8.3列聯(lián)表與獨立性檢驗課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

§8.3列聯(lián)表與獨立性檢驗第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析學(xué)習(xí)目標1.理解獨立性檢驗的基本思想及其實施步驟.2.能利用等高堆積條形圖、2×2列聯(lián)表探討兩個分類變量的關(guān)聯(lián).3.了解隨機變量χ2的含義及作用.4.通過對數(shù)據(jù)的處理，提高解決實際問題的能力.復(fù)習(xí)導(dǎo)入

在現(xiàn)實生活中，人們經(jīng)常需要回答一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或性質(zhì)之間是否存在關(guān)聯(lián)性或相互影響的問題.例如，就讀不同學(xué)校是否對學(xué)生的成績有影響，不同班級學(xué)生用于體育鍛煉的時間是否有差別，吸煙是否會增加患肺癌的風(fēng)險，等等.

新知探索思考：如何利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)判斷一對分類變量之間是否具有關(guān)聯(lián)性呢？對于這樣的統(tǒng)計問題，有時可以利用普查數(shù)據(jù)，通過比較相關(guān)的比率給出問題的準確回答，但在大多數(shù)情況下，需要借助概率的觀點和方法.我們先看下面的具體問題.新知探索問題：為了有針對性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此對學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉的情況進行了普查.全校學(xué)生的普查數(shù)據(jù)如下：523名女生中有331名經(jīng)常鍛煉；601名男生中有473名經(jīng)常鍛煉.你能利用這些數(shù)據(jù)說明，該校女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異嗎？

新知探索

在實踐中，由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高，人們經(jīng)常按研究問題的需要，將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計，并做成2×2列聯(lián)表加以保存.問題背景：全校學(xué)生的普查數(shù)據(jù)如下：523名女生中有331名經(jīng)常鍛煉；601名男生中有473名經(jīng)常鍛煉.你能利用這些數(shù)據(jù)，說明該校女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異嗎？性別鍛煉合計不經(jīng)常(Y=0)經(jīng)常(Y=1)女生(X=0)331523男生(X=1)473601合計2×2列聯(lián)表1921281124320804列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響：性別對體育鍛煉的經(jīng)常性無影響：頻率穩(wěn)定于概率新知探索

XY合計Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計a+cb+da+b+c+d(樣本容量n)若不相等，則推斷兩個分類變量有關(guān)聯(lián)或存在明顯差異.若相等，則推斷兩個分類變量無關(guān)聯(lián)或沒有明顯差異.概念形成1、2×2列聯(lián)表例1在研究某種藥物對“H1N1”病毒的治療效果時，進行了動物試驗，得到以下數(shù)據(jù)：對150只動物進行藥物治療，其中132只動物存活，18只動物死亡，對150只動物進行常規(guī)治療，其中114只動物存活，36只動物死亡.請根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表.2×2列聯(lián)表如表所示：治療方法治療效果合計存活死亡藥物治療13218150常規(guī)治療11436150合計24654300跟蹤訓(xùn)練1為了解對某班學(xué)生經(jīng)常打籃球和性別是否有關(guān)，對該班40名學(xué)生進行了問卷調(diào)查，得到如下的2×2列聯(lián)表.性別打籃球合計經(jīng)常不經(jīng)常男生m420女生8

20合計

n40則m＝_____，n＝_____.1616新知探索等高條形圖展示可列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征，依據(jù)頻率穩(wěn)定與概率的原理，我們可以推斷結(jié)果．①和表格相比，等高條形圖更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響.②比較同色的條形圖高度差，若高度差明顯，則判斷兩個分類變量有關(guān)系或存在明顯差異.兩個分類變量x，y之間關(guān)系最強的是()吸煙與患肺病有關(guān)聯(lián)D2、等高條形圖對于大多數(shù)實際問題，我們無法獲得所關(guān)心的全部對象的數(shù)據(jù)，但可利用隨機抽樣獲得一定數(shù)量的樣本數(shù)據(jù)，再利用隨機事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定于概率的原理作出推斷.例1.為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡單隨機抽樣的方法抽取88名學(xué)生.通過測試得到了如下數(shù)據(jù)：甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀；乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀.試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間是否存在差異.性別鍛煉合計不優(yōu)秀(Y=0)優(yōu)秀(Y=1)甲校(X=0)331043乙校(X=1)38745合計711788甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率為：乙校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率為：依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可推斷P(Y=1|X=0)>P(Y=1|X=1).故可認為兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異，甲校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率比乙校學(xué)生的高.等高堆積條形圖1.等高堆積條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高堆積條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征，依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷結(jié)果.[例2]為考察甲、乙兩種藥物預(yù)防某疾病的效果,進行動物實驗,分別得到如下等高堆積條形圖.根據(jù)圖中信息,在下列各項中,說法最佳的一項是(

