江蘇省鎮(zhèn)江市2024-2025學年高三上學期質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題 含解析

第1頁/共1頁2024~2025學年度上學期高三期初試卷數(shù)學2024.9注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知一組數(shù)據(jù)：4，6，7，9，11，13，則這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】借助百分位數(shù)定義計算即可得.【詳解】由，故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.故選：C.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，，則.故選：B.3.已知，，，則的最小值為（）．A.4 B. C.6 D.【答案】B【解析】由于，，所以，當且僅當時取等號，故的最小值為.故選：B4.由數(shù)字2，3，4組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，則這個三位數(shù)是偶數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】將組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，共有種，而其中偶數(shù)有兩種情況：①以為個位數(shù)的三位數(shù)，是，共有2種②以為個位數(shù)的三位數(shù)，是，共有2種所以，這個三位數(shù)是偶數(shù)的情況共有種，所以，這個三位數(shù)是偶數(shù)的概率為事件，則.故選：A.5.若正三棱錐的所有棱長均為3，則該正三棱錐的體積為（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】如圖，正三棱錐，，取中點，連接，取等邊三角形的中心，連接，由正四面體的性質(zhì)可知，頂點與底面中心連線垂直底面，∴平面即三棱錐的高為，∵，∴，∴，∴，∴.故選：C6.隨機變量服從若則下列選項一定正確的是（）A B.C. D.【答案】C【解析】因為由正態(tài)分布的對稱性，可得，正態(tài)分布方差無法判斷，，，所以ABD錯誤.故選:：C7.已知正方體的棱長為，點為側(cè)面四邊形的中心，則四面體的外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖：取中點，連結(jié)，因為的棱長為的正方體，所以，且，所以四面體的外接球的球心為為，且外接球半徑，所以四面體的外接球的體積.故選：D.8.已知定義域為R的函數(shù)，滿足，且，則以下選項錯誤的是（）A. B.圖象關于對稱C.圖象關于對稱 D.為偶函數(shù)【答案】B【解析】對于A，令，則，所以f1=0，故A正確；對于B，令，則，即，解得：或，因為，所以，令，，所以，所以圖象不關于2,0對稱，故B錯誤；對于C，令，則有即，故圖象關于1,0對稱，故C正確.對于D，令，則有即，即，即，因為函數(shù)的定義域為R，所以為偶函數(shù)，故D正確.故選：B.公眾號：高中試卷君二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列求導運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】對于A選項，，A錯誤；對于B選項，，B錯誤；對于C選項，，C正確；對于D選項，，D正確.故選：CD.10.已知事件A與B發(fā)生的概率分別為，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對于A，由于題目中沒確定事件A與B是否相互獨立，所以，不一定成立，故A錯誤；對于B，由于，則，則，故B正確；對于C，由于題目中沒確定事件A與B是否相互獨立，所以，也不一定成立，故C錯誤；對于D，，故，故D正確；故選：BD.11.函數(shù)y=fx的定義域為，區(qū)間，對于任意，，恒滿足，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”.下列函數(shù)在定義域上為凸函數(shù)的是（）A. B.C D.【答案】AD【解析】對A：，，，由在0,+∞上單調(diào)遞增，故其等價于，化簡可得，故滿足題意，故A正確；對B：，，，取，，可得，，又，故此時不滿足題意，故B錯誤；對C：，，，化簡得恒成立，不滿足題意，故C錯誤；對D：，，，左右平方后化簡可得，故滿足題意，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某人參加一次考試，共有4道試題，至少答對其中3道試題才能合格.若他答每道題的正確率均為0.5，并且答每道題之間相互獨立，則他能合格的概率為______.