1.1.1空間向量及其線性運算課件高二上學期數(shù)學人教A版選擇性

空間向量及其線性運算知識點一

空間向量及有關概念大小方向有向線段名稱定義表示空間向量在空間,具有

和

的量

①幾何表示法:空間向量用

表示;

②字母表示法:用字母a,b,c,…表示,若向量的起點是A,終點是B,也可記作;③圖形表示法:大小長度|a|

名稱定義表示向量的模(長度)空間向量a的

,也就是表示向量a的有向線段AB的

或

零向量長度為

的向量

單位向量模為

的向量

相反向量與向量a

相等而方向

的向量

向量a的相反向量是

001長度相反-a重合方向相等向量名稱定義表示共線(平行)向量如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或

,那么這些向量叫作共線向量或平行向量

相等向量

相同且模相等的向量叫作相等向量.

在空間,同向且等長的有向線段表示同一向量或

規(guī)定:零向量與任意向量

,即對于任意向量a,都有

.

平行0∥a

√×√

[解析]

模為1的向量稱為單位向量,顯然單位向量不唯一.[解析]

向量是一個“量”,而不是一個“數(shù)”,所以不能比較大小.(4)若向量a與b都是單位向量,則a=b. (

)(5)在空間中,互為相反向量的兩個向量必共線. (

)×√[解析]

向量a與b都是單位向量,其模相等,但是其方向不一定相同,所以a與b不一定相等.[解析]

模相等,且方向相反的向量為相反向量,顯然,互為相反向量的兩個向量必共線.知識點二

空間向量的線性運算1.空間向量的自由性任意兩個空間向量都可以平移到同一個平面內(nèi),成為同一平面內(nèi)的兩個向量,這樣任意兩個

的運算就可以轉化為

的運算.

空間向量平面向量2.空間向量的線性運算和三角形平行四邊形b+aa+(b+c)運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量

的運算

法則

法則

(1)加法交換律:a+b=

;

(2)加法結合律:(a+b)+c=

相反向量三角形a+(-b)運算定義法則(或幾何意義)運算律減法減去一個向量相當于加上這個向量的

法則

a-b=

向量數(shù)乘運算λa|λ||a|相同運算定義法則(或幾何意義)運算律數(shù)乘實數(shù)λ與向量a的積是一個

,這種運算叫作向量的

,記作

(1)|λa|=

.

(2)當λ>0時,λa與a的方向

;當λ<0時,λa與a的方向

;當λ=0時,λa=

(1)對向量加法的分配律:λ(a+b)=

;

(2)對實數(shù)加法的分配律:(λ+μ)a=

相反0λa+λbλa+μa

√√

體對角線3.空間向量的加、減法運算與平面向量的加、減法運算是否相同?平面向量加、減法的運算律在空間向量中還適用嗎?解:因為任意兩個空間向量都可以通過平移轉化到同一個平面內(nèi),所以任意兩個空間向量的運算就可以轉化為平面向量的運算,由此可知,空間向量的加、減法運算與平面向量的加、減法運算相同.平面向量加、減法的運算律在空間向量中同樣適用.知識點三

空間向量共線與共面的充要條件1.空間兩向量共線的充要條件對任意兩個空間向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ,使

.

2.空間直線的確定(1)直線的方向向量的定義在直線l上取

,把與向量a

的非零向量稱為直線l的方向向量.

(2)空間直線的確定空間直線可以由其上一點和它的

確定.

a=λb非零向量a平行方向向量

平行重合

平行于平面α在平面α內(nèi)共面向量p=xa+yb圖1-1-1

√×√[解析]

若p=xa+yb,則p與a,b一定共面.[解析]

當a,b共線,而p與a,b不共線時,p=xa+yb是不成立的.

×

2.一條直線的方向向量有多少個?解:根據(jù)直線方向向量的定義可知,一條直線有無數(shù)個方向向量.1.空間向量的概念(1)兩向量的關系:空間向量是具有大小和方向的量,兩個向量之間只有等與不等之分,但不能比較大小,向量的模能比較大小.(2)有向線段與向量:向量可用有向線段來表示,但是有向線段不是向量,它只是向量的一種表示方法.(3)相等向量:方向相同且模相等的向量叫作相等向量.(4)向量的平移:任意兩個空間向量都可以平移到同一個平面內(nèi),成為同一個平面內(nèi)的兩個向量.2.空間向量的數(shù)乘運算(1)含義:λa是實數(shù)λ與向量a的數(shù)乘運算.(2)λ的作用:λ的正負影響著向量λa的方向,λ的絕對值影響著向量λa的長度.(3)a的作用:向量λa與向量a一定是共線向量.3.共線向量(1)類比理解:空間共線向量與平面共線向量的定義從本質上是一樣的,平面共線向量的結論在空間共線向量中仍然成立.(2)共線向量與直線平行的區(qū)別:直線平行一般不包括兩直線重合的情況,若a,b是兩個共線向量,即a∥b,則說明表示向量a,b的有向線段所在直線既可以是同一條直線,也可以是兩條平行直線.(3)方向向量的個數(shù):直線的方向向量是指與直線平行或共線的向量.一條直線的方向向量有無數(shù)個,它們的方向相同或相反.4.共面向量對共面向量的兩點說明(1)對共面向量的理解:共面向量是指與同一個平面平行的向量,可將共面向量平移到同一個平面內(nèi).(2)由向量的“自由性”可知,空間任意的兩個向量都是共面的.

探究點一

空間向量的有關概念及應用D

[解析](1)A中,若向量a,b平行,則a,b所在的直線平行或重合,故A錯誤;B中,|a|=|b|只能說明a,b的長度相等,而方向不確定,故B錯誤;C中,向量作為矢量不能比較大小,故C錯誤.故選D.

8

CD

[素養(yǎng)小結]解答空間向量有關概念問題的關鍵點及注意點:(1)關鍵點:緊緊抓住向量的兩個要素,即大小和方向.(2)注意點:①零向量不是沒有方向,它的方向是任意的.②單位向量方向雖然不一定相同,但它們的長度都是1.③兩個向量的模相等,不一定是相等向量;反之,若兩個向量相等,則它們不僅模相等,而且方向相同.若兩個向量的模相等,方向相反,則它們?yōu)橄喾聪蛄?探究點二

空間向量的線性運算

C

圖1-1-4

ABD

圖1-1-5

圖1-1-6

[素養(yǎng)小結]空間向量線性運算的技巧:(1)向量加、減法的三角形法則是解決空間向量加、減法運算的關鍵,靈活應用相反向量可使向量間首尾相接.(2)利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量的加法運算時,務必要注意和向量的方向,必要時可對空間向量自由平移進而獲得更準確的結果.(3)利用數(shù)乘運算解題時,要結合具體圖形,利用三角形法則或平行四邊形法則將目標向量轉化為已知向量.探究點三

空間向量的共線、共面問題

A

(2)若非零空間向量e1,e2不共線,則使2ke1-e2與e1+2(k+1)e2共線的k的值為

.

1.空間向量的運算類似于平面向量的運算.向量加法運算的技巧是“首尾相接”,結果為第一個向量的起點指向最后一個向量的終點;向量減法運算的技巧是“起點相同”,結果為減向量的終點指向被減向量的終點.

2.在利用空間向量解決三點共線問題時,通常先通過線性運算表示兩個向量,然后通過判斷兩個向量是否共線得到結論.例2如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,M為DD1的中點,N在AC上,且AN∶NC=2∶1,E為BM的中點