若一次取2個球，至少有一個紅球的取法有多少種;（2）若一次取出顏色不全相同的3個球，有多少種取法.解：（1）由題意，若一次取2個球，至少有一個紅球有兩種可能：“兩個都是紅球”或“一個白球一個紅球”，故不同的取法有種.（2）若一次取3個球，取出顏色不全相同有兩種可能：“兩個白球一個紅球”或“一個白球兩個紅球”，故不同的取法有種.16.已知的展開式（1）求展開式中所有項的系數(shù)和;（2）求展開式中二項式系數(shù)最大的項;（3）將展開式中所有項重新排列，求有理項不相鄰的概率.解：（1）令可得展開式中所有項的系數(shù)和.（2）二項式系數(shù)最大的項為第4項或第5項二項式系數(shù)最大的項為（3）展開式共有8項，展開式的通項公式為當(dāng)為整數(shù)，即時為有理項，共4項，由插空法得有理項不相鄰的概率為.17.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有三個零點，求的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域為，且令，解得或，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；令，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，要使得函數(shù)有三個零點，則需滿足，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍.