2024-2025學(xué)年重慶市沙坪壩區(qū)南開中學(xué)九年級(jí)（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2024-2025學(xué)年重慶市沙坪壩區(qū)南開中學(xué)九年級(jí)（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請?jiān)诖痤}卡中將正確答案所對(duì)應(yīng)的方框涂黑．1．（4分）下列式子中是分式的是（）A． B． C． D．2．（4分）以下運(yùn)動(dòng)圖標(biāo)中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（4分）反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，3），則下列各點(diǎn)中在y＝（）A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣，3） D．（2，﹣3）4．（4分）下列說法正確的是（）A．平行四邊形的鄰邊平行且相等 B．矩形的對(duì)角線互相垂直 C．菱形的四個(gè)內(nèi)角都是直角 D．正方形的兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等5．（4分）勾股樹又稱畢達(dá)哥拉斯樹，是畢達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理畫出來的可以無限衍生的圖形，如圖是勾股樹的前三種衍生圖．圖①中共有3個(gè)正方形，圖③中共有15個(gè)正方形，…，按照這一規(guī)律（）A．255 B．127 C．126 D．636．（4分）如圖，△ABC和△A′B′C′是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形．若OA：AA′＝1：2，則△ABC與△A′B′C′的面積之比為（）A．1：2 B．1：4 C．1：9 D．4：97．（4分）已知，則實(shí)數(shù)m的范圍是（）A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜58．（4分）在物理學(xué)中，壓強(qiáng)p等于物體所受壓力F的大小與受力面積S之比，即．小明將底面積為Sm2、重100N的均勻長方體鐵塊A和底面積為（S+1）m2、重150N的均勻長方體鐵塊B放置在水平桌面上，A、B兩個(gè)鐵塊對(duì)桌面的壓強(qiáng)之比為2：1，求底面積S為多少？則可列方程（）A． B． C． D．9．（4分）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，將BA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，連接AE、DE，過A作AF⊥BE于點(diǎn)F．若（）A． B． C． D．10．（4分）已知多項(xiàng)式A＝2x2﹣3x﹣2，多項(xiàng)式B＝x2﹣mx+1．①當(dāng)A＝0時(shí)，代數(shù)式的值為4048；②當(dāng)m＝3時(shí)，若|2B﹣A﹣2|+|2B﹣A+2|≥5，則x的取值范圍是或；③當(dāng)m＝0時(shí)，若p、q為自然數(shù)，且整式p?B﹣q?A所有項(xiàng)的系數(shù)和不超過10以上說法正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分）請將答案直接填在答題卡中對(duì)應(yīng)的橫線上．11．（4分）若，則＝．12．（4分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1260°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是．13．（4分）重慶因其魔幻建筑，被網(wǎng)友稱為“8D魔幻城市”，小南與小開打算來重慶旅游，小南與小開選擇同一家旅行社的概率為．14．（4分）若m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式2n2﹣3mn+2m＝．15．（4分）黃金分割在生活中有著非常廣泛的應(yīng)用，如圖，在國旗上的五角星中，則AB的長為．（結(jié)果保留根號(hào)）16．（4分）若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集是x＜﹣2，且關(guān)于y的分式方程，則符合條件的所有整數(shù)m的和為．17．（4分）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊的四等分點(diǎn)（AE＞ED），將矩形沿BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，BC′與AD交于點(diǎn)F，連接C′E．若BC＝4，則EF＝，點(diǎn)F到C′E的距離為．18．（4分）如果一個(gè)四位正整數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字互不相同且均不為0，且滿足十位數(shù)字比千位數(shù)字大6，個(gè)位數(shù)字比百位數(shù)字大4（M）．例如：四位數(shù)1276，∵7＝1+6，∴1276是“清活數(shù)”，F(xiàn)（1276）＝1×6+2×7＝20，∵9＝3+6，但5≠2+4為“清活數(shù)”，則＝．若N為“清活數(shù)”，且F（N）能被12整除．三、解答題（本大題共9個(gè)小題，19題～24題每小題8分，25題～27題每小題8分，共78分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上．19．（8分）因式分解：（1）3x2y+6xy；（2）4a2﹣9b2．20．（8分）解方程：（1）x2+2x﹣5＝0；（2）．21．（8分）先化簡，再求值：（）÷，其中x＝3．22．（8分）如圖，在菱形ABCD中．（1）尺規(guī)作圖：作∠BAC的角平分線AE交BC于點(diǎn)E，并在線段AB上截取AF＝CE，連接CF．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）所作圖形中，求證：CF平分∠ACB．證明：∵菱形ABCD，∴AB＝，∴∠ACB＝∠BAC，在△ACE和△CAF中，，∴△ACE≌△CAF（SAS），∴∠CAE＝，∵AE平分∠BAC，∴，∵∠ACB＝∠BAC，∴∠ACF＝，∴CF平分∠ACB．23．（8分）北關(guān)中學(xué)在七、八年級(jí)各選取10名學(xué)生參加學(xué)校舉辦的“我愛我?！敝R(shí)競賽．競賽成績整理、描述和分析如下：（成績得分用x表示，共分成四組：A．x＜85；B．85≤x＜90；C．90≤x＜95；D．95≤x≤100）七年級(jí)10名學(xué)生的成績：82，84，90，93，93，93，100八年級(jí)10名學(xué)生的成績在C組中的數(shù)據(jù)是：91，91，93七、八年級(jí)選取的學(xué)生競賽成績統(tǒng)計(jì)表年級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差七年級(jí)9293b30八年級(jí)92a9526.8根據(jù)以上信息回答下列問題：（1）a＝，b＝，c＝．（2）哪個(gè)年級(jí)的學(xué)生成績更好？請說明理由．（3）若該校七年級(jí)有700人，八年級(jí)有800人，均參加此次知識(shí)競賽（x≥90）的學(xué)生共有多少人？24．（8分）巴黎奧運(yùn)會(huì)的吉祥物“弗里熱”玩偶共有兩種尺寸．分別為大款和小款，小渝購置了一定數(shù)量的兩款玩偶，各自花費(fèi)2400元，小款數(shù)量是大款數(shù)量的．（1）請問大，小款單價(jià)各多少元？（2）為了送給其他的朋友，小渝決定再買一定數(shù)量的吉祥物，此時(shí)，小款的單價(jià)減少了m元，購買數(shù)量增加了個(gè)，購買數(shù)量減少了個(gè)，總費(fèi)用為4800元25．（10分）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝4，AD＝3，沿折線A→D→C方向勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，沿C→B方向勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，△CPQ的面積為y．（1）請直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及對(duì)應(yīng)的x的取值范圍；（2）在如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出y的圖象，并寫出函數(shù)y的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，當(dāng)y≤6時(shí)，請直接寫出x的取值范圍．26．（10分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y＝x+2與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，且OC＝3OB．（1）求直線BC的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接PE、EF，當(dāng)時(shí)，求PE+EF的最小值；（3）如圖2，在（2）問條件下，點(diǎn)M為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．27．（10分）如圖，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，連接BD，點(diǎn)E為BD上一點(diǎn)（1）如圖1，連接AE、AF，AF交BD于G，設(shè)∠ABD＝α，求∠AFE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；（2）如圖2，連接AF、CE，以A為頂點(diǎn)，AM交CE于點(diǎn)M，求證：CM＝EM；（3）如圖3，連接AE、CE，設(shè)EF與BC交于點(diǎn)O，AB＝4，點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，請直接寫出△COE的面積．

2024-2025學(xué)年重慶市沙坪壩區(qū)南開中學(xué)九年級(jí)（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請?jiān)诖痤}卡中將正確答案所對(duì)應(yīng)的方框涂黑．1．（4分）下列式子中是分式的是（）A． B． C． D．【解答】解：式子的分母中含有字母，其它的不是分式．故選：D．2．（4分）以下運(yùn)動(dòng)圖標(biāo)中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：由各選項(xiàng)圖形可知，是軸對(duì)稱圖形的是C選項(xiàng)，故選：C．3．（4分）反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，3），則下列各點(diǎn)中在y＝（）A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣，3） D．（2，﹣3）【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，∴k＝（﹣2）×6＝﹣6，A、∵2×2＝6≠﹣6，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵（﹣5）×（﹣3）＝6≠﹣5，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵（﹣≠﹣6，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵2×（﹣3）＝﹣6，故本選項(xiàng)正確．故選：D．4．（4分）下列說法正確的是（）A．平行四邊形的鄰邊平行且相等 B．矩形的對(duì)角線互相垂直 C．菱形的四個(gè)內(nèi)角都是直角 D．正方形的兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等【解答】解：A、平行四邊形的鄰邊是相交的；B、矩形的對(duì)角線相等且互相平分，不符合題意；C、菱形的四個(gè)角不一定是直角，不符合題意；D、正方形的兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等，符合題意．故選：D．5．（4分）勾股樹又稱畢達(dá)哥拉斯樹，是畢達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理畫出來的可以無限衍生的圖形，如圖是勾股樹的前三種衍生圖．圖①中共有3個(gè)正方形，圖③中共有15個(gè)正方形，…，按照這一規(guī)律（）A．255 B．127 C．126 D．63【解答】解：由圖可得，圖①中共有：1+2＝8＝（22﹣6）個(gè)正方形，圖②中共有：1+2+6×2＝7＝（73﹣1）個(gè)正方形，圖③中共有：3+2+2×7+2×2×7＝15＝（24﹣2）個(gè)正方形，∴圖⑥中共有正方形的個(gè)數(shù)為：27﹣2＝127，故選：B．6．（4分）如圖，△ABC和△A′B′C′是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形．若OA：AA′＝1：2，則△ABC與△A′B′C′的面積之比為（）A．1：2 B．1：4 C．1：9 D．4：9【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，∴OA：OA′＝2：3，∵△ABC和△A′B′C′是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，∴△ABC∽△A′B′C′，AB∥A′B′，∴△AOB∽△A′OB′，∴AB：A′B′＝OA：OA′＝1：6，∴△ABC與△A′B′C′的面積之比為1：9，故選：C．7．（4分）已知，則實(shí)數(shù)m的范圍是（）A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜5【解答】解：＝＝，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即5＜m＜3，故選：B．8．（4分）在物理學(xué)中，壓強(qiáng)p等于物體所受壓力F的大小與受力面積S之比，即．小明將底面積為Sm2、重100N的均勻長方體鐵塊A和底面積為（S+1）m2、重150N的均勻長方體鐵塊B放置在水平桌面上，A、B兩個(gè)鐵塊對(duì)桌面的壓強(qiáng)之比為2：1，求底面積S為多少？則可列方程（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)壓強(qiáng)公式可知：鐵塊A的壓強(qiáng)為，鐵塊B的壓強(qiáng)為，∵A、B兩個(gè)鐵塊對(duì)桌面的壓強(qiáng)之比為2：3，∴，∴，故選：A．9．（4分）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，將BA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，連接AE、DE，過A作AF⊥BE于點(diǎn)F．若（）A． B． C． D．【解答】解：過點(diǎn)E作EH⊥AD，垂足為H，∵△ABE是等邊三角形，∴∠BAE＝60°，∴∠EAH＝30°，∴EH＝＝，AH＝m，∴DH＝m﹣m＝m，在Rt△HED中，HD4+EH2＝ED2，（m）5+（）8＝（2）7，m2＝＝8（7+），∴m＝＝（舍去負(fù)值），在Rt△ABF中，AF＝＝＝×＝×＝．故選：B．10．（4分）已知多項(xiàng)式A＝2x2﹣3x﹣2，多項(xiàng)式B＝x2﹣mx+1．①當(dāng)A＝0時(shí)，代數(shù)式的值為4048；②當(dāng)m＝3時(shí)，若|2B﹣A﹣2|+|2B﹣A+2|≥5，則x的取值范圍是或；③當(dāng)m＝0時(shí)，若p、q為自然數(shù)，且整式p?B﹣q?A所有項(xiàng)的系數(shù)和不超過10以上說法正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：當(dāng)A＝0時(shí)，2x5﹣3x﹣2＝3，解得x1＝2，，當(dāng)x3＝2時(shí)，＝4048，當(dāng)時(shí)，＝4048；當(dāng)m＝5時(shí)，2B﹣A＝2（x4﹣3x+1）﹣（7x2﹣3x﹣3）＝﹣3x+4，∴|﹣8x+4﹣2|+|﹣5x+4+2|＝|﹣6x+2|+|﹣3x+6|化簡分三種情況討論，若﹣3x+2為正數(shù)時(shí)，﹣5x+6定為正數(shù)，若﹣3x+6為負(fù)數(shù)時(shí)，﹣4x+2定為負(fù)數(shù)，若﹣6x+2為負(fù)數(shù)時(shí)，﹣3x+8定為正數(shù)，不符合條件大于等于5，故②正確；當(dāng)m＝0時(shí)，B＝x3+1，p?B﹣q?A＝p（x2+3）﹣q（2x2﹣7x﹣2）＝（p﹣2q）x6+3qx+（p+2q），∵p?B﹣q?A所有項(xiàng)的系數(shù)和不超過10，∴p﹣7q+3q+p+2q＝6p+3q≤10，∵p、q為自然數(shù)，∴，，，，，∴p﹣q的值有8種可能，故③不正確，∴說法正確的個(gè)數(shù)是2個(gè)，故選：C．二、填空題（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分）請將答案直接填在答題卡中對(duì)應(yīng)的橫線上．11．（4分）若，則＝．【解答】解：∵，∴y＝x，∴＝＝．故答案為：．12．（4分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1260°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是9．【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，由題意得：（n﹣2）?180°＝1260°，∴n＝9，故答案為：2．13．（4分）重慶因其魔幻建筑，被網(wǎng)友稱為“8D魔幻城市”，小南與小開打算來重慶旅游，小南與小開選擇同一家旅行社的概率為．【解答】解：列表如下：ABCDA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）共有16種等可能的結(jié)果，其中小南與小開選擇同一家旅行社的結(jié)果有4種，∴小南與小開選擇同一家旅行社的概率為．故答案為：．14．（4分）若m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式2n2﹣3mn+2m＝1．【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝2的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴mn＝1，m+n＝1，n5﹣n＝1，∴n2＝7+n，則原式＝2（1+n）﹣7mn+2m＝2+3n﹣3mn+2m＝6+2（m+n）﹣3mn＝4+2×1﹣6×1＝2+6﹣3＝1，故答案為：6．15．（4分）黃金分割在生活中有著非常廣泛的應(yīng)用，如圖，在國旗上的五角星中，則AB的長為3+．（結(jié)果保留根號(hào)）【解答】解：∵D是線段AB的黃金分割點(diǎn)，∴BC＝AB，由題意得：AB﹣AB＝2，解得：AB＝3+，故答案為：3+．16．（4分）若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集是x＜﹣2，且關(guān)于y的分式方程，則符合條件的所有整數(shù)m的和為﹣2．【解答】解：，解不等式①得：x≤，解不等式②得：x＜﹣8，∵解集為x＜﹣2，∴≥﹣2，∴m≤7；分式方程兩邊都乘以（y﹣3）得：y+m＝3（y﹣2），解得：y＝，∵分式方程有非負(fù)整數(shù)解，∴≥0，，∴m≥﹣6，m為不等于2的偶數(shù)，綜上所述，﹣8≤m≤7且a≠2，∴符合條件的所有整數(shù)m的數(shù)有：﹣4，﹣4，0，2，6，和為﹣6﹣5﹣2+0+6+4＝﹣2．故答案為：﹣7．17．（4分）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊的四等分點(diǎn)（AE＞ED），將矩形沿BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，BC′與AD交于點(diǎn)F，連接C′E．若BC＝4，則EF＝，點(diǎn)F到C′E的距離為．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∠A＝90°，∵E為AD邊的四等分點(diǎn)，∴DE＝×4＝1，∴AE＝4，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵將矩形沿BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，∴∠CBE＝∠FBE，∴∠FBE＝∠BEF，∴BF＝EF，∵AB2+AF2＝BF6，∴22+（4﹣EF）2＝EF2，∴EF＝；∴C′F＝4﹣＝，∵將矩形沿BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，∴C′D′＝CD＝2，∠D′＝∠D＝∠C＝∠D′C′F＝90°，∴EC′＝＝，過F作FH⊥C′E于H，∴∠FHC′＝∠D′＝90°，∵∠C′FH+∠FC′H＝∠FC′H+∠D′C′E＝90°，∴∠C′FH＝∠D′C′E，∴△C′FH∽△EC′D′，∴＝，∴＝，∴FH＝．故答案為：，．18．（4分）如果一個(gè)四位正整數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字互不相同且均不為0，且滿足十位數(shù)字比千位數(shù)字大6，個(gè)位數(shù)字比百位數(shù)字大4（M）．例如：四位數(shù)1276，∵7＝1+6，∴1276是“清活數(shù)”，F(xiàn)（1276）＝1×6+2×7＝20，∵9＝3+6，但5≠2+4為“清活數(shù)”，則＝38．若N為“清活數(shù)”，且F（N）能被12整除2387．【解答】解：∵為“清活數(shù)”，且“清活數(shù)”十位數(shù)字比千位數(shù)字大6，個(gè)位數(shù)字比百位數(shù)字大4，∴a＝6，b＝7，∴＝2×8+3×8＝38．若N最大，則十位數(shù)字越大，則千位數(shù)字越大，∴十位數(shù)字為5，千位數(shù)字為3，同理：個(gè)位數(shù)字為8，百位數(shù)字為6，∴N最大為：3498．若N最小，則十位數(shù)字越小，則千位數(shù)字越小，∴十位數(shù)字為7，千位數(shù)字為1，同理：個(gè)位數(shù)字為7，百位數(shù)字為2，∴N最小為：1276．∴N的最大值與最小值的平均數(shù)為（3498+1276）＝2387．故答案為：38，2387．三、解答題（本大題共9個(gè)小題，19題～24題每小題8分，25題～27題每小題8分，共78分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上．19．（8分）因式分解：（1）3x2y+6xy；（2）4a2﹣9b2．【解答】解：（1）3x2y﹣3xy＝3xy（x﹣2）；（2）6a2﹣9b3＝（2a+3b）（5a﹣3b）．20．（8分）解方程：（1）x2+2x﹣5＝0；（2）．【解答】解：（1）x2+2x﹣3＝0，x2+7x＝5，x2+3x+1＝5+3，（x+1）2＝8，，，；（2），方程可化為，方程兩邊同乘x（x﹣1），得2x﹣3（x﹣1）＝4，解得x＝﹣8，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣1時(shí)，x（x﹣1）≠8，所以原分式方程的解是x＝﹣1．21．（8分）先化簡，再求值：（）÷，其中x＝3．【解答】解：（）÷＝?＝?＝，當(dāng)x＝3時(shí)，原式＝＝．22．（8分）如圖，在菱形ABCD中．（1）尺規(guī)作圖：作∠BAC的角平分線AE交BC于點(diǎn)E，并在線段AB上截取AF＝CE，連接CF．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）所作圖形中，求證：CF平分∠ACB．證明：∵菱形ABCD，∴AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC，在△ACE和△CAF中，，∴△ACE≌△CAF（SAS），∴∠CAE＝∠ACF，∵AE平分∠BAC，∴，∵∠ACB＝∠BAC，∴∠ACF＝，∴CF平分∠ACB．【解答】（1）解：如圖所示．（2）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC，在△ACE和△CAF中，，∴△ACE≌△CAF（SAS），∴∠CAE＝∠ACF，∵AE平分∠BAC，∴，∵∠ACB＝∠BAC，∴∠ACF＝，∴CF平分∠ACB．故答案為：BC；AF；．23．（8分）北關(guān)中學(xué)在七、八年級(jí)各選取10名學(xué)生參加學(xué)校舉辦的“我愛我校”知識(shí)競賽．競賽成績整理、描述和分析如下：（成績得分用x表示，共分成四組：A．x＜85；B．85≤x＜90；C．90≤x＜95；D．95≤x≤100）七年級(jí)10名學(xué)生的成績：82，84，90，93，93，93，100八年級(jí)10名學(xué)生的成績在C組中的數(shù)據(jù)是：91，91，93七、八年級(jí)選取的學(xué)生競賽成績統(tǒng)計(jì)表年級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差七年級(jí)9293b30八年級(jí)92a9526.8根據(jù)以上信息回答下列問題：（1）a＝93.5，b＝93，c＝40．（2）哪個(gè)年級(jí)的學(xué)生成績更好？請說明理由．（3）若該校七年級(jí)有700人，八年級(jí)有800人，均參加此次知識(shí)競賽（x≥90）的學(xué)生共有多少人？【解答】解：（1）∵八年級(jí)C組占的百分比為×100%＝40%，∴c%＝100%﹣10%﹣10%﹣40%＝40%，∴c＝40，∵七年級(jí)10名學(xué)生的成績中，出現(xiàn)次數(shù)中點(diǎn)的是93，∴b＝93，∵八年級(jí)10名學(xué)生的成績中，從小到大排列后第5和6位置的數(shù)是93和94，∴a＝＝93.5；故答案為：93.8，93；（2）這次競賽中八年級(jí)的成績更更好；理由：∵八年級(jí)的方差26.8小于七年級(jí)的方差30，平均數(shù)相同，∴這次競賽中八年級(jí)的成績更更好；（3）700×+800×（40%+40%）＝1200（人），答：估計(jì)成績優(yōu)秀（x≥90）的學(xué)生共有1200人．24．（8分）巴黎奧運(yùn)會(huì)的吉祥物“弗里熱”玩偶共有兩種尺寸．分別為大款和小款，小渝購置了一定數(shù)量的兩款玩偶，各自花費(fèi)2400元，小款數(shù)量是大款數(shù)量的．（1）請問大，小款單價(jià)各多少元？（2）為了送給其他的朋友，小渝決定再買一定數(shù)量的吉祥物，此時(shí)，小款的單價(jià)減少了m元，購買數(shù)量增加了個(gè)，購買數(shù)量減少了個(gè)，總費(fèi)用為4800元【解答】解：（1）設(shè)大款玩偶的單價(jià)為x元，則小款玩偶的單價(jià)為（x﹣90）元，由題意得：＝×，解得：x＝240，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝240是原方程的解，∴x﹣90＝150，答：大款玩偶的單價(jià)為240元，小款玩偶的單價(jià)為150元；（2）由（1）可知，大款玩偶的數(shù)量為2400÷240＝10（個(gè)），由題意得：（150﹣m）（16+m）+240（10﹣，整理得：m2﹣36m＝0，解得：m8＝36，m2＝0（不合題意，舍去），答：m的值為36．25．（10分）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝4，AD＝3，沿折線A→D→C方向勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，沿C→B方向勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，△CPQ的面積為y．（1）請直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及對(duì)應(yīng)的x的取值范圍；（2）在如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出y的圖象，并寫出函數(shù)y的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，當(dāng)y≤6時(shí)，請直接寫出x的取值范圍x≤或x≥．【解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，0≤x＜3，AB＝2，∵AD∥BC，∴△CPQ的面積y＝＝＝4x；當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，3≤x＜2，CQ＝6，過點(diǎn)D作DN⊥BC于點(diǎn)N，則四邊形ABND是矩形，∴AD＝BN＝3，AB＝DN＝2，∴CN＝3，∴DC＝＝5過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，∴PM∥DN，∴△PMC∽△DNC，∴，∴，∴PM＝，∴△CPQ的面積y＝＝＝﹣，∴y＝；（2）函數(shù)圖象如圖所示：當(dāng)0≤x＜3時(shí)，y隨x的增大而增大，y隨x的增大而減?。ù鸢覆晃ㄒ唬唬?）當(dāng)2x≤6時(shí)，x≤，﹣，∴，∴x≤或x≥時(shí)．故答案為：x≤或x≥．26．（10分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y＝x+2與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，且OC＝3OB．（1）求直線BC的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接PE、EF，當(dāng)時(shí)，求PE+EF的最小值；（3）如圖2，在（2）問條件下，點(diǎn)M為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵y＝x+2，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝5，x＝﹣2，∴A（﹣2，3），2），∴OB＝2，∵OC＝7OB，∴C（6，0），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+2（k≠0），把C（6，2），∴；（2）∵A（﹣6，0），2），8），∴OA＝2，OB＝2，∴∠BAO＝45°，AC＝2，，連接AP，過點(diǎn)P作PD⊥AC，∵PQ⊥AB，∴S△ABC＝S△ABP+S△ACP，即，∴，∴，∵點(diǎn)P在線段BC上，∴當(dāng)時(shí)，，解得，∴，∴，∴，∴，過點(diǎn)Q作QG⊥x軸，∵∠BAO＝45°，∴，∴，∴，如圖，作點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P'，∵PQ⊥AB，∴P，Q，P′三點(diǎn)共線，∴，∵PE+EF＝P'E+EF≥P'F，∴當(dāng)P′，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，為P'F的長，又∵F為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)PF⊥x軸時(shí)，P′F最短，∴PE+EF的最小值為；（3）當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)Q的右側(cè)時(shí)，將線段PQ繞點(diǎn)Q逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，連接HP并延長，則∠QPH＝∠QHP＝45°，，，由（2）知∠BAC＝45°，，∴∠QPH＝∠BAC＝45°，∠ADH＝180°﹣∠BAC﹣∠AHD＝90°，，∴，∴，∴，過點(diǎn)H作HK∥x軸，交PM于點(diǎn)K，則∠KHP＝∠ADH＝90°，K點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∵∠QPM＝∠ACB+∠BAC＝∠QPH+∠HPM，∠QPH＝∠BAC＝45°，∴∠ACB＝∠HPM，∴tan∠ACB＝tan∠HPM，即，∴，∴，即，設(shè)直線PM的解析式為y＝mx+b，則，解得，∴y＝3x﹣3，聯(lián)立，解得，∴；當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)Q左側(cè)時(shí)，如圖，得到QH，則∠QPH＝∠QHP＝45°＝∠