8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

§8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其實(shí)施步驟.2.能利用等高堆積條形圖、2×2列聯(lián)表探討兩個(gè)分類變量的關(guān)聯(lián).3.了解隨機(jī)變量χ2的含義及作用.4.通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的處理，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力.復(fù)習(xí)導(dǎo)入

在現(xiàn)實(shí)生活中，人們經(jīng)常需要回答一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或性質(zhì)之間是否存在關(guān)聯(lián)性或相互影響的問(wèn)題.例如，就讀不同學(xué)校是否對(duì)學(xué)生的成績(jī)有影響，不同班級(jí)學(xué)生用于體育鍛煉的時(shí)間是否有差別，吸煙是否會(huì)增加患肺癌的風(fēng)險(xiǎn)，等等.

新知探索思考：如何利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)判斷一對(duì)分類變量之間是否具有關(guān)聯(lián)性呢？對(duì)于這樣的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，有時(shí)可以利用普查數(shù)據(jù)，通過(guò)比較相關(guān)的比率給出問(wèn)題的準(zhǔn)確回答，但在大多數(shù)情況下，需要借助概率的觀點(diǎn)和方法.我們先看下面的具體問(wèn)題.新知探索問(wèn)題：為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對(duì)本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此對(duì)學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉的情況進(jìn)行了普查.全校學(xué)生的普查數(shù)據(jù)如下：523名女生中有331名經(jīng)常鍛煉；601名男生中有473名經(jīng)常鍛煉.你能利用這些數(shù)據(jù)說(shuō)明，該校女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異嗎？

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在實(shí)踐中，由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高，人們經(jīng)常按研究問(wèn)題的需要，將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計(jì)，并做成2×2列聯(lián)表加以保存.問(wèn)題背景：全校學(xué)生的普查數(shù)據(jù)如下：523名女生中有331名經(jīng)常鍛煉；601名男生中有473名經(jīng)常鍛煉.你能利用這些數(shù)據(jù)，說(shuō)明該校女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異嗎？性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常(Y=0)經(jīng)常(Y=1)女生(X=0)331523男生(X=1)473601合計(jì)2×2列聯(lián)表1921281124320804列聯(lián)表給出了成對(duì)分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響：性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性無(wú)影響：頻率穩(wěn)定于概率新知探索

XY合計(jì)Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計(jì)a+cb+da+b+c+d(樣本容量n)若不相等，則推斷兩個(gè)分類變量有關(guān)聯(lián)或存在明顯差異.若相等，則推斷兩個(gè)分類變量無(wú)關(guān)聯(lián)或沒(méi)有明顯差異.概念形成1、2×2列聯(lián)表例1在研究某種藥物對(duì)“H1N1”病毒的治療效果時(shí)，進(jìn)行了動(dòng)物試驗(yàn)，得到以下數(shù)據(jù)：對(duì)150只動(dòng)物進(jìn)行藥物治療，其中132只動(dòng)物存活，18只動(dòng)物死亡，對(duì)150只動(dòng)物進(jìn)行常規(guī)治療，其中114只動(dòng)物存活，36只動(dòng)物死亡.請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表.2×2列聯(lián)表如表所示：治療方法治療效果合計(jì)存活死亡藥物治療13218150常規(guī)治療11436150合計(jì)24654300跟蹤訓(xùn)練1為了解對(duì)某班學(xué)生經(jīng)常打籃球和性別是否有關(guān)，對(duì)該班40名學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到如下的2×2列聯(lián)表.性別打籃球合計(jì)經(jīng)常不經(jīng)常男生m420女生8

20合計(jì)

n40則m＝_____，n＝_____.1616新知探索等高條形圖展示可列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征，依據(jù)頻率穩(wěn)定與概率的原理，我們可以推斷結(jié)果．①和表格相比，等高條形圖更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響.②比較同色的條形圖高度差，若高度差明顯，則判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)系或存在明顯差異.兩個(gè)分類變量x，y之間關(guān)系最強(qiáng)的是()吸煙與患肺病有關(guān)聯(lián)D2、等高條形圖對(duì)于大多數(shù)實(shí)際問(wèn)題，我們無(wú)法獲得所關(guān)心的全部對(duì)象的數(shù)據(jù)，但可利用隨機(jī)抽樣獲得一定數(shù)量的樣本數(shù)據(jù)，再利用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定于概率的原理作出推斷.例1.為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取88名學(xué)生.通過(guò)測(cè)試得到了如下數(shù)據(jù)：甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀；乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀.試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率之間是否存在差異.性別鍛煉合計(jì)不優(yōu)秀(Y=0)優(yōu)秀(Y=1)甲校(X=0)331043乙校(X=1)38745合計(jì)711788甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率為：乙校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率為：依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可推斷P(Y=1|X=0)>P(Y=1|X=1).故可認(rèn)為兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異，甲校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率比乙校學(xué)生的高.等高堆積條形圖1.等高堆積條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高堆積條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征，依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷結(jié)果.[例2]為考察甲、乙兩種藥物預(yù)防某疾病的效果,進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn),分別得到如下等高堆積條形圖.根據(jù)圖中信息,在下列各項(xiàng)中,說(shuō)法最佳的一項(xiàng)是(