【答案】【解析】解：某人參加考試，4道題目中，答對的題目數(shù)滿足二項分布，所以故答案為：13.已知二次函數(shù)從1到的平均變化率為，請寫出滿足條件的一個二次函數(shù)的表達式_______．【答案】（答案不唯一）【解析】設fx則，由題意知，解之得，顯然c的取值不改變結(jié)果，不妨取，則.故答案為：14.勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間像球一樣來回自由滾動，并且始終保持與兩平面都接觸（如圖）．勒洛四面體是以一個正四面體的四個頂點分別為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分圍成的幾何體．若構成勒洛四面體ABCD的正四面體ABCD的棱長為2，在該“空心”勒洛四面體ABCD內(nèi)放入一個球，則該球的球半徑最大值是_______．【答案】【解析】勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的4個弧面都相切，即為勒洛四面體內(nèi)切球，由對稱性知，勒洛四面體內(nèi)切球球心是正四面體的內(nèi)切球、外接球球心，正外接圓半徑，正四面體的高，設正四面體的外接球半徑為，在中，，解得，因此，勒洛四面體內(nèi)切球半徑為.故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某自助餐廳為了鼓勵消費，設置了一個抽獎箱，箱中放有8折、8.5折、9折的獎券各2張，每張獎券的形狀都相同，每位顧客可以從中任取2張獎券，最終餐廳將在結(jié)賬時按照2張獎券中最優(yōu)惠的折扣進行結(jié)算．（1）求一位顧客抽到的2張獎券的折扣均不相同的概率；（2）若自助餐的原價為100元/位，記一位顧客最終結(jié)算時的價格為X，求X的分布列及數(shù)學期望．【答案】（1）（2）答案見詳解【解析】【小問1詳解】從6張獎券中，任取2張獎券共有種選法，抽到的兩張獎券相同的有3種選法，所以一位顧客抽到的2張獎券的折扣均不相同的概率為.【小問2詳解】的所有可能取值為80，85，90，，，，的分布列為：808590.16.如圖，在四棱錐中，，，，，平面，，E，F(xiàn)分別是棱，的中點．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【小問1詳解】如圖，連接，因為分別為的中點，所以，，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，則，因為平面，平面，所以平面.【小問2詳解】因為平面，平面，所以，，又，是平面內(nèi)兩條相交直線，平面，又平面，，所以兩兩互相垂直，以為坐標原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．則A0,0,0，，，，，，，，，設平面的一個法向量為n1=則，即，令，得，，，設平面的一個法向量為，則，即，令，得，，，設二面角的平面角為，，則.所以二面角的正弦值為.17.我們可以用“配方法”和“主元法”等方法證明“二元不等式”：，當且僅當時，等號成立．公眾號：高中試卷君（1）證明“三元不等式”：．（2）已知函數(shù)．①解不等式；②對任意x∈0,+∞，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）見解析（2）①；②.【解析】小問1詳解】因為，則（當且僅當時取等），所以（當且僅當時取等），同理（當且僅當時取等），（當且僅當時取等），三式相加可得：，又因為，所以，所以（當且僅當時取等）.【小問2詳解】①由可得：，所以，即，即，則，所以，解得：②因為當x∈0,+∞時，當且僅當，即時取等，所以當x∈0,+∞時，對任意x∈0,+∞，則，所以，解得：.所以實數(shù)的取值范圍為：.18.在如圖所示的平行六面體中，，．（1）求的長度；（2）求二面角的大??；（3）求平行六面體的體積．【答案】（1）（2）（3）【解析】【小問1詳解】根據(jù)圖形可知：，則；【小問2詳解】公眾號：高中試卷君作，則等于二面角的一個平面角，因為，，則，易知，所以，所以，即二面角的大小為；【小問3詳解】由（2）知平面，而四邊形的面積，則平行六面體的體積.19.已知函數(shù)．（1）函數(shù)是否具有奇偶性?為什么?（2）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（3）若有兩個不同極值點，，證明：．【答案】（1）函數(shù)不具有奇偶性（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（3）證明見解析【解析】【小問1詳解】，而，顯然，且，所以既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，故函數(shù)y=fx不具有奇偶性