福建省福州市金山中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年福建省福州市金山中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)，，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在中，，，，則的值為(

)A. B. C. D.3.已知向量，，則(

)A. B.5 C. D.4.如圖所示，一個(gè)水平放置的四邊形OABC的斜二測畫法的直觀圖是邊長為2的正方形，則原四邊形OABC的面積是(

)A.

B.

C.16

D.85.已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別是AB，，的中點(diǎn)，則過這三點(diǎn)的截面面積是(

)A. B. C. D.6.已知不共線的向量、，若向量與共線，則實(shí)數(shù)k的值為(

)A.1 B. C. D.7.如圖，在中，，，若，則的值為(

)

A. B. C. D.8.桂林日月塔又稱金塔銀塔、情侶塔，日塔別名叫金塔，月塔別名叫銀塔，所以也有金銀塔之稱.如圖1，這是金銀塔中的金塔，某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測量該塔的高度，在塔底O的同一水平面上的A，B兩點(diǎn)處進(jìn)行測量，如圖已知在A處測得塔頂P的仰角為，在B處測得塔頂P的仰角為，米，，則該塔的高度(

)

A.米 B.米 C.50米 D.米二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知復(fù)數(shù)z的虛部不為零，同時(shí)滿足，則(

)A. B.為純虛數(shù)

C.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上 D.的最大值為10.已知、、是任意的非零向量，則下列結(jié)論正確的是(

)A.非零向量、，滿足且與同向，則

B.

C.若，則不與垂直

D.11.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列說法正確的是(

)A.若，則

B.若是銳角三角形，恒成立

C.若，，，則符合條件的有兩個(gè)

D.若，，則是等邊三角形12.某班級到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)，在軸截面ABCD中，，且，下列說法正確的是(

)

A.該圓臺(tái)軸截ABCD面面積為

B.該圓臺(tái)的體積為

C.該圓臺(tái)的表面積為

D.沿著該圓臺(tái)表面，從點(diǎn)C到AD中點(diǎn)的最短距離為5cm三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.若是實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根，則______.14.如圖為了測量A，C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上B，D兩點(diǎn)，測出四邊形ABCD的各邊的長度單位：：，如圖所示，且A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則AC的長為__________

15.已知一個(gè)正四棱錐的底面邊長為2，高為，則該正四棱錐的表面積為______.16.已知梯形中ABCD，，，，，點(diǎn)P，Q在線段BC上移動(dòng)，且，則的最小值為______.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.本小題10分

已知圓柱高為4，母線與側(cè)面展開圖的對角線成角，求該圓柱的體積．18.本小題12分

若復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)

若，求實(shí)數(shù)a的值；

若，求19.本小題12分

已知向量，

若，求與夾角的正弦值；

若，求向量的坐標(biāo).20.本小題12分

已知中，內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，若

求角B的大小；

若，求的取值范圍．21.本小題12分

已知在圓錐SO中，底面的直徑，的面積為

求圓錐SO的表面積；

一球剛好放進(jìn)該圓錐體中，求這個(gè)球的半徑以及此時(shí)圓錐體剩余空間.22.本小題12分

如圖，在中，已知，，，BC邊上的中點(diǎn)為M，AC邊上的中點(diǎn)為N，AM，BN相交于點(diǎn)

求BC；

求與夾角的余弦值；

過點(diǎn)P作直線交邊AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，求該直線將分成的上下兩部分圖形的面積之比的取值范圍.