)A.藥物乙的預(yù)防效果優(yōu)于藥物甲的預(yù)防效果B.藥物甲的預(yù)防效果優(yōu)于藥物乙的預(yù)防效果C.藥物甲、乙對該疾病均有顯著的預(yù)防效果D.藥物甲、乙對該疾病均沒有預(yù)防效果√例析新知探索思考2：你認為“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異”這一結(jié)論是否有可能是錯誤的？甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率為：乙校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率為：依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可推斷P(Y=1|X=0)>P(Y=1|X=1).即甲校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率比乙校學(xué)生的高，故可認為兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異.“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異”這個結(jié)論是根據(jù)兩個頻率間存在差異推斷出來的.但有可能在隨機抽取的樣本中，兩個頻率間確實存在差異，但兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率實際上是沒有差別的.導(dǎo)致推斷放錯誤的原因：①樣本容量較小，導(dǎo)致頻率與概率的誤差較大；②樣本具有隨機性，因而頻率有隨機性，頻率和概率之間存在誤差；思考3：有多大的把握推斷“學(xué)校與優(yōu)秀率有關(guān)”？這個推斷犯錯誤的可能性多大？在這種情況下，我們推斷出的結(jié)論就是錯誤的.接下來我們將討論犯這種錯誤的概率的大小問題.

當(dāng)我們要比較兩組或者多組均值有沒有顯著性差異的時候，我們可以用方差分析。請注意，想一下什么類型的數(shù)據(jù)可以求均值、方差呢？這就說明只有數(shù)值類型的數(shù)據(jù)才可以求均值、方差。如離散型隨機變量、連續(xù)型隨機變量

如果我們要比較兩組或者多組之間的分類變量之間是否有顯著性差異呢？這個時候就不可以使用方差分析了，就需要使用專門用于分類變量比較的卡方檢驗。接下來我們具體看一下卡方分析是怎么做的。新知探索

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新知探索(1)認清分類變量，提出零假設(shè)H0：X和Y獨立，即…與…無關(guān)聯(lián)(無差異)；(2)列表：列出2×2列聯(lián)表.(3)求值：由表中數(shù)據(jù)計算χ2的值.(4)推斷：將χ2值與臨界值xα比較，根據(jù)小概率值α的獨立性檢驗規(guī)則，得出結(jié)論若χ2≥xα，則推斷H0不成立，即認為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過α；若χ2<xα，則我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可認為X和Y獨立.P(χ2≥xα)=α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗3、(卡方)獨立性檢驗的步驟新知探索①作用：由χ2≥xα是否發(fā)生推斷分類變量X和Y是否獨立.②獨立性檢驗中常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值P(χ2≥xα)=α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗如：若假設(shè)H0成立，對于小概率值α=0.05的χ2獨立性檢驗規(guī)則如下：(1)當(dāng)χ2≥3.841=x0.05時，∵P(χ2≥3.841)=0.05，可推斷H0不成立，即認為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過0.05；(2)當(dāng)χ2<3.841=x0.05時，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可認為X和Y獨立.例析例3.根據(jù)以下列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間是否存在差異.性別鍛煉合計不優(yōu)秀(Y=0)優(yōu)秀(Y=1)甲校(X=0)331043乙校(X=1)38745合計711788P(χ2≥xα)=α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828提出原(零)假設(shè)計算χ2找臨界值比較下結(jié)論沒有考慮由樣本隨機性可能導(dǎo)致的錯誤，所以這個推斷依據(jù)不太充分獨立性檢驗更理性、更全面，理論依據(jù)更充分例析例3.根據(jù)以下列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間是否存在差異.性別鍛煉合計不優(yōu)秀(Y=0)優(yōu)秀(Y=1)甲校(X=0)331043乙校(X=1)38745合計711788P(χ2≥xα)=α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828提出原(零)假設(shè)計算χ2找臨界值比較下結(jié)論沒有考慮由樣本隨機性可能導(dǎo)致的錯誤，所以這個推斷依據(jù)不太充分獨立性檢驗更理性、更全面，理論依據(jù)更充分例析例4.兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良.采用有放回簡單隨機抽樣的方法對治療情況進行檢查，得到了如下數(shù)據(jù)：抽到接受甲種療法的患兒67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙種治療法的患兒69名，其中未治愈6名，治愈63名.試根據(jù)小概率值α=0.005的獨立性檢驗，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好.療法療效合計未治愈治愈甲155267乙66369合計21115136P(χ2≥xα)=α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828練習(xí)