)A.藥物乙的預(yù)防效果優(yōu)于藥物甲的預(yù)防效果B.藥物甲的預(yù)防效果優(yōu)于藥物乙的預(yù)防效果C.藥物甲、乙對(duì)該疾病均有顯著的預(yù)防效果D.藥物甲、乙對(duì)該疾病均沒(méi)有預(yù)防效果√例析新知探索思考2：你認(rèn)為“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異”這一結(jié)論是否有可能是錯(cuò)誤的？甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率為：乙校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率為：依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可推斷P(Y=1|X=0)>P(Y=1|X=1).即甲校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率比乙校學(xué)生的高，故可認(rèn)為兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異.“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異”這個(gè)結(jié)論是根據(jù)兩個(gè)頻率間存在差異推斷出來(lái)的.但有可能在隨機(jī)抽取的樣本中，兩個(gè)頻率間確實(shí)存在差異，但兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率實(shí)際上是沒(méi)有差別的.導(dǎo)致推斷放錯(cuò)誤的原因：①樣本容量較小，導(dǎo)致頻率與概率的誤差較大；②樣本具有隨機(jī)性，因而頻率有隨機(jī)性，頻率和概率之間存在誤差；思考3：有多大的把握推斷“學(xué)校與優(yōu)秀率有關(guān)”？這個(gè)推斷犯錯(cuò)誤的可能性多大？在這種情況下，我們推斷出的結(jié)論就是錯(cuò)誤的.接下來(lái)我們將討論犯這種錯(cuò)誤的概率的大小問(wèn)題.

當(dāng)我們要比較兩組或者多組均值有沒(méi)有顯著性差異的時(shí)候，我們可以用方差分析。請(qǐng)注意，想一下什么類型的數(shù)據(jù)可以求均值、方差呢？這就說(shuō)明只有數(shù)值類型的數(shù)據(jù)才可以求均值、方差。如離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型隨機(jī)變量

如果我們要比較兩組或者多組之間的分類變量之間是否有顯著性差異呢？這個(gè)時(shí)候就不可以使用方差分析了，就需要使用專門用于分類變量比較的卡方檢驗(yàn)。接下來(lái)我們具體看一下卡方分析是怎么做的。新知探索

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新知探索(1)認(rèn)清分類變量，提出零假設(shè)H0：X和Y獨(dú)立，即…與…無(wú)關(guān)聯(lián)(無(wú)差異)；(2)列表：列出2×2列聯(lián)表.(3)求值：由表中數(shù)據(jù)計(jì)算χ2的值.(4)推斷：將χ2值與臨界值xα比較，根據(jù)小概率值α的獨(dú)立性檢驗(yàn)規(guī)則，得出結(jié)論若χ2≥xα，則推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α；若χ2<xα，則我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立，可認(rèn)為X和Y獨(dú)立.P(χ2≥xα)=α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)3、(卡方)獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟新知探索①作用：由χ2≥xα是否發(fā)生推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立.②獨(dú)立性檢驗(yàn)中常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值P(χ2≥xα)=α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)如：若假設(shè)H0成立，對(duì)于小概率值α=0.05的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)規(guī)則如下：(1)當(dāng)χ2≥3.841=x0.05時(shí)，∵P(χ2≥3.841)=0.05，可推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05；(2)當(dāng)χ2<3.841=x0.05時(shí)，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立，可認(rèn)為X和Y獨(dú)立.例析例3.根據(jù)以下列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率之間是否存在差異.性別鍛煉合計(jì)不優(yōu)秀(Y=0)優(yōu)秀(Y=1)甲校(X=0)331043乙校(X=1)38745合計(jì)711788P(χ2≥xα)=α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828提出原(零)假設(shè)計(jì)算χ2找臨界值比較下結(jié)論沒(méi)有考慮由樣本隨機(jī)性可能導(dǎo)致的錯(cuò)誤，所以這個(gè)推斷依據(jù)不太充分獨(dú)立性檢驗(yàn)更理性、更全面，理論依據(jù)更充分例析例3.根據(jù)以下列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率之間是否存在差異.性別鍛煉合計(jì)不優(yōu)秀(Y=0)優(yōu)秀(Y=1)甲校(X=0)331043乙校(X=1)38745合計(jì)711788P(χ2≥xα)=α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828提出原(零)假設(shè)計(jì)算χ2找臨界值比較下結(jié)論沒(méi)有考慮由樣本隨機(jī)性可能導(dǎo)致的錯(cuò)誤，所以這個(gè)推斷依據(jù)不太充分獨(dú)立性檢驗(yàn)更理性、更全面，理論依據(jù)更充分例析例4.兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良.采用有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法對(duì)治療情況進(jìn)行檢查，得到了如下數(shù)據(jù)：抽到接受甲種療法的患兒67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙種治療法的患兒69名，其中未治愈6名，治愈63名.試根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好.療法療效合計(jì)未治愈治愈甲155267乙66369合計(jì)21115136P(χ2≥xα)=α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828練習(xí)