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：由復(fù)數(shù)，，則，

則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限．

故選：

根據(jù)題意，求得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．

本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】B

【解析】解：，

故選

直接用三角形面積公式求得答案．

本題主要考查正弦定理的應(yīng)用．屬基礎(chǔ)題．3.【答案】C

【解析】因?yàn)橄蛄浚?/p>

所以，

所以則，

故選：

計(jì)算，代入模長公式計(jì)算即可．

本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】B

【解析】解：在正方形中可得，

由斜二測畫法可知，，

且，，，

所以四邊形OABC為平行四邊形，

所以

故選：

根據(jù)斜二測畫法規(guī)則求出AO，BO，判斷OABC的形狀，確定，由此求出原四邊形OABC的面積．

本題主要考查了平面圖形的直觀圖，屬于基礎(chǔ)題．5.【答案】D

【解析】解：如圖所示，分別取，，AD的中點(diǎn)H，M，N，連接GH，HM，MN，NE，

在正方體中，可得，，，

所以經(jīng)過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的截面為正六邊形EFGHMN，

又因?yàn)檎襟w的棱長為2，

在直角中，可得，

所以截面正六邊形的面積為

故選：

根據(jù)題意，利用正方體的性質(zhì)，得到截面為正六邊形EFGHMN，且邊長為，進(jìn)而求得截面的面積，得到答案．

本題考查正方體中的截面問題，屬于中檔題．6.【答案】B

【解析】解：由題意知，向量為不共線的向量，

若向量與共線，則存在實(shí)數(shù)使得，

則，解得

故選：

根據(jù)題意，結(jié)合向量的共線定理，得到，列出方程組，即可求解．

本題考查共線向量定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．7.【答案】A

【解析】解：，

又，

，

又

，

，，

則，

故選：

根據(jù)向量的基本定理結(jié)合向量加法的三角形分別進(jìn)行分解即可．

本題主要考查平面向量基本定理的應(yīng)用，根據(jù)向量的和差運(yùn)算將向量進(jìn)行分解是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．8.【答案】B

【解析】解：由題意可知，，，

設(shè)米，

在中，米，

在中，米，

由余弦定理可得，

即，解得，

因?yàn)槊?，所以米?/p>

故選：

利用仰角的定義及銳角三角函數(shù)，結(jié)合余弦定理即可求解．

本題考查了余弦定理的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題．9.【答案】AB

【解析】解：設(shè)，則，

因?yàn)?，所以，即，得?/p>

可得，故A正確；

，

因?yàn)?，則，所以為純虛數(shù)，故B正確；

在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，因?yàn)椋?/p>

所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)不在實(shí)軸上，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)椋?/p>

所以，

因?yàn)?，，所以點(diǎn)在以為圓心，半徑的圓上除點(diǎn)，外，

又表示點(diǎn)與的距離，

且圓心到點(diǎn)的距離，

所以，即的最大值為，故D錯(cuò)誤．

故選：

設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算推導(dǎo)出，即可判斷A、B、C，根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義判斷

本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．10.【答案】BD

【解析】解：對于A中，根據(jù)向量的概念，向量不能比較大小，所以A錯(cuò)誤；

對于B中，由向量的數(shù)量積的定義，可得，

因?yàn)椋傻?，所以，所以B正確；

對于C中，由，可得，所以，所以C錯(cuò)誤；

對于D中，由，

又，

因?yàn)椋?，所以D正確．

故選：

根據(jù)向量的概念，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)向量的數(shù)量積的定義，以及，可判定B正確；根據(jù)向量的運(yùn)算律，得到，可判定C錯(cuò)誤；根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可判定D正確．

本題主要考查平面向量的概念與平面向量的模，屬于基礎(chǔ)題．11.【答案】ACD

【解析】解：因?yàn)椋?，所以，故A正確；

若是銳角三角形，則且A，B為銳角，

所以，

所以，故B不正確；

，故符合條件的有兩個(gè)，故C正確；

選項(xiàng)D，由余弦定理知，，即，所以，

又，所以為等邊三角形，故D正確．

故選：

結(jié)合正弦定理與“大邊對大角”，可判斷A；由，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；，可判斷C；利用余弦函數(shù)可判斷

本題考查解三角形的綜合，熟練掌握正弦定理、余弦定理，正弦函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．12.【答案】ABD

【解析】解：對于A，由，且，

可得，高，

則圓臺(tái)軸截面ABCD的面積為，故A正確；

對于B，圓臺(tái)的體積為，故B正確；

對于C，圓臺(tái)的表面積為，故C錯(cuò)誤；

對于D，由圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，可得大圓錐的母線長為4cm，底面半徑為2cm，

側(cè)面展開圖的圓心角，

設(shè)AD的中點(diǎn)為P，連接CP，

可得，，，

則，

所以沿著該圓臺(tái)表面，從點(diǎn)C到AD中點(diǎn)的最短距離為5cm，故D正確．

故選：

求出圓臺(tái)的高，由梯形的面積公式可判斷選項(xiàng)A；由臺(tái)體的體積公式可判斷選項(xiàng)B；由臺(tái)體的表面積公式可判斷選項(xiàng)C；將圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，側(cè)面展開，取AD的中點(diǎn)為P，連接CP，可判斷選項(xiàng)

本題考查命題真假的判斷，考查圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征、梯形面積公式、圓臺(tái)表面積和體積公式、圓錐側(cè)面展開圖等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．13.【答案】