例析

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例3

(1)有關(guān)研究表明，正確佩戴安全頭盔，規(guī)范使用安全帶能夠?qū)⒔煌ㄊ鹿仕劳鲲L(fēng)險大幅降低，對保護群眾生命安全具有重要作用.某市針對電動自行車騎乘人員是否佩戴安全頭盔問題進行調(diào)查，在隨機調(diào)查的1000名騎行人員中，年齡低于40歲的占60%，記錄其年齡和是否佩戴頭盔情況，得到2×2列聯(lián)表如表所示.年齡頭盔合計佩戴未佩戴低于40歲540

不低于40歲

合計880

1000②依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，能否認為遵守佩戴安全頭盔與年齡有關(guān)？α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828零假設(shè)為H0：遵守佩戴安全頭盔與年齡無關(guān)，∴根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認為H0成立，即認為遵守佩戴安全頭盔與年齡無關(guān).(2)為了了解少年兒童的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關(guān)，現(xiàn)對30名六年級學(xué)生進行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表.肥胖碳酸飲料合計常喝不常喝肥胖者

2

不肥胖者

18

合計

30①請將上面的列聯(lián)表補充完整；肥胖碳酸飲料合計常喝不常喝肥胖者628不肥胖者41822合計102030②依據(jù)小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，能否認為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)？α0.1000.0500.0100.005xα2.7063.8416.6357.879零假設(shè)為H0：肥胖與常喝碳酸飲料無關(guān)，依據(jù)小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，推斷H0不成立，即認為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān).跟蹤訓(xùn)練3

(1)為了有針對性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某校需要了解學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉與性別因素是否有關(guān)，為此隨機對該校100名學(xué)生進行問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表.性別鍛煉合計經(jīng)常不經(jīng)常男生35

女生

25

合計

100已知從這100名學(xué)生中任選1人，經(jīng)常鍛煉的學(xué)生被選中的概率為列聯(lián)表完成如下.性別鍛煉合計經(jīng)常不經(jīng)常男生352560女生152540合計5050100①完成上面的列聯(lián)表；②依據(jù)小概率值α＝0.1的獨立性檢驗，能否認為該校學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉與性別因素有關(guān)？α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828零假設(shè)為H0：該校學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉與性別因素?zé)o關(guān).根據(jù)小概率值α＝0.1的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即該校學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉與性別因素有關(guān).(2)某省進行高中新課程改革，為了解教師對新課程教學(xué)模式的使用情況，某教育機構(gòu)對某學(xué)校的教師關(guān)于新課程教學(xué)模式的使用情況進行了問卷調(diào)查，共調(diào)查了50人，其中有老教師20人，青年教師30人.老教師對新課程教學(xué)模式贊同的有10人，不贊同的有10人；青年教師對新課程教學(xué)模式贊同的有24人，不贊同的有6人.①根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表；2×2列聯(lián)表如表所示：教師年齡對新課程教學(xué)模式合計贊同不贊同老教師101020青年教師24630合計341650②試根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，分析對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡是否有關(guān)系.附表：α0.050.010.005xα3.8416.6357.8791.對兩個分類變量A，B，下列說法中正確的個數(shù)為①A與B無關(guān)，即A與B互不影響；②A與B關(guān)系越密切，則χ2的值就越大；③χ2的大小是判定A與B