例析

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例3

(1)有關(guān)研究表明，正確佩戴安全頭盔，規(guī)范使用安全帶能夠?qū)⒔煌ㄊ鹿仕劳鲲L(fēng)險(xiǎn)大幅降低，對(duì)保護(hù)群眾生命安全具有重要作用.某市針對(duì)電動(dòng)自行車騎乘人員是否佩戴安全頭盔問(wèn)題進(jìn)行調(diào)查，在隨機(jī)調(diào)查的1000名騎行人員中，年齡低于40歲的占60%，記錄其年齡和是否佩戴頭盔情況，得到2×2列聯(lián)表如表所示.年齡頭盔合計(jì)佩戴未佩戴低于40歲540

不低于40歲

合計(jì)880

1000②依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為遵守佩戴安全頭盔與年齡有關(guān)？α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828零假設(shè)為H0：遵守佩戴安全頭盔與年齡無(wú)關(guān)，∴根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認(rèn)為H0成立，即認(rèn)為遵守佩戴安全頭盔與年齡無(wú)關(guān).(2)為了了解少年兒童的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關(guān)，現(xiàn)對(duì)30名六年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表.肥胖碳酸飲料合計(jì)常喝不常喝肥胖者

2

不肥胖者

18

合計(jì)

30①請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；肥胖碳酸飲料合計(jì)常喝不常喝肥胖者628不肥胖者41822合計(jì)102030②依據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)？α0.1000.0500.0100.005xα2.7063.8416.6357.879零假設(shè)為H0：肥胖與常喝碳酸飲料無(wú)關(guān)，依據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān).跟蹤訓(xùn)練3

(1)為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某校需要了解學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉與性別因素是否有關(guān)，為此隨機(jī)對(duì)該校100名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表.性別鍛煉合計(jì)經(jīng)常不經(jīng)常男生35

女生

25

合計(jì)

100已知從這100名學(xué)生中任選1人，經(jīng)常鍛煉的學(xué)生被選中的概率為列聯(lián)表完成如下.性別鍛煉合計(jì)經(jīng)常不經(jīng)常男生352560女生152540合計(jì)5050100①完成上面的列聯(lián)表；②依據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉與性別因素有關(guān)？α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828零假設(shè)為H0：該校學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉與性別因素?zé)o關(guān).根據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即該校學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉與性別因素有關(guān).(2)某省進(jìn)行高中新課程改革，為了解教師對(duì)新課程教學(xué)模式的使用情況，某教育機(jī)構(gòu)對(duì)某學(xué)校的教師關(guān)于新課程教學(xué)模式的使用情況進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，共調(diào)查了50人，其中有老教師20人，青年教師30人.老教師對(duì)新課程教學(xué)模式贊同的有10人，不贊同的有10人；青年教師對(duì)新課程教學(xué)模式贊同的有24人，不贊同的有6人.①根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表；2×2列聯(lián)表如表所示：教師年齡對(duì)新課程教學(xué)模式合計(jì)贊同不贊同老教師101020青年教師24630合計(jì)341650②試根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析對(duì)新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡是否有關(guān)系.附表：α0.050.010.005xα3.8416.6357.8791.對(duì)兩個(gè)分類變量A，B，下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為①A與B無(wú)關(guān)，即A與B互不影響；②A與B關(guān)系越密切，則χ2的值就越大；③χ2的大小是判定A與B