【解析】解：是方程的根，則也是方程的根，

，，

，b的值為，

則

故答案為：

利用實(shí)系數(shù)方程虛根成對定理，結(jié)合韋達(dá)定理即可求得a、b的值，推出結(jié)果；

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，突出考查復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14.【答案】7

【解析】【分析】本題考查余弦定理，考查三角函數(shù)知識，正確運(yùn)用余弦定理是關(guān)鍵，屬于中檔題．

利用余弦定理，結(jié)合，即可求出AC的長．【解答】

解：、B、C、D四點(diǎn)共圓，圓內(nèi)接四邊形的對角和為

，

由余弦定理可得，

，

，即，

，

可解得

故答案為：15.【答案】12

【解析】解：在正四棱錐中，底面ABCD的邊長為2，如下圖所示，

設(shè)點(diǎn)P在底面ABCD的射影點(diǎn)為點(diǎn)O，則四棱錐的高：，

則O為AC的中點(diǎn)，且，，

取AB的中點(diǎn)E，連接PE，則，

可得，，

故正四棱錐的表面積為

故答案為：

計(jì)算出正四棱錐的側(cè)棱長以及側(cè)面三角形的高，進(jìn)而可計(jì)算出該正四棱錐的表面積．

本題考查空間幾何體的表面積的求法，直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，是中檔題．16.【答案】

【解析】解：過A作BC的垂線交BC與點(diǎn)E，

則以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，AE所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：

則，，，，

設(shè)，，，

，，

，

當(dāng)時(shí)，有最小值

故答案為：

根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示向量數(shù)量積，由此求出最小值．

本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．17.【答案】解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，則側(cè)面展開圖是一個(gè)長為，寬為4的矩形，

依題意，即，

所以該圓柱的體積為：

【解析】利用母線與側(cè)面展開圖的對角線成角，求出圓柱的底面半徑，再根據(jù)圓柱的體積公式可求出結(jié)果．

本題主要考查圓柱的結(jié)構(gòu)特征，圓柱體積的計(jì)算等知識，屬于基礎(chǔ)題．18.【答案】解：由已知，則，解得

當(dāng)時(shí)，

【解析】利用復(fù)數(shù)的加法化簡復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可得出關(guān)于實(shí)數(shù)a的等式，即可求得實(shí)數(shù)a的值；

當(dāng)時(shí)，利用復(fù)數(shù)的除法可求得復(fù)數(shù)

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．19.【答案】解：因?yàn)椋?，所以?/p>

又，所以，即，所以，

設(shè)與夾角為，則，又，

所以，即與夾角的正弦值為；

設(shè)，因?yàn)椋瑒t，

又，所以，解得

或，所以或

【解析】首先求出，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，設(shè)與夾角為，利用夾角公式求出，即可求出；

設(shè)，根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示及得到方程組，解得即可．

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．20.【答案】解：，

，

，

，

，

，

，

，

，

；

由，，

可得：，

又，

，即，

又，

的周長的范圍為

【解析】由正弦定理把已知等式邊化角，再由，得；

由余弦定理及重要不等式得，利用兩邊之和大于第三邊可得，即可得解的周長的范圍．

本題考查三角形的解法，正弦定理、余弦定理、重要不等式以及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．21.【答案】解：設(shè)圓錐SO的母線長為l，底面的直徑為2r，所以，

因?yàn)榈拿娣e為48，所以，解得，

由勾股定理，可得母線，

由圓錐的表面積公式有：；

如圖所示，作出圓錐的軸截面，球與圓錐側(cè)面相切，設(shè)球心為D，

則于E，其中R為球的半徑，

則∽，可得DE：：SB，即，解得，

所以球的體積，圓錐的體積，

圓錐體剩余的空間體積為

【解析】設(shè)圓錐SO的母線長為l，底面的直徑為2r，由的面積為48，求得，結(jié)合圓錐的表面積，即可求解；

作出圓錐的軸截面，設(shè)球心為D，根據(jù)∽，求得，利用體積公式求得球和圓錐的體積，即可求解．

本題考查了圓錐的表面積和球的半徑計(jì)算，屬于中檔題．22.【答案】解：在中，且，，由余弦定理得，解得，負(fù)根舍去，故

以A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，易知，，

如圖所示：

設(shè)，由兩點(diǎn)間距離公式得，解得，，負(fù)根舍去，

故，